MB141 -7. cvičení Afinní geometrie
Martin Čadek
Jarní semestr 2020
Příklad 1. Napište nejdříve parametrický a potom implicitní popis nejmenšího afinního podprostoru v A4, který obsahuje body
A =[5,2,1,0],   S = [4,1,0,0],   C= [-3,1,0,1].
®
Židi) - CiW'®! I-IW)! ř
/X4f'dd'/ho J^nt^f^^-' /m^^-^   strmit, -fJ¥U/7^ťiU *A««L<d<toJ   2 lOV).  áae^o Mt<&^/y***-'^
o
(a< $i ^
-T-\
0
01
Příklad 1. Napište nejdříve parametrický a potom implicitní popis nejmenšího afinního podprostoru v A4, který obsahuje body
A = [5,2,1,0],   B= [4,1,0,0],   C= [-3,1,0,1].
(4ri> Oi?) <z. (a-i, i<o)
Přikladl. Napište nejdříve parametrický a potom implicitní popis nejmenšího afinního podprostoru v A*, který obsahuje body
A= [5,2,1,0],   6= [4,1,0,0],   C = [-3,1,0,1].
4-1 07-0-1 <1 Q
a
h
-i
o o
3 -f
- 1
O
4
t, j&ccl  a to- e.
3 -1
\
Příklad 2. Najděte průnik a spojení afinním podprostorů M a
M : [2,3,4,3,6]+ 3(1,1,1,-1,1)+ 6(0,0,1,0,1)
M: [2,2,4,4,6] + c(1,0,0,0,1) + oř(0,0,1,0,0) + e(2,1,1,-1
To-
)(  = L 2,3, ^ 3, 6 J t ^ ^ 4 4   /) f i, /#4 4 4 /) a E2/ 2, 4, £ £J * e iit Ot ofq i) * šL (0,01 % 0f O
CL
4 i
-1 1
í-
0  -i O - Z
o   0 O - i
o  o O 4
4-4 D 'i
0
0
O
w
í-Q-\
2- 3
\Ž-3/
^j~4   0  0  O 4 o 0-10-1
o o o o
4 0-10 4 -1 0 0
A'
Příklad 2. Najděte průnik a spojení afinním podprostorů M a
AfvÁ5:
M : [2,3,4,3,6]+ 3(1,1,1,-1,1)+ 6(0,0,1,0,1)
J\í : [2,2,4,4,6] + c(1,0,0,0,1) + d(0,0,1,0,0) + e(2,1,1,-1,1).
/-ri) O o O 4 \A
O
4 U \
O -I o -1   O -1
-{4 0
4 O
o o o \0 f-> {a,
3
0 o o o o
/Ir-,
Jí = { L 2, 2, ^ 4, 6j - (Jit) (i 0,0,0, /) - ^
Příklad 2. Najděte průnik a spojení afinním podprostorů M a (C
M : [2,3,4,3,6]+ a(1,1,1,-1,1)+ 6(0,0,1,0,1) AT:[2,2,4,4,6] + c(1,0,0,0,1) + d(0,0,1,0,0) + e(2,1,1,-1,1).
stul fád^Ov&lU.    AA/j/f   W/^WWW í^€^>!!P^yH£y
Příklad 3. V A4 určete vzájemnou polohu rovin
7T : 3x: + x2 + 2x3 = 5,   5^ - x2 + 2x4 = 3, p :    + 5x2 - 4x3 = -3,   2x2 - x3 + xA = -2.
/
3 ^
5" -/
7 S"
0 *
1 4
0
o o
2 O
o z
-4 O
-7 1
s- -4< £
-7 7 0
0 4 4
0 -1 4
-4 £ -7 7
•/v 0
to 2
-3 -z
<ftf
u
->
0
\o
5"
7
-7
7£
Ů
0
7 7
4 £ -Lt O
0-1 4 0 O O -4 1 DOO^
o
Příklad 3. V A4 určete vzájemnou polohu rovin
7T: 3xi + x2 + 2x3 = 5,   5x! - x2 + 2x4 = 3, p:Xi+5x2- 4x3 = -3,   2x2 -x3+x4 = -2.
:W\^A)   /^t^^t^t( jl*&<^   a   &  ^0(^^^^^
Příklad 4. V A4 určete vzájemnou polohu roviny
p: [3, -1,0,0] + S(-1,1,1,0) + ř(2,1,0,1)
a přímek p, q ar, které mají parametrická vyjádření
a) p : [7,4,2,3]+ a(5,-2,-3,1),
b) q: [1,2,3,4]+ 6(1,5,3,2),
c) r:[1,2,3,4] + c(1,1,1,1).
;    "R -t S A,< t t ^2.   -    to: A-f&(s~<
/ —
3
N o 3 C* 4 -f
\ 0 J -1
4   A 1
o 1 A
é
S 3
/L/
4 3
ODO \ O O O
(L
D O
Příklad 4. V A4 určete vzájemnou polohu roviny
p: [3,-1,0,0] + s(-1,1,1,0) + ř(2,1,0,1) a přímek p, q a r, které mají parametrická vyjádření
a) p: [7,4,2,3]+ 3(5,-2,-3,1),
b) g:[1,2,3,4]+ 6(1,5,3,2),
c) r: [1,2,3,4] + c(1,1,1,1).
1 4 -s 10-?,
0 -/ -2.
3
O/? JC —
4 0 O
o
o
4
o o
3
2.
3\
+ -7
qu< t tí/i - >^
Příklad 4. V A4 určete vzájemnou polohu roviny
p: [3,-1,0,0] + s(-1,1,1,0) + ř(2,1,0,1)
a přímek p, q a r, které mají parametrická vyjádření
a) p:[7,4,2,3] + a(5,-2,-3,1),
b) qr: [1,2,3,4]+ ^(1,5,3,2),
c) r:[1,2,3,4] + c(1,1,1,1).
\
4 0-1* 0 1-2-
I -1 D
O -/
o o \ 00
\
0tC^L   Zip) ~±
Oti,
AU.
Příklad 4. V A* určete vzájemnou polohu roviny
p: [3, -1,0,0] + s(-1,1,1,0) + ř(2,1,0,1) a přímek p,qar, které mají parametrická vyjádření
a) p: [7,4,2,3] + 3(5,-2,-3,1),
b) q: [1,2,3,4]+ 6(1,5,3,2),
c) r: [1,2,3,4] + c(1,1,1,1).
©
/tetfo /tou AsnuCóu       ^ í^z - C # sn^<U
\ 1 -i o ^ 1
o i :
'AS
-2 \
3
V
c? i 0
0 -i -i
\
\
1	0	-1	n			-1	3\
0	4	0	0	Aj	' í) *	O	0
0	0	-2	\1 I		í) í?	-i	
c	0					0	
A.	'úží	H /b A		P =			
í
/
Příklad 5. Osa dvou mimoběžných přímek paqv afinním (A) prostoru A3 je přímka, která obě přímky protíná a je na ně kolmá. Najděte osu mimoběžek
p: [1,2,3] + a(1,2,-1),   q: [2, -3,4] + 6(2,-1, -2)
a body P e p a Q e q, ve kterých tyto přímky protíná.
Vf -ř 2V2 -V3 = 0 (4  2 -1\     l<i  2. -1
Příklad 5. Osa dvou mimoběžných přímek p a q v afinním prostoru A3 je přímka, která obě přímky protíná a je na ně kolmá. Najděte osu mimoběžek
p: [1,2,3] + a(1,2,-1),   q: [2, -3,4] + b(2, -1, -2)
a body PepaQeg.ve kterých tyto přímky protíná.
A~f 4UČy^ eur   = "B + b^'
\
-5" | Ay 4
a, c b
4 4-2
2 0 4 -1  4 Z.
I4 4-2.
0 -7- S \ 0   2- O
l /I 4 -
As
Jr = -4
CL — -.2.
0*0 l 0 0 5"
3 =Z0r2,6]
Příklad 5. Osa dvou mimoběžných přímek paqv afinním prostoru A3 je přímka, která obě přímky protíná a je na ně kolmá. Najděte osu mimoběžek
p: [1,2,3] + a(1,2,-1),   q: [2, -3,4] + b(2,-1, -2)
a body P e p a Q e q, ve kterých tyto přímky protíná.