MB141 -8. cvičení Eukleidovská geometrie
Martin Čadek
Jarní semestr 2020
Příklad 1. V £3 spočítejte vzdálenost bodu A = [3,5,7] od (J) roviny p : ^ + 3x2 - 2x3 + 4 = 0. Současně najděte bod C e p takový, že dist(/A, C) = dist(/»,/>).
10,0.
n 1 ^
/
/
^c^/ /^ei^u^ BA
Příklad 1. V £3 spočítejte vzdálenost bodu A — [3,5,7] od roviny p : xt + 3x2 - 2x3 + 4 = 0. Současně najděte bod Cep takový, že dist(>4, C) = dist(/A, p).
^^2>
Příklad 2. V £3 spočítejte vzdálenost přímek
p: [4,4,4]+ a(2,1,-1)  a  q : [1,15,12]+ 6(1,-2,1).
Dále najděte body K epaLeq, v nichž se vzdálenost přímek realizuje, tj. platí dist(/C, Z.) = dist(p, g).
dr: 15 -fJ-z^ i    B -    45*21, <*■ = ^'    Y) • AB -3 - A = (-3, ^ *)    00^***'*« '
Ág obr Z^l. ^ ^ = ^
Příklad 2. V £3 spočítejte vzdálenost přímek
p: [4,4,4]+ a(2,1,-1)   a   q : [1,15,12] + 6(1, -2,1).
Dále najděte body K e p a Le q,v nichž se vzdálenost přímek realizuje, tj. platí dist(K, L) = dist(p, q).
i --i
i 2.
-1 -1
a. &
/v
-i -1
0 i 0 -3
./v
f-1     I 2 0   ✓ 3 \0 0 0
Příklad 2. V £3 spočítejte vzdálenost přímek
p: [4,4,4] + a(2,1,-1)  a  q : [1,15,12] + b(1, -2,1).
Dále najděte body KepaLeq,v nichž se vzdálenost přímek realizuje, tj. platí ď\st(K, L) = dist(p, q).
B^L K =- A + (r<)*o =- í^h,^-(2,1,-1) = Ĺ2/3fs]
Príklad 3. V £4 určete vzdálenost přímky p od roviny p
p:[5,4,4,5] + r(0,0,1,-4), p: [4,1,1,0] + s(1,-1,0,0) + /(2,0,-1,0).
a body MepaNep,v nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. dist(M, A/) = dist(p, p).
p: 0áUc   Z (f) ťž(ý) ^Mí^i,^ J
0 Q 4 -ý' \       (4-1 O O \     ók^-ešia-' '^^H^
4-/00^0 4 -f 0 í O -1 0 /       \#   O * -9
Příklad 3. V £4 určete vzdálenost přímky p od roviny p p: [5,4,4,5] + r(0,0,1,-4), p: [4,1,1,0]+ s(1,-1,0,0)+ ř(2,0,-1,0).
a body M e pa N g p, v nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. dist(/W,/V) = dist(p,p). _^
^ T( BA) ^e^M^ ±>A T( BA) = čZ<Y = 4,(2,2, ^
P
- jyp
~£> t Sfr<+ t
Příklad 3. V £4 určete vzdálenost přímky p od roviny p (2)
p: [5,4,4,5] + r(0,0,1,-4),
p : [4,1,1,0] + s(1, -1,0,0) + ř(2,0, -1,0).
a body IWepa/Vep.v nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. dist(M, N) = dist(p,p).
; 5 - - y
Příklad 4. V S3 určete odchylku roviny p od přímky p: (J) p: [1,3,5] + a(1,1,1) + b(1,3,2),   p: [-3,1,7] + c(1,0,-1).
(P/Vt   Á^Čc'^A'/K^/     Í^O^^ŮAy     í^W*(^   sfu^rlý^í^l^o /£a'/H/7^>
:      C U O, -i)
C
2 Cf>)
I
CA =
#W      .  _ (^4/) r i (4, 3,-2)) i V)
± (W)
Příklad 4. V £3 určete odchylku roviny p od přímky p: p: [1,3,5] + a(1,1,1) + D(1,3,2),   p: [-3,1,7] + c(1,0,-1).
•3
6
0
-1
4   ^ \ 0
o  ^ \-f
&P0 c^.
Zf/'ng' postup;
IIT&> i i lu l
CL * -7, b = -| . /í í-/, 0,-')lí
2 /
~lt /Ti,
/
2
* i / _._^ -7
Příklad 4. V £3 určete odchylku roviny p od přímky p:
p: [1,3,5] + a(1,1,1) + Ď(1,3,2),   p: [-3,1,7] + c(1,0,-1>.
A -1 A
4 4 1 0 2 1
'V/2.
(      4, -2.)
3
2.
X
6
7T
- X"_ JI
2- 6
7T 3
Příklad 5. V £3 určete odchylku rovin p a a:
p: [2,3,4] + 3(2,2,1) + 6(3,3, -2),   a: Xl-2x2 + x2 = 4.
Jh {Ait^JUu   Co n <čT (a>£ f^'^^) .
y -(MO)
11*11 HU       Ig U 2~
Příklad 5. V £3 určete odchylku rovin p a a:
p: [2,3,4]+ a(2,2,1) +6(3,3,-2),   a: x, - 2x2 + X2 = 4.
Příklad 6. Uvažujme čtyřstěn ABCD, kde A = [1,2,3], B = [4,7,8], C = [-1, -2,3], D = [3,0,1]. Určete objem čtyřstěnu, obsah trojúhelníka      a velikost výšky na stěnu ABC.
A
3
=     ( 5)  3, ^)    - ^
6'/)
<2-   S lf
h 1 z
0^-2
^ -36-1-0 t W-D ihO - W =
Příklad 6. Uvažujme čtyřstěn ABCD, kde 4 = [1,2,3], B= [4,7,8], C= [-1,-2,3], 0= [3,0,1]. Určete objem čtyřstěnu, obsah trojúhelníka ABC a velikost výšky na stěnu ABC.
abcd
Ž> 3
Auci^tiAa /i<-e£&t^ A^-OJ? o-  di^/ir, Čfo&ť &é,fo-
1    //// Ot4,t*)
D 5"
^3 ^3
- -10
Příklad 6. Uvažujme čtyřstěn ABCD, kde A = [1,2,3], B= [4,7,8], C= [-1,-2,3], D = [3,0,1]. Určete objem čtyřstěnu, obsah trojúhelníka ABC a velikost výšky na stěnu ABC.
f 4o<? 4a
fy.
z.
2 S
h «3
A ABC ji
s> ABr        -z. ll —-
0
'1
S
2 ^ABC
Sabč. ABC,
[ifdh
2,
Přiklad 7. Zjistěte, které stěny čtyřstěnu ABCD z předchozí w úlohy jsou vidět z bodu bodu X = [-10,100, -50].
íP/t/mž' AsfiMjltVHZs f /ZÁíLy    X /&u''/nu. /yfef'/K&,   //úasKt^  ,^ů^?^c^. <48C Čžf <Tf Č$
CA Cly )    /TwjZU7 /yfef>Hi ' ^€^i^^^4^^
CČ ~ (S;%S)
Ct> = (4,2,-2)
=(-V^2/
S3
2 ? tf 0 .T -2
I 2  <r - S 0 <s" -si
=- -36 + 0 v 80 - O -t^O-10 ^ 69 > O
^ - <fg.S3 t O - 4%0 - O -f 20-ST3 - SO ■ '02. ^0
0 a. X. Y
(R^i/yuv    ABC čH#0^'
Příklad 7. Zjistěte, které stěny čtyřstěnu ABCD z předchozí úlohy jsou vidět z bodu bodu X = [-10,100, -50].
A D
= (£,-2,-2
•3 2-2 5" -2 -4 -2 O
I 3   ± -44
s- -7 qg svufct, ABD.
-   O -40 +Z0 -ZO-0-Q.tf <0
AD
(-2,-4,0)
-~ - (£,-2,-2)
4 y5 - (-^
-2	2.	5		'3	2	
-i	-2	5		5"	-2	-V
0	-Z	5~		<5~	-z	0
-2	-2	46		4'	53	i- 0
0 -Z ^53
Příklad 7. Zjistěte, které stěny čtyřstěnu z předchozí úlohy jsou vidět z bodu bodu X = [-1 o, 100, -50].
/
Příklad 8. V souřadnicích standardní souřadné soustavy v £3 napište předpis zobrazení, které je symetrií podle roviny
p: 2xA - 3x2 + x3 - 5 = 0.
f/sUÓ F (A) ^ A ty Uď X £ £3 f 1 OfUi^/m^ A> /&a^#sO     y ■= A + /to 4    SáU^u i /£i
<CtS)
®
(3)
Příklad 8. V souřadnicích standardní souřadné soustavy v £3 napište předpis zobrazení, které je symetrií podle roviny
p : 2*! - 3x2 + x3 - 5 = 0.
Z(p) f   /na a^Uk, {- Z, 3, -/)   a   ^M*"*   ( £>, 1      4 (~fi °tz)
3
\
-3	1	-2	3	-1\			D	1
í	3	0	4	3 I	AS	0	4	3
0	2.	-í	0	2-		l 0	-3	s
I-4 o a
DOW
)-i 0 2. O A 3 -h 6 42-
A/
í 7 O -4H
O 7- í4 0 0 7-
3 6 -2\ -2 30
-(6,-2,3)
Příklad 8. V souřadnicích standardní souřadné soustavy v £3 napište předpis zobrazení, které je symetrií podle roviny
p : 2*1 - 3x2 + x3 - 5 = 0.
J- Í3 é
7-
r ^
-f