Domácí úloha z MB141, týden 08
Příklad. 1. V £3 spočítejte vzdálenost bodu A = [0,1,1] od roviny
p: [0,-l,0]+a(l,l,2) + 6(l,l,l). Současně najděte bod C E p takový, že dist(A, C) = dist(A, p).
Příklad. 2. V 83 spočítejte vzdálenost přímek
p: [-3,3,-3] +a(2, -2, -3)   a   q : [1,-2,4] + 6(2, 2,-1).
Dále najděte body K E paL E q, v nichž se vzdálenost přímek realizuje, tj. platí dist(_ří, L) = dist(p, q).
Příklad. 3. V 84 určete vzdálenost přímky p od roviny p
p: [2,2,l,2]+r(l,3,5,l),    p: [4, -5,4, -2] +      3, 0,0) + í(l, 6, -2,-1) a body M G p a iV G p, v nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. dist(M, N) = dist(p, p).
Příklad. 4. V 83 určete cosinus odchylky roviny p od přímky p:
p: [0,l,2] + a(2,l,2) + 6(l,0,3),   p : [1,1,-7] + c(9,-6,-1).
Příklad. 5. V 83 určete odchylku rovin p a a:
p : 2xi — x2 + X3 = 10,    o : X\ + x2 + 2x3 = 7.
Příklad.6. Uvažujme body A = [1,2,3], B = [4,7,8], C = [-1,-2,3], D = [3,0,1] a E = [3, 2,1]. Leží některý z těchto bodů uvnitř čtyřstěnu tvořeného určeného zbylými vrcholy? Jaké těleso je konvexním obalem těchto pěti bodů? Určete jeho objem.
Poznámka: Konvexní množina v prostoru je taková množina, která s každými dvěma různými body obsahuje i úsečku, kterou tyto body určují. Konvexní obal množiny bodů je nejmenší konvexní množina, která tuto množinu obsahuje. Konvexním obalem konečné množiny bodů v prostoru je vždy konvexní mnohostěn. V případě 5 bodů, z nich žádné 4 neleží v jedné rovině, je konvexním obalem buď čtyřstěn nebo šestistěn s pěti vrcholy (stěny jsou trojúhelníky.)
Příklad. 7. V souřadnicích standardní souřadné soustavy v 83 napište předpis zobrazení, které je symetrií podle přímky p : [1, 2, 3] + í(2, —1,3).
1