Domácí úloha z MB141, týden 09
Příklad. 1. Uvažujme Leslieho model růstu populace krys, které máme rozděleny do tří věkových skupin: do jednoho roku, od jednoho do dvou let a od dvou let do tří. Předpokládejme, že žádná krysa se nedožívá více než tří let. Průměrná porodnost v jednotlivých skupinách je následující. V první skupině je nulová, a ve druhé a třetí skupině 2 krysy na jednu krysu. Krysy, které se dožijí jednoho roku, umírají až ve třetrím roce života. Určete úmrtnost v první skupině, víte-li, že daná populace krys stagnuje (počet jedinců se v ní nemění).
Příklad. 2. JZD se zabývá chovem prasat. Chov se řídí půlročním cyklem a proto prasata rozdělují do čtyř věkových kategorií: malá selata (0-0,5 roku), větší selata (0,5-1 rok), mladší prasnice (1-1,5 roku) a starší prasnice (1,5-2 roky). Po ukončení půlročního období a přepočítání prasat ve všech kategorií se v novém období postupuje takto.
• Malá selata jsou rozdělena na samce, kteří se prodají, a na samice, které zůstávají v chovu, přičemž těchto samic je polovina z celkového počtu malých selat. Na konci nového období z nich jsou velká selata.
• Velká selata se pouze krmí, na konci nového období jsou ze všech mladší prasnice.
• Mladší prasnice se nechají zapustit a v průměru vrhnou 11 zdravých selat na jednu prasnici. Přitom 10% z mladších prasnic uhyne a 90% přežívá - na konci nového období jsou z nich starší prasnice.
• Starší prasnice se také zapustí a v průměru vrhnou 10 zdravých selat. Na konci nového období jsou však starší prasnice odeslány na jatka.
Určete, kolik procent velkých selat mohou během každého období prodat, aby měli stabilizovaný chov.
Příklad. 3. Roztržitý profesor s sebou nosí deštník, ale s jistou pravděpodobností jej zapomene tam, odkud zrovna odchází. Ráno odchází z domova do práce, a protože bývá po ránu v kondici, pravděpodobnost, že deštník zapomene doma, je pouze 1/3. Z práce chodí odpoledne do restaurace a pravděpodobnost, že deštník zapomene v práci, je 1/2. V restauraci si dá pozdní oběd a jde domů, přičemž pravděpodobnost, že zapomene deštník v restauraci, je rovna 2/3. Uvažujme pro jednoduchost, že nikam jinam po dostatečně dlouhou dobu profesor nechodí a že v restauraci zůstává deštník na profesorově oblíbeném místě, odkud si ho může následující den (pokud nezapomene) vzít.
Napište matici tohoto Markovova procesu. (Je vhodné za časovou jednotku vzít jeden den - od půlnoci do půlnoci.) Jaká je pravděpodobnost, že se po mnoha dnech bude deštník nalézat o půlnoci doma?
i