10. cvičení z MB141, jaro 2020
Příklad. 1. Dokažte, že pro libovolná celá čísla a platí:
(1) a2 má po dělení 4 zbytek 0 nebo 1.
(2) a2 má po dělení 8 zbytek 0, 1 nebo 4.
(3) a4 má po dělení 16 zbytek 0 nebo 1.
Příklad. 2. Jaké jsou poslední dvě cifry čísel: 481, 714, 359?
Příklad. 3. Najděte největšího společného dělitele čísel
(a) 227, 133,
(b) 3441,2665.
Příklad. 4. Nalezněte celá čísla x ay tak, aby 883rc+ 487y = d byl největší společný dělitel čísel 883 a 487. Spočtěte x ay i pro dvojice čísel z předchozíhom příkladu.
Příklad. 5. Najděte všechna přirozená n taková, že n — 1 | n3 + 1.
Příklad. 6. Dokažte, že pro přirozená čísla a, k a n platí: jestliže k \ n, pakPomocí toho dokažte: Je-li 2n — 1 prvočíslo, pak n musí být také prvočíslo. ak — 1 | dn — 1.
Příklad. 7. Dokažte, že 25 | 42n+1 - lOn - 4.
i