1. cvičení z MB141, jaro 2020
Zkuste zvládnout příklady 1 až 3 a příklad 4 aspoň začít a nechat dokončení za DU. Poslední příklad je možno nechat na 2. cvičení.
Příklad. 1. V rovině jsou dány body A = [-3 + y/3, -1 + 2y/3], B = [3, -4], vektor v = (6, —3) a přímka p : y — 2x + 7 = 0.
a) Určete parametrický a obecný popis přímky procházející body A a B.
b) Určete přímku r, která je rovnoběžná s pčímkou p a prochází bodem A.
c) Určete přímku q určenou bodem B a vektorem v.
d) Spočítejte průsečík C přímek q ar (pokud existuje).
e) Spočítejte obsah trojúhelníka ABC.
f) Rozhodněte, zda bod O = [0, 0] leží uvnitř trojúhelníka ABC.
g) Určete, které strany trojúhelníka ABC jsou vidět z bodu D = [—1,4].
h) Spočtěte úhel při vrcholu B.
Řešení, http://www.math.muni.cz/ xfrancirekp/vyuka/seste_cviceni/seste_cviceni.pdf □
Příklad. 2. Napište předpis (pomocí maticového násobení a sčítání) pro zobrazení roviny do roviny, které je
a) posunutí o vektor (2,3),
b) stejnolehlost se středem P = [0, 0] a koeficientem 3,
c) stejnolehlost se středem S = [2,5] a koeficientem — |,
d) reflexe podle podle osy x,
e) reflexe podle přímky x — y = 0,
f) reflexe podle přímky x — y + 3 = 0,
g) otočení o úhel a kolem počátku P = [0, 0],
h) otočení o úhel n/3 kolem bodu S = [2,-7].
Příklad. 3. Zahradník buduje záhon ve tvaru pravidelného šestiúhelníku ABCDEF (se středem v počátku a poloměrem kružnice opsané 20 m), tedy A = [—20, 0], D = [20, 0]. Určete souřadnice ostatních vrcholů. Když namaluji strany trojúhelníků ACE a BDF dostanu šesticípou hvězdu. Tuto hvězdu chci osázet květinami tak, že vnitřní šestiúhelník bude modrý a šest trojúhelníků bude červených. Jakou plochu budou mít modré a červené záhony. Která bude větší?
Návod. Souřadnice ostatních vrcholů vypočítejte pomocí matice otáčení. Spočtěte dále souřadnice průsečíku úseček DF a CE. Na přednášce jsme počítali těžiště trojúhelníka jako afinní kombinaci jeho vrcholů. □
Příklad. 4. V čase t0 = 0 vyslal hráč v bodě [0, 0] puk na prázdnou bránu ve (správném) směru (10,30) rychlostí 10 ms_1 (předpokládáme, že puk nezpomaluje). O púl sekundy později protihráč v bodě [20,10] hodil hokejku délky y/2 ve směru (—10,10) také rychlostí 10 ms_1. (Poznámka: v čase ti = 0.5 s je v bodě [20,10] konec hokejky, kterou chápeme jen jako úsečku položenou ve směru hodu.) Zamezí hozená hokejka pohybu puku do prázdné branky? (Veškeré uváděné souřadnice jsou v metrech.)
2
Návod. Napište obecné i parametrické (parametr je čas) rovnice přímek, které popisují dráhu puku a hokejky. Spočtěte jejich průsečík. Je to bod [15/2,45/2]. Tam puk bude v čase t = 1^1. Rukojeť hokejky bude v tomto čase v bodě s rr-ovou souřadnicí 20 — + Porovnejte ji s x-ovou souřadnicí puku, která je 15/2 (je menší, ukažte) a udělejte závěr. □
Příklad. 5*. Napište předpis pro zobrazení roviny do roviny, které je
a) reflexe podle přímky 3x + Ay = 0 (hledejte ve tvaru maticového násobení a zjistěte, kam se zobrazí tečný vektor a kam normálový vektor),
b) reflexe podle přímky 3x + Ay — 7 = 0.