MB141 -1. přednáška Geometrie v rovině Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2020 □ - = 5. přednáška Geometrie v rovině K čemu je dobrá lineární algebra a teorie čísel Motivace. V předmětu MB141 se postupně naučíme • řešit soustavy lineárních rovnic, • pracovat s maticemi, • řešit geometrické úlohy v rovině a v prostoru (uplatnění v počítačové grafice) grafice), • popisovat pomoc matic některé procesy (růst populací, Markovovy procesy) • maximalizovat jednoduché funkce, při existenci mnoha jednoduchých omezení (simplexový algoritmus pro úlohu lineárního programování), • jak se teorie čísel používá v kryptografii s veřejným klíčem. 5. přednáška Geometrie v rovině 2/28 Osnova přednášky • Afinní geometrie • Eukleidovská geometrie • Orientace, obsah a determinant • Shodná a lineární zobrazení • Matice lineárního zobrazení 5. přednáška Geometrie v rovině 3/28 Body a vektory Motivace: chceme umět • počítat s body a přímkami, • měřit vzdálenosti a úhly, počítat obsahy rovinných útvarů, • pracovat s přirozenými transformaci roviny jako je otočení kolem bodu a reflexe podle přímky. Základními objekty budou pro nás • body, • vektory. Vektory jsou zadány uspořádanou dvojicí bodů AĚ, bod >A je počáteční, bod B je koncový. Uspořádané dvojice AĚaČŮ určují stejný vektor ~Ú, jestliže vhodným posunutím převedeme orientovanou úsečku AŠ na orientovanou úsečku 5. přednáška Geometrie v rovině 4/28 Počítání s vektory a body Vektory ~Ú, V můžeme • sčítat: dostaneme pomocí rovnoběžníkového pravidla, • násobit reálným číslem a g IR, a~Ú, nulový vektor o je reprezentován AA, opačný vektor kTt = ÄŠ\e -~í = BÁ. Kombinací násobení a sčítání dostaneme lineární kombinaci vektorů aŮ + b~Č. K libovolnému bodu A můžeme přičíst vektor ~Ú. Výsledkem této operace A + ~Ú je bod B, který je koncovým bodem reprezentace vektoru ~Ú pomocí orientované úsečky ÄŠ. ►► Počítání s body a vektory provádíme pomocí souřadnic. 5. přednáška Geometrie v rovině 5/28 Souřadný systém Souřadný systém je určen • počátkem v bodě P, • dvěma nenulovými vektory ě\, e2 umístěnými do bodu P, které neleží v jedné přímce. Pro každý bod B v rovině souřadný systém zadává • reálná čísla x a y taková, že B = P + xě\ + ye2. ►► Dvojici reálných čísel [x,y] (v hranatých závorkách) nazýváme souřadnicemi bodu B v souřadném systému (P, ě\, e2). 5. přednáška Geometrie v rovině 6/28 Souřadný systém Souřadný systém je určen • počátkem v bodě P, • dvěma nenulovými vektory ě\, e2 umístěnými do bodu P, které neleží v jedné přímce. Pro každý bod B v rovině souřadný systém zadává • reálná čísla x a y taková, že B = P + xě\ + ye2. ►► Dvojici reálných čísel [x,y] (v hranatých závorkách) nazýváme souřadnicemi bodu B v souřadném systému (P, ě\, e2). Jestliže je vektor a souřadnice bodů A a B jsou postupně [x1?yi] a [x2,y2], Pak souřadnicemi vektoru je dvojice reálných čísel (x2 - x1, y2 - yi) (v kulatých závorkách). Uvědomte si, že nezáleží na tom, kterými dvěma body vektor ~Ů reprezentujeme. ►► Body (a rovněž vektory) v rovině reprezentujeme tedy jako uspořádané dvojice reálných čísel, tj. prvky rpno^ny M2. -= t 5. přednáška Geometrie v rovině 6/28 Každý bodpřímky p procházející bodem A se směrovým vektorem u ^ ~Š napíšeme jako X = A+t~Ú pro nějaké reálné číslo t. To je parametrická rovnice přímky p. V souřadnicích [x,y] = [ax,ay] + t(ux,Uy), což lze rozepsat po složkách x = ax + tux, y = ay + tuy. Přímky Každý bodpřímky p procházející bodem A se směrovým vektorem u ^ ~Š napíšeme jako X = A+t~Ú pro nějaké reálné číslo t. To je parametrická rovnice přímky p. V souřadnicích [x,y] = [ax,ay] + t(ux,Uy), což lze rozepsat po složkách x = ax + tux, y = ay + tuy. Je-li ux ^ 0, spočteme z první rovnice parametr t a dosadíme do druhé rovnice. Po vynásobení ux, dostaneme tzv. obecnou (nebo implicitní) rovnici přímky ►► -uyx + uxy + (ayux - axuy) = 0, px + qy + r = 0.^, == 5. přednáška Geometrie v rovině 7/28 Afinní a konvexní kombinace bodů Přímka určená body A aB, A ^ B, má směrový vektor Její parametrický popis je proto A+t~Ů = A+t(B-A)=A + tB-tA = (Jl-t)A + tB. Tato kombinace je tvaru aA + /3B, kde a + (3 = 1. Nazýváme ji afinní kombinací bodů A a B. Bod X = (1 - t)A + tB leží • na úsečce AB, právě když ř e [0,1], ►► • na polopřímce opačné k polopřímce ÄŠ, právě když t < 0, • na polopřímce opačné k polopřímce BÁ, právě když t > 1. 5. přednáška Geometrie v rovině 8/28 Afinní a konvexní kombinace bodů Přímka určená body A aB, A ^ B, má směrový vektor Její parametrický popis je proto A+t~Ů = A+t(B-A)=A + tB-tA = (Jl-t)A + tB. Tato kombinace je tvaru aA + /3B, kde a + (3 = 1. Nazýváme ji afinní kombinací bodů A a B. Bod X = (1 - t)A + tB leží • na úsečce AB, právě když ř e [0,1], ►► • na polopřímce opačné k polopřímce ÄŠ, právě když t < 0, • na polopřímce opačné k polopřímce BÁ, právě když t > 1. Kombinaci bodů (1 - t)A + tB pro t e [0,1] nazýváme konvexní kombinací bodů A a B. Důvodem je definice konvexní množiny: Podmnožina roviny je konvexní, jestliže s každými dvěma body A a B v ní leží všechny body úsečky AB, tedy všechny jejich konvexní kombinace. 5. přednáška Geometrie v rovině 8/28 Afinní kombinace tří bodů v rovině Nechť A, B a C jsou body v rovině, které neleží v jedné přímce. Pak lze každý bod X roviny psát ve tvaru X = A+tBA+sCA = A+t(B-A)+s(C-A) = (1 -t-s)A+tB+sC. Tato kombinace aA + /3B + 7C, kde a + (3 + 7 = 1, se nazývá afinní kombinace bodů A, B a C. Lze ukázat, že tato afinní kombinace leží v trojúhelníku ABC, právě když a, /3, 7 e [0,1]. Takovouto afinní kombinaci nazýváme konvexní kombinací tří bodů. Příklad Dokažte, že se těžnice v trojúhelníku ABC protínají v jediném bodě. Střed strany a = BC je afinní kombinace \B+\C. Těžnice na stranu a procházící bodem A a středem strany a má tedy afinní vyjádření 5. přednáška Geometrie v rovině 9/28 Těžnice v trojúhelníku U: (1 -0*+f| lB+±c\=V-t)A+±B+±C. 5. přednáška Geometrie v rovině 10/28 Těžnice v trojúhelníku ta: (1 -t)A+t[ Ib+^-CJ =(1 -t)A+^b+^C. Analogicky těžnice na stranu b = AC je tb: (1 -s)b + s[ \a + \c\ = (1 -S)ß+|>A+|c. Průnik těchto přímek je určen parametry ř a s splňujícími rovnici (1 -řM + |^ + |c = (i -s)e + |/\ + |c. Koeficienty u jednotlivých bodů musí být stejné, neboť afinní kombinace pro daný bod je dána jednoznačně. Dostáváme tedy soustavu: a . S t t S 1 - f = -, - = 1 - s. - = -. 2 2 2 n 2 ^ - 5. přednáška Geometrie v rovině 5 ^) (V 10/28 Těžnice v trojúhelníku - dokončení Její řešení je t = s = 2/3. Průnikem těžnic ta a je bod t = Ia+Ib+Ic. 3 3 3 Nyní stačí ověřit, že tento bod leží i na třetí těžnici tc zadané afinní kombinací {1-r)c+-a+-b. Bod t nazýváme těžištěm trojúhelníku abc. □ s1 5. přednáška Geometrie v rovině Těžnice v trojúhelníku - dokončení Její řešení je ř = s = 2/3. Průnikem těžnic ta a fa je bod r = -/i+-e + -c. 3 3 3 Nyní stačí ověřit, že tento bod leží i na třetí těžnici fa zadané afinní kombinací (1 -r)C+r-A+r-B. Bod T nazýváme těžištěm trojúhelníku ABC. Příklad Určete průnik (průsečík) přímek p : x + 2y = 200 a g : 2x - 9y = 10. • Obě přímky zadané obecnou rovnicí: řešíme soustavu.►► 5. přednáška Geometrie v rovině 11/28 Těžnice v trojúhelníku - dokončení Její řešení je ř = s = 2/3. Průnikem těžnic ta a fa je bod r = -/i+-e + -c. 3 3 3 Nyní stačí ověřit, že tento bod leží i na třetí těžnici fa zadané afinní kombinací (1 -r)C+r-A+r-B. Bod T nazýváme těžištěm trojúhelníku ABC. Příklad Určete průnik (průsečík) přímek p : x + 2y = 200 a g : 2x - 9y = 10. • Obě přímky zadané obecnou rovnicí: řešíme soustavu.►► • Jedna přímka obecně, jedna parametricky : dosadíme. 5. přednáška Geometrie v rovině 11/28 Těžnice v trojúhelníku - dokončení Její řešení je ŕ = s = 2/3. Průnikem těžnic ta a fa je bod r = -/i+-e + -c. 3 3 3 Nyní stačí ověřit, že tento bod leží i na třetí těžnici fa zadané afinní kombinací (1 -r)C+r-A+r-B. Bod T nazýváme těžištěm trojúhelníku ABC. Příklad Určete průnik (průsečík) přímek p : x + 2y = 200 a Q : 2x - 9y = 10. Obě přímky zadané obecnou rovnicí: řešíme soustavu.►► Jedna přímka obecně, jedna parametricky : dosadíme. Obě přímky zadané parametricky : sestaví se soustava a vyřeší. Viz. průnik těžnic. 5. přednáška Geometrie v rovině 11/28 Průsečík přímek — obecná diskuse a Musí průsečík existovat? 5. přednáška Geometrie v rovině 12/28 Průsečík přímek — obecná diskuse a Musí průsečík existovat? (Ne, přímky mohou být rovnoběžné.) 5. přednáška Geometrie v rovině 12/28 Průsečík přímek — obecná diskuse a Musí průsečík existovat? (Ne, přímky mohou být rovnoběžné.) ax + by = r cx + dy = s. 5. přednáška Geometrie v rovině 12/28 Průsečík přímek — obecná diskuse a Musí průsečík existovat? (Ne, přímky mohou být rovnoběžné.) Ekvivalentně: ax + by = r cx + dy = s. a b c d x y r s 5. přednáška Geometrie v rovině 12/28 Průsečík přímek — obecná diskuse a Musí průsečík existovat? (Ne, přímky mohou být rovnoběžné.) ax + by = r cx + dy = s. Ekvivalentně: a b c d x y r s Eliminací x dostaneme rovnici (ad - bc)y = as - cr, tj. záleží, zda ad - bc = 0. ►► 5. přednáška Geometrie v rovině 12/28 Průsečík přímek — obecná diskuse a Musí průsečík existovat? (Ne, přímky mohou být rovnoběžné.) ax + by = r cx + dy = s. Ekvivalentně: a b c d x y r s Eliminací x dostaneme rovnici (ad - bc)y = as - cr, tj. záleží, zda ad - bc = 0. ►► Definice Pro matici | ( a b \ 1 nazýváme hodnotu ad - bc determinant. 5. přednáška Geometrie v rovině 12/28 Skalární součin vektorů (Eukleidovská geometrie) Definice Pro dvojici vektorů u = (a, b) a v = (c, oř) definujeme L/, v) = ac + ĎGř, tzv. skalární součin vektoru. Definice Velikost vektoru u = (a, ď) je ||l/|| = ^{u, u) = Va2 + b2. 5. přednáška Geometrie v rovině 13/28 Skalární součin vektorů (Eukleidovská geometrie) Definice Pro dvojici vektorů u = (a, b) a v = (c, oř) definujeme L/, v) = ac + ĎGř, tzv. skalární součin vektoru. Definice Velikost vektoru u = (a, £>) je = ^{u, u) = Va2 + £>2. Pomocí skalárního součinu můžeme počítat odchylky vektorů. Jestliže jsou vektory u = (a,b)av = (c, oř) na sebe kolmé, pak podle Pythagorovy věty je \\u+ v\\2 = ||l/||2 + \\v\\2. Výpočtem podle definice dostáném ac + bd = 0, tedy (u, v) = 0. ►► 5. přednáška Geometrie v rovině 13/28 Odchylky vektorů a přímek • Vektory u a v jsou kolmé, právě když (u, v) = 0. Píšeme u _L v. • Příklad: směrový vektor přímky ax + by + c = 0 je (-£>, a), normálový (a, £>). ►► • Pro dvojici vektorů 1/ a v se jejich odchylka spočítá pomocí vztahu COSa = —---—, ae[037r]. v 5. přednáška Geometrie v rovině 14/28 Odchylky vektorů a přímek • Vektory u a v jsou kolmé, právě když (u, v) = 0. Píšeme u J_ v. 9 Příklad: směrový vektor přímky ax + by + c = 0 je (-£>, a), normálový (a, £>). ►► • Pro dvojici vektorů u a v se jejich odchylka spočítá pomocí vztahu (u, v] COS a = U v a £ [0,7ľ] . • Rozlišujeme odchylku vektorů a přímek. Pro přímky: cos a = {u, v) u • a G [0,tt/2] . "Zdůvodnění": Odchylka vektorů u = (rcosa, rs\r\a) a v = (c, 0) je evidentně a, což odpovídá vzorci se skalárním součinem, neboť u, v) = rcosa • c + rs\r\a • 0 = l/ v cos a. 5. přednáška Geometrie v rovině 14/28 Mějme uspořádanou dvojici nenulových vektorů (~Ů,~Č), kde jeden není násobkem druhého. Řekneme, že tato dvojice je a orientovaná kladně, jestliže jejich odchylka a měřená od prvního vektoru k druhému proti směru hodinových ručiček je v intervalu (0,7r), ►► • orientovaná záporně, jestliže jejich odchylka a měřená od prvního vektoru k druhému proti směru hodinových ručiček je v intervalu (71-, 2tt). ►► Orientace Mějme uspořádanou dvojici nenulových vektorů (~Ů,~Č), kde jeden není násobkem druhého. Řekneme, že tato dvojice je a orientovaná kladně, jestliže jejich odchylka a měřená od prvního vektoru k druhému proti směru hodinových ručiček je v intervalu (0,7r), ►► • orientovaná záporně, jestliže jejich odchylka a měřená od prvního vektoru k druhému proti směru hodinových ručiček je v intervalu (71-, 2tt). ►► Lze ukázat, že orientaci lze počítat pomocí determinantu takto: Jsou-li ~Ú = (a, b) a V = (c, oř), pak dvojice (Ů, V) je • orientována kladně, právě když a c b d orientována záporně, právě když f 0 ) = ad - bc < 0. ►► b d J det = ad - bo 0. det 5. přednáška Geometrie v rovině 15/28 Orientovaný obsah rovnoběžníku Uvažujme rovnoběžník s vrcholy P, P + ~Ú, P + V a P + ~Ú + V. Obsah tohoto rovnoběžníku závisí pouze na vektorech nikoliv na bodu P. Zavedeme pojem orientovaného obsahu rovnoběžníku zadaného uspořádanou dvojicí vektorů (Ů, V), označení S(Ů, V). Naše představa je že S(7t,V)je • 0, jestliže rovnoběžník zdegeneruje na úsečku, • obsah rovnoběžníku, je-li dvojice (Ů, V) orientována kladně, • obsah rovnoběžníku vynásobený číslem -1, je-li dvojice (Ů\ V) orientována záporně. □ - = 5. přednáška Geometrie v rovině 16/28 Orientovaný obsah rovnoběžníku Uvažujme rovnoběžník s vrcholy P, P + ~Ú, P + V a P + ~Ú + V. Obsah tohoto rovnoběžníku závisí pouze na vektorech nikoliv na bodu P. Zavedeme pojem orientovaného obsahu rovnoběžníku zadaného uspořádanou dvojicí vektorů (Ů, V), označení S(Ů, V). Naše představa je, že S(7t,V)je • 0, jestliže rovnoběžník zdegeneruje na úsečku, • obsah rovnoběžníku, je-li dvojice (Ů, V) orientována kladně, • obsah rovnoběžníku vynásobený číslem -1, je-li dvojice (Ů\ V) orientována záporně. Pak S(7t, V) splňuje tato pravidla: 1) S((1,0),(0,1)) = 1, ►► 2) S(7t,V) = -S(V,7t), ►► 3) S(aŮ, V) = aS(7t, V) a S(7t,aV) = aS(7t, V), ►► 4) S^ + ^^^S^^ + S^^).^^^^^^^^ 5. přednáška Geometrie v rovině 16/28 Determinant jako orientovaný obsah Orientovaný obsah rovnoběžníku určeného uspořádanou dvojicí vektorů ~Ú = (a, b) a V = (c, d) je S(7ŕ, V) = det( * a c = ad - óc. 5. přednáška Geometrie v rovině 17/28 Determinant jako orientovaný obsah Orientovaný obsah rovnoběžníku určeného uspořádanou dvojicí vektorů ~Ú = (a, b) a V = (c, d) je S(7ŕ, V) = det( * a c = ad - óc. Označme éí =(1,0)ae2 = (0,1). Pak ~Ú = aě\ + be2 a V = cěí + c/ě^. Při využívání pravidel 1) až 4) dostáváme =S(aéí + be2, cěí + c/ě^) =aS(e1, cěí + cřé£) + bS(e2, cě\ + de2) =acS(éí, éí) + adS(ě\, é£) + bcS(e2, é\) + bdS(e2, e2) =adS(e\, á£) - bcS(ěí ,e2) = ad - bc 5. přednáška Geometrie v rovině 17/28 Obsah rovnoběžníku zadaného vektory u a v je S= det a c b d Příklad Mějme body A = [1,1], B = [7,2], C = [5,5]. Určete obsah A ABC. Obsah AABC\e tedy X\S(ÄŠ,Äé)\ = Í|det 6 1 4 4 = 10. 5. přednáška Geometrie v rovině 18/28 Orientace a viditelnost Pro přímku p a bod X nám orientace(znaménko determinant) poskytuje nástroj, jak rozhodnout, v které polorovině určené přímkou p se bod X nalézá. ►► 5. přednáška Geometrie v rovině 19/28 Orientace a viditelnost Pro přímku p a bod X nám orientace(znaménko determinant) poskytuje nástroj, jak rozhodnout, v které polorovině určené přímkou p se bod X nalézá. ►► Nechť p je orientovaná směrovým vektorem ÄŠ. Vektory a AX dáme do sloupců matice. Pokud je determinant kladný, je bod X „nalevo od vektoru" ÄŠ. Pokud je determinant záporný je bod „napravo". Pozn.: Nezáleží zda do řádků nebo sloupců. Důležité je pořadí vektorů. 5. přednáška Geometrie v rovině 19/28 Orientace a viditelnost Pro přímku p a bod X nám orientace(znaménko determinant) poskytuje nástroj, jak rozhodnout, v které polorovině určené přímkou p se bod X nalézá. ►► Nechť p je orientovaná směrovým vektorem ÄŠ. Vektory a AX dáme do sloupců matice. Pokud je determinant kladný, je bod X „nalevo od vektoru" ÄŠ. Pokud je determinant záporný je bod „napravo". Pozn.: Nezáleží zda do řádků nebo sloupců. Důležité je pořadí vektorů. Příklad Jsou dány následující body: A = [10, -4], B = [18,6], C= [25,18], P= [14,14] a R = [15,3]. Rozhodněte, které strany a vrcholy AABC jsou vidět z bodu P. Rozhodněte, zda je bod R uvnitř AABC. <£2><^>4 = ><= ^Q^O 5. přednáška Geometrie v rovině 19/28 Viditelnost - příklad Příklad A = [10,-4], B = [18,6], C = [25,18], f? = [15,3]. • Z obrázku (nebo zadání) určíme v jakém pořadí jsou vrcholy označeny. (Pozn. když to není zřejmé z obrázku musíme použít determinant.) 5. přednáška Geometrie v rovině 20/28 Viditelnost - příklad Příklad A= [10,-4], B= [18,6], C = [25,18], R= [15,3]. • Z obrázku (nebo zadání) určíme v jakém pořadí jsou vrcholy označeny. (Pozn. když to není zřejmé z obrázku musíme použít determinant.) • Zde A~é = B-A= (8,10), A~6 = C - A = (15,22), deti 10 22 = 8-22-10-15>0. 5. přednáška Geometrie v rovině 20/28 Viditelnost - příklad Příklad A= [10,-4], B= [18,6], C = [25,18], R= [15,3]. Z obrázku (nebo zadání) určíme v jakém pořadí jsou vrcholy označeny. (Pozn. když to není zřejmé z obrázku, musíme použít determinant.) Zde ÄÉ = B-A = (8,10), ÄÔ = C - A = (15,22), det(^ ^ 22 ) =8'22- 10 '15 > °- Bod C je nalevo od polopřímky AB. Pořadí vrcholů - kladný směr. 5. přednáška Geometrie v rovině 20/28 Viditelnost - příklad Příklad A= [10,-4], B= [18,6], C = [25,18], R= [15,3]. Z obrázku (nebo zadání) určíme v jakém pořadí jsou vrcholy označeny. (Pozn. když to není zřejmé z obrázku, musíme použít determinant.) Zde ÄÉ = B-A = (8,10), ÄÔ = C - A = (15,22), det(^ ^ 22 ) =8'22- 10 '15 > °- Bod C je nalevo od polopřímky AB. Pořadí vrcholů - kladný směr. Určíme ÄŠ = B - A = (8,10), ÄŔ = R - A = (5,7), deti g ^ ) =8-7 - 10-5 > 0. 5. přednáška Geometrie v rovině 20/28 Viditelnost - příklad Příklad A= [10,-4], B= [18,6], C = [25,18], R= [15,3]. det = 8-22-10-15>0. Z obrázku (nebo zadání) určíme v jakém pořadí jsou vrcholy označeny. (Pozn. když to není zřejmé z obrázku musíme použít determinant.) Zde A~Ř = B-A= (8,10), ÄÔ = C - A = (15,22), 8 15 10 22 Bod C je nalevo od polopřímky AB. Pořadí vrcholů - kladný směr. Určíme ďŽ= B-A = (8,10), ÄŔ = R-A= (5,7), detí^ * J = 8-7-10-5>0. Bod R je nalevo od polopřímky AB. 5. přednáška Geometrie v rovině 20/28 Viditelnost - příklad - dokončení Příklad a= [10,-4], b= [18,6], c = [25,18], r= [15,3]. Dále b6= c- b= (7,12), bř = r- b= (-3,-3) deř(l2 -3 ) =7-(-3)-12-(-3)>°-Bod r je nalevo od polopřímky bc. 5. přednáška Geometrie v rovině 21/28 Viditelnost - příklad - dokončení Příklad A = [10,-4], B= [18,6], C = [25,18], R = [15,3]. • Dále Bé=C-B = (7^2),BŘ=R-B= (-3, -3), det( 12 -3 ) =7-(-3)-12-(-3)>0. Bod R je nalevo od polopřímky BC. Konečně CA = A - C = (-15, -22), C~ň= R-C = (-10,-15), ŕfeŕŕ~22 Iis ) = 15 '15-22-10 > °-Bod R je nalevo od polopřímky CA. s1 5. přednáška Geometrie v rovině 21/28 Viditelnost - příklad - dokončení Příklad a= [10,-4], b= [18,6], c = [25,18], r = [15,3]. Dále b6= c- b= (7,12), bř = r- b= (-3,-3) deř(l2 -3 ) =7-(-3)-12-(-3)>°-Bod r je nalevo od polopřímky bc. det = 15 • 15 - 22 • 10 > 0. Konečně CA = A - C = (-15, -22) C~ň= r-C= (-10,-15), -15 -10 -22 -15 Bod r je nalevo od polopřímky CA. • Závěr: bod r je vnitř AABC. • Viditelnost z bodu P - stejný postup. 5. přednáška Geometrie v rovině 21/28 Zobrazení roviny Zkoumáme zobrazení F : R2 -> R2 • Posunutí-jednoduché, přičítáme vektor w F(X) = X+v$. 9 Předokládejme v dalším, že F([0,0]) = [0,0] a bod X reprezentujme vektorem u, X = [0,0] + u. 5. přednáška Geometrie v rovině 22/28 Zobrazení roviny Zkoumáme zobrazení F : R2 R2. • Posunutí-jednoduché, přičítáme vektor 1/1/, F(X) = X + i/Č. • Předokládejme v dalším, že F([0,0]) = [0,0] a bod X reprezentujme vektorem ~Ú, X = [0,0] + ~D\ • Základní vlastnost (lineární zobrazení): F (u +v) = F (u) + F (v), F{t - u) = t • F (u), pro lib. ř e M. 5. přednáška Geometrie v rovině 22/28 Zobrazení roviny Zkoumáme zobrazení F : R2 R2. • Posunutí-jednoduché, přičítáme vektor w F(X) = X+v$. 9 Předokládejme v dalším, že F([0,0]) = [0,0] a bod X reprezentujme vektorem u, X = [0,0] + u. • Základní vlastnost (lineární zobrazení): F(u + v) = F(u) + F (v), F(t-u) = t- F(u), pro lib. ř e R. x y ) = F(xě\ + ye2) = xF(ě\ )+yF(e2). Pokud F(e1) = a-\ě\ + a2e2,F(e2) = b-\ě\ + b2e2 potom x \)= í aix + ^y \ = ( ai bi \ . í x y ' l a2x + b2y \ a2 b2 ) ' \ y 5. přednáška Geometrie v rovině 22/28 Zobrazení roviny Zkoumáme zobrazení F : R2 R2. • Posunutí-jednoduché, přičítáme vektor w F(X) = X+v$. 9 Předokládejme v dalším, že F([0,0]) = [0,0] a bod X reprezentujme vektorem u, X = [0,0] + u. • Základní vlastnost (lineární zobrazení): F(u + v) = F(u) + F (v), F(t-u) = t- F(u), pro lib. ř e R. x y ) = F(xě\ + ye2) = xF(ě\ )+yF(e2). Pokud F(e1) = a-\ě\ + a2e2,F(e2) = b-\ě\ + b2e2 potom x \) = ( aix + biy \ = ( ai b^\.(x y )' \ a2x + b2y ) \ a2 b2 ) ' \ y Pozor linearita ještě neznamená podobnost. 5. přednáška Geometrie v rovině 22/28 Lineární zobrazení a shodnosti x y ) = a x y kde a e Mafe^W- 5. přednáška Geometrie v rovině 23/28 Lineární zobrazení a shodnosti F((y )) = A\y )'kde^MaÍ2'2(R)- Sloupce A jsou F( ^ ^ ^) a F( ^ ^ ^), což pomáhá, když chceme matici /A určit. 5. přednáška Geometrie v rovině 23/28 Lineární zobrazení a shodnosti x y ) = a X y kde a g Mař2,2(K)- • Sloupce a jsou F( ( J )) a F( ( ° ) )> což pomáhá, když chceme matici >A určit. • Skládání lineárních zobrazení odpovídá násobení příslušných matic. Příklad Napište formuli pro otočení o úhel a kolem počátku._J Podíváme se, kam se při tomto otočení zobrazí vektory (1,0) a (0,1). ►► 5. přednáška Geometrie v rovině 23/28 Lineární zobrazení a shodnosti x y ) = a X y kde a g Mař2,2(K)- • Sloupce a jsou F( ( J )) a F( ( ° ) )> což pomáhá, když chceme matici >A určit. • Skládání lineárních zobrazení odpovídá násobení příslušných matic. Příklad Napište formuli pro otočení o úhel a kolem počátku._J Podíváme se, kam se při tomto otočení zobrazí vektory (1,0) a (0,1). ►► x F<(; i)= COS a -Sina \ / X sin a COS a J \ y 5. přednáška Geometrie v rovině 23/28 Shodná zobrazení Příklad Je dán pravidelný šestiúhelník se středem v bodě [2,2] a jedním vrcholem v bodě [3,3]. Napište souřadnice vrcholů. 5. přednáška Geometrie v rovině 24/28 Shodná zobrazení Příklad Je dán pravidelný šestiúhelník se středem v bodě [2,2] a jedním vrcholem v bodě [3,3]. Napište souřadnice vrcholů. x Fd y » = a b c d x y 5. přednáška Geometrie v rovině 24/28 Shodná zobrazení Příklad Je dán pravidelný šestiúhelník se středem v bodě [2,2] a jedním vrcholem v bodě [3,3]. Napište souřadnice vrcholů. X y ) = a b c d x y Platí a2 + c2 = 1, b2 + d2 = 1, ab + cd = 0. Odtud d2 = a2 a b2 - c2. 5. přednáška Geometrie v rovině 24/28 Shodná zobrazení-dokončení Matici shodného zobrazení lze psát tedy ve tvaru a -c nebo c -a kde a2 + c2 = 1. □ S 5. přednáška Geometrie v rovině 25/28 Shodná zobrazení-dokončení Matici shodného zobrazení lze psát tedy ve tvaru a -c c a nebo a c c -a kde a2 + c2 = 1. Pro taková a a c existuje právě jeden úhel a e [0, 2tt], že a = cos a a c = sin a. Matice pak jsou cos a — sin a Sin a COS a nebo cos a sin a Sin a — COS a Jedná se o rotaci kolem přímky procházející počátkem se směrnicí a nebo osovou souměrnost podle přímky procházející počátkem se směrnicí a/2. ►► 5. přednáška Geometrie v rovině 25/28 Shrnutí, požadavky • Příklady s přímkami — průsečíky, úlohy s časem • Velikosti úseček a úhlů. • Obsahy n-úhelníků. a Úlohy s aplikacemi shodných zobrazení. (Např. pravidelné n-úhelníky.) • Úlohy na viditelnost. (Včetně polohy bodu vně/uvnitř.) 13 5. přednáška Geometrie v rovině 26/28 Domácí úloha Příklad (1.1) V rovině IR2 uvažujeme pravidelný dvanáctiúhelník A^A2.. ./A12 který je vepsán do kružnice s poloměrem 2, se středem S = [0,0] v počátku a vrcholem >A1 = [2,0]. Přitom vrcholy dvanáctiúhelníku A^A2 .. ./A12 jsou číslovány v kladném směru, tj. vrchol A2 má obě souřadnice kladné. ) Určete souřadnice vrcholu A2. ) Určete obsah dvanáctiúhelníku A^A2.. ./412. Ni) Určete obsah trojúhelníku A2A5AQ. iv) Určete velikost úhlu, který svírají úhlopříčky A2A$ a A2AQ. v) Určete průsečík přímek A2A9 a A^A7. 5. přednáška Geometrie v rovině 27/28 Domácí úloha Příklad (1.2) V rovině jsou dány body 4 = [1,2], B= [3,9], C = [2,13], D = [0,10], E = [5,-1] a F= [3,1]. Určete, zdaje resp. ABEF, konvexní čtyřúhelník. Určete, zda bod X = [2,7] resp. / = [4,15] leží uvnitř nebo vně tohoto čtyřúhelníku a rozhodněte, které strany konvexního čtyřúhelníku jsou vidět z bodu, který je vně. Příklad (1.3) Máme kulečníkový stůl o rozměrech 200 x 100, tj. „levý dolní roh" má souřadnice [0,0] a „pravý horní roh" má souřadnice [200,100]. Ze středu [100,50] vyšlu kouli do bodu [160,100]. Do kterého bodu (po dvou odrazech) dopadne koule na „spodní hraně"? i 5. přednáška Geometrie v rovině 28/28