MB141 -2. přednáška Soustavy lineárních rovnic a počítání s maticemi Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2020 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 1/17 Osnova přednášky • Soustavy lineárních rovnic • Gaussova eliminace • Operace s maticemi 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 2/17 Soustava lineárních rovnic Naším cílem bude řešit soustavy lineárních rovnic. Pro zadaná čísla a,y a b\ hledáme čísla x1, x2,..., xn, která splňují rovnice a^xA + a12x2 + c*21 X-\ + č*22 X2 + + &\ n*n S2nxn b2 3/c1*1 + a/c2^2 + + ^knxn = Ď/c To je soustava /c lineárních rovnic o n neznámých x-| , x2, . . . , x/7. • Říkáme, že dvě soustavy jsou ekvivalentní, jestliže mají stejnou množinu řešení. • Postup řešení - přechod od zadané soustavy k ekvivalentní soustavě, kterou již umíme vyřešit. • Provádíme pomocí tzv. elementárních úprav. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 3/17 Elementární úpravy jsou • záměna pořadí dvou rovnic, • vynásobení rovnice nenulovým číslem, • k dané rovnici přičteme c-násobek jiné rovnice. K provádění těchto úprav nemusíme psát rovnice. Stačí, když budeme zaznamenávat koeficienty u neznámých a koeficienty pravé strany. K tomu použijeme tzv. rozšířenou matici soustavy. ( &w a-i 2 321 ^22 32n (A\b) Její levá část, matice A, se nazývá matice soustavy. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 4/17 Elementární řádkové operace Elementárním úpravám soustavy rovnic pak odpovídají následující elementární řádkové operace s rozšířenou maticí soustavy. • záměna dvou řádků matice, • vynásobení řádku nenulovým číslem, • k danému řádku přičteme c-násobek jiného řádku. Které soustavy lze jednoduše vyřešit? jsou to ty, jejichž rozšířená matice soustavy je v tzv. schodovitém tvaru. Příkladem je následující matice 2 2 -2 1 1 3 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 2 1 popisující soustavu o neznámých x1, x2, x3, x4, x5. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 5/17 Příklad soustavy s maticí schodovitého tvaru 2 2-21 1 0 0 12 1 0 0 0 1 2 V třetí rovnici zvolíme x5 za parametr a spočítáme x4: *5 = P, *4 = 1 - 2p. Z druhé rovnice spočítáme x3 = -p-2(1 -2p) = 3p-2. V prvé rovnici zvolíme x2 za parametr a spočítáme X| : *2 = s, x! = ±(3-2s + 2(3p-2)-(1-2p)-p) = JLd 2V~ 1 _/ v "'^ 2 Řešením příslušné sosutavy jsou tedy všechny pětice -p - s - 1,s,3p - 2,1 - 2p,p , kde p,seR. = —d — s — 1 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 6/17 Schodovitý tvar matice První nenulové číslo v řádku matice se nazývý pivot nebo také vedoucí koeficient toho to řádku. Matice A = (a,y) je ve schodovitém tvaru, jestliže: • Její nulové řádky, pokud nějaké má, jsou dole. • Je-li a,y pivot Mého řádku, pak (/ + 1 )-ní řádek je buď nulový nebo jeho pivot a/+1?p je vpravo od a,y, tj. p > y. Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá takto /0...0 a-ij a-ij+1 ... a^/c-1 a^^ ......... ai,™\ 0 ... 0 0 0 ... 0 ......... C?2,A77 0...0 0 0 ... 0 0 ... c?3,p • • • ^3,A7? ■ ■ ■ V : : J a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 7/17 Algoritmus - Gaussova eliminace Nenulovou matici s prvky v R nebo Q lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na schodovitý tvar. (1) Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to y-tý sloupec. (2) Pro / = 2,..vynásobením prvního řádku prvkem a,y, Mého řádku prvkem a1y- a odečtením vynulujeme prvek a,y na Mém řádku. (3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. (4) Ze schodovitého tvaru vidíme, zda je soustava řešitelná. Pokud ano, umíme popsat množinu všech řešení. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 8/17 Gaussova eliminace na příkladě Příklad_ Vyřešte soustavu lineární ch rovnic 2xi + + - xA = -2 3x-\ + 2x2 + 4x3 - - 2x4 = 0 X1 - x2 + 4x3 - - xA = 2 Matici soustavy upravíme pomocí Gaussovy eliminace na schodovitý tvar: ►► 2 3 0 -1 -2 3 2 4 -2 0 1 -1 4 -1 2 Odtud dostaneme řešení 4 [X1,X2,X3,X4] = r^j • • • r\j 12 5 5 2. přednáška 1 -1 4 - ■1 2 0 5 -8 1 -6 0 0 0 0 0 6 8 1 Ä + 5 11* <7: P 4 5 Soustavy lin. rovnic 9/17 Ještě jednou s jinou pravou stranou Příklad Vyřešte soustavu lineárních rovnic 2xi + 3x2 + = 1 3*i + 2x2 + 4x3 - 2x4 = 0 *1 - x2 + 4x3 = 2 Matici soustavy upravíme stejnými úpravami jako v předchozím případě na schodovitý tvar: 2 3 0 -1 1 3 2 4 -2 0 1 -1 4 -1 2 1 -1 4 -1 2 0 5 -8 1 -6 0 0 0 0 3 Poslední řádek vede na rovnici 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 3, která evidentně nemá řešení. Tedy ani původní soustava nemá řešení (množina řešení je prázdná). 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 10/17 Další příklad Příklad _ Vyřešte soustavu lineárních rovnic. / 2 4 1 5 -1 1 \ 12 0 2 0 0 12 0 3 1 2 V 2 4 2 5 -3 o ) Řešení [-4,0,-1,2,0] + f(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2,-1,1). Množina řešení soustavy (nad nekonečným polem K) je: jednoprvková, prázdná nebo nekonečná. Pro homogenní soustavy (pravé strany nulové) je množina řešení jednoprvková nebo nekonečná. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 11/17 Operace s maticemi Dvě matice A = (Ay) a 6 = (S,y) stejného tvaru k x n, tj. /c řádků a n sloupců, lze sčítat. Výsledná matice A + B má v Mém řádku a y-tém, sloupci číslo ►► {A + B)jj = Ajj + Bjj. Matici /A = (Ay) tvaru k x n můžeme násobit číslem c. Výsledkem této operace je opět matice k x n, kterou označujeme c/lav jejímž Mém řádku a y-tém sloupci je ►► {cA)ij = cAJ. Jestliže prvky matic bereme z množiny přirozených čísel Z nebo racionálních čísel Q nebo reálných čísel IR, má sčítání matic a násobení matic číslem stejně "hezké'Vlastnosti jako sčítání nebo násobení v Z, resp. Q, resp. R. ►► 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 12/17 Násobení matic Začneme speciálním případem. Součinem matic (BA A={Ai A2 ... Ap) a B = 82 • • • \BPJ tj. řádku velikosti p a slouce velikosti p, je matice 1 x 1, tj. číslo /A • 6 = /A161 + A2B2 H-----h ApBp. Součinem matice A tvaru /expa matice 6 tvaru p x n je matice A • S tvaru k x n taková, že její prvek Mém řádku a y-tém sloupci je součinem Mého řádku matice A a y-tého řádku matice 6, tj. číslo p (/l • B)ij = Ai Siy + Ai2B2j + -" + AjpBpj = ^ As£sy. s=1 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 13/17 Příklady Soustavu lineárních rovnic + a12x2 + a13x3 = c*21*1 + ^22 x2 + &23x3 — napíšeme pomocí maticového násobení takto: b2 au ^21 ai2 a22 ^13 ^23 61 ^2 Zobrazení roviny do roviny zadané v souřadnicích předpisem F x cos a • x - sin a • y sin a • x + cos a • y zapíšeme pomocí maticového násobení takto F y cos a sin a Sin a cos a y 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 14/17 Další příklady Násobíme-li matici/A tvaru k x n sloupcem velikosti n, který má všude 0, jenom na y-tém místě má 1, je výsledkem násobení y-tý sloupec matice A. au ^12 a-i3 ^21 ^22 ^23 Násobíme-li matici A tvaru k x n řádkem velikosti /c, který má všude 0, jenom na Mém místě má 1, je výsledkem násobení Mý sloupec matice A. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 15/17 Jednotková matice Jednotková matice je čtvercová matice n x n, která má na hlavní diagonále samé 1, jinak samé 0. Budeme ji značit písmenem E, někdy s indexem En, který udává její rozměr. Z předchozího plyne, že pro každou matici A tvaru k x n platí Ek • A = A, A - En = A. Transponovaná matice k matici A tvaru k x n je matice AT tvaru n x /c, taková, že = B Bjj — Ajj. Příklad: 2 -7 4 -11 8 1 -9-3 T í 2 -7 1 4 -9 V -11 -3/ Symetrická matice je čtvercová matice taková, že AT = A. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 16/17 Domácí úloha Příklad (2.1) Nalezněte všechny symetrické matice A (to jsou takové, že Ay = Ají) rozměru 3 x 3 s jedničkami na diagonále, pro které platí (1,1,1) A = (1,2,3). Příklad (2.2) Řešte následující soustavu lineárních rovnic v IR, kde x1, x2, x3 jsou neznámé a a a Ď jsou parametry. Tzn. určete, pro které hodnoty a, Ď g IR má soustava řešení, a pro tato a, b popište množinu všech řešení dané soustavy. 2x-| +3x2 +ax3 = 1 3^ +2x2 +bx3 = -1 x-i +2x2 = 1 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 17/17