MB141 -3. přednáška Inverzní matice a determinanty Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2020 3. přednáška Inverzní matice a determinanty Osnova přednášky • Inverzní matice a jejich výpočet • Determinant matice - motivace • Základní pravidla pro výpočet 9 Cauchyova věta • Výpočet determinantu pomoci Laplaceova rozvoje • Použití k výpočtu řešení soustavy - Cramerovo pravidlo 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 2/19 Inverzní matice Připomeňme, že písmenem E označujeme jednotkovou matici. Definice Říkáme, že B je matice inverzní ke čtvercové matici A, když A • B = B • A = E. Taková matice je určena jednoznačně, a proto píšeme B = /4~1, přičemž B je čtvercová matice stejného rozměru jako A. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice. Pokud řešíme soustavu A • x = b s invertibilní maticí A, pak x = >A~1 • b je jediné řešení soustavy. Postup výpočtu inverzní matice: snažme se určit matici X splňující A • X = E postupně po sloupcích. Je-li A matice 3x3 a sloupce matice X jsou postupně x, y a z, řešíme rovnice Ax= I Oj , = M j , Az= (o 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 3/19 Výpočet inverzní matice Tyto tři soustavy mají stejnou pravou stranu a my je můžeme řešit současně tak, že elementárními řádkovými operacemi upravujeme na schodovitý tvar matici A 1 0 0 0 1 0 | ={A\E) 0 0 1 (C|D) kde matice C je ve schodovitém tvaru. Mohou nastat tyto dvě možnosti: O Její poslední řádek je nulový, pak jedna ze tří rovnic není řešitelná a inverzní matice neexistuje. Matice C má v každém řádku pivota. Ty leží na úhlopříčce. Tedy s maticí (C|D) můžeme provádět tzv. zpětnou Gaussovu eliminaci, tj. elementárními řádkovými operacemi postupně vytvářet nuly nad pivoty matice C. 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 4/19 Výpočet - pokračování Tímto postupem dostaneme na místě matice C jednotkovou matici, na místě matice D budou sloupce inverzní matice, tedy /A~1. (A\E)----- (C\D) Ukažme si to na příkladu: 2 3 5 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 / 1 0 0 0 1 o V 0 0 1 5 9 2 9 1 9 1 9 4 9 2 9 -1 (E\A->) 1 2 -1 0 1 0 0 -1 7 1 -2 0 0 0 9 1 -2 1 5 13 \ 9 9 9 \ 7 9 11 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 5/19 Inverzní matice - algoritmus Algoritmus pro nalezení inverzní matice O Vedie sebe napíšeme původní matici A a jednotkovou matici E. Q Matici A upravujeme řádkovými elementárními úpravami nejprve na schodovitý tvar. O Následně zpětnou eliminací na jednotkovou matici E. Q Tytéž úpravy souběžně prováděné s vedle napsanou maticí E vedou k hledané inverzní matici /4~1. Q Pokud tento algoritmus narazí na vynulování celého řádku v původní matici, znamená to, že matice inverzní neexistuje. 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 6/19 Determinant čtvercové matice Čtvercové matici A = ^21 ^22 jsme přiřadili číslo |/A| = ana22 - a12a2i, které jsme nazvali determinantem matice A Jeho geometrický význam byl orientovaný obsah rovnoběžníku určeného vektory (a-n, a2i) a (a-i2, a22)- Determinant budeme definovat pro každou čtvercovou matici. Neuděláme to ale přímým předpisem (i když to je možné), ale nepřímo tak, že vyčíslíme jeho vlastnosti. Výhodou tohoto postupu je, že nám dává přímý návod k výpočtu determinantu, zatímco z přímé definice determinant většinou nepočítáme Geometrický význam determinantu matice A tvaru n x n bude orientovaný objem rovnoběžnostěnu v n-rozměrném prostoru určeného vektory sloupců (nebo řádků) matice A. ►► 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 7/19 Determinant - základní pravidla Definice Každé čtvercové matici A tvaru n x n lze jednoznačně přiřadit číslo \A\, determinant matice A, který splňuje následující pravidla: 1 4 5 Vznikne-li matice B přehozením dvou řádků matice A, pak B A Vznikne-li matice B vynásobením některého řádku matice A číslem c, pak \ B\ = c • \A\. Vznikne-li matice B z matice A přičtením násobku některého řádku k jinému řádku, pak \ B\ = \A . Determinant jednotkové matice je \E\ = 1. Determinant transponované matice je \AT\ = \A 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 8/19 Odvozená pravidla Z předchozích pravidel lze odvodit další: 6) Pravidla 1), 2) a 3) platí rovněž pro sloupcové úpravy. 7) Determinant čtvercové matice ve schodovitém tvaru (tzv. horní trojúhelníkové matice) je roven součinu čísel na úhlopříčce matice. ►► 8) Determinant matice, která obsahuje nulový řádek nebo sloupec, je roven 0. ►► 9) Je-li A matice tvaru k x /c, B matice tvaru (n - k) x (n - k), C matice tvaru k x (n - k) a O nulová matice tvaru (n - k) x k, pak determinant matice n x n\e ►► A C 0 B A • B Výpočet determinantu provádíme pomocí Gaussovy eliminace. 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 9/19 Determinant - příklad výpočtu Příklad Určete determinant matice A = 2 3 5 1 2 -1 0 1 2 Výsledek: A = 9. Příklad 1 Určete determinant matice B = /1 0 0 3 0 5 \7 0 0 2 \ 4 0 6 0 0 8/ Výsledek: |fí| = 12. 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 10/19 Cauchyova věta Věta (Cauchyova) Pro libovolné dve čtvercové matice A a B stejné velikosti platí A B = A • B Důsledek: Determinant invertibilní matice je nenulový a platí A -1 A ~1. Platí i obrácené tvrzení. Pro čtvercovou matici A je ekvivalentní: • \A\rO, • existuje A~\ • Pro každou pravou stranu b má soustava A- x = b jediné řešení. 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 11/19 Laplaceův rozvoj determinantu Buď A = (a,y) čtvercová matice řádu n > 1. Pro zvolené indexy /,/ označme Ay čtvercovou matici velikosti n - 1, která vznikne z A vynecháním Mého řádku a y-tého sloupce. Pak číslo ^■ = (-i)/+MA,l nazýváme algebraický doplněk prvku a» v matici /A. Věta (Laplaceův rozvoj) Buď A = (a,y) črvercová matice řádu n > 1. Pa/( pro libovolný /nořex / p/atf 4 = ayi Ai + + • • • + a/jA, n = z2 aiJAiJ • 7=1 Hovoříme o rozvoji podle Mého řádku. 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 12/19 Laplaceův rozvoj - příklad Příklad Určete determinant matice B = í 1 0 0 V 7 0 o 3 4 5 6 0 0 2\ 0 0 8/ I B| = 1 ■(-!) 1+1 3 4 0 5 6 0 0 0 8 + 2-(-1) 1+4 = 8- 3 4 5 6 Všiměme si, že -2-7 3 4 5 6 = (8-14) 3 4 5 6 0 3 4 0 5 6 7 0 0 = (_6) -(-2) = 12 B CM 3 4 7 8 • 5 6 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 13/19 Determinant matice 3x3 Proveďme Laplaceův rozvoj obecné matice 3x3 podle 1. řádku a21 &22 523 331 a32 533 Dostaneme A a-n (^22^33 - 523332) - 3-12(221 a33 _ ^23331 ) + 3-|3(a2i 332 - 322331 311 322333 + B^2^23^ + 313^21 332 — 3-13522331 — 3i 2 521 533 — &\\&22>äZ2' Pozor, pro větší rozměr nelze počítat takto „úhlopříčně". Ani případy n = 2 a n = 3 nejsou aplikací stejného „úhlopříčného principu". 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 14/19 Cramerovo pravidlo Řešíme rovnici Ax = £>, kde A je čtvercová matice, \A\ ^ 0. • \A\ ^ 0 implikuje jednoznačnost řešení. • \A\ ^ 0 implikuje existenci /A-1. • Odtud x = A~Ab, kde A~A = A "1 • A\ Buď A čtvercová matice rádu n > 1 taková, že\A\ ^0. Pak soustava Ax = b má jediné řešení x = (x1, x2,..., xn)T, kde Xj = A přičemž Aj je matice vzniklá z matice A nahrazením jejího j-tého sloupce sloupcem b. 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 15/19 Cramerovo pravidlo - příklad Příklad (Motivační příklad) Vyřešte soustavu lineárních rovnic 2x + 3y + 5z = 0 x + 2y - z = 4 y + 2z = -1 Xi = 0 3 5 4 2 -1 -1 1 2 2 3 5 1 2 -1 0 1 2 =§=' x2,x3 - sami 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 16/19 Požadavky • Spočítat inverzní matici (dle algoritmu). • Spočítat determinant matic (i matic s parametrem). Ovládat obě metody a umět je kombinovat. 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 17/19 Domácí úloha Příklad (3.1) Určete inverzní matici k matici Příklad (3.2) Určete determinant matice A = 0 0 3 2 0 4 5 0 6 0 • 7 0 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 18/19 Doplňující domácí úloha Příklad (3.3) Pro libovolnou elementární řádkovou operaci nalezněte matici která ji realizuje pomocí násobení. Tj. pokud A ~ B je jedna úprava, pak existuje matice U taková, že B = U • A. Příklad (3.4) Nechť a a Ď jsou dvě různá reálná čísla a n je kladné celé číslo. Určete determinant matice n/n, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny b a všechny prvky na a nad hlavní diagonálou rovny a. 3. přednáška Inverzní matice a determinanty 19/19