MB141, zkouška 5. 6. 2020
Příklad. 1A. V prostoru ]R4[x] polynomů stupně nejvýše 4 najděte báze a dimenze podpro-storů
P={/GE4[x];/(l) = /(0), /(-l)
= /(o)},
2]
a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
Řešení. Koeficienty polynomu f{x) = a4x4 + a3x3 + a2^2 splňují homogenní soustavu dvou rovnic s maticí
'1    1    1    1    (A     A   1   1   1 0 1   -1   1   -1  0 j ~ VO   1  0   1 0
dix + a0 z podprostoru P
Proto (04, 03, 02, o-i, a-o) = (p, Q, —p, —Q, r), kde p,q,r G IR jsou parametry. Tedy báze podprostoru P je x4 — x2, x3 — rr, 1. Polynomy označme /1, /2, f3.
Polynomy generující podprostor Q jsou lineárně nezávislé, tvoří tedy jeho bázi. Označme je 01,02,03-
Polynomy z P D Q jsou tvaru p = c\j\ + C2/2 + C3/3 = cři0i + <Í202 + <^303- To vede na homogenní soustavu 5 rovnic o 6 neznámých ci, c2, c3, di, d2, d3, která má matici
/ 1 0
-1 0
V 0
0 o
1 o o o -1 o o 1
1 o
-3 0
2
0
0
1 o
-1
1 \
2 -3 -2
2/
/ 1 0 0
0 1 o
o o 1
\ o o o
1 o
2 -2
0
0
-1
1
1 \
2 2
"2/
Řešení této soustavy je (di, d2,d3) = (p, 2p + 2q, q), kde p, q E IR jsou parametry. To dává
x
2xd
x
2x nebo také x4
2 3
/■>>y _ >•
bázi průniku gx + 202 = x — x , 2g2 + 03
Z předchozí soustavy plyne, že P + Q = [fu f2, f3, gi,g2, g3] = [fi, f2, f3, gi}. Poslední čtyři polynomy tvoří bázi P + Q. □
Bodování. Rovnice pro P 2 body, řešení 2 body, báze v polynomech 4 body. Je-li báze jako pětice koeficientů tak pouze 2 body.
Dimenze a báze Q 2 body.
Báze P fl Q. Soustava 3 body, řešení 3 body, báze v polynomech 4 body. Za pětice koeficientů pouze 2 body.
Báze součtu 5 bodů.
Je-li u součtu nebo průniku spočtena pouze dimenze podle správné formule, tak 2 body.
□
1
Příklad. 1B. V prostoru ]R4[x] polynomů stupně nejvýše 4 najděte báze a dimenze podpro-storů
R ={g e M4[4 g{l) = g(0), g(-l) = 0},
X
1]
a0 z podprostoru R
S =[x4 - 3x2 + l,2x2 a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
Řešení. Koeficienty polynomu g{x) = a4x4 + a3x3 + a2:r2 + aix splňují homogenní soustavu dvou rovnic s maticí
'1    1    1    1    (A     A   1   1   1 0 1   -1   1   -1   1J ~ ^0  2  0  2 -1
, —2p —2r), kde p, q,r E IR jsou parametry. Tedy báze podprostoru R je x4 — xA — 2, x4 — x2,x4 — x — 2. Polynomy označme gi, g2, g%.
Polynomy generující podprostor S jsou lineárně nezávislé, tvoří tedy jeho bázi. Označme je huh2,h3.
Polynomy z R n S jsou tvaru p = c\g\ + c2g2 + C3(?3 = d\h\ + ^2^2 + ^3^3- To vede na homogenní soustavu 5 rovnic o 6 neznámých ci, c2, c3, cři, cř2, ^3, která má matici
Proto (a4, a3, a2, ^i, a0) = (p+q + r, -p, -q,
(
\
1 -1
0
o
2
1 0
-1 o o
1 o
-3
0
1
o o
2 0
-1
1 \
1
-3 -1
\
-1 0 0 0
o -1 o o
o
-3
0
1
0 2 0
-1
1 \
-3 -1
Řešení této soustavy je (di, d2, ds) = (p — q,p, q), kde p,qeR jsou parametry. To dává
x
x.
bázi průniku hi + h2 = x — x , —hi + h3
Z předchozí soustavy plyne, že R + S = [gi, g2, g3, hi, h2, h3] = [gi,g2, g3, hi]. Poslední čtyři polynomy tvoří bázi R + S. □
Bodování. Rovnice pro R 2 body, řešení 2 body, báze v polynomech 4 body. Je-li báze jako pětice koeficientů tak pouze 2 body.
Dimenze a báze S 2 body.
Báze R fl S. Soustava 3 body, řešení 3 body, báze v polynomech 4 body. Za pětice koeficientů pouze 2 body.
Báze součtu 5 bodů.
Je-li u součtu nebo průniku spočtena pouze dimenze podle správné formule, tak 2 body.
□
3
Příklad. 1C. V prostoru ]R4[x] polynomů stupně nejvýše 4 najděte báze a dimenze podpro-storů
U ={h e R4[x]; h(-l) = h(0), h(l) = 0},
+ 2x + 1]
aix + a0 z podprostoru U
V = [x4 + 2x3 -    + 1, 2x3 + l,x4 - x' a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
Řešení. Koeficienty polynomu h(x) = a4x4 + a3x3 + a2^2 splňují homogenní soustavu dvou rovnic s maticí
'i -i i -i o\ A -11-10 vi   i   i   i   íy ~      2  o  2 i
Proto (04,03, <22, aij ao) = (p — q + r,p.q, r, —2p — 2r), kdep, q,r G IR jsou parametry. Tedy
báze podprostoru U je rr
x
2,x4
1     4 1
2. Polynomy označme hi,h2,h3.
Polynomy generující podprostor V jsou lineárně nezávislé, tvoří tedy jeho bázi. Označme je 01,02,03-
Polynomy z U fl V jsou tvaru p = c\h\ + c2/?-2 + £3/2.3 = ^i0i + ^202 + ^303- To vede na homogenní soustavu 5 rovnic o 6 neznámých ci, c2, c3, cři, cř2, ^3, která má matici
	1	1	1	1	0	1 \
	1	0	0	2	2	0
	0	-1	0	-1	0	-1
	0	0	1	0	0	2
v	-2	0	-2	1	1	
/1	0	0	2	2	0\
0	-1	0	-1	0	-1
0	0	1	0	0	2
1°	0	0	1	1	
Řešení této soustavy je (di,d2, d3) bázi průniku gi — g2 = x4 — x2, gi — g3
Z předchozí soustavy plyne, že U + V = [hi, h2, h3, gi, g2,03 čtyři polynomy tvoří bázi U + V.
(p + <7> ~V-> —Q)' kde p,q E IR jsou parametry. To dává 2x3 — 2x nebo také x4 — x2, x3 — x.
[hi, h2,h3,01]. Poslední
□
Bodování. Rovnice pro U 2 body, řešení 2 body, báze v polynomech 4 body. Je-li báze jako pětice koeficientů tak pouze 2 body.
Dimenze a báze V 2 body.
Báze U fl V. Soustava 3 body, řešení 3 body, báze v polynomech 4 body. Za pětice koeficientů pouze 2 body.
Báze součtu 5 bodů.
Je-li u součtu nebo průniku spočtena pouze dimenze podle správné formule, tak 2 body.
□
4
Příklad. 2A. Ukažte, že matice
je ortogonální, a zjistěte, jaké geometrické zobrazení v S3 popisuje předpis ip(x) = Ax, kde x = (xi, x2, x3)T je sloupec standardních souřadnic v £3.
Řešení. Sloupce matice jsou na sebe kolmé a mají jednotkovou velikost. Proto je matice ortogonální.
Spočítáme determinant matice A. Ten je roven 1, proto musí mít matice vlastní číslo 1 a proto je také dané zobrazení otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem, který je vlastním vektorem k vlastnímu číslu 1.
Spočítáme vlastní vektor k vlastnímu číslu 1. Jsou to násobky vektoru u = (1,1, 3)T. Je dobré provést kontrolu tím, že se přesvědčíme, že skutečně Au = u.
Nyní zjistíme úhel otočení a. Vezmeme nějaký nenulový vektor kolmý k u, např. v = (1,-1, 0)T. Spočítáme
V  3'3' 3J
Cosinus úhlu otočení bude
(v, Av) 5 cos a = -—-———- = —.
\\u\\ ■ \\Av\\ 6
Závěr: Dané zobrazení je otočení kolem osy [0, 0,0]+a(l, 1, 3) o úhel a, kde cos a = — |.
□
Bodování. Kontrola ortogonality 3 body. Výpočet determinantu 3 body.
Úvaha, že jde o otočení kolem osy určené vlastním vektorem k 1 2 body. Výpočet vlastního vektoru k 1: soustava 3 body, výsledek 3 body. Volba kolmého vektoru v a jeho zobrazení Av 6 bodů. Výpočet cosinu úhlu otočení 3 body, explicitní popis osy otáčení 2 body.
□
5
Příklad. 2B. Ukažte, že matice
1 (~2 2
B=3\    2 1 á \ 12
je ortogonální, a zjistěte, jaké geometrické zobrazení v £3 popisuje předpis <p(x) = Bx, kde x = (xi, x2, x3)T je sloupec standardních souřadnic v £3.
Řešení. Sloupce matice jsou na sebe kolmé a mají jednotkovou velikost. Proto je matice ortogonální.
Spočítáme determinant matice B. Ten je roven —1, proto musí mít matice vlastní číslo — 1 a proto je také dané zobrazení složení otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem, který je vlastním vektorem k vlastnímu číslu —1, se symetrií podle roviny procházející počátkem a kolmé na osu otáčení.
Spočítáme vlastní vektor k vlastnímu číslu —1. Jsou to násobky vektoru u = (2,-1, 0)T. Je dobré provést kontrolu tím, že se přesvědčíme, že skutečně Bu = —u.
Nyní zjistíme úhel otočení (5. Vezmeme nějaký nenulový vektor kolmý k u, např. v = (0, 0,1)T. Spočítáme
"1    2 2N " 3'~3' 3
Bv
Cosinus úhlu otočení bude
cos a
(v, Bv) 2
JitH • \\Bv\\ 3 Závěr: Dané zobrazení je složení symetrie podle roviny
2xi — X2 = 0
s otočením kolem osy [0, 0, 0] + a(2, —1, 0) o úhel (3, kde cos (3 — 2
3"
□
Bodování. Kontrola ortogonality 3 body. Výpočet determinantu 3 body.
Výpočet vlastního vektoru k —1: soustava 3 body, výsledek 3 body. Volba kolmého vektoru v a jeho zobrazení Av 6 bodů.
Výpočet cosinu úhlu otočení 3 body, explicitní popis osy otáčení 2 body a roviny symetrie 2 body. Pokud není explicitně uvedeno, že jde o složení otočení a symetrie poslední 4 body nedávat.
□
6
Příklad. 2C. Ukažte, že matice
1 / "2  -1 2 C = -       1     2 2
3 \   2-2 1
je ortogonální, a zjistěte, jaké geometrické zobrazení v £3 popisuje předpis <p(x) = Cx, kde x = (xi, x2, x3)T je sloupec standardních souřadnic v £3.
Řešení. Sloupce matice jsou na sebe kolmé a mají jednotkovou velikost. Proto je matice ortogonální.
Spočítáme determinant matice C. Ten je roven —1, proto musí mít matice vlastní číslo — 1 a proto je také dané zobrazení složení otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem, který je vlastním vektorem k vlastnímu číslu —1, se symetrií podle roviny procházející počátkem a kolmé na osu otáčení.
Spočítáme vlastní vektor k vlastnímu číslu —1. Jsou to násobky vektoru u = (2, 0, — 1)T. Je dobré provést kontrolu tím, že se přesvědčíme, že skutečně Cu = —u.
Nyní zjistíme úhel otočení 7. Vezmeme nějaký nenulový vektor kolmý k u, např. v = (0,1, 0)T. Spočítáme
Cv
Cosinus úhlu otočení bude
12    2X T
cos a
3737 3, (v, Cv) 2
M|-||c?;|| 3'
Závěr: Dané zobrazení je složení symetrie podle roviny
2xi — x% = 0
s otočením kolem osy [0, 0, 0] + c(2, 0,-1) o úhel 7, kde cos 7
2
3"
□
Bodování. Kontrola ortogonality 3 body. Výpočet determinantu 3 body.
Výpočet vlastního vektoru k —1: soustava 3 body, výsledek 3 body. Volba kolmého vektoru v a jeho zobrazení Av 6 bodů.
Výpočet cosinu úhlu otočení 3 body, explicitní popis osy otáčení 2 body a roviny symetrie 2 body. Pokud není explicitně uvedeno, že jde o složení otočení a symetrie poslední 4 body nedávat.
□
7
Příklad. 3A. Profesor má 3 oblíbené otázky, z kterých se u každého zkouškového termínu jedna objeví. Profesor nikdy nepoužije stejné otázky po sobě. Když naposledy použil otázku 1, hodí mincí a v případě, že padne líc, zadá otázku 2. Když použil otázku 2, hází 2 mincemi a přejde k otázce 3, pokud je líc na obou mincích. Pokud naposledy zadal otázku 3, tak si hodí 3 mincemi a přejde k otázce 1, když na všech třech padl líc.
Modelujte zadávání otázek pomocí Markovova procesu. Určete jeho matici a zdůvodněte, že je primitivní. Pomocí maticového násobení zjistěte, jaká je pravděpodobnost, že u třetího termínu zadá otázku 2, jestliže u prvního zadal otázku 1. Za předpokladu, že tímto způsobem zadává otázky hodně dlouho, zjistěte, kterou otázku zadává nejčastěji - výsledek vyjádřete v procentech a vysvětlete, jak jste k němu dospěli.
Řešení. Matice Markovovova procesu je
/ 0    3/4 l/8\ M = J 1/2    0 7/8 \l/2   1/4    0 /
Spočteme-li M2 = M ■ M, dostaneme matici se všemi vstupy kladnými. Proto je M primitivní matice.
Pravděpodobnost, že profesor zadá u třetího termínu 2. otázku, když u prvního zadal 1. otázku je dána druhou složkou součinu
M-M-
a taje 7/16.
Při dlouhodobém zadávání se pravděpodobnosti zadání jednotlivých otázek blíží pravděpodobnostnímu vektoru, který je vlastním vektorem matice M k vlastnímu číslu 1. Řešíme proto homogenní soustavu
(M - E)x = 0. Její matici upravíme na schodovitý tvar
-1   3/4  l/8\      ÍA  -8 7\ 1/2   -1   7/8-0  -2  3 . 1/2   1/4   -1/      \0    0 0/
Vlastní vektory jsou a(5, 6,4). Pravděpodobnostní vektor je
(1/3,2/5,4/15).
V dlouhodobém horizontu pokládá profesor nejčastěji otázku 2, a to s pravděpodobností 2/5, tj. 40%.
□
Bodování. Správná matice 6 bodů. (2 za každý sloupec) Zdůvodnění primitívnosti 2 body. Výpočet 7/16 2 body.
Soustava pro vlastní vektor a její úprava na schodovitý tvar 5 bodů. Správné řešení ve formě pravděpodobnostního vektoru 5 bodů.
Správné určení otázky 2 body, správná procenta 3 body. □
8
Příklad. 3B. Profesor trpí syndromem vyhoření a u zkoušek už zadává jenom jeden ze tří testů A, B, C. Nikdy však nepoužije po sobě stejné testy. Když naposledy zadal test A, hodí si kostkou a v případě, že padne číslo dělitelné 3, zadá test B. Když použil test B, hází dvěma mincemi a přejde k testu C, pokud na obou padne líc. Když naposledy zadal test C, tak hází opět kostkou a přejde k testu A, pokud na kostce padne prvočíslo.
Modelujte zadávání testů pomocí Markovova procesu. Určete jeho matici a zdůvodněte, že je primitivní. Pomocí maticového násobení zjistěte, jaká je pravděpodobnost, že u třetího termínu zadá test B, jestliže u prvního zadal test C. Za předpokladu, že tímto způsobem zadává testy hodně dlouho, zjistěte, který test zadává nejčastěji a s jakou pravděpodobností. Vysvětlete, jak jste k výsledku dospěli.
Řešení. Matice Markovovova procesu je
/ 0    3/4 l/2\ M = J 1/3    0 1/2 \2/3   1/4    0 /
Spočteme-li M2 = M ■ M, dostaneme matici se všemi vstupy kladnými. Proto je M primitivní matice.
Pravděpodobnost, že profesor zadá u třetího termínu test B, když u prvního zadal test C je dána druhou složkou součinu
M-M-
a ta je 1/6.
Při dlouhodobém zadávání se pravděpodobnosti zadání jednotlivých testů blíží pravděpodobnostnímu vektoru, který je vlastním vektorem matice M k vlastnímu číslu 1. Řešíme proto homogenní soustavu
(M - E)x = 0. Její matici upravíme na schodovitý tvar
-1   3/4  l/2\      (2  -6 3\ 1/3   -1   1/2-0  -9  8 . 2/3   1/4   -1/      \0    0 OJ
Vlastní vektory jsou a(21,16,18). Pravděpodobnostní vektor je
(21/55,16/55,18/55).
V dlouhodobém horizontu zadává profesor nejčastěji test A, a to s pravděpodobností 21/55.
□
Bodování. Správná matice 6 bodů. (2 za každý sloupec) Zdůvodnění primitívnosti 2 body. Výpočet 1/6 2 body.
Soustava pro vlastní vektor a její úprava na schodovitý tvar 5 bodů. Správné řešení ve formě pravděpodobnostního vektoru 5 bodů.
Správné určení otázky 2 body, správná procenta 3 body. □
9
Příklad. 3C. Profesor se po koronavirové epidemii rozhodl, že bude na studenty hodný, a u zkoušek jim zadává jenom jeden ze tří testů X, Y, Z. Nikdy však nepoužije po sobě stejné testy. Když naposledy zadal test X, hodí si kostkou a když padne sudé (párne) číslo, zadá test Y. Když použil test Y, hází mincí a přejde k testu Z, pokud padne líc. Pokud naposledy zadal test Z, tak hází dvěma mincemi a přejde k testu X, když na obou padne líc.
Modelujte zadávání testů pomocí Markovova procesu. Určete jeho matici a zdůvodněte, že je primitivní. Pomocí maticového násobení zjistěte, jaká je pravděpodobnost, že u třetího termínu zadá test X, jestliže u prvního zadal test Z. Za předpokladu, že tímto způsobem zadává testy hodně dlouho, zjistěte, který test zadává nejčastěji a s jakou pravděpodobností. Vysvětlete, jak jste k výsledku dospěli.
Řešení. Matice Markovovova procesu je
/ 0    1/2 l/4\ M = J 1/2    0 3/4 \l/2   1/2    0 /
Spočteme-li M2 = M ■ M, dostaneme matici se všemi vstupy kladnými. Proto je M primitivní matice.
Pravděpodobnost, že profesor zadá u třetího termínu test X, když u prvního zadal test Z je dána první složkou součinu
M-M-
a ta je 3/8.
Při dlouhodobém zadávání se pravděpodobnosti zadání jednotlivých testů blíží pravděpodobnostnímu vektoru, který je vlastním vektorem matice M k vlastnímu číslu 1. Řešíme proto homogenní soustavu
(M - E)x = 0. Její matici upravíme na schodovitý tvar
-1   1/2  l/4\      /2  -4 3\ 1/2   -1   3/4-0  -6  7 . 1/2   1/2   -1/      \0    0 OJ
Vlastní vektory jsou a(5, 7, 6). Pravděpodobnostní vektor je
(5/18,7/18,6/18).
V dlouhodobém horizontu zadává profesor nejčastěji test Y, a to s pravděpodobností 7/18.
□
Bodování. Správná matice 6 bodů. (2 za každý sloupec) Zdůvodnění primitívnosti 2 body. Výpočet 3/8 2 body.
Soustava pro vlastní vektor a její úprava na schodovitý tvar 5 bodů. Správné řešení ve formě pravděpodobnostního vektoru 5 bodů.
Správné určení otázky 2 body, správná procenta 3 body. □
10
Příklad. 4A. V Rabínově kryptosystému je soukromým klíčem dvojice prvočísel p = 7, q = 23. Veřejným klíčem je n = 161. Dešifrujte zprávu M = 116. Proveďte celý výpočet bez použití kalkulačky nebo jakéhokoliv softwaru.
Stručně popište postup, kterým byste mohli provést kontrolu správnosti svého výpočtu.
Řešení. Dešifrovaná zpráva Z splňuje Z2 = M mod n. Takové jsou 4 a jsou ve tvaru
Z = ±apQ ± bqP   mod n,
kde a, b, P, Q jsou celá čísla splňující
(1) ap + bq = 1,
r£+i
(2) P = M 4   mod p,
(3) Q = M2^  mod q.
Pomocí algoritmu spočítáme a = 10, b = —3. Dále počítáme modulo 7
1162 = 42 = 16 = 2   mod 7.
1166 = l6 = 1   mod 23.
Tedy P = 2.
Počítáním modulo 23
Tedy Q = 1. Proto
Z = ±10 • 7 • 1 ± 3 • 23 • 2 = ±70 ± 138. Dešifrovaná zpráva je jedna z následujících: 47, 68, 93, 114.
O správnosti výpočtu se můžeme přesvědčit tím, že ověříme platnost kongruencí
Z2 = 116 = 4   mod 7, Z2 = 116 = 1   mod 23.
□
Bodování. Správný vzorec pro Z ... 6 bodů.
Výpočet čísel a, b ... 3 body.
p+i
Výpočet P = M 4 mod p ... 4 body. Výpočet Q = M^T" mod q ... 4 body. Správné hodnoty Z ... 4 body.
Správná odpověď na otázku o ověření... 4 body. Samotné ověření není potřeba provádět.
□
11
Příklad. 4B. V Rabínově kryptosystému je soukromým klíčem dvojice prvočísel p = 7, q = 31. Veřejným klíčem je n = 217. Dešifrujte zprávu M = 78. Proveďte celý výpočet bez použití kalkulačky nebo jakéhokoliv softwaru.
Stručně popište postup, kterým byste mohli provést kontrolu správnosti svého výpočtu.
Řešení. Dešifrovaná zpráva Z splňuje Z2 = M mod n. Takové jsou 4 a jsou ve tvaru
Z = ±apQ ± bqP   mod n,
kde a, b, P, Q jsou celá čísla splňující
(1) ap + bq = 1,
(2) P = M2^  mod p,
(3) Q = M2^  mod q.
Pomocí algoritmu spočítáme a = 9, b = —2. Dále počítáme modulo 7
782 = l2 = 1   mod 7.
Tedy P = 1.
Počítáním modulo 31
788 = 168 = 232 = 230 • 4 = 4   mod 31 neboť podle malé Fermatovy věty je 230 = 1 mod 31. Tedy Q = 4. Proto
Z = ±9-7-4±2-31-l = ±252 ± 62. Dešifrovaná zpráva je jedna z následujících: 27, 97, 120, 190.
O správnosti výpočtu se můžeme přesvědčit tím, že ověříme platnost kongruencí
Z2 = 78 = 1   mod 7, Z2 = 78 = 16   mod 31.
□
Bodování. Správný vzorec pro Z ... 6 bodů.
Výpočet čísel a, b ... 3 body.
p+i
Výpočet P = M 4 mod p ... 2 body. Výpočet Q = M3^ mod q ... 6 bodů. Správné hodnoty Z ... 4 body.
Správná odpověď na otázku o ověření... 4 body. Samotné ověření není potřeba provádět.
□
12
Příklad. 4C. V Rabínově kryptosystému je soukromým klíčem dvojice prvočísel p = 11, q = 19. Veřejným klíčem je n = 209. Dešifrujte zprávu M = 111. Proveďte celý výpočet bez použití kalkulačky nebo jakéhokoliv softwaru.
Stručně popište postup, kterým byste mohli provést kontrolu správnosti svého výpočtu.
Řešení. Dešifrovaná zpráva Z splňuje Z2 = M mod n. Takové jsou 4 a jsou ve tvaru
Z = ±apQ ± bqP   mod n,
kde a, b, P, Q jsou celá čísla splňující
(1) ap + bq = 1,
(2) P = M2^  mod p,
(3) Q = M2^  mod q.
Pomocí algoritmu spočítáme a = 7, b = —4. Dále počítáme modulo 11
lil3 = l3 = 1 modli.
Tedy P = 1.
Počítáním modulo 19
lil5 = 165 = -35 = -9 • 9 • 3 = -5 • 3 = 4   mod 19.
Tedy Q = 4. Proto
Z = ±7 ■ 11 • 4 ± 4 • 19 • 1 = ±308 ± 76. Dešifrovaná zpráva je jedna z následujících: 23, 34, 175, 186.
O správnosti výpočtu se můžeme přesvědčit tím, že ověříme platnost kongruencí
Z2 = 78 = 1   mod 7, Z2 = 78 = 16   mod 31.
□
Bodování. Správný vzorec pro Z ... 6 bodů. Výpočet čísel a, b ... 3 body. Výpočet P = M~ mod p ... 3 body. Výpočet Q = M3^ mod q ... 5 bodů. Správné hodnoty Z ... 4 body.
Správná odpověď na otázku o ověření... 4 body. Samotné ověření není potřeba provádět.
□