MB141, zkouška 16. 6. 2020 Příklad. 1A. V A jsou dány tři body body A = [1, 2,1, 2], 5 = [2, 0,1,3], C = [0,1,-2,4] a afinní podprostor M. zadaný rovnicí xl + x2 — x3 — x4 = — 1 • (a) Napište parametrickou rovnici roviny p, která je určena body A, B, C. [8 bodů] (b) Napište obecný (implicitní) popis roviny p pomocí soustavy rovnic. [8 bodů] (c) Spočítejte průnik p n M.. [9 bodů] Řešení, (a) Parametrická rovnice roviny p je A + a(B - A) + b(C - A) = [1,2,1, 2] + a(l, -2, 0,1) + 6(-l, -1, -3, 2). (b) Nejdříve najdeme homogenní soustavu rovnic pro zaměření roviny p. Pro hledané koeficienty c1; c2, c3, c4 rovnic C\X\ + c2X2 + C3X3 + c4x4 = 0 musí platit soustava rovnic ci — 2c2 + c4 = 0, —ci — c2 — 3c3 + 2c4 = 0 Její řešení je s(l, 1, 0,1) + í(2,1,-1,0). Homogenní rovnice jsou X\ + X2 ~\~ íc4 = 0, 2^1 + x2 — x3 = 0. Dosazením souřadnic bodu P do levých stran dostaneme soustavu rovnic pro n xľ + x2 + X4 = 5, 2xi + x2 — x3 = 3. (c) Průnik spočítáme řešením tří rovnic z obecných popisů afinních podprostorů. Matice soustavy je -1 -1 0 1 -1 0 1 0 1 -1 1 2 0 1 2 Řešením je přímka [4,1, 6, 0] + p(—l, 0, —2,1). Lze také řešit dosazením parametrického vyjádření roviny p do rovnice pro M.. Řešení, které hledá prvně parametrické vyjádření pro M. a průnik hledá z parametrických vyjádření obou afinních podprostorů je nešikovné, zdlouhavé, a proto při něm dojde lehce k chybě. □ Bodování. Parametrické vyjádření roviny p za 8 bodů. Soustava rovnic pro p, správný postup 4 body, výsledek 4 body. Vhodný postup výpočtu průniku 3 body, řešení soustavy 3 body, výsledek 3 body. □ 1 Příklad. 1B. V ^ jsou dány tři body body P = [2,1,1, 2], Q= [0, 2,1,3], i? = [1,0,-2,4] a afinní podprostor J\í zadaný rovnicí xl + x2 — x3 — x4 = — 1 • (a) Napište parametrickou rovnici roviny n, která je určena body P,Q,R. [8 bodů] (b) Napište obecný (implicitní) popis roviny n pomocí soustavy rovnic. [8 bodů] (c) Spočítejte průnik n n J\í. [9 bodů] Řešení, (a) Parametrická rovnice roviny n je P + a(Q-P) + b(R -P) = [2,1,1,2] + a(-2,1, 0,1) + 6(-l, -1, -3, 2). (b) Nejdříve najdeme homogenní soustavu rovnic pro zaměření roviny p. Pro hledané koeficienty ci, c2, C3, C4 rovnic c\X\ + C2X2 + C3X3 + C4X4 = 0 musí platit soustava rovnic -2ci + c2 + c4 = 0, -ci - c2 - 3c3 + 2c4 = 0 Její řešení je s(l, 1, 0,1) + í(l, 2, —1, 0). Homogenní rovnice jsou xľ + x2 + X4 = 0, Xi + 2rr2 — ^3 = 0. Dosazením souřadnic bodu P do levých stran dostaneme soustavu rovnic pro p Xi + x2 + X4 = 5, Xi + 2rr2 — ^3 = 3. (c) Průnik spočítáme řešením tří rovnic z obecných popisů afinních podprostorů. Matice soustavy je -1 -1 0 1 -1 0 Řešením je přímka [1,4, 6, 0] + p(0, —1, —2,1) Lze také řešit dosazením parametrického vyjádření roviny n do rovnice pro J\í. Řešení, které hledá prvně parametrické vyjádření pro J\í a průnik hledá z parametrických vyjádření obou afinních podprostorů je nešikovné, zdlouhavé, a proto při něm dojde lehce k chybě. □ Bodování. Parametrické vyjádření roviny n za 8 bodů. Soustava rovnic pro n, správný postup 4 body, výsledek 4 body. Vhodný postup výpočtu průniku 3 body, řešení soustavy 3 body, výsledek 3 body. □ 3 Příklad. 2A. Zobrazení tp : je symetrie podle roviny x\ + rr2 + 2rr3 = 0. (a) Najděte matici A tak, aby ve standardních souřadnicích bylo [18 bodů]. x1\ íx1 x2\ = A - \x2 Kx3J \x3j (b) Je A ortogonální matice? Zdůvodněte svou odpověď. [3 body] (c) Najděte inverzní matici A^1. [4 body] Řešení, (a) Symetrie podle roviny zobrazuje normálový vektor na opačný vektor a vektory z roviny na sebe. Normálový vektor je n = (1,1,2), vektory v rovině jsou např. u = (1,-1,0) av = (0,2,-1). Platí IR3 je symetrie podle roviny 2xi — x2 + x3 = 0. (a) Najděte matici B tak, aby ve standardních souřadnicích bylo i/j\x2\=B-\x2\ [18 bodů]. (b) Je B ortogonální matice? Zdůvodněte svou odpověď. [3 body] (c) Najděte inverzní matici B~x. [4 body] Řešení, (a) Symetrie podle roviny zobrazuje normálový vektor na opačný vektor a vektory z roviny na sebe. Normálový vektor je n = (2,—1,1), vektory v rovině jsou např. u = (1,2,0) av = (0,1,1). Platí IR3 je symetrie podle roviny x\ — 2x2 + x3 = 0. (a) Najděte matici C tak, aby ve standardních souřadnicích bylo u \x2 \ = C ■ \x2\ [18 bodů]. (b) Je C ortogonální matice? Zdůvodněte svou odpověď. [3 body] (c) Najděte inverzní matici C_1. [4 body] Řešení, (a) Symetrie podle roviny zobrazuje normálový vektor na opačný vektor a vektory z roviny na sebe. Normálový vektor je n = (1,—2,1), vektory v rovině jsou např. u = (1,0,-1) a v = (0,1, 2). Platí 0, proto / má kořen > 1 a A má vlastní číslo > 1. Populace expanduje. Pro a E [0, §) je /(l) < 0, proto / má kořen < 1 a A má nej větší vlastní číslo < 1. Populace vymírá. (d) Poměr generací je dán vlastním vektorem k vlastnímu číslu 1. Řešíme homogenní soustavu rovnic (A — E)x = 0. Vlastní vektor je (6, 3, 2)T. □ Bodování, (a) Úmrtnost 3 body. (b) Správný výpočet 3 body. Bez výpočtu 0 bodů. (c) Charakteristický polynom 4 body. Kritická hodnota parametru 4 body. Expanze 2 body. Vymírání 2 body (d) Soustava pro vlastní vektor 3 body. Správný výsledek 4 body. □ Příklad. 3B. Model růstu nějaké populace určené třemi generacemi je dán Leslieho maticí s parametrem b E [0,1] B 6 0 0 \0 \ Oj (a) Jaká je úmrtnost 1. generace? [3 body] (b) Jestliže je poměr prvé, druhé a třetí generace v čase 4 roven 6:2:1a parametr b = 1/3, jaký bude poměr těchto generací v čase 5? [3 body] (c) Pro které hodnoty parametru b populace expanduje, pro které směřuje k vyhynutí a pro které se stabilizuje? [12 bodů] (d) Určete dlouhodobé rozložení této populace pro parametr b, kdy se populace stabilizuje. [7 bodů] Řešení, (a) Úmrtnost první generace je 1 — b. (b) Vynásobíme B ■ I 2 V1, (c) Spočítáme charakteristický polynom /(A) = det(A - \E) = (\ - \] A2 + h\ + h Stabilita nastane, když 1 je vlastní číslo, tj. 2/22 /(D = ~ + f» + 5» = o. Tedy pro b = ^ je populace stabilní, Pro b E (i, 1] je /(l) > 0, proto / má kořen > 1 a B má vlastní číslo > 1. Populace expanduje. Pro b E [0, \ ) je /(l) < 0, proto / má kořen < 1 a B má nej větší vlastní číslo < 1. Populace vymírá. (d) Poměr generací je dán vlastním vektorem k vlastnímu číslu 1. Řešíme homogenní soustavu rovnic (B — E)x = 0. Vlastní vektor je (8, 2,1)T. □ Bodování, (a) Úmrtnost 3 body. (b) Správný výpočet 3 body. Bez výpočtu 0 bodů. (c) Charakteristický polynom 4 body. Kritická hodnota parametru 4 body. Expanze 2 body. Vymírání 2 body (d) Soustava pro vlastní vektor 3 body. Správný výsledek 4 body. □ 8 Příklad. 3C. Model růstu nějaké populace určené třemi generacemi je dán Leslieho maticí s parametrem c G [0,1] (\ I l\ C i o o \fl c 0/ (a) Jaká je úmrtnost 2. generace? [3 body] (b) Jestliže je poměr prvé, druhé a třetí generace v čase 2 roven 3:5:4a parametr c = 1/2, jaký bude poměr těchto generací v čase 3? [3 body] (c) Pro které hodnoty parametru c populace expanduje, pro které směřuje k vyhynutí a pro které se stabilizuje? [12 bodů] (d) Určete dlouhodobé rozložení této populace pro parametr c, kdy se populace stabilizuje. [7 bodů] Řešení, (a) Úmrtnost druhé generace je 1 — c. (b) Vynásobíme C ■ 4 = 1 W W2, (c) Spočítáme charakteristický polynom /(A) = det(A - XE) = (\ - A ] A2 + -^A + \c. 3 / 15 3 Stabilita nastane, když 1 je vlastní číslo, tj. r 3 ' 5 ' 3 /(i) = 4+?+^=o. Tedy pro c = | je populace stabilní, Pro c G (|, 1] je /(l) > 0, proto / má kořen > 1 a C má vlastní číslo > 1. Populace expanduje. Pro c G [0, |) je /(l) < 0, proto / má kořen < 1 a C má největší vlastní číslo < 1. Populace vymírá. (d) Poměr generací je dán vlastním vektorem k vlastnímu číslu 1. Řešíme homogenní soustavu rovnic (C — E)x = 0. Vlastní vektor je (15, 5,1)T. □ Bodování, (a) Úmrtnost 3 body. (b) Správný výpočet 3 body. Bez výpočtu 0 bodů. (c) Charakteristický polynom 4 body. Kritická hodnota parametru 4 body. Expanze 2 body. Vymírání 2 body (d) Soustava pro vlastní vektor 3 body. Správný výsledek 4 body. □ 9 Příklad. 4A. Julie a Romeo komunikují šifrou Elgamal. Oba se dohodli na prvočísle p = 19 a na primitivním kořenu g = 10. Julie si za svůj tajný klíč zvolila číslo a = 11, Romeo má svůj tajný klíč b. (a) Ověřte, že 10 je skutečně primitivní kořen modulo 19. [5 bodů] (b) Jaký údaj poskytla Julie Romeovi? [5 bodů] (c) Romeo posléze poslal Julii jako zprávu dvojici čísel (gb = 7, 4). Pomozte Julii s dešifrováním zprávy. [15 bodů] Proveďte celý výpočet bez použití kalkulačky nebo jakéhokoliv softwaru. Řešení, (a) ^(19) = 18 = 2 • 32. Proto 1018 = 1 mod 19. Počítáme modulo 19 106 = 1003 = 53 = 6 • 5 = 11, 109 = 106 • 100 • 10 = 11 • 5 • 10 = 11 • 12 = 8 • 7 = 18. Tedy 10 je primitivní kořen. (b) Julie poskytla údaj ga = 1011 = 109 • 100 = (-1) • 5 = 14, mod 19. (c) Romeo zašifroval zprávu M jako dvojici (gb,M(ga)b) = (7,4). Proto dešifrujeme takto M = M(ga)b ■ 1 = 4 • (711)"1 = 4 • (li)"1 =4-7 = 9 mod 19. Výpočet 711 = 495 • 7 = ll5 • 7 = (-8)5 • 7 = -642 • 56 = -72(-l) = 11 mod 19. Inverze kil mod 19 se najde jako číslo a takové, že lla+196 = 1 pro nějaké b. Jednoduše (a, b) = (7, —4). Inverze je tedy 7. □ Bodování, (a) Za v?(19) a jeho rozklad 1 bod. Za každou mocninu 2 body. (b) Ví, co má počítat 3 body. Mocnina 2 body. (c) Správný vzorec 7 bodů. Mocnina 3 body. Inverze 3 body. Správný výsledek 2 body. □ 10 Příklad. 4B. Desdemona a Othelo komunikují šifrou Elgamal. Oba se dohodli na prvočísle p = 23 a na primitivním kořenu g = 10. Desdemona si za svůj tajný klíč zvolila číslo a = 9, Othelo má svůj tajný klíč b. (a) Ověřte, že 10 je skutečně primitivní kořen modulo 23. [5 bodů] (b) Jaký údaj poskytla Desdemona Othelovi? [5 bodů] (c) Othelo posléze poslal Desdemoně jako zprávu dvojici čísel (gb = 2, 19). Pomozte Desdemoně s dešifrováním zprávy. [15 bodů] Proveďte celý výpočet bez použití kalkulačky nebo jakéhokoliv softwaru. Řešení, (a) ip(23) = 22 = 2 • 11. Proto 1022 = 1 mod 23. Počítáme modulo 23 102 = 100 = 8, 1011 = 1005 • 10 = 85 • 10 = 642 • 80 = 52 • 11 = 22. Tedy 10 je primitivní kořen. (b) Desdemona poskytla údaj ga = 109 = 1004 • 10 = 84 • 10 = 52 • 10 = 20, mod 23. (c) Othelo zašifroval zprávu M jako dvojici (gb, M(ga)h) = (2,19). Proto dešifrujeme takto M = M(ga)h ■ (gb)a)~^ = 19 • (29)"1 = 19 • (6)"1 = 19 • 4 = 7 mod 23. Výpočet 29 = 162 • 2 = 72 • 2 = 3 • 2 = 6 mod 23. Inverze k 6 mod 19 se najde jako číslo a takové, že 6a + 236 = 1 pro nějaké b. Jednoduše (a, b) = (4, —1). Inverze je tedy 4. □ Bodování, (a) Za