MB141, zkouška 23. 6. 2020 Příklad. 1A. V prostoru IR4 jsou dány podprostory P = [(1,1,-1, -1), (2,3, 2, -2)], Q = [(2, 0,1,1), (4,4, 7, -1)]. (a) Najděte báze a dimenze jejich průniku [12 bodů] a součtu [8 bodů]. (b) Zjistěte pomocí výpočtu, zda vektor (1, 2, 3,4) leží v podprostoru P + Q. [5 bodů] Body budou uděleny jen za správné zdůvodnění. Řešení, (a) Označme Mi = (1,1, — 1, — 1), u2 (4,4, 7. — 1) G Vektor v průniku je tvaru z = aui + bu2 Najdeme c, d řešením soustavy s maticí (2,3,2,-2) G Pat)i (2,0,1,1),í;2 1 2 2 4\ / 1 2 2 4\ 1 3 0 4 0 1 -2 0 -1 2 1 7 0 0 1 1 v -1 -2 1 1° 0 0 Řešení je (c, d) = (—p,p),kdep E IR je parametr. Proto P n Q = {-pVl + pv2 e R4} = [v2 - Vl] = [(2,4, 6, -2)] = [(1, 2,3, -1)]. Báze P n Q je tvořena vektorem (1, 2, 3,-1). Z předchozího výpočtu plyne, že P + g = [u1,u2,v1,v2] = [Wi,W2,Wi], kde ui, u2,vi jsou lineárně nezávislé, tedy tvoří bázi součtu. (b) Vektor (1, 2, 3,4) leží vP + Q, právě když má řešení rovnice aui + bu2 + cvi = (1, 2, 3,4) o neznámých a, b, c. Matice soustavy je 1 2 2 1 \ / 1 2 2 1 \ 1 3 0 2 0 1 -2 1 -1 2 1 3 0 0 3 5 v -1 -2 1 4^ 1° 0 0 55 3 / Soustava nemá řešení, tedy (1, 2, 3,4) ^ P + Q. Bodování. Rovnice pro průnik 3 body Řešení c,d 3 body Báze průniku 6 bodů Báze součtu, ví, jak spočítat 4 body Výsledek 4 body Soustava, zda vektor leží v součtu 3 body Výsledek 2 body □ □ i 2 Příklad. 1B. V prostoru IR4 jsou dány podprostory U =[(1,1, -1,1), (2,1, 2, 0)], V= [(2, 0, -1,3), (5, 2, 0,4)]. (a) Najděte báze a dimenze jejich průniku [12 bodů] a součtu [8 bodů]. (b) Zjistěte pomocí výpočtu, zda vektor (1, 2, 3,4) leží v podprostoru U + V. [5 bodů] Body budou uděleny jen za správné zdůvodnění. Řešení, (a) Označme ui = (1,1, — 1,1), u2 = (2,1,2,0) £ U a. v± = (2, 0, — 1, 3), v2 = (5, 2, 0,4) G V. Vektor v průniku je tvaru z = aui + bu2 = cvi + dv2. Najdeme c, d řešením soustavy s maticí 1 2 2 5\ ( 1 1 0 2\ 1 1 0 2 0 1 2 3 -1 2 -1 0 0 0 1 1 v 1 0 3 0 0 Řešení je (c,d) = (—p,p), kde p E IR je parametr. Proto unv = {-pVl + pv2 e R4} = [v2 - Vl] = [(3, 2,1,1)]. Báze U Pi V je tvořena vektorem (3, 2,1,1). Z předchozího výpočtu plyne, že C/ + y = [wi,w2,wi,t;2] = [wi,w2,wi], kde iti, it2, vi jsou lineárně nezávislé, tedy tvoří bázi součtu. (b) Vektor (1, 2, 3,4) leží v U + V, právě když má řešení rovnice aui + bu2 + cvi = (1, 2, 3,4) o neznámých a, b, c. Matice soustavy je 1 2 2 1 \ ( 1 1 0 2\ 1 1 0 2 0 1 2 -1 -1 2 -1 3 0 0 5 1 v 1 0 3 4^ 1° 0 0 47 / 5 / Soustava nemá řešení, tedy (1, 2, 3,4) ^ U + V. □ Bodování. Rovnice pro průnik 3 body Řešení c,d 3 body Báze průniku 6 bodů Báze součtu, ví, jak spočítat 4 body Výsledek 4 body Soustava, zda vektor leží v součtu 3 body Výsledek 2 body □ 3 Příklad. 2A. Určete vzdálenost dist(p, g) přímek p: [3,2,0] + a(l, 1,-1) a g : [-1, 2, 6] + 6(3, 0,-1) a body P E p a Q E q takové, že vzdálenost bodů dist(P, Q) = dist(p, q). Řešení. Položme A = [3,2,0], u = (1,1,-1), B = [-1,2,6], v = (3,0,-1). Rozdíl hledaných bodů P = A + auEpaQ = B + bvEqje kolmý na směrové vektory u a v obou přímek. Proto (au — bv,u) =(B — A,u), (au — bv, v) =(B — A, v) To vede na soustavu pro neznámé a, b s maticí 2 -5 3 -4 "9 J1 1 -10 0 -7 Řešení je a = —2,b = 1. Hledané body jsou P = [3, 2, 0] - 2(1,1, -1) = [1, 0, 2], Q = [-1, 2,6] + (3, 0, -1) = [2, 2,5]. Vzdálenost je dist(p, g) = dist(P,Q) = ||(1,2,3)|| = \/Í4. □ Bodování. Teoreticky správná rovnice 6 bodů Číselně správná rovnice 4 body Řešení a, 6 5 bodů Správné body P aQ 6 bodů Vzdálenost 4 body Při jiném postupu Kolmá projekce B — A do (Z(p) + Z(g))^ je (1, 2,3) 6 bodů Vzdálenost 4 body Správná rovnice pro pro P aQ 5 bodů Řešení a, 6 4 body Správné body P aQ 6 bodů □ 4 Příklad. 2B. Určete vzdálenost dist(A;, /) přímek k : [0,1,4] +a(2,0,-1) a / : [5,4, 6] + 6(2,-1,1) a body K E k a L E l takové, že vzdálenost bodů dist(_ří, L) = dist(/c, /). Řešení. Položme A = [0,1,4], u = (2, 0,-1), 5 = [5,4, 6], w = (2, -1,1). Rozdíl hledaných bodů K = A + auEkaL = B + bvElje kolmý na směrové vektory u a v obou přímek. Proto (au — bv,u) =(B — A,u), (au — bv, v) =(B — A, v) To vede na soustavu pro neznámé a, b s maticí 5 -3 3 -6 1 -9 9 7 V 0 21 10 -21 Řešení je a = 1, b = —1. Hledané body jsou K = [0,1,4] + (2, 0, -1) = [2,1, 3], L = [5,4, 6] - (2, -1,1) = [3,5, 5]. Vzdálenost je dist(jfc, /) = dist(if, L) = ||(1,4,2)|| = y/2Í. □ Bodování. Teoreticky správná rovnice 6 bodů Číselně správná rovnice 4 body Řešení a, b 5 bodů Správné body PaQ6 bodů Vzdálenost 4 body Při jiném postupu Kolmá projekce B — A do (Z(p) + Z(g))^ je (1, 2,3) 6 bodů Vzdálenost 4 body Správná rovnice pro pro P a Q 5 bodů Řešení a, 6 4 body Správné body PaQ6 bodů □ 5 Příklad. 3A. Myš vložíme do bludiště tvaru na obrázku. Myš si v každém kroku vybere náhodně (se stejnou pravděpodobností) jedny dveře vedoucí z komůrky, v které se aktuálně nachází, a přejde jimi do nové komůrky. Modelujte pohyb myši v bludišti pomocí Markovova procesu. (a) Napište matici tohoto procesu. [8 bodů] (b) Vysvětlete, jaký je význam koeficientu matice v 2. sloupci a 3. řádku. [4 body] (c) Ve které komůrce se myš nachází s největší pravděpodobností po velkém počtu kroků? A s jakou pravděpodobností to je? [8 bodů] (d) S jakou pravděpodobností se myš dostane z komůrky 2 do komůrky 3 právě třemi přechody? Počítejte pomocí maticového násobení. [5 bodů] Řešení, (a) Matice tohoto procesu je 1/3 0 1/3 1/3 M ( 0 1 0 o 1/2 0 1/2 0 \ 1/2 1/2 0 (b) Prvek M32 je pravděpodobnost, že myš přejde z komůrky 1 do komůrky 2. (c) Spočítáme pravděpodobnostní vlastní vektor k vlastnímu číslu 1 matice M. [M - E)x To vede na homogenní soustavu 0, X\ + x2 + x3 + rr4 = 1. í-l 1/3 0 0 \ -3 1 0 0\ 1 -1 1/2 1/2 0 2 -6 3 0 1/3 -1 1/2 0 0 9 -9 1/3 1/2 -v v 0 0 0 Řešení je x = |(1, 3, 2, 2)T. Tedy myš bude po velkém počtu kroků nejčastěji v komůrce 1, a to s pravděpodobností 3/8. (d) Hledaná pravděpodobnost je čtvrtá složka vektoru M3 • M 0 1 V0/ a to je 7/24. □ Bodování, (a) Matice 8 bodů (b) Význam koeficientu 4 body (c) Rovnice 3 body, pravděpodobnostní vektor 3 body, správný výsledek 2 body (d) Ví, jak na to přes násobení matic 3 body, výsledek 2 body □ 6 Příklad. 3B. 0 2 3 Myš vložíme do bludiště tvaru na obrázku. Myš si v každém kroku vybere náhodně (se stejnou pravděpodobností) jedny dveře vedoucí z komůrky, v které se aktuálně nachází, a přejde jimi do nové komůrky. Modelujte pohyb myši v bludišti pomocí Markovova procesu. (a) Napište matici tohoto procesu. [8 bodů] (b) Vysvětlete, jaký je význam koeficientu matice v 2. sloupci a 4. řádku. [4 body] (c) Ve které komůrce se myš nachází s největší pravděpodobností po velkém počtu kroků? A s jakou pravděpodobností to je? [8 bodů] (d) S jakou pravděpodobností se myš dostane z komůrky 0 do komůrky 1 právě třemi přechody? Počítejte pomocí maticového násobení. [5 bodů] Řešení, (a) Matice tohoto procesu je ( 0 1/3 0 l/4\ 1/2 0 0 1/2 0 0 0 1/4 \l/2 2/3 1 OJ (b) Prvek M42 je pravděpodobnost, že myš přejde z komůrky 1 do komůrky 3. (c) Spočítáme pravděpodobnostní vlastní vektor k vlastnímu číslu 1 matice M. M (M - E)x To vede na homogenní soustavu 0, X\ + X2 + X% + X4 = 1. í-l 1/3 0 l/4\ (l -2 0 1 \ 1/2 -1 0 1/2 0 10 6 -9 0 0 -1 1/4 0 0 -4 1 \l/2 2/3 1 -v 0 0 Řešení je x = ^(2, 3,1,4)T. Tedy myš bude po velkém počtu kroků nejčastěji v komůrce 3, a to s pravděpodobností 4/10 = 2/5. (d) Hledaná pravděpodobnost je druhá složka vektoru M3 • A\ o o a to je 15/4Í □ Bodování, (a) Matice 8 bodů (b) Význam koeficientu 4 body (c) Rovnice 3 body, pravděpodobnostní vektor 3 body, správný výsledek 2 body (d) Ví, jak na to přes násobení matic 3 body, výsledek 2 body □ 7 Příklad. 4A. Najděte všechna celá čísla, která vyhovují soustavě kongruencí 5x = 1 (mod 14), 17a: = 2 (mod 35), 5a; = 15 (mod 18). Celý výpočet proveďte bez použití kalkulačky nebo jakéhokoliv softwaru. Řešení. 3. rovnici lze podělit pěti. Dostáváme jednodušší x = 3 (mod 18). Vezmeme jednu rovnici, vyřešíme, dosadíme do druhé, vyřešíme, dosadíme do třetí a dostaneme celkový výsledek. Prvně počítejme modulo 35: 17a; = 2 (mod 35), 34a; = 4 (mod 35), x = 31 (mod 35). Proto x = 35a + 31 dosadíme do prvé rovnice a počítáme modulo 14: 5(35a + 31)a; = 1 (mod 14), 5(7a + 3) = l (mod 14), 7a + 1 = 1 (mod 14), 7a = 0 (mod 14), dělení7, a = 0 (mod 2). Tedy a = 26 a x = 35(26) + 31. Dosadíme do třetí kongruence a počítáme modulo 18: 35(26) + 31 = 3 (mod 18), 706 + 31 = 3 (mod 18), -26 = 8 (mod 18), —6 = 4 (mod 9), dělení 2, 6 = 5 (mod 9). Odtud 6 = 9c + 5 a dosazením do x dostaneme x = 35(2(9c + 5)) + 31 = 630c + 350 + 31 = 630c + 381. Bodování. Počítání modulo 35 za 7 bodů Počítání modulo 14 za 7 bodů Počítání modulo 18 za 7 bodů Správný výsledek 4 body Za každé chybné dělení strhnout 4 body □ 8 Příklad. 4B. Najděte všechna celá čísla, která vyhovují soustavě kongruencí 7y = 3 (mod 12), 13y = 15 (mod 33), 9y = 3 (mod 14). Celý výpočet proveďte bez použití kalkulačky nebo jakéhokoliv softwaru. Řešení. 3. rovnici lze podělit třemi. Dostáváme jednodušší 3y = 1 (mod 14). Vezmeme jednu rovnici, vyřešíme, dosadíme do druhé, vyřešíme, dosadíme do třetí a dostaneme celkový výsledek. Prvně počítejme modulo 33: 13y = 15 (mod 33), -20y = 15 (mod 33), —Ay = 3 (mod 33), -32í/ = 24 (mod 33), y = 24 (mod 33). Proto y = 33a + 24 dosadíme do prvé rovnice a počítáme modulo 12: 7(33a + 2A)x = 3 (mod 12), 7(—3a) =3 (mod 12), dělení 3, — 7a = 1 (mod 4), a = 1 (mod 4). Tedy a = Ab + lay = 33(46 + 1) + 24 = 1326 + 57. Dosadíme do třetí kongruence a počítáme modulo 14: 3(1326 + 57) = 1 (mod 14), 3(66+l) = l (mod 14), 46 + 3 = 1 (mod 14), 46 = - 2 (mod 14), dělení 2, 26 = - 1 (mod 7), 6 = 3 (mod 7). Odtud 6 = 7c + 3 a dosazením do y dostaneme y = 132(7c + 3) + 57 = 924c + 453. Bodování. Počítání modulo 33 za 7 bodů Počítání modulo 12 za 7 bodů Počítání modulo 14 za 7 bodů Správný výsledek 4 body Za každé chybné dělení strhnout 4 body □