\documentclass{fja}
\usepackage[shorthands=off,czech]{babel}

% vim: spell spelllang=cs
% gen: ready

\assignment{4}
\exercise{2}
\points{0,5}
\duedate{28. 3. 2021 23:59}

%%% ZDE NAPISTE SVOJE UCO A JMENO
\name{}
\uco{}


\begin{document}
\begin{zadani}
Uvažte následující čtyři relace na slovech nad abecedou $\Sigma = \{a,b,c\}$:
		\begin{center}
			\begin{tabular}{rcl}
				$u \mathbin{R_1} v$ & $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$
				& $u$ začíná písmenem $a \Leftrightarrow v$ začíná písmenem $a$ \\[.7ex]
				$u \mathbin{R_2} v$ & $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$
				& $\mathit{prefix2(u)} = \mathit{prefix2(v)}$\\[.7ex]
				$u \mathbin{R_3} v$ & $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$
				& $\big{(}\#_{a}(u) + \#_{b}(u) = |v| - \#_{c}(v)\big{)} \land \big{(}\#_{c}(u) \bmod 3 = \#_{c}(v) \bmod 3 \big{)}$\\[.7ex]
				$u \mathbin{R_4} v$ & $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$
				& $|u| = |v| \land |u| > 5 \land |v| > 5$\\
			\end{tabular}
		\end{center}
		\smallskip
		\noindent
		Operace $\mathit{prefix2}$ z relace $R_{2}$ je operace, která dostane na vstup slovo a vrací buď první dva znaky tohoto slova, nebo celé slovo, je-li kratší než 2 znaky.\\
		Formálně bychom ji definovali následovně:\\
		\[
		\mathit{prefix2(w)} = \begin{cases}
		w &\text{pokud } |w| < 2,\\
		u\text{, kde } |u|= 2 \land w = u \cdot v \text{ pro nějaké } v & \text{pokud } |w| \geq 2.
		
		\end{cases}
		\]
		
		\smallskip
		\noindent
		Pro každou z uvedených relací rozhodněte, zda se jedná o ekvivalenci.
		Pokud to není ekvivalence, dokažte proč. Pokud to ekvivalence je, toto tvrzení nedokazujte, pouze určete
		její index a popište jednotlivé třídy rozkladu podle dané relace.
		Následně rozhodněte, zda jde o pravou kongruenci a své tvrzení dokažte (s důkazem, že relace je pravá kongruence, vám může pomoct tvrzení 2.21 ze skript, nezapomeňte však, že pokud se odvoláváte na definice, věty nebo důkazy z materiálů, musíte vždy uvést, kde a jak je používáte).
		
\end{zadani}

\begin{reseni}
%%% SEM PISTE SVE RESENI
\end{reseni}

\end{document}
