\documentclass{fja}
\usepackage[shorthands=off,czech]{babel}

% vim: spell spelllang=cs

\assignment{4}
\exercise{2}
\points{0,5}
\duedate{21. 3. 2022 12:00}

%%% ZDE NAPISTE SVOJE UCO A JMENO
\name{}
\uco{}


\begin{document}
\begin{zadani}
Uvažte následující tři relace na slovech nad abecedou $\Sigma = \{a,b,c\}$:
\begin{center}
    \begin{tabular}{rcl}
        $s \mathbin{R_1} t$ & $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$
        & $\big{(}\left|s\right| < 2 \land s = t\big{)} \lor \big{(}\left|s\right| \geq 2 \land \left|t\right| \geq 2 \land \mathit{penultimate(s)} = \mathit{penultimate(t)} \big{)}$ \\[.7ex]
        $s \mathbin{R_2} t$ & $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$
        & $s = s^R \implies t = t^R$\\[.7ex]
        $s \mathbin{R_3} t$ & $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$
        & $\big{(}\#_{a}(s) + \#_{b}(s) = |t| - \#_{c}(s)\big{)} \land \big{(}\#_{a}(s) \bmod 2 = \#_{a}(t) \bmod 2 \big{)}$\\[.7ex]
    \end{tabular}
\end{center}
\smallskip
\noindent
Operace $\mathit{penultimate}$ z relace $R_{1}$ je operace, která vrací
předposlední písmeno slova (je definovaná pouze pro slova s délkou alespoň 2).
\\
Formálně bychom ji definovali následovně:\\
\[ \mathit{penultimate(s)} =
\begin{cases}
    d\text{, kde } \exists u \in \Sigma^*, e \in \Sigma\text{: } u \cdot d \cdot e = s \land \left|d\right| = 1 &\text{pokud } |s| \geq 2,\\
    \text{nedefinováno } & \text{pokud } |s| < 2.
\end{cases}
\]

\smallskip
\noindent
Pro každou z uvedených relací rozhodněte, zda se jedná o ekvivalenci. Pokud to
není ekvivalence, dokažte proč. Pokud to ekvivalence je, toto tvrzení
nedokazujte, pouze určete její index a popište jednotlivé třídy rozkladu podle
dané relace. Následně rozhodněte, zda jde o pravou kongruenci a své tvrzení
dokažte (s důkazem, že relace je pravá kongruence, vám může pomoct tvrzení 2.21
ze skript, nezapomeňte však, že pokud se odvoláváte na definice, věty nebo
důkazy z materiálů, musíte vždy uvést, kde a jak je používáte).

\end{zadani}

\begin{reseni}
%%% SEM PISTE SVE RESENI
\end{reseni}

\end{document}
