Seminár 2: Funktory a Prirodzené Transformácie
Funktor F : C D
• Zobrazenie z kategórie C do kategórie D.
• Skladá sa z
1. Objektového zobrazenia : O c —> Od
a —> Fa
2. Zobrazenia morŕizniov : a, b G Oc, C (a, b) —> D(Fa, Fb)
f^Ff
• Zachováva štruktúru :
1. F(ida) = idFa
2. F (g o /) = Fg o F f
Špeciálne funktory
Vlastnosti definované na základe oboch zobrazení.
• Injektívny - objektové zobrazenie je injektívne
• Surjektívny - objektové zobrazenie je surjektívne
• Faithful - každé zobrazemie morŕizniov je injektívne
• Full - každé zobrazemie morŕizmov je surjektívne
• Endofunktor - funktor do rovnakej kategórie, napr. F : C —> C
Zároveň hovoríme, že ak morŕizmus Ff alebo objekt Fa má nejakú vlastnost implikuje, že morŕizmus f alebo objekt a mal danú vlastnost, tak funktor reflektuje (Reflects) danú vlastnost. Môžeme zachovávat napríklad terminalitu / inicialitu objektov alebo epi / mono pre morfizmy.
Veta : Faithful funktor reflektuje epi/ mono pre morfizmy.
Príklady funktorov
• Identický ide ■ C —>• C
o e Oc ■ idc(o) = o
f G Hom(a, b) : ídc(f) = f
• Konštantný      : C —>• D, d e D
oeOc ■ Adc(o) = d
f e Hom(a, b) : Ad(f) = ídd
Prirodzené transformácie
• pre kategórie C, D a funktory F, G : C —> D definujeme prirodzenú transformáciu /i = {/ia G D(Fa, Ga)\a G Oc}
• na sa nazýva komponenta prirodzenej transformácie /i v a
• Transformácia musí splňovat Naturality condition, podmienku prirodzenosti, /ib o F f = G f o jj,ai ktorú zadáva Naturality square :
1
Fa -F f-y Fb
• Prirodzená transformácia medzi G, F nemusí existovat, napríklad ak medzi Fa a Ga neexistuje žiaden morŕizmus. Zároveň ich môže existovat viacero, kedže medzi Fa a Ga môže existovat viacero morŕizmov.
• Vzhladom na to, že prirodzené transformácie sú znova morŕizmy môžeme zadeŕinovat kategóriu, v ktorej funktory C —> D budú objekty a prirodzené transformácie budú morŕizmy
Príklady z Haskellu
• Funktory sa v Haskelli vyskytujú napríklad ako typové konštruktory, ktoré sú doplnené ešte o funkciu, transformujúcu morŕizmy týchto typov. Takto sa dá zadeŕinovat napríklad Maybe :
Data Maybe a = Nothing | Just a
fmapMaybe    (&—>&)—> (Maybe a —> Maybe b)
fmapMaybe f Nothing = Nothing
fmapMaybe f (Just x) = Just (f x)
• V haskelli je tiež možné aj abstrahovat našu ideu funktoru za použitia typvej triedy typových konštruktorov.
class Functor f where
f map ::(a—> b) —> f a —> f b
potom teda môžeme zadeŕinovat naše Maybe ako inštanciu Funktoru
instance Functor Maybe where f map f Nothing = Nothing f map f (Just x) = Just (f x)
alebo môžeme zadeŕinovat napríklad List
data List a = Nil | Cons a (List a) instance Functor List where f map f Nil = Nil
f map f (Cons h t) = Cons (f h) (f map ft))
• Nakoniec príklad prirodzenej transformácie z List a do Maybe a
safeHead :: [a] —> Maybe a safeHead [] = Nothing safeHead (x : xs) = Just x
2