Yoneda
1 Recap
1.1 Natural transformation
Mějme funktory F, G : C —> V. Přirozená transformace a : F => G je soubor morfismů:
a = {aa : F a —> G a \ a € C}, kde pro všechny morfismy / : a —>&,/€ C následující diagram komutuje:
Fa Ga
Fb Gb
Pokud všechny aa jsou izo, pak F a G jsou přirozeně izomorfní. Pokud C je malá kategorie, pak Nat(F, G) bude značit množinu všech přirozených transformací z F do G.
1.2 Hom-functor
Mějme malou kategorii C. Pak pro každé dva objekty a, b € C, C(a, b) je množina morfismů z a do b. Zafixujme si objekt cěC. Pak C(c, —) : C —> Set budeme nazývat hom-funktor.
a i—■—> C(c, a) f |c(cj) b fci C(c,b)
Jak ale vypadá C(c, /), aby nám diagram výše komutoval? C(c, /) : (g : c     a) ^ (/ o ff : c 6)
2 Yoneda
Mějme C malou kategorii, c G C a funktor F : C —> Set. Yonedovo lemma tvrdí Nat(C(c, -), F) ^ Fc, případně Func[C, Set] (C(c, -), F) = Fc.
C(c,x) ^4 C(c,y)
F f
Fx--—> Fy
Spoiler je na další stránce! Hned navrchu!
1
«*(/) = (F /) K idc) F c = {ac idc I a : C(c, -) F}
3 Yoneda in Haskell
" homfunktor" Reader a x = a —> x
"transformace" alpha : :    forall x.    (a —> x) —> F x "yoneda" forall x. (a—>x)—>Fx = Fa "co-yoneda" forall x. (x—>a)—>Fx = Fa
4 Yoneda embedding
Yonedovo vložení:
• Y+ : C -> Func[Cop, Set]
• a i—> C( —, a)
• (/ : a     6) h-> ({ac   c € C} : Func[Cop, Set](C(-, a), C(-, &)))
• "c(ff) = /°j(j:c^a) Hezčí yonedovo vložení:
• Y* : Cop -> Func[C,Set]
• a i—> C(a, —)
• (/ : a     6) h-> ({ac   c € C} : Func[C, Set](C(6, -),C(a, -)))
• "c(ff) = go f (g:b^ c)
C c   Y   > Set0"1* C<* c—!L_> setc
f 1-^    C(-,0 C H> C(f,-)
5 YEiH
Druhé yonedovo vložení: forall x.(a -> x) -> (b -> x) = b -> a. BtoA::B->A, fromY::(A -> x) -> (B -> x) fromY f b = f (BtoA b). BtoA b = fromY id b
2