Seminář 6: Adjunkce
Unit/counit adjunkce
Kategorie C, D, Funktory L : D → C, R : C → D
• L je levý adjunkt R
• R je pravý adjunkt L
Značení: L R
Pokud existují přirozené transformace:
• η : ID ⇒ R ◦ L(unit)
• : L ◦ R ⇒ IC(counit).
Ld d c Rc
RLd LRc
R
L
ηd
ID
R
IC
L
d
Pro tyto transformace platí následující rovnosti:
• L = L ◦ ID → L ◦ R ◦ L → IC ◦ L = L
• R = ID ◦ R → R ◦ L ◦ R → R ◦ IC = R
Hom-Set adjunkce
Kategorie C, D, Funktory L : D → C, R : C → D
L R ⇐⇒ HomC(Ld, c) ∼= HomD(d, Rc)
Φ je přirozený isomorfismus mezi HomSety
Ld d
c Rc
L
Φ
R
Adjunkce unvierzální šipkou (Universal arrow adjunction)
Kategorie C, D, Funktory L : D → C, R : C → D
L R ⇐⇒ existuje přirozená transformace η : ID ⇒ R ◦ L taková, že
∀c ∈ OC, ∀d ∈ OD a ∀f : d → Rc ∃!g : Ld → c, že následující diagram komutuje:
d RLd
Rc
f
ηd
Rg
1
Ekvivalence definic
HomSet → Unit/Counit:
ηd : ID ⇒ R ◦ Ld = Φd,Ld(ID(Ld))
c : L ◦ R ⇒ IC = Φ−1
Rc,c(IC(Rc))
Universal arrow → HomSet:
Φd,c : HomC(Ld, c) → HomD(d, Rc) = (α : Ld → c) → Rα ◦ η
Unit/Counit → Universal arrow:
R(∆) ◦ ηc = f
∆ = c ◦ Lf = g
Unikátnost adjunkcí (až na přirozený isomorfismus)
Nechť L, L : D → c a R : C → D
L R, L R s přirozenými bijekcemi Φd,c a Φd,c
Pak pro libovolné d ∈ OD platí, že:
HomC(Ld, −) ∼= HomD(c, R−) ∼= HomC(L d, −)
Z toho jde pomocí Yonneda embedding ukázat, že F a F jsou přirozeně iso-
morfní.
Příklady
Exponenciál CCC popsaný adjunkcí:
L = z → z × a
R = b → a ⇒ b
Unit: η = z → a ⇒ z × a
Counit: = (a ⇒ b) × a) → b = eval
Free/Forgetful adjunkce
Kategorie Mon - objekty jsou monoidy, morfismy jsou homomorfismy mezi nimi.
Mějme X ∈ OSet jako abecedu a F(X) takové, že F(X) = (X∗, ++, ()).
X∗
je množina slov složených z prvků X - například:
w = (x1, x2, x3), u = (x1), z = ().
++ je operace zřetězení a () je prázdné slovo.
Pak máme, že F = Set → Mon takové, že pro každou množinu vybere monoid
jí generovaný.
Mějme U = Mon → Set takové, které monoid namapuje na jeho množinu.
X je tedy generátor monoidu F(X) a U(F(X)) namapuje X na množinu generovanou
X a operací ++.
Nyní můžeme definovat přirozenou transformaci η : IdSet ⇒ U ◦ F takovou,
že ηX(x) = (x). Nyní chceme ukázat, že pro libovolné f existuje právě jedno g
takové, že následující daigram komutuje:
X U(F(X))
U(M)
f
ηX
U(g)
Tedy chceme najít morfismus g takový, že je homomorfismus mezi monoidy a
zároveň splňuje rovnost: f(x) = U(g)(ηXx) = U(g)((x)).
Takový morfismus g je:
g(()) = idM
g((x)) = f(x)
g((x1, x2, . . . , xn)) = f(x1)f(x2). . . f(xn)
2