Algebra II – jaro 2016 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (N, ⋄), kde ⋄ je binární operace definovaná
předpisem
a ⋄ b =
a + 1, pokud 2 ∤ a + b,
a + 2, pokud 2 | a + b.
2. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ⊆), kde L je množina všech
binárních relací ρ na množině N, které splňují podmínku, že pro všechna a, b, c ∈ N,
pokud (a, b) i (a, c) patří do ρ, potom do ρ patří také alespoň jedna z dvojic (b, c)
a (c, b), je svaz.
3. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ⊆), kde prvky L jsou právě
množina {0, 1}∗
a všechny podmnožiny B množiny {0, 1}∗
takové, že pro každé
slovo w ∈ B patří do B právě jedno ze slov w0 a w1, je úplný svaz.
4. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ≤), kde prvky L jsou právě
posloupnosti (ai)∞
i=1, kde ai ∈ {0, 1, 2}, a uspořádání je dáno předpisem
(ai)∞
i=1 ≤ (bi)∞
i=1 ⇐⇒ ∀i ∈ N: ai ≤ bi,
je algebraický svaz.
5. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis (ϕ, ψ) ∼ (ρ, σ) ⇐⇒ ϕ ◦ ψ = ρ ◦ σ definuje
kongruenci ∼ algebry (RR
×RR
, ∗, ⋄), kde ∗ je unární operace definovaná předpisem
∗((ϕ, ψ)) = (ϕ ◦ ψ, ϕ ◦ ψ) a ⋄ je binární operace definovaná předpisem
(ϕ, ψ) ⋄ (ρ, σ) = (ϕ ◦ ρ, ψ ◦ σ),
pro ϕ, ψ, ρ, σ: R → R.
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z binárních operačních symbolů f,
g a h a unárního operačního symbolu p. Rozhodněte, která z následujících identit
je splněna v algebře A s nosnou množinou { ρ ⊆ N × N | idN ⊆ ρ }, s operacemi
fA
, gA
a hA
definovanými pro libovolné reflexivní relace ρ, σ ⊆ N × N předpisy
fA
(ρ, σ) = ρ ∩ σ, gA
(ρ, σ) = ρ ∪ σ, hA
(ρ, σ) = ρ ◦ σ a s pA
(ρ) definovaným jako
tranzitivní obal relace ρ.
a) p(f(x, y)) = f(p(x), p(y)),
b) p(g(x, y)) = p(h(x, y)).
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
svazů, které jsou buď Booleovy algebry, nebo prázdné.