Algebra II – jaro 2019 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (N × Z, f, g, ⊕), kde unární operace
f a g a binární operace ⊕ jsou definované předpisy
f((a, b)) = (a + 1, b),
g((a, b)) = (a, b + 1),
(a, b) ⊕ (c, d) = (a, d).
2. (5 bodů) Nechť A je množina všech podmnožin B ⊆ Z × Z takových, že alespoň
jedna z množin B a (Z × Z) \ B je podalgebrou algebry (Z, succ)2
. Rozhodněte,
zda uspořádaná množina (A, ⊆) je svaz.
3. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou největší prvek ,
nejmenší prvek ⊥ a všechny dvojice (A, a), kde a ∈ A ⊆ R, přičemž (A, a) ≤ (B, b)
platí právě tehdy, když A ⊆ B a a ≤ b. Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina
je úplný svaz.
4. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu (N × N ∪ { }, ≤), kde je největší
prvek a na N × N je uspořádání definováno lexikograficky, tj.
∀k, , m, n ∈ N: (k, ) ≤ (m, n) ⇐⇒ k < m nebo (k = m & ≤ n).
Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina je algebraický svaz.
5. (10 bodů) Nechť A je množina všech reflexivních binárních relací na množině
{a, b}∗
všech slov nad dvoupísmennou abecedou. Na A uvažujme tři unární operace
f, g a k definované předpisy
f(ρ) = { (au, av) | (u, v) ∈ ρ } ∪ id{a,b}∗ ,
g(ρ) = { (u, v) ∈ {a, b}∗
× {a, b}∗
| (au, av) ∈ ρ },
k(ρ) = { (u, v) ∈ {a, b}∗
× {a, b}∗
| ∃ w ∈ {a, b}∗
: (u, w), (v, w) ∈ ρ }.
Rozhodněte, zda relace ∼ definovaná předpisem
ρ ∼ σ ⇐⇒ k(ρ) = k(σ)
je kongruencí algebry a) (A, f), b) (A, g).
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající ze dvou binárních operačních symbolů
⊕ a ⊗. Rozhodněte, která z následujících identit je splněna v algebře A, jejíž
nosnou množinou je množina
{ I(m, n) | m, n ∈ N, m ≤ n } ∪ {∅},
kde I(m, n) = { k ∈ N | m ≤ k ≤ n },
operace ⊕A
je průnik a operace ⊗A
je pro libovolná přirozená čísla m, n, p, q
splňující m ≤ n a p ≤ q definována předpisy
∅ ⊗A
∅ = ∅,
I(m, n) ⊗A
∅ = ∅ ⊗A
I(m, n) = I(m, n),
I(m, n) ⊗A
I(p, q) = I(min(m, p), max(n, q)).
a) (x ⊗ y) ⊕ (z ⊗ t) ⊕ (x ⊕ z) ⊗ (y ⊕ t) = (x ⊕ z) ⊗ (y ⊕ t),
b) (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z) ⊕ x ⊗ (y ⊕ (x ⊗ z)) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z).
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
svazů L takových, že neexistují prvky ai ∈ L pro i ∈ N splňující současně následující
podmínky:
1) ai > aj pro všechna i < j, 2) inf{ ai | i ∈ N } je nejmenším prvkem L.