%\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
\documentclass[handout]{beamer}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usecolortheme{sidebartab}

\usetheme{Warsaw}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\title[Vektorové prostory\hspace{15mm} \insertframenumber/\inserttotalframenumber]
{MB141 -- 4. přednáška \\Vektorové prostory, báze, dimenze}
%\subtitle{}
\author[4. přednáška]{Martin Čadek\\ s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101}
\date{Jarní semestr 2022}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\newtheorem{veta}{Věta}
%\newtheorem{hyp}{Hypot\'eza}
\newtheorem{reseni}{Řešení}
%\newtheorem{problemx}{Problem}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
\theoremstyle{example}
\newtheorem{definice}{Definice}
\newtheorem{priklad}{P\v r\'iklad}
\def\cervena #1{{\color{red} #1}}
\def\cervene #1{{\color{red} #1}}
\def\modra #1{{\color{blue}  #1}}
\def\modre #1{{\color{blue}  #1}}
\xdefinecolor{tmavezelena}{cmyk}{0.7,0,1,0.5}
\def\zelena #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\zelene #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\c #1{\mathcal {#1}}
\def\s #1{\mathsf {#1}}
%\def\poznamka #1{{\footnotesize Pozn.: #1}\\}
\def\poznamka #1{{\scriptsize Pozn.: #1}\\}
\def\otazka #1{{\scriptsize Kontrolní otázka: #1}\\}
\def\zavorka #1{{\scriptsize [ #1 ]}\\}
\def\sami {{\scriptsize Vyřešte samostatně.}}
\def\ec {{\vec{e_1}}}
\def\ecc {{\vec{e_2}}}
\def\efc {{\vec{f_1}}}
\def\efcc {{\vec{f_2}}}

\def\rovina {{\mathbb R^2}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\skalar #1#2{{\langle #1, #2\rangle}}
\def\velikost #1{{\| #1\|}}
\def\sgn #1{{\operatorname{sgn}(#1)}}
\def\norm #1{\|#1\|}

\def\R{\mathbb R}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\K{\mathbb K}
\def\C{\mathbb C}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%\input definice-slovak.tex

\def\tuzka{\hfill ${\color{orange}\blacktriangleright \blacktriangleright}$}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\newcommand{\maticemn}[1]{
\left(
\begin{array}{llll}
#1_{11}&#1_{12}&\dots&#1_{1n}\\
#1_{21}&#1_{22}&\dots&#1_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
#1_{m1}&#1_{m2}&\dots&#1_{mn}\\
\end{array}
\right)}

\newcommand{\maticedvadva}[4]{
\left(
\begin{array}{rr}
#1&#2\\
#3&#4\\
\end{array}
\right)}

%\newcommand{\maticedvatri}[6]{
%\left(
%\begin{array}{rrr}
%#1&#2&#3\\
%#4&#5&#6\\
%\end{array}
%\right)}

\newcommand{\maticedvatri}[6]{
\left(
\begin{smallmatrix} 
#1&#2&#3\\
#4&#5&#6
\end{smallmatrix} \right)}


\newcommand{\sloupecdva}[2]{
\left(
\begin{array}{l}
#1\\
#2\\
\end{array}
\right)}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Osnova přednášky}
\begin{itemize}
{\item Vektorové prostory
\bigskip
\item Výběr vhodné generující množiny
\bigskip
\item Báze a dimenze podprostorů
\bigskip
\item Průnik a součet podprostorů
}
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Motivace}
\begin{itemize}
 \item Vektory -- sčítání, násobky.
\item Uvažujme systém \modre{$m$ }lineárních rovnic pro \modre{$n$} proměnných 
a~předpokládejme, že jde o
soustavu tvaru \modre{$A\cdot x = 0$}, tj.
$$\modre{
\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots&& \vdots\\
a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}
.\begin{pmatrix} x_{1}\\\vdots\\ x_{n}\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\ 0\end{pmatrix}}.
$$

%Díky vlastnosti distributivity pro násobení matic je okamžitě zřejmé, 
\begin{itemize}
\item Součet dvou řešení $\modre{x=
(x_1,\dots,x_n)}$ a $\modre{y = (y_1,\dots,y_n)}$ splňuje
$$\modre{
A\cdot (x+y) = A\cdot x + A\cdot y = 0}
$$
a je tedy také řešením. 

\item
Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek
$\modre{a\cdot x}$. 
%\end{itemize}
\item Máme tedy podmnožinu $\modre{\mathbb{K}^n}$ sestávající ze všech řešení
soustavy $\modre{M=\{x\in \mathbb{K}^n \mid A\cdot x =0 \}}$ se sčítáním a násobky.
\end{itemize}
\end{itemize}

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Vektorové prostory}
Nechť \modre{$\K$} je množina reálných čísel \modre{$\R$} nebo racionálních čísel \modre{$\Q$} nebo komplexních čísel \modre{$\C$}.

\begin{definice}
\cervene{Vektorový prostor} \modre{$V$} nad polem skalárů \modre{$\Bbb K$} je neprázdná množina s operacemi sčítání vektorů \modre{$+:\ V\times V\to V$}
a násobení vektoru skalárem \modre{$\cdot:\ \K\times V\to V$}, pro které platí
\begin{gather}
\modre{(u+v)+w=u+(v+w)}\\
\modre{u+v=v+u}\\
\modre{\exists\ 0\in V:}\quad \modre{u+0=u}\\
\modre{a \cdot (v+w)=a \cdot v+a \cdot w } \\
\modre{\forall u\in V \ \exists (-u)\in V:}\quad \modra{u+(-u)=0}\\
\modre{(a+b) \cdot v=a \cdot v+b \cdot v} \\
\modre{a \cdot (b \cdot v)=(a \cdot b) \cdot v} \\
\modre{1 \cdot v=v }
\end{gather}
\end{definice}

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Vektorové prostory -- příklady}
Rozumné (známé) příklady:
\begin{itemize}
\item Vektory v rovině: $\modre{\mathbb{R}^2}$.
\pause
\item Prostory vyšší dimenze: $\modre{\mathbb{R}^n}$.
\pause
\item Matice nad polem: $\modre{Mat_{n,m}(\mathbb R)}$.
\pause
\item Polynomy omezeného stupně: 
$$\modre{\mathbb R_4[x]=\{a_4x^4+a_3x^3+ a_2x^2+a_1x+a_0 \mid 
a_4,a_3,a_2,a_1,a_0\in \mathbb R\}}$$
Obecně  $\modre{\mathbb R_n[x]}$.
\pause
\item Množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. 
\pause
\item $\modre{\mathbb{C}}$ vektorový prostor nad $\modre{\mathbb{R}}$.
\end{itemize}
\pause

\medskip
Všechno to jsou reálné vektorové prostory, tj. $\modre{\mathbb K=\mathbb R}$.
\pause

Lze uvažovat i příklady \modre{$\mathbb Q^n$}, 
\modre{$\mathbb C^n$},  $\modre{\mathbb Q_n[x]}$, kde $\modre{\mathbb K=\mathbb Q}$ či
$\modre{\mathbb K=\mathbb C}$.

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Vektorové prostory -- příklady II}
Poněkud složitější příklady:
\begin{itemize}
\item Polynomy: $\modre{\mathbb{R}[x]}$.
\pause
\item Funkce: $\modre{F(\mathbb{R})=\{f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R\}}$.
\pause
\item $\modre{\mathbb{R}}$ vektorový prostor nad $\modre{\mathbb{Q}}$.
\end{itemize}
\pause
Poslední dva jsou trochu divoké.

\pause
\bigskip
 Příklady množin, které netvoří vektorový prostor.
\begin{itemize}
\item \modre{$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$} nad \modre{$\mathbb R$}.
\pause
\item $\modre{M=\{x\in \mathbb{K}^n \mid A\cdot x =b \}}$, pro \modre{$b$} nenulové.
\pause
\item Čtvercové matice s determinantem \modre{$1$}. 
\pause
\item Polynomy stupně \modre{$n$}. 
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Vektorové prostory -- další vlastnosti}
 \begin{veta}
Nechť \modre{$V$} je vektorový prostor nad polem skalárů \modre{$\Bbb K$}, dále uvažme
skaláry \modre{$a, b, a_i \in \Bbb K$} a vektory \modre{$u, v, u_j \in V$}. Potom
\begin{itemize}
 \item $ \modre{a\cdot u=0} $ právě když $\modre{ a=0 }$ nebo $\modre{ u=0}$,
 \item $\modre{ (-1)\cdot u=-u}$,
 \item $\modre{ a \cdot (u-v)=a \cdot u-a \cdot v}$,
 \item $\modre{ (a-b) \cdot u = a \cdot u-b \cdot u}$,
% \item $\modre{  \bigl( \sum_{i=1}^{n} a_i\bigr) \cdot \bigl(
%\sum_{j=1}^{m}u_j\bigr)=
 % \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_i\cdot u_j}$.
\end{itemize}
\end{veta}
\medskip

\begin{definice}
\cervene{Lineární kombinace vektorů} \modre{$u_1,u_2,\dots.u_k$} je vektor
\modre{$$a_1u_1+a_2u_2+\dots+a_ku_k\in V,$$}
kde \modre{$a_1,a_2,\dots, a_k\in \mathbb K$} jsou skaláry.
\end{definice}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Podprostory}
 Kdy je podmnožina \modre{$U$} vektorového prostoru \modre{$V$} opět vektorovým prostorem?  Pokud chceme používat stejné operace, je to právě když lineární kombinace vektorů z \modre{$U$} leží rovněž v \modre{$U$}.
\begin{definice}
Podmnožina \modre{$\emptyset\not= U \subseteq V$} se nazývá \cervene{vektorovým podprostorem},
jestliže, spolu se zúženými operacemi sčítání a násobení skaláry,
splňuje
$$ \modre{\forall a,b \in \Bbb K ,~\forall
v,w \in U,~ a \cdot v+b \cdot w \in U}.
$$
\end{definice}
\pause
Příklady:
\begin{itemize}
 \item $\modre{\mathbb R_n[x]\subseteq \mathbb R[x]}$.
 \pause
\item $\modre{\mathbb R\subseteq \mathbb C}$.
\pause
\item $\modre{M=\{x\in \mathbb{K}^n \mid A\cdot x =0 \}\subseteq \mathbb{K}^n}$.
\pause
\item Sudé polynomy 
$\modre{\{f\in \mathbb R_4[x] \mid f(x)=f(-x)\}\subseteq \mathbb R_4[x]\} }$.\\
\end{itemize}


\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Lineární obal množiny vektorů}

\begin{definice}
Říkáme, že vektory \modre{$v_1,v_2,\dots,v_n$} \cervene{generují} vektorový prostor, jestliže každý vektor \modre{$u\in V$} je nějakou jejich lineární kombinací, tj. existují \modre{$a_1,a_2,\dots,a_n\in\K$}, že
\modre{$$u=a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_nv_n$$}
\end{definice}

Lineární kombinace vektorů \modre{$v_1,v_2,\dots,v_n$} nemusí dávat všechny vektory ve \modre{$V$}. Nicméně tvoří vždy nějaký jeho podprostor. Říkáme mu lineární obal
těchto vektorů.

\begin{definice}
\cervene{Lineární obal} vektorů  \modre{$v_1,v_2,\dots,v_n$} je množina
\modre{$$[v_1,v_2,\dots,v_n] = \{a_1 \cdot u_1+ \dots +a_k \cdot u_k\mid \  a_i \in \Bbb K\}\, .$$}
\end{definice}

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Výběr optimálních základních vektorů}
\begin{itemize}
 \item Cíl: najít co nejmenší základní množinu vektorů, abychom
mohli pomocí nich ostatní vektory (jednoznačně) vyjádřit. 
\end{itemize}
\begin{definice}
\begin{itemize}
\item
Množina vektorů \modre{$M=\{v_1,v_2,\dots,v_k\} \subseteq V$} ve vektorovém prostoru
\modre{$V$} nad \modre{$\Bbb K$} se nazývá \cervene{lineárně nezávislá}, jestliže pro
každou \modre{$k$}-tici  skalárů
$\modre{a_1, \dots , a_k \in \Bbb K}$ platí:
$$\modre{
a_1 \cdot v_1 + \dots +a_k \cdot v_k
=0\quad \implies \quad a_1=a_2= \dots =a_k=0}.$$
%\pause
\item
\modre{$M$} je \cervene{lineárně závislá}, jestliže není lineárně
nezávislá. 
\end{itemize}
\end{definice}
\begin{itemize}
\item \modre{$M$} je závislá, právě když aspoň jeden z jejích vektorů je 
vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních. 
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Lineární nezávislost -- příklad I}
Základní množina vektorů, aby byla co nejmenší, musí být
lineárně nezávislá. Jak to poznáme?

\begin{priklad}
Rozhodněte, zda jsou vektory
$\modre{v_1=(1,1,1)}$, $\modre{v_2=(-1,0,1)}$ a~$\modre{v_3=(1,2,3)}$
lineárně nezávislé
(v reálném prostoru $\modre{\mathbb{R}^3}$).
\end{priklad}
Soustava \modre{$x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3=0$} s maticí
$$
\modre{\left(
\begin{array}{rrr|r}
1&-1&1&0\\
1&0&2&0\\
1&1&3&0\\
\end{array}\right)}$$

má řešení $\modre{x_1=-2t, x_2=-t, x_3=t}$. Např. pro $\modre{t=1}$ dostaneme $\modre{-2\cdot v_1 - v_2+v_3=0}$, tzn. 
$\modre{v_3=2\cdot v_1+v_2}$.\\

Zkouška: $\modre{2v_1+v_2=(2,2,2)+(-1,0,1)=(1,2,3)=v_3}$.\\
Odpověď: zadané vektory jsou lineárně závislé.
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Lineární nezávislost -- příklad  II}
\begin{priklad}
Rozhodněte, zda jsou vektory
$\modre{x^3-x+1}$, $\modre{2x^3+x^2-2x}$, $\modre{ x^4+x^3-x}$ a
$\modre{x^4-x^2+1}$ lineárně nezávislé.
%(v reálném prostoru $\modre{\mathbb{R}^3}$).
\end{priklad}

\tuzka
\pause
$$
\modre{
\begin{array}{r} x^4: \\ x^3: \\ x^2: \\ x^1: \\ x^0: \end{array}
%\modre{
\left(
\begin{array}{rrrr|r}
0 &0 &1 &1 &0\\
1 &2 &1 &0 &0\\
0 &1 &0 &-1&0\\
-1&-2&-1&0 &0\\
1 &0 &0 &1 &0\\
\end{array}\right)}$$
\pause
Odpověď: jsou lineárně závislé.
\pause

\bigskip
Postup (obecně): vektory dáme do (sloupců) matice a řešíme příslušnou homogenní soustavu rovnic.


\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Báze vektorového prostoru}
\begin{definice}
\begin{itemize}
\item Vektorový prostor, který je generován konečnou množinou vektorů se nazývá
\cervene{konečněrozměrný}.
 \item Nechť \modre{$V$} je konečněrozměrný vektorový prostor. 
Vektory  \modre{$v_1,v_2,\dots, v_n\in V$} tvoří \cervene{bázi vektorového
prostoru} \modre{$V$}, jestliže generují \modre{$V$} a jsou lineárně nezávislé. 
\pause
\item 
Počet prvků všech bází je stejný a proto jej můžeme nazývat  \cervene{dimenzí} prostoru \modre{$V$}.
Značíme \modre{$\operatorname{dim}V$}. 
\end{itemize}
\end{definice}
\pause

Triviální podprostor $\{0\}$ je generován prázdnou množinou, která je "prázdnou"\ bází. 
Má tedy nulovou dimenzi.

\pause

Je-li \modre{$(v_1,v_2,\dots , v_n)$} báze, pak libovolný vektor \modre{$v\in V$} lze jediným způsobem zapsat jako lineární kombinaci vektorů báze 
\modre{$$v=a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_nv_n.$$}
Koeficienty \modre{$(a_1,a_2,\dots,a_n)$} nazýváme \cervene{souřadnice} vektoru $v$ v~dané bázi. 

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx



%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Báze -- příklady}
\begin{itemize}
\item $\modre{\mathbb{R}^2}$:  báze \modre{$((1,0),(0,1))$}; dimenze \modre{$2$}.
\pause
\item $\modre{\mathbb{R}^n}$:  báze \modre{$(e_1,e_2,\dots ,e_n)$}, kde 
$\modre{e_i=(0,\dots ,0 ,1,0\dots ,0)}$;   dimenze \modre{$n$}.
\pause
\item $\modre{Mat_{n,m}(\mathbb R)}$: dimenze  \modre{$nm$}. \\[.2cm]
\pause
$\modre{Mat_{2,3}(\mathbb R)= \left\{ \maticedvatri{a}{b}{c}{d}{e}{f}  \mid a,b,c,d,e,f \in\mathbb R\right\}=}$\\[.1cm]
\pause 
$\modre{\left\{ a\cdot \maticedvatri100000 + b\cdot \maticedvatri010000 + c\cdot \maticedvatri001000 + 
d\cdot \maticedvatri000100 + 
\right. }$ \\[.1cm]
$\modre{\left. \phantom{sakjhdgslkjhfl} + e\cdot \maticedvatri000010 + f\cdot \maticedvatri000001 
\mid  a,b,c,d,e,f \in\mathbb R\right\} }$.\\[.3cm]
\pause
Báze je  \modre{$\left( \maticedvatri100000,\maticedvatri010000, \maticedvatri001000, 
\maticedvatri000100, \maticedvatri000010, \maticedvatri000001  \right)$}.
\item $\modre{\mathbb R_4[x]}$:  báze $\modre{(x^4,x^3,x^2,x,1)}$; dimenze \modre{$5$}.\\
($\modre{\mathbb R_4[x]=\{a_4x^4+a_3x^3+ a_2x^2+a_1x+a_0 \mid 
a_4,\dots ,a_0\in \mathbb R\}}$) 
\pause
%\item $\modre{\mathbb{C}=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb R\}}$.\\
%Reálný vektorový prostor: báze \modre{$(1,i)$}; dimenze \modre{$2$}.\\
%\pause
%Ovšem pokud uvažujeme $\modre{\mathbb{C}}$ jako vektorový prostor nad %$\modre{\mathbb{C}}$, 
%pak má dimenzi \modre{$1$} (báze je např. \modre{$(1)$}).\\
%Nyní je množina vektorů  \modre{$\{1,i\}$} lineárně závislá.
%\pause
\item $\modre {[(1,1,1), (-1,0,1), (1,2,3)]=
[ (1,1,1), (-1,0,1)]} $ je podprostor prostoru \modre{$\mathbb{R}^3$}  dimenze \modre{$2$}.
{\footnotesize (Příklad z 9. slajdu.)}
\pause
\item $\modre{\mathbb R[x]}$: není konečněrozměrný.
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Báze -- základní poznatky}
 \begin{veta}
 Pro konečněrozměrný vektorový prostor \modre{$V$} platí:
\begin{itemize}
 \item Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru \modre{$V$}
lze vybrat bázi.
\pause
\item Všechny báze \modre{$V$}  mají stejný počet vektorů.
\pause
\end{itemize}
\end{veta}

\pause
\medskip

\begin{priklad}
 Nechť \modre{$M=\{(1,0,2,0,1),(0,2,1,-1,1), (2,-4,2,2,0),$} 
 \modre{$(2,1,3,1,1), (0,1,0,0,0)\}\subseteq \mathbb R^5$}.
Z množiny \modre{$M$} vyberte bázi lineárního obalu \modre{$M$} 
(tj. podprostoru \modre{$V=[ M ] \subseteq \mathbb R^5$}).
\end{priklad}


\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad -- výběr báze z generující množiny}
\begin{itemize}
 \item \modre{$v_1=(1,0,2,0,1), v_2=(0,2,1,-1,1), v_3=(2,-4,2,2,0),$} 
 \modre{$v_4=(2,1,3,1,1), v_5=(0,1,0,0,0)$}.
 \pause
 \item Postup -- odstraňování přebytečných vektorů.
 \pause
$$\modre{\left(
\begin{array}{rrrrr}
1 &0 &2 &2 &0\\
0 &2 &-4 &1 &1\\
2 &1 &2 &3&0\\
0&-1&2&1 &0\\
1 &1 &0 &1 &0\\
\end{array}\right) \sim
\left(
\begin{array}{rrrrr}
1 &0 &2 &2 &0\\
0 &2 &-4 &1 &1\\
0 &1 &-2 &-1&0\\
0&-1&2&1 &0\\
0 &1 &-2 &-1 &0\\
\end{array}\right) \sim
}$$

$$\modre{\left( 
\begin{array}{rrrrr}
\cervene{1} &0 &2 &2 &0\\
0 &\cervene{1} &-2 &-1&0\\
0&0&0&\cervene{3} &1\\
0 &0 &0 &0 &0\\
0 &0 &0 &0 &0\\
\end{array}\right) } $$
\item \modre{$v_3$} lze vyjádřit pomocí \modre{$v_1$} 
a \modre{$v_2$};\ \  \modre{$v_5$} pomocí \modre{$v_1$}, \modre{$v_2$}, \modre{$v_4$}.
\item Báze \modre{$(v_1,v_2, v_4)$}.
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Báze -- další teoretické poznatky}
Je-li \modre{$V$} konečněrozměrný, je vhodné si pamatovat:
\begin{itemize}
\item Z každé množiny generátorů, lze vybrat bázi.
\item Báze  konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě minimální
množiny generátorů.
\item  Každou lineárně nezávislou
množinu lze doplnit do báze.
\item Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě 
maximální lineárně nezávislé množiny.

\end{itemize}


Důsledek:
\begin{veta}
 Pro libovolný konečněrozměrný vektorový prostor \modre{$V$}  a jeho 
 podprostor \modre{$U$} platí:
 $$\modre{ \dim U \le \dim V }.$$
\end{veta}

\begin{itemize}
 \item Pro přirozená čísla \modre{$m>n$} je libovolná množina $\modre{m}$ vektorů
 v~prostoru dimenze \modre{$n$} (např. \modre{$\mathbb R^n$}) lineárně závislá.
\end{itemize}

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Báze -- příklad s polynomy}
\begin{priklad}
Je dán vektorový prostor
$\modre{V=\mathbb R_4[x]}$.
Určete bázi a dimenzi podprostorů $\modre{P}$, $\modre{Q}$, $\modre{P\cap Q}$, kde
$$\modre{
P=\{f\in \mathbb R_4[x] \mid (\forall c\in\mathbb R) (f(c)=f(-c))\ \}}\, , $$
$$\modre{
Q=[ x^3-x+1,\ 2x^3+x^2-2x,\phantom{aasjhgfgsdff}}$$
$$\modre{\phantom{asdfjhgfaghisdf} x^4+x^3-x, \ x^4-x^2+1]}\, .
$$
\end{priklad}

\tuzka
 \pause
\begin{itemize}
\item
$\modre{P}$ má bázi $\modre{(x^4, x^2,1)}$ a dimenzi $\modre{3}$.
\pause
\item Už jsme spočítali bázi a dimenzi \modre{$Q$} (slajd 10): dimenze je $\modre{3}$ a báze 
$\modre{(x^3-x+1,\ 2x^3+x^2-2x, x^4+x^3-x)}$.
\pause
\item
Hledáme skaláry $\modre{a,b,c, p,q, r }$ tak, aby $\modre{a x^4+bx^2+c= pv_1+qv_2+rv_3}$.
\pause
\item
To vede na řešení následující soustavy.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Báze -- příklad s polynomy -- pokračování}
%
$$\modre{
\left(
\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 &1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 &1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 &0\\
0 & 0 & 0 &-1 &-2 &-1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 &0\\
\end{array}\right)
\pause
\sim
\left(
\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 &1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 &0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 &0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 &1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0\\
\end{array}\right)
}$$
\pause
\begin{itemize}
\item
Řešení: $\modre{q,r}$ volné proměnné, $\modre{p=-r-2q}$.
\pause
\item
V průniku jsou tedy vektory tvaru
$$\modre{(-r-2q)\cdot (x^3-x+1) + q\cdot (2x^3+x^2-2x) + r\cdot (x^4+x^3-x)}$$
$$\phantom{asdfasdf} \modre{=q\cdot(x^2-2) +r\cdot (x^4-1)}\, .$$ 
\item Proto $\modre{P\cap Q}$
má bázi $\modre{(x^2-2,x^4-1)}$ a dimenzi $\modre{2}$.
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Průnik a součet podprostorů}
Nechť $\modre{U}$ a  $\modre{W}$, jsou podprostory ve \modre{$V$}, 
$\modre{a,b \in \Bbb K}$, $\modre{u,v \in U\cap W}$. Pak $\modre{a \cdot u+b \cdot v \in U\cap V}$. 
\cervene{Průnik} podprostorů je opět podprostor.
\pause
\medskip

Sjednocení podprostorů není obecně podprostor. Místo sjednocení proto definujeme
součet podprostorů.

\begin{definice}
 \cervene{Součtem podprostorů} \modre{$U+W$} je množina
 \modre{$$U+W=\{u+w\in V|\ u\in U,\, w\in W\}.$$}
Je to opět vektorový podprostor, nejmenší, který obsahuje podprostory \modre{$U$} a \modre{$W$}. 
\end{definice}

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad s polynomy -- součet podprostorů}
\begin{priklad}
Určete bázi a dimenzi podprostoru $\modre{P+Q}$.
\end{priklad}
\pause
\begin{itemize}
\item 
Sjednotíme báze a dostaneme množinu generátorů.
\pause
\item
Z ní vybereme bázi $\modre{P+Q}$.
\pause
\item
To už máme mimoděk spočítáno: báze $\modre{P+Q}$ je například 
$\modre{(x^4, x^2,1,x^3-x+1)}$ a dimenze je  $\modre{4}$.
\pause
\item
Platí (zkouška): \modre{$\dim P+\dim Q=\dim(P+Q)+\dim(P \cap
Q)$}.
\item
\zelene{Závěr}: báze i dimenze $\modre{P+Q}$ a $\modre{P\cap Q}$
se počítá současně.
\end{itemize}
\begin{veta}
Pro $\modre{U, W}$ podprostory v konečněrozměrném  $\modre{V}$ platí
\begin{itemize}
\item \modre{$\dim U \leq \dim V$},
\item \modre{$U=V $} právě když \modre{$\dim U=\dim V$},
\item \modre{$\dim U+\dim W=\dim(U+W)+\dim(U \cap
W)$}.
\end{itemize}
\end{veta}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx



%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Požadavky}
Typické příklady:
\begin{itemize}
\item Určit bázi a dimenzi podprostoru
(užitečné dovednosti: vyběr báze ze zadané množiny generátorů, 
doplnění množiny vektorů na bázi).
\item Průnik a součet podprostorů -- opět báze a dimenze. 
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Domácí úloha}
\footnotesize
 \begin{priklad}[4.1]
Pro každou ze zadaných podmnožin $M_i$ vektorového prostoru
$V=\mathbb R_2[x]=\{ a_2x^2+a_1x+a_0 \mid a_2,a_1,a_0\in \mathbb R\}$
rozhodněte, zda je vektorovým podprostorem $V$. 
\begin{itemize}
 \item[i)] $M_1=\{f\in \mathbb R_2[x] \mid f(1)=f(2)\}$;
\item[ii)] $M_2=\{f\in \mathbb R_2[x] \mid f(1)=0 \wedge\ (\forall c\in\mathbb R) 
(f(c)=f(-c))\ \}$;
\item[iii)] $M_3=\{f\in \mathbb R_2[x] \mid f(1)=0 \wedge f(0)=1\}$.
\end{itemize}
Pokud $M_i$ není vektorový podprostor, toto tvrzení zdůvodněte.
Pokud $M_i$ je vektorový podprostor, určete dimenzi a nějakou bázi tohoto podprostoru.
  \end{priklad}

 
 \begin{priklad}[4.2]
Ve vektorovém prostoru $\mathbb R^4$ (nad tělesem $\mathbb R$) jsou dány vektory
$u_1=(1,1,1,1)$, $u_2=(2,-1,1,6)$, $u_3=(0,3,1,-4)$ a $u_4=(3,1,2,6)$.
Z množiny $\{u_1,u_2,u_3,u_4\}$ vyberte maximální podmnožinu lineárně nezávislých vektorů
a doplňte ji na bázi prostoru $\mathbb R^4$.
 \end{priklad}

 
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Doplňující domácí úloha}
\footnotesize
\vskip -0.3cm
\begin{priklad}[4.3]
Ve  vektorovém prostoru $Mat_{3,3}(\mathbb R)$ máme
následující podmnožiny. Určete, které z nich jsou 
vektorové podprostory, a určete jejich dimenzi a bázi.
\begin{itemize}
 \item[i)] Podmnožina všech matic s jedničkami na diagonále.
 \item[ii)]  Podmnožina všech matic s nulami na diagonále.
 \item[iii)]  Podmnožina všech matic s nulovým determinantem.
 \item[iv)]  Podmnožina všech matic $X$ pro které platí $(1,0,0) \cdot X=(1,0,0)$.
 \item[v)]  Podmnožina všech matic $X$ pro které je součin $\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix} \cdot X=0$.
 \end{itemize}
 \end{priklad}
 \vskip -0.2cm
\end{frame}
\end{document}