%\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
\documentclass[handout]{beamer}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usecolortheme{sidebartab}

\usetheme{Warsaw}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\title[Lineární zobrazení\hspace{15mm} \insertframenumber/\inserttotalframenumber]
{MB141 -- 5. přednáška \\Lineární zobrazení}
%\subtitle{}
\author[5. přednáška]{Martin Čadek\\ s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101}
\date{Jarní semestr 2022}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\newtheorem{veta}{Věta}
%\newtheorem{hyp}{Hypot\'eza}
\newtheorem{reseni}{Řešení}
%\newtheorem{problemx}{Problem}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
\theoremstyle{example}
\newtheorem{definice}{Definice}
\newtheorem{priklad}{P\v r\'iklad}
\def\cervena #1{{\color{red} #1}}
\def\cervene #1{{\color{red} #1}}
\def\modra #1{{\color{blue}  #1}}
\def\modre #1{{\color{blue}  #1}}
\xdefinecolor{tmavezelena}{cmyk}{0.7,0,1,0.5}
\def\zelena #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\zelene #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\c #1{\mathcal {#1}}
\def\s #1{\mathsf {#1}}
%\def\poznamka #1{{\footnotesize Pozn.: #1}\\}
\def\poznamka #1{{\scriptsize Pozn.: #1}\\}
\def\otazka #1{{\scriptsize Kontrolní otázka: #1}\\}
\def\zavorka #1{{\scriptsize [ #1 ]}\\}
\def\sami {{\scriptsize Vyřešte samostatně.}}
\def\ec {{\vec{e_1}}}
\def\ecc {{\vec{e_2}}}
\def\efc {{\vec{f_1}}}
\def\efcc {{\vec{f_2}}}

\def\rovina {{\mathbb R^2}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\skalar #1#2{{\langle #1, #2\rangle}}
\def\velikost #1{{\| #1\|}}
\def\sgn #1{{\operatorname{sgn}(#1)}}
\def\norm #1{\|#1\|}

\def\R{\mathbb R}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\K{\mathbb K}
\def\C{\mathbb C}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%\input definice-slovak.tex

\def\tuzka{\hfill ${\color{orange}\blacktriangleright \blacktriangleright}$}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\newcommand{\maticemn}[1]{
\left(
\begin{array}{llll}
#1_{11}&#1_{12}&\dots&#1_{1n}\\
#1_{21}&#1_{22}&\dots&#1_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
#1_{m1}&#1_{m2}&\dots&#1_{mn}\\
\end{array}
\right)}

\newcommand{\maticedvadva}[4]{
\left(
\begin{array}{rr}
#1&#2\\
#3&#4\\
\end{array}
\right)}

%\newcommand{\maticedvatri}[6]{
%\left(
%\begin{array}{rrr}
%#1&#2&#3\\
%#4&#5&#6\\
%\end{array}
%\right)}

\newcommand{\maticedvatri}[6]{
\left(
\begin{smallmatrix} 
#1&#2&#3\\
#4&#5&#6
\end{smallmatrix} \right)}


\newcommand{\sloupecdva}[2]{
\left(
\begin{array}{l}
#1\\
#2\\
\end{array}
\right)}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\newcommand{\matice}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix} }

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Osnova přednášky}
\begin{itemize}
{\item Definice lineárního zobrazení
\bigskip
\item Matice a lineární zobrazení
\bigskip
\item Vlastní čísla a vektory
}
\end{itemize}
\end{frame}
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Lineární zobrazení}
\begin{definice}
Nechť \modre{$U$} a \modre{$V$} jsou vektorové prostory nad polem skalárů
\modre{$\mathbb K$}. Zobrazení \modre{$\varphi:U \to V$} se nazývá 
\cervene{lineární zobrazení (homomorfismus)} jestliže platí:
\begin{enumerate}
\item \modre{$\forall u,v \in U\ :\ \varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v)$},
\item \modre{$\forall a \in \mathbb K,\ \forall u \in U\ :\ 
\varphi(a\cdot u)=a \cdot \varphi(u)$}.
\end{enumerate}
\end{definice}
\pause
\medskip
Podívejme se na několik zobrazení z \modre{$\R^2$} do \modre{$\R$}:
\begin{itemize}
\item \modre{$\varphi((x,y))=xy$} -- není lineární zobrazení.
\pause
\item \modre{$\varphi((x,y))=x^2+3y$} -- není lineární zobrazení.
\pause
\item \modre{$\varphi((x,y))=3x+1$} -- není lineární zobrazení.
\pause
\item  \modre{$\varphi((x,y))=ax+by$} -- je lineární zobrazení. Zde
\modre{$$\varphi((x,y))=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix} \cdot\sloupecdva{x}{y}.$$}
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklady lineárních zobrazení z $\R^2$ do $\R^2$}
Následující zobrazení z \modre{$\mathbb R^2$} do sebe jsou lineární:
\begin{itemize}
\item Prodloužení nebo zkrácení vektoru 
\modre{$$ \varphi\sloupecdva{x}{y}=a\cdot \sloupecdva{x}{y}=\maticedvadva{a}{0}{0}{a}\sloupecdva{x}{y}$$}.
\pause
\item Rotace o~úhel \modre{$\alpha$} v~kladném smyslu
$$ \modre{\varphi\sloupecdva{x}{y}=\sloupecdva{x\cos\alpha-y\sin\alpha}
{x\sin\alpha+y\cos\alpha}=\maticedvadva{\cos\alpha}{-\sin\alpha}{\sin\alpha}{\cos\alpha} 
\sloupecdva{x}{y}}. $$
\pause
\item Reflexe (symetrie) podle osy $\modre{y}$
\modre{$$\varphi\sloupecdva{x}{y}=\sloupecdva{-x}{\phantom{-}y}=\maticedvadva{-1}{0}{0}{1}\sloupecdva{x}{y}.$$}
\end{itemize}
\pause
Obecně, \cervene{každé zobrazení} 
$\modre{\varphi\sloupecdva{x}{y}=\maticedvadva{a}{b}{c}{d}\sloupecdva{x}{y}}$
je \cervene{lineární}.

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Lineární zobrazení z $\R^n$ do $\R^k$}
Každé zobrazení \modre{$\varphi:\R^n\to\R^k$} tvaru 
\modre{$$\varphi(x)=Ax=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
                                                                 a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
                                                                 \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
                                                                 a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}                      
                                                                                       \end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\x_n
\end{pmatrix}                                                                                      
                                                                                       $$}
je lineární a naopak, \cervene{každé lineární zobrazení z $\R^n$ do $\R^k$ je tvaru
$\varphi(x)=Ax$}, kde \modre{$A$} je matice \modre{$k\times n$}. Odvodíme si to.
\medskip

\modre{$e_1,e_2,\dots,e_n$} jsou vektory standardní báze v \modre{$\R^n$} a 
\modre{$\varphi(e_1), \varphi(e_2),\dots, \varphi(e_n)$} jsou vektory v \modre{$\R^k$}, které bereme jako sloupce. Z linearity zobrazení \modre{$\varphi$} dostáváme  
\modre{\begin{align*}
\varphi(x)&=\varphi(x_1e_1+x_2e_2+\dots+x_ne_n)\\
&=x_1\varphi(e_1)+x_2\varphi(e_2)+
\dots+x_n\varphi(e_n)
\end{align*}}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Lineární zobrazení z $\R^n$ do $\R^k$ -- dokončení}
\modre{$$=\big(\varphi(e_1)\ \varphi(e_2)\ \dots\ \varphi(e_n)\big)\cdot
\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\   \vdots \\x_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
                                                                 a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
                                                                 \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
                                                                 a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}                      
                                                                                       \end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\x_n
\end{pmatrix}                                                        $$}
Z odvození je vidět, že platí
\medskip 

\begin{veta} Každé lineární zobrazení je jednoznačně určeno svými hodnotami na vektorech nějaké báze.
\end{veta}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad}
\begin{priklad} Lineární zobrazení \modre{$\varphi:\R^3\to\R^2$} má na třech vektorech hodnoty
\modre{
$$\varphi\begin{pmatrix}1\\2\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix},\ 
\varphi\begin{pmatrix}3\\0\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\9\end{pmatrix},\ 
\varphi\begin{pmatrix}1\\1\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}.$$}
Najděte matici \modre{$A$} tvaru \modre{$2\times 3$} takovou, že pro všechna \modre{$x\in\R^3$} je 
\modre{$\varphi(x)=Ax$}.
\end{priklad}

Sloupce matice \modre{$A$} jsou hodnoty zobrazení \modre{$\varphi$} na vektorech \modre{$e_1=(1,0,0)$},
\modre{$e_2=(0,1,0)$} a \modre{$e_3=(0,0,1)$}. Napíšeme tedy zadané vektory \modre{$u_1,u_2,u_3\in\R^3$} do řádků matice a vedle nich napíšeme hodnoty \modre{$\varphi(u_1),\varphi(u_2), \varphi(u_3)\in \R^2$} a tuto matici upravujeme řádkovými úpravami tak, abychom na místě vektorů
\modre{$u_i$} dostali vektoru \modre{$e_i$}. Pak na místě vektorů \modre{$\varphi (u_i)$} dostaneme vektory
\modre{$\varphi(e_i)$}:
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad - pokračování}
Úpravy díky linearitě zobrazení \modre{$\varphi$} totiž fungují takto 
\modre{$$
\left(
\begin{array}{r|r}
u&\varphi(u)\\v&\varphi(v)
\end{array}\right)\ \sim\ 
\left(
\begin{array}{r|r}
u+v&\varphi(u)+\varphi(v)\\cv&c\varphi(v)
\end{array}\right)=
\left(
\begin{array}{r|r}
u+v&\varphi(u+v)\\cv&\varphi(cv)
\end{array}\right)
$$}
Dostaneme
\modre{$$
\left(
\begin{array}{r|r}
u_1&\varphi(u_1)\\ u_2&\varphi(u_2)\\u_3&\varphi(u_3)
\end{array}\right)
=
\left(
\begin{array}{rrr|rr}
1 & 2 &1 & 3 & 3\\
3 & 0 & 1 & 5 & 9 \\
1 & 1 & 2 & 5 & 7\\
\end{array}\right)
\ \sim\  
\left(
\begin{array}{rrr|rr}
1 & 0 &0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 3\\
\end{array}\right)
 $$}
 Tedy \modre{$\varphi(e_1)=(1,2)$}, \modre{$\varphi(e_2)=(0,-1)$}, \modre{$\varphi(e_3)=(2,3)$}, a proto 
 
 \modre{$$\varphi(x)=\begin{pmatrix} 1&0&2\\2&-1&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
 x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$}
 
 \end{frame}
 
 %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
 
 \begin{frame}{Příklad --- geometrické zobrazení }
\begin{priklad}
 Zobrazení \modre{$\varphi$} je symetrií  prostoru
\modre{$\mathbb R^3$} podle přímky procházející počátkem se směrovým vektorem \modre{$(1,1,1)$}. Napište předpis tohoto zobrazení pomocí maticového násobení.
\end{priklad}

 Prvně najdeme obrazy tří vhodných vektorů. Směrový vektor \modre{$u_1=(1,1,1)$} se zobrazí sám na sebe \modre{$\varphi(1,1,1)=(1,1,1)$}.
Vektory kolmé k \modre{$u_1$} se zobrazí do opačných vektorů, tedy například
\modre{$\varphi(1,-1,0)=(-1,1,0)$} a \modre{$\varphi(0,1,-1)=(0,-1,1)$}. Nyní postupujeme obdobným způsobem jako v předchozí úloze. \tuzka
\pause
\medskip

\zelene{Výsledek}:
$$\modre{\varphi(x)=\frac13 \left(
\begin{array}{rrr}
-1&2&2\\
2&-1&2\\
2&2&-1\\
\end{array}
\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}}. $$

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

 
 \begin{frame}{Příklad --  lineární zobrazení v polynomech}
\begin{priklad}
 Uvažme lineární zobrazení $\modre{\varphi : \mathbb R_2[x]\rightarrow \mathbb R_3[x]}$
dané předpisem $\modre{\varphi(g)=g'+x\cdot g}$. Nalezněte maticové vyjádření tohoto zobrazení v souřadnicích obvyklých bazí $\modre{\alpha=(x^2,x,1)}$ a 
$\modre{\beta=(x^3,x^2,x,1)}$. (\modre{$g'$} značí derivaci polynomu \modre{$g$}.)
\end{priklad}
 
Pro  $\modre{g=ax^2+bx+c}$ máme 
$\modre{\varphi(g)=(2ax+b)+(ax^3+bx^2+cx)=ax^3+bx^2+(2a+c)x+b}$. 
Souřadnicím polynomu \modre{$g$} v bázi \modre{$\alpha$}, které jsou $\modre{(g)_\alpha=(a,b,c)}$
přiřadíme souřadnice polynomu \modre{$\varphi(g)$} v bázi \modre{$\beta$}, tedy 
$\modre{(\varphi(g))_\beta=(a,b,2a+c,b)}$.

Hledaná matice $\modre{A}$ má vlastnost $\modre{A\cdot (a,b,c)^T=(a,b,2a+c,b)^T}$.
Proto  
$$\modre{A=
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0
\end{array}
\right)} .$$ 

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Vlastní čísla a vektory}
V~příkladě o symetrii podle přímky byly pro nás užitečné vektory splňující rovnici \modre{$\varphi(u) = \lambda\cdot u$}
pro vhodný skalár \modre{$\lambda$} (konkrétně  \modre{$\lambda=1, \lambda=-1$}).
Takové vektory hrají důležitou roli i~v~mnoha dalších úlohách, proto jim dáme zvláštní jméno.
\medskip

\begin{definice}
Nechť \modre{$V$} je vektorový prostor nad \modre{$\K$} a \modre{$\varphi:V\to V$} je lineární zobrazení. Skaláry $\modre{\lambda}$ vyhovující rovnici 
\modre{$$\varphi(u)= \lambda \cdot u$$} 
\modre{pro nenulový vektor} \modre{$u\in V$}
nazýváme \cervene{vlastní čísla (hodnoty) zobrazení}  
\modre{$\varphi$}, příslušné vektory \modre{$u\ne 0$} nazýváme
\cervene{vlastní vektory zobrazení}  \modre{$\varphi$}.
\end{definice}
\medskip

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Vlastní čísla a vektory -- příklad }
Uvažujme matici \modre{$A$} a vektory \modre{$u$} a \modre{$v$}:
   $$\modre{ A=\maticedvadva{-3}{2}{-5}{4}, \quad u=\sloupecdva{1}{1}, 
\quad v=\sloupecdva{2}{5}}. $$
   Platí
   \begin{align*}
     \modre{A\cdot u}~&\modre{=\maticedvadva{-3}{2}{-5}{4}\cdot\sloupecdva{1}{1}=
        \sloupecdva{-1}{-1}=(-1)\cdot\sloupecdva{1}{1}= -u }, \\
      \modre{A\cdot v}~&\modre{= \maticedvadva{-3}{2}{-5}{4}\cdot\sloupecdva{2}{5}=
         \sloupecdva{4}{10}=2\cdot\sloupecdva{2}{5}=2\cdot v}.
    \end{align*}
 Jsou tedy\modre{$\lambda_1=-1$} a \modre{$\lambda_2=2$} vlastní čísla matice 
\modre{$A$} a jejich příslušné vlastní vektory jsou 
    \modre{$u$} (pro\modre{$\lambda_1$}) a \modre{$v$} (pro \modre{$\lambda_2$}).\\
Jiná vlastní čísla nejsou, jak uvidíme za chvíli.

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Jak hledat vlastní čísla a vektory?}

Nechť \modre{$V$} je vektorový  prostor nad \modre{$\mathbb K$} dimenze \modre{$n$} a  \modre{$\varphi :V\to V$} je lineární zobrazení. Postup při hledání vlastních čísel a vektorů je následující: 
 
\begin{enumerate}
\item[1)] 
Rovnost \modre{$\varphi(u)= \lambda \cdot u$} můžeme zapsat v souřadnicích ve zvolené bázi \modre{$\alpha$} jako soustavu
\modre{$Ax=\lambda\cdot x$}, kde \modre{$x$} jsou souřadnice hledaného vlastního vektoru
zapsané do sloupce a \modre{$A$} je maticové vyjádření lineárního zobrazení v bázi \modre{$\alpha$}.  Tuto soustavu přepišme do tvaru homogenní soustavy rovnic
\modre{$(A-\lambda E)x=0$}.
\item[2)]
Taková soustava rovnic má netriviální řešení
\modre{ $x \not = 0$}
právě tehdy, když
$\modre{
\operatorname{det} (A - \lambda\cdot E) = 0.}
$
\item[3)] $\modre{
\operatorname{det} (A - \lambda\cdot E)}$ 
je polynom stupně \modre{$n$} (v proměnné \modre{$\lambda$}), tzv. \cervene{charakteristický polynom}. Jeho kořeny jsou hledaná vlastní čísla.
\item[4)] Vlastní vektory najdeme řešením homogenní soustavy \modre{$(A-\lambda E)x=0$}.  
\end{enumerate}

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Kořeny polynomů}
Uvažujme polynom stupně \modre{$n\ge 1$}
\modre{$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots a_1x+a_0, \quad \text{kde } \ a_n\ne 0.$$}
Číslo \modre{$x_0$} se nazývá \cervene{kořenem tohoto polynomu}, jestliže
\modre{$$p(x_0)=0.$$}
Číslo \modre{$x_0$} je kořenem polynomu \modre{$p(x)$} , právě když platí
\modre{$$p(x)=(x-x_0)q(x),$$}
kde \modre{$q(x)$} je polynom stupně \modre{$n-1$}. Kořen \modre{$x_0$} má  \cervene{násobnost} \modre{$k$}, 
jestliže \modre{$k$} je největší číslo s vlastností 
\modre{$$p(x)=(x-x_0)^kr(x),$$}
kde \modre{$r(x)$} je polynom stupně \modre{$n-k$}. V tomto případě je \modre{$r(x_0)\ne 0$}.

\end{frame}

%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{1. příklad}

\begin{priklad} Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení
\modre{$$\varphi:\R^3\to\R^3,\quad \varphi(x)=
\begin{pmatrix}5&2&-3\\4&5&-4\\6&4&-4
\end{pmatrix} 
\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$}
\end{priklad}
\pause
Spočítáme charakteristický polynom
\modre{$$\begin{vmatrix} 5-\lambda&2&-3\\4&5-\lambda&-4\\6&4&-4-\lambda
\end{vmatrix}=\ ...\ =-\lambda^3+6\lambda^2-11\lambda+6.
$$}
Jestliže má polynom s celočíselnými koeficienty celočíselný kořen, musí tento kořen dělit koecicient u \modre{$\lambda^0=1$}, v našem případě číslo \modre{$6$}. Hledáme ho tedy mezi děliteli čísla \modre{$6$}, tj. mezi čísly \modre{$\pm 1, \pm 2,\pm3,\pm 6$}.
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{1. příklad -- pokračování}
Dosazením zjistíme, že \modre{$\lambda_1=1$} je kořen. Charakteristický polynom vynásobený \modre{$-1$} vydělíme
\modre{$\lambda-1$}. Dostaneme
\modre{$$\lambda^3-\lambda^2+11\lambda -6=(\lambda-1)(\lambda^2-5\lambda+6).$$}
Kořeny kvadratického polynomu \modre{$\lambda^2-5\lambda+6$} umíme spočítat. Jsou
\modre{$\lambda_2=2$ a $\lambda_3=3$}. Vlastní vektory k \modre{$\lambda_1=1$} najdeme řešením homogenní soustavy \modre{$(A-\lambda_1E)x=0$}. Ta má matici soustavy
\modre{$$\begin{pmatrix}
4&2&-3\\ 4&4&-4\\6&4&-5
\end{pmatrix}
\ \sim\cdots\sim\ 
\begin{pmatrix}
1&1&-1\\ 0&2&-1\\0&0&0
\end{pmatrix}
$$}
Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu \modre{$1$} jsou tedy \modre{$p(1,1,2)$} s \modre{$p\ne 0$}. Analogicky najdeme vlastní vektory k vlastnímu číslu \modre{$2$}, jsou to \modre{$q(1,0,1)$}, \modre{$q\ne 0$}, a vlastnímu číslu \modre{$3$}, ty jsou \modre{$s(1,2,3)$}, \modre{$s\ne 0$}.

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{1. příklad -- dokončení}
Všimněte si, jak vypadá vyjádření zobrazení \modre{$\varphi$} v souřadnicích báze \modre{$\alpha$} tvořené vlastními vektory \modre{$u_1=(1,1,2),\ u_2=(1,0,1)$}, \modre{$u_3=(1,2,2)$}. Dostáváme totiž
\modre{\begin{align*}\varphi (y_1u_1+y_2u_2+y_3u_3)&=y_1\varphi(u_1)+y_2\varphi(u_2)+y_3\varphi(u_3)\\
&=y_1u_1+y_2\cdot 2u_2+y_3\cdot 3u_3.
\end{align*}}
Tedy maticové vyjádření zobrazení \modre{$\varphi$} v souřadnicích báze tvořené vlastními vektory je
\modre{$$\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\y_3
\end{pmatrix}\mapsto 
\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&2&0\\0&0&3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\y_3
\end{pmatrix}.
$$}
Vidíme, že použití této báze nám významně pomůže zjednodušit popis zobrazení.

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{2. příklad}
\begin{priklad}
Najděte vlastní čísla a vektory zobrazení
$$\modre{ \varphi:\R^2\to\R^2, \quad \varphi(x)=\maticedvadva{-1}{1}{-10}{-3}
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}}.$$ 
\end{priklad}
Charakteristický polynom je
\modre{$$\begin{vmatrix}
-1-\lambda&1\\-10&-3-\lambda
\end{vmatrix}=(-1-\lambda)(-3-\lambda)+10=\lambda^2+4\lambda+13.$$}
Tento kvadratický polynom nemá reálné kořeny, neboť jeho diskriminant je záporný
(\modre{$-36$}). Zobrazení tedy nemá reálná vlastní čísla ani vlastní vektory. (Má však komplexní vlastní čísla \modre{$-2\pm 3\operatorname{i}$}.) 
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Podprostor vlastních vektorů}
\begin{itemize}
\item Je-li \modre{$u$} vlastní vektor matice \modre{$A$} příslušející vlastnímu číslu 
\modre{$\lambda$}, potom libovolný jeho (nenulový) násobek je také
vlastní vektor příslušející témuž vlastnímu číslu, protože
$$\modre{ A\,(a\,u)=a\,(Au)=a\,(\lambda\,u)=\lambda\,(a\,u)}. $$
\item 
Podobně, jsou-li \modre{$u,v$} vlastní vektory matice \modre{$A$} příslušející vlastnímu číslu
\modre{$\lambda$} (kde \modre{$u\not= -v$}), potom jejich součet je také vlastní
vektor příslušející témuž vlastnímu číslu, protože
$$\modre{ A(u+v)=(Au)+(Av)=(\lambda\,u)+(\lambda\,v)=\lambda\,(u+v).} $$
\item 
Vlastní vektory příslušející témuž vlastnímu číslu tedy tvoří 
(společně s~nulovým vektorem) {podprostor} vektorového
prostoru \modre{ $\mathbb K^n$}. To také zdůvodňuje terminologii \uv{vlastní prostor}.
\end{itemize}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{3. příklad -- podprostor vlastních vektorů}
\begin{priklad}
Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice
$\modre{ A=\maticedvadva{2}{3}{0}{2}}. $
\end{priklad}

 
$$\modre{ |A-\lambda\,E|=\left|\begin{matrix} 
                  2-\lambda & 3 
                  \\ 0 & 2-\lambda 
                  \end{matrix}\right|
=(2-\lambda)^2 }.$$

Proto je \modre{$\lambda_1=2$ }(násobnosti \modre{$2$}) 
jediné vlastní číslo.
Výpočet vlastního prostoru pro $\modre{\lambda_1=2}$:
    $$ \modre{(A-\lambda_1\,E\,|\,0)=(A-2\,E\,|\,0)=
\left(
\begin{array}{rr|r}
0&3&0\\
0&0&0\\
\end{array}
\right)}. $$
Vlastní prostor  pro $\modre{\lambda_1=2}$ je \modre{$\{(t,0) \mid t\in \mathbb R\} =[(1,0)]$}.

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Obecné poznatky}
 \begin{veta} 
Vlastní vektory lineárního
zobrazení \modre{$\varphi :V\to V$} příslušné různým vlastním hodnotám jsou
lineárně nezávislé.
\end{veta}
\pause
\begin{veta}
Jestliže existuje \modre{$n$} navzájem různých  kořenů \modre{$\lambda_i$}
charakteristického polynomu zobrazení \modre{$\varphi:V \to V$}, \modre{$\dim
V=n$}, pak existuje 
báze \modre{$V$} složená
výhradně z~vlastních  vektorů a v~této bázi  má \modre{$\varphi$} diagonální
matici (s vlastními čísly na diagonále). 
\end{veta}
\begin{veta} 
Symetrické matice  tvaru \modre{$n\times n$} nad $\modre{\mathbb R}$ mají \modre{$n$} vlastních reálných čísel. (Počítáno včetně násobností.)
\end{veta}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\begin{frame}{Obecné poznatky II}

%\begin{veta}
%Tzv. geometrická násobnost vlastního čísla \modre{$\lambda$} (dimenze vlastního podprostoru příslušného
%\modre{$\lambda$}) není větší než algebraická násobnost \modre{$\lambda$} (násobnost \modre{$\lambda$}
%jako kořene charakteristického polynomu).
%\end{veta}
%\pause
%\begin{veta} 
%Symetrické matice  nad $\modre{\mathbb R}$ mají všechna vlastní čísla reálná.
%\end{veta}

%\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Požadavky}
\begin{itemize}
\item Umět určit matici lineárního zobrazení ve standardní bázi ze znalosti hodnot lineárního zobrazení na vektorech nějaké báze.
\item Umět spočítat vlastní čísla a  vlastní vektory.
\end{itemize}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Domácí úloha}\begin{priklad}[5.1]
Nechť \modre{$\varphi$} je zobrazení prostoru \modre{$\mathbb R^3$} do sebe
a to symetrie podle roviny zadané rovnicí \modre{$x_1-x_3=0$}. Určete matici \modre{$A$} takovou, že \modre{$\varphi(x)=Ax$} v souřadnicích 
standardní báze.
\end{priklad}

 \begin{priklad}[5.2]
 Nechť je dána matice \modre{$A$} lineárního zobrazení  vektorového prostoru \modre{$\mathbb R^4$} do sebe, o níž víme, že má vlastní číslo \modre{$2$}. Určete všechna vlastní čísla a jim příslušné
podprostory (vektorového prostoru
\modre{$\mathbb R^4$}) sestávající z jejich vlastních vektorů.
\modre{$$A=\left( \begin{array}{rrrr}
       2&3&-2&1\\ -1&-4&4&-1\\ 1&3&0&0\\2&-3&2&-1\\
      \end{array} \right) \ .  $$}
\end{priklad}

 
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx






\end{document}

