MB141 -5. přednáška Lineární zobrazení
Martin Čadek
s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101
Jarní semestr 2022
5. přednáška       Lineární zobrazení
Osnova přednášky
• Definice lineárního zobrazení
• Matice a lineární zobrazení
• Vlastní čísla a vektory
5. přednáška       Lineární zobrazení 2/23
Lineární zobrazení
Nechť U a V jsou vektorové prostory nad polem skalárů K. Zobrazení cp : U -> V se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí:
O Ví/, v e U : cp(u + v) = ^(i/) +
O Va e K, Ví/ e U : <p(a • i/) = a • <p(i/).
Podívejme se na několik zobrazení z IR2 do IR:
• <p((x, y)) = xy - není lineární zobrazení.
• <p((x, y)) = x2 + 3y - není lineární zobrazení.
• <p((x, y)) = 3x + 1 - není lineární zobrazení.
• <p((x, y)) = ax + by - je lineární zobrazení. Zde
Příklady lineárních zobrazení z R2 do R2
Následující zobrazení z IR2 do sebe jsou lineární: • Prodloužení nebo zkrácení vektoru
x
y
= a
x
y
a 0 0 a
x
y
Rotace o úhel a v kladném smyslu
y
x cos a — y sin a xsin a + y cos a
cos a sin a
— sin a cos a
X
y
Reflexe (symetrie) podle osy y
x
y
-X
y
1 o o 1
X
y
Obecně, každé zobrazení cp lineární.
x
y
a b c d
x
y
je
5. přednáška
Lineární zobrazení
4/23
Lineární zobrazení z Rn do Rk
Každé zobrazení cp : Rn -> Rk tvaru
tp(x) = Ax =
^21 ^22
■ ■
■ ■
■ ■
Va/c1 a/c2
32n
x2
je lineární a naopak, každé lineární zobrazení z IRn do Rk je tvaru      = Ax, kde >4 je matice k x n. Odvodíme si to.
e-i, e2, • • •, Gn jsou vektory standardní báze vťa
ip(e^), ^(eg), • • •, <p(en) jsou vektory v Rk, které bereme jako
sloupce. Z linearity zobrazení </? dostáváme
ip(x) = cp(xi   + x2e2 H— + xnen)
= X! (p(&\) + x2if(e2) + —h xnip(en)
5. přednáška
Lineární zobrazení
5/23
Lineární zobrazení z Rn do RK - dokončení
*2
^21 ^22
■ ■
■ ■
■ ■
Va/c1 ak2
32n
3knJ
X2
Z odvození je vidět, že platí
Každé lineární zobrazení je jednoznačne určeno svými hodnotami na vektorech nějaké báze.
5. přednáška       Lineární zobrazení
6/23
Příklad
Příklad
Lineární zobrazení ip : R3    R2 má na třech vektorech hodnoty
Najděte matici A tvaru 2x3 takovou, že pro všechna x e R3 je <p(x) = /Ax.
Sloupce matice /4 jsou hodnoty zobrazení <p na vektorech ei = (1,0,0), e2 = (0,1,0)ae3 = (0,0,1). Napíšeme tedy zadané vektory 1/1,1/2,1/3 e M3 do řádků matice a vedle nich napíšeme hodnoty cp(u^), (f(u2), (f(u3) Gl2a tuto matici upravujeme řádkovými úpravami tak, abychom na místě vektorů u\ dostali vektoru e,. Pak na místě vektorů cp(ui) dostaneme vektory ^(e,):
5. přednáška
Lineární zobrazení
7/23
Příklad - pokračování
Úpravy díky linearitě zobrazení cp totiž fungují takto
u v
<p(u)
U + V
cv
ip(u) + <p{v)
u + v cv
(p{u+ v)
<p{CV)
Dostaneme
¥>(fi)
<p(uz) vil*)
Tedy <p(e,) = (1,2), ^(e2) = (0, -1), ^(e3) = (2,3), a proto
1	0	0	1	2
0	1	0	0	-1
0	0	1	2	3
if{x) =
1 0
2 -1
>
2
3
5. přednáška
Lineární zobrazení
8/23
Příklad — geometrické zobrazení
Příklad
Zobrazení cp je symetrií prostoru IR3 podle přímky procházející počátkem se směrovým vektorem (1,1,1). Napište předpis tohoto zobrazení pomocí maticového násobení.
Prvně najdeme obrazy tří vhodných vektorů. Směrový vektor la, = (1,1,1) se zobrazí sám na sebe <p(1,1,1) = (1,1,1). Vektory kolmé k    se zobrazí do opačných vektorů, tedy například ^(1, -1,0) = (-1,1,0) a ^(0,1, -1) = (0, -1,1). Nyní postupujeme obdobným způsobem jako v předchozí úloze. ►►
Výsledek:
5. přednáška
Lineární zobrazení
9/23
Príklad - lineární zobrazení v polynomech
Příklad
Uvažme lineární zobrazení cp : IR2M    K3M dané předpisem p(g) = gf + x • g. Nalezněte maticové vyjádření tohoto zobrazení v souřadnicích obvyklých bazí a = (x2, x, 1) a p = (x3, x2, x, 1). (gř značí derivaci polynomu g.)
Pro g = ax2 + £>x + c máme
<p(gr) = (2ax + £>) + (ax3 + bx2 + cx) = ax3 + Ďx2 + (2a + c)x + b. Souřadnicím polynomu g v bázi a, které jsou (g)a = (a, b, c) přiřadíme souřadnice polynomu <p(g) v bázi /3, tedy (^(flf))^ = (a, Ď,2a+c, Ď). Hledaná matice A má vlastnost A • (a, ď, c)7 = (a, ď,2a + c, fc)7".
o
2
\ 0
A =
Proto
0 0 \
1 0
0 1
1 0 /
5. přednáška
Lineární zobrazení
10/23
Vlastní čísla a vektory
V príklade o symetrii podle přímky byly pro nás užitečné vektory splňující rovnici p(u) = A • u pro vhodný skalár A (konkrétně A = 1, A = -1). Takové vektory hrají důležitou roli i v mnoha dalších úlohách, proto jim dáme zvláštní jméno.
Definice
Nechť V je vektorový prostor nad K a p : V -> V je lineární zobrazení. Skaláry A vyhovující rovnici
cp(u) = A • u
pro nenulový vektor u e V nazýváme vlastní čísla (hodnoty) zobrazení cp, příslušné vektory u ^ 0 nazýváme vlastní vektory zobrazení (p.
5. přednáška       Lineární zobrazení 11/23
Vlastní čísla a vektory - příklad
Uvažujme matici A a vektory u a v: Platí
(d ;)-(s)-Co)-«-(S)-«
Jsou tedyA-i = -1 a A2 = 2 vlastní čísla matice A a jejich príslušné vlastní vektory jsou u (proA-i) a v (pro A2). Jiná vlastní čísla nejsou, jak uvidíme za chvíli.
5. přednáška       Lineární zobrazení 12/23
Jak hledat vlastní čísla a vektory?
Nechť V je vektorový prostor nad K dimenze n a cp : V -> V je lineární zobrazení. Postup při hledání vlastních čísel a vektorů je následující:
1) Rovnost (p(u) = A • u můžeme zapsat v souřadnicích ve zvolené bázi a jako soustavu Ax = A • x, kde x jsou souřadnice hledaného vlastního vektoru zapsané do sloupce a A je maticové vyjádření lineárního zobrazení v bázi a. Tuto soustavu přepišme do tvaru homogenní soustavy rovnic (A - XE)x = 0.
2) Taková soustava rovnic má netriviální řešení x 7^ 0 právě tehdy, když det(A - A • E) = 0.
3) det(A - A • E) je polynom stupně n (v proměnné A), tzv. charakteristický polynom. Jeho kořeny jsou hledaná vlastní čísla.
4) Vlastní vektory najdeme řešením homogenní soustavy (A - XE)x = 0.
5. přednáška       Lineární zobrazení 13/23
Kořeny polynomů
Uvažujme polynom stupně n > 1
p[x) = anxn + an^xn~A + ... a-|X + a0,   kde an ^ 0. Číslo x0 se nazývá kořenem tohoto polynomu, jestliže
p(*o) = 0.
Číslo x0 je kořenem polynomu p(x), právě když platí
p(x) = (x-x0)q(x),
kde g(x) je polynom stupně n - 1. Kořen x0 má násobnost k, jestliže k je největší číslo s vlastností
p(x) = (x-x0)kr(x),
kde r(x) je polynom stupně n- k.V tomto případě je r(x0) 7^ 0.
5. přednáška       Lineární zobrazení 14/23
1. příklad
Příklad
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení
/5 2 -3\ fx,
ip : R3 -)■ M3,   p(x) =4   5   -4 ) • I x2 | .
V6 4  -4/ U
Spočítáme charakteristický polynom
5 - A 2 -3 4 5 - A -4 6       4     -4 - A
= ... = -A + 6A - 11A + 6.
Jestliže má polynom s celočíselnými koeficienty celočíselný kořen, musí tento kořen dělit koecicient u A° = 1, v našem případě číslo 6. Hledáme ho tedy mezi děliteli čísla 6, tj. mezi čísly ±1,±2,±3,±6.
5. přednáška
Lineární zobrazení
15/23
1. příklad - pokračování
Dosazením zjistíme, že A-i = 1 je kořen. Charakteristický polynom vynásobený -1 vydělíme A - 1. Dostaneme
A3 - A2 + 11A - 6 = (A - 1 )(A2 - 5A + 6).
Kořeny kvadratického polynomu A2 - 5A + 6 umíme spočítat. Jsou A2 = 2 a A3 = 3. Vlastní vektory k A1 = 1 najdeme řešením homogenní soustavy (A - A-i E)x = 0. Ta má matici soustavy
4 2  -3\ /1   1 -1
44 -4 - • • • - 0 2 -1 6  4  -5/ \0  0 0
Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu 1 jsou tedy p(1,1,2) sp^O. Analogicky najdeme vlastní vektory k vlastnímu číslu 2, jsou to g(1,0,1), q ^ 0, a vlastnímu číslu 3, ty jsou s(1,2,3),
5. přednáška       Lineární zobrazení 16/23
1. příklad - dokončení
Všimněte si, jak vypadá vyjádření zobrazení cp v souřadnicích báze a tvořené vlastními vektory =(1,1,2), u2 = (1,0,1), l/3 = (1,2,2). Dostáváme totiž
¥>(yiUl +72^2+73^3) =yi¥>(Ul) +72^(^2)+ 73^3 )
= 71^1 + 72 -2^2 + 73 • 3l/3.
Tedy maticové vyjádření zobrazení <p v souřadnicích báze tvořené vlastními vektory je
Vidíme, že použití této báze nám významně pomůže zjednodušit popis zobrazení.
5. přednáška
Lineární zobrazení
17/23
2. příklad
Příklad
Najděte vlastní čísla a vektory zobrazení
y:R^R», rt*)=(_^
Charakteristický polynom je
= (-1 - A)(-3 - A) + 10 = A2 + 4A + 13.
Tento kvadratický polynom nemá reálné kořeny, neboť jeho diskriminant je záporný (-36). Zobrazení tedy nemá reálná vlastní čísla ani vlastní vektory. (Má však komplexní vlastní čísla -2 ±3 i.)
5. přednáška       Lineární zobrazení 18/23
-1 - A 1 -10 -3-A
Podprostor vlastních vektorů
• Je-li u vlastní vektor matice A příslušející vlastnímu číslu A, potom libovolný jeho (nenulový) násobek je také vlastní vektor příslušející témuž vlastnímu číslu, protože
A (a u) = a (Au) = a (A u) = A (a u).
• Podobně, jsou-li u, v vlastní vektory matice A příslušející vlastnímu číslu A (kde u ^ - v), potom jejich součet je také vlastní vektor příslušející témuž vlastnímu číslu, protože
A(u +v) = (Au) + (Av) = (A u) + (X v) = A (u + v).
• Vlastní vektory příslušející témuž vlastnímu číslu tedy tvoří (společně s nulovým vektorem) podprostor vektorového prostoru Kn. To také zdůvodňuje terminologii „vlastní prostor".
5. přednáška       Lineární zobrazení 19/23
3. příklad - podprostor vlastních vektorů
Příklad		
Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice A = |	(2 3\ V0 2j	
A-XE
2 - X 3 0     2 - A
= (2 - A)2.
Proto je A-i =2 (násobnosti 2) jediné vlastní číslo. Výpočet vlastního prostoru pro A-i = 2:
{A - A-, E | 0) = (A - 2 E | 0) =
0 3 0 0
0 0
Vlastní prostor pro A-i = 2 je {(ŕ, 0) | t e R} = [(1,0)].
5. přednáška       Lineární zobrazení
20/23
Obecné poznatky
Vlastní vektory lineárního zobrazení p : V -> V príslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé.
Věta
Jestliže existuje n navzájem různých kořenů A, charakteristického polynomu zobrazeníp : V —ř V, d i m V = n, pak existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má cp diagonální matici (s vlastními čísly na diagonále).
Symetrické matice tvaru n x n nad R mají n vlastních reálných čísel. (Počítáno včetně násobností.)
5. přednáška
Lineární zobrazení
21/23
Požadavky
• Umět určit matici lineárního zobrazení ve standardní bázi ze znalosti hodnot lineárního zobrazení na vektorech nějaké báze.
* Umět spočítat vlastní čísla a vlastní vektory.
5. přednáška
Lineární zobrazení
22/23
Domácí úloha
Příklad (5.1)
Nechť (p je zobrazení prostoru M3 do sebe a to symetrie podle roviny zadané rovnicí x-i - x3 = 0. Určete matici A takovou, že <p(x) = Ax v souřadnicích standardní báze.
Příklad (5.2)
Nechť je dána matice A lineárního zobrazení vektorového prostoru IR4 do sebe, o níž víme, že má vlastní číslo 2. Určete všechna vlastní čísla a jim příslušné podprostory (vektorového prostoru IR4) sestávající z jejich vlastních vektorů.
A =
í	2	3	-2	1	\
	-1	-4	4	-1	
	1	3	0	0	
v	2	-3	2	-1	/
5. přednáška
Lineární zobrazení
23/23