%\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
\documentclass[handout]{beamer}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usecolortheme{sidebartab}

\usetheme{Warsaw}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\title[Skalární součin\hspace{15mm} \insertframenumber/\inserttotalframenumber]
{MB141 -- 6. přednáška \\Skalární součin}
%\subtitle{}
\author[6. přednáška]{Martin Čadek\\ s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101}
\date{Jarní semestr 2022}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\newtheorem{veta}{Věta}
%\newtheorem{hyp}{Hypot\'eza}
\newtheorem{reseni}{Řešení}
%\newtheorem{problemx}{Problem}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
\theoremstyle{example}
\newtheorem{definice}{Definice}
\newtheorem{priklad}{P\v r\'iklad}
\def\cervena #1{{\color{red} #1}}
\def\cervene #1{{\color{red} #1}}
\def\modra #1{{\color{blue}  #1}}
\def\modre #1{{\color{blue}  #1}}
\xdefinecolor{tmavezelena}{cmyk}{0.7,0,1,0.5}
\def\zelena #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\zelene #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\c #1{\mathcal {#1}}
\def\s #1{\mathsf {#1}}
%\def\poznamka #1{{\footnotesize Pozn.: #1}\\}
\def\poznamka #1{{\scriptsize Pozn.: #1}\\}
\def\otazka #1{{\scriptsize Kontrolní otázka: #1}\\}
\def\zavorka #1{{\scriptsize [ #1 ]}\\}
\def\sami {{\scriptsize Vyřešte samostatně.}}
\def\ec {{\vec{e_1}}}
\def\ecc {{\vec{e_2}}}
\def\efc {{\vec{f_1}}}
\def\efcc {{\vec{f_2}}}

\def\rovina {{\mathbb R^2}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\skalar #1#2{{\langle #1, #2\rangle}}
\def\velikost #1{{\| #1\|}}
\def\sgn #1{{\operatorname{sgn}(#1)}}
\def\norm #1{\|#1\|}

\def\R{\mathbb R}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\K{\mathbb K}
\def\C{\mathbb C}
\def\la{\langle}
\def\ra{\rangle}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%\input definice-slovak.tex

\def\tuzka{\hfill ${\color{orange}\blacktriangleright \blacktriangleright}$}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\newcommand{\maticemn}[1]{
\left(
\begin{array}{llll}
#1_{11}&#1_{12}&\dots&#1_{1n}\\
#1_{21}&#1_{22}&\dots&#1_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
#1_{m1}&#1_{m2}&\dots&#1_{mn}\\
\end{array}
\right)}

\newcommand{\maticedvadva}[4]{
\left(
\begin{array}{rr}
#1&#2\\
#3&#4\\
\end{array}
\right)}

%\newcommand{\maticedvatri}[6]{
%\left(
%\begin{array}{rrr}
%#1&#2&#3\\
%#4&#5&#6\\
%\end{array}
%\right)}

\newcommand{\maticedvatri}[6]{
\left(
\begin{smallmatrix} 
#1&#2&#3\\
#4&#5&#6
\end{smallmatrix} \right)}


\newcommand{\sloupecdva}[2]{
\left(
\begin{array}{l}
#1\\
#2\\
\end{array}
\right)}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Osnova přednášky}
\begin{itemize}
\item Skalární součin 
\bigskip
\item Ortonormální báze
\bigskip 
\item Ortogonální doplněk a kolmá projekce
\bigskip
\item Ortogonální transformace a matice 
\end{itemize}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Skalární součin v $\R^2$ a v $\R^3$}
Skalární součin přiřazuje dvěma vektorům reálné číslo. Na střední škole jste si ho definovali
na \modre{$\R^2$} předpisem
\modre{$$\langle\vect x, \vect y\rangle=x_1y_1+x_2y_2$$}
a na \modre{$\R^3$} podobným předpisem
\modre{$$\langle\vect x, \vect y\rangle=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.$$}

Takto definované zobrazení má tyto vlastnosti
\begin{enumerate}
\item[1)] \modre{$\la \vect x,\vect y\ra=\la\vect y, \vect x\ra$},
\item[2)] \modre{$\la \vect x+\vect z,\vect y\ra=\la \vect x,\vect y\ra+\la \vect z,\vect y\ra$}, 
\item[3)] \modre{$\la a\vect x,\vect y\ra=a\la \vect x,\vect y\ra$},
\item[4)] \modre{$\la \vect x,\vect x\ra>0$ pro všechny vektory $\vect x\ne 0$}. 
\end{enumerate}
Ukazuje se jako výhodné definovat skalární součin na libovolném reálném vektorovém prostoru jenom pomocí těchto vlastností.
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Skalární součin -- definice a příklady}
 (Šipky nad vektory už nebudeme psát.)
 \begin{definice}
\cervene{Skalární součin} na vektorovém prostoru \modre{$V$} nad reálnými čísly
je zobrazení $\modre{\langle\ ,\  \rangle:V\times V\to \mathbb R}$ takové, že 
\begin{enumerate}
\item[1)] $\modre{\langle u,v \rangle=\langle v,u \rangle}$,
\item[2)] $\modre{\langle u+v,w \rangle=\langle u,w \rangle+\langle v,w \rangle}$,
\item[3)] $\modre{\langle a\cdot u,v \rangle=a\cdot \langle u,v \rangle}$,
\item[4)] $\modre{\langle v,v \rangle \ge 0}$ a je roven  \modre{$0$} pouze při \modre{$v=0$}. 
\end{enumerate}
\end{definice}

\pause
Příklady:
\begin{itemize}
\item My budeme obvykle pracovat s tzv. standardním skalárním součinem na $\modre{V= \mathbb R^n}$
$$\modre{\langle (x_1, x_2, \dots ,x_n),(y_1, y_2, \dots ,y_n)
\rangle =x_1y_1+x_2y_2+\dots +x_ny_n } \, .$$

\end{itemize}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Skalární součin - příklady}
\begin{itemize}
\item Na \modre{$\R^n$} existuje mnoho dalších skalárních součinů. Např. na \modre{$\R^2$} zadává předpis
\modre{$$\la x, y\ra=x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+2x_2y_2$$}
také skalární součin. Poslední vlastnost z definice je splněna, neboť 
\modre{$$\la x, x\ra=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2=
(x_1-x_2)^2+x_2^2 >0$$} pro \modre{$(x_1,x_2)\ne (0,0)$}.
\item Na prostoru všech polynomů $\modre{V=\mathbb R[x]}$ můžeme skalární součin zadat pomocí určitého integrálu 
$$\modre{\langle u,v \rangle=\int_0^1 u(t)\cdot v(t) \operatorname{d}\!t}.$$ 
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Velikost a kolmost vektorů}
\cervene{Velikost vektoru} $\modre{v}$ se definuje jako $$\modre{\norm
v = \sqrt{\langle v,v \rangle}}\, .$$
Vektory \modre{$u,v\in V$} se nazývají \cervene{ortogonální} (\cervene{kolmé}), 
jestliže 
\modre{$$\langle u, v\rangle = 0.$$} Píšeme \modre{$u \perp v$}.

\begin{veta} [Cauchyova nerovnost]
Pro každé dva vektory \modre{$u$} a \modre{$v\in V$} platí nerovnost
\modre{$$|\la u,v\ra| \le\norm u\norm v.$$}
Rovnost nastane, právě když jeden vektor je násobkem druhého.
\end{veta}

\end{frame}


%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Odchylky vektorů}
Jestliže jsou vektory \modre{$u$} a \modre{$v$} nenulové, platí podle Cauchyovy nerovnosti
\modre{$$-1\le \frac{\la u,v\ra}{\norm u\cdot\norm v}\le 1.$$}
Proto existuje právě jedno číslo \modre{$\alpha\in [0,\pi]$} takové, že
\modre{$$\cos \alpha=\frac{\la u,v\ra}{\norm u\cdot\norm v}.$$}
Toto číslo nazýváme \cervene{odchylkou vektorů} \modre{$u$} a \modre{$v$}.
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Ortogonální a ortonormální báze}
Báze prostoru \modre{$V$} složená z navzájem kolmých vektorů se nazývá
\cervene{ortogonální báze}. 
\pause

Mají-li  bázové vektory navíc jednotkovou velikost , mluvíme o
\cervene{ortonormální bázi}. Název pochází z toho, že vektory jednotkové velikosti se nazývají normované.

Standardní úlohou je najít najít v podprostoru generovaném několika vektory nejdříve ortogonální a potom ortonormální bázi.

\begin{priklad}
Nalezněte ortogonální a ortonormální bázi podprostoru 
$\modre{M=[(1,1,1,1), (1,0,0,3), (1,2,1,0)]}$
vektorového prostoru $\modre{\mathbb R^4}$.
\end{priklad}

Označne tyto vektory postupně \modre{$v_1$}, \modre{$v_2$} a \modre{$v_3$}. Chceme je postupně 
nahradit navzájem kolmými vektory
\modre{$u_1,u_2,u_3$}. 
\begin{itemize}
\item
Začněme tím, že položíme \modre{$u_1=v_1=(1,1,1,1)$}.
\end{itemize}

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Pokračování příkladu}
\begin{itemize}
\item Vektor \modre{$u_2$} hledáme ve tvaru \modre{$u_2=v_2-au_1$}. Rovnost vynásobíme skalárně vektorem \modre{$u_1$}
\modre{$$0=\la u_2,u_1\ra=\la v_2,u_1\ra-a\la u_1,u_1\ra.$$}
Odtud spočítáme 
\modre{$a=\frac{\la v_2,u_1}{\la u_1,u_1\ra}=\frac{4}{4}=1$. Tedy $u_2=v_2-1\cdot u_1=(1,0,0,3)-(1,1,1,1)
=(0,-1,-1,2)$}.

 \item  Vektor \modre{$u_3$} hledáme ve tvaru \modre{$u_3=v_3-bu_2-cu_1$}. 
Rovnost vynásobíme skalárně vektorem\modre{ $u_1$} 
\modre{$$0=\la u_3,u_1\ra=\la v_3,u_1\ra-b\la u_2,u_1\ra-c\la u_1,u_1\ra.$$}
Protože \modre{$\la u_2,u_1\ra=0$}, spočítáme
\modre{$c=\frac{\la v_3,u_1\ra}{\la u_1,u_1\ra}=1$}.

Obdobně rovnost vynásobíme skalárně vektorem \modre{$u_2$} 
\modre{$$0=\la u_3,u_2\ra=\la v_3,u_2\ra-b\la u_2,u_2\ra-c\la u_1,u_2\ra.$$}
Protože \modre{$\la u_1,u_2\ra=0$}, spočítáme
\modre{$b=\frac{\la v_3,u_2\ra}{\la u_2,u_2\ra}=-\frac12$, tedy $u_3=(0,1/2,-1/2,0)$}.
\end{itemize}
\end{frame}


%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Grammův--Schmidtův ortogonalizační proces}
Velikosti vektorů jsou \modre{$\norm{u_1}=2$}, \modre{$u_2=\sqrt 6$}, \modre{$u_3=\frac{\sqrt 2}{2}$}.
Ortonormální báze podprostoru \modre{$M$} je tedy
\modre{$$\frac12(1,1,1,1),\ \frac{1}{\sqrt 6}(0,-1,-1,2), \ \frac{1}{\sqrt 2}(0,-1,-1,0).$$}


Výše uvedený postup lze aplikovat na libovolnou \modre{$k$}-tici  lineárně nezávislých vektorů \modre{$v_1,v_2,\dots, v_k$}, abychom dostali \modre{$k$}-tici navzájem ortogonálních vektorů. Nazývá se \cervene{Grammův--Schmidtův ortogonalizační proces}.

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Ortogonální doplněk a kolmá projekce}
Nechť \modre{$V$} je vektorový prostor se skalárním součinem a \modre{$U$} jeho podprostor. 
Množina všech kolmých vektorů k vektorům z $U$
\modre{$$U^\perp=\{v\in V|\ \la v,u\ra=0 \text{ pro všechna }u\in U\}$$}
se nazývá ortogonální doplněk podprostoru \modre{$U$} ve \modre{$V$}. Jde opět o vektorový podprostor. Platí, že \modre{$U+U^\perp=V$} a \modre{$U\cap U^\perp=\{0\}$}.  

To je ekvivalentní s tím, že pro každý vektor \modre{$v\in V$} existuje právě jeden vektor \modre{$u\in U$} a právě jeden vektor \modre{$w\in U^\perp$} tak, že
\modre{$$v=u+w.$$}
Vektor \modre{$u$} nazýváme \cervene{kolmou projekcí} vektoru \modre{$v$} do \modre{$U$}. Kolmá projekce
do popdprostoru \modre{$U$} je lineární zobrazení \modre{$P_U:V\to V$}, které zobrazuje vektory
\modre{$u\in U$} na sebe a vektory \modre{$w\in U^\perp$} na nulový vektor. V terminologii z předchozí přednášky má kolmá projekce vlastní číslo \modre{$1$} s vlastním podprostorem \modre{$U$} a vlastní číslo \modre{$0$} s vlastním podprostorem \modre{$U^\perp$}. Výpočet kolmé projekci ukážeme na příkladu.

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Výpočet kolmé projekce} 
\begin{priklad}
V prostoru \modre{$\R^5$} se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru
\modre{$v=(0,2,6,0,5)$} do podprostoru \modre{$U=[u_1=(1,0,1,0,2), u_2=(-1,2,3,2,1)]$} a jeho ortogonálního doplňku \modre{$U^\perp$}.
\end{priklad}
Kolmou projekci vektoru \modre{$v$} do \modre{$U$} hledáme ve tvaru
\modre{$$P_Uv=au_1+bu_2.$$}
Protože  \modre{$v=P_Uv+P_{U^\perp}v$}, musí být \modre{$v-P_Uv\in U^\perp$}. Tedy \modre{$v-P_Uv$} je kolmé na vektory \modre{$u_1,u_2\in U$}. Dostáváme tedy rovnice
\modre{\begin{align*}
\la v-P_Uv, u_1\ra=&\la v-au_1-bu_2,u_1\ra = 0,\\
\la v-P_Uv, u_2\ra=&\la v-au_1-bu_2,u_2\ra = 0.
\end{align*}}
Po úpravě

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Pokračování příkladu}
\modre{\begin{align*}
a\la u_1,u_1\ra+b\la u_2,u_1\ra&=\la v,u_1\ra,\\
a\la u_1,u_2\ra+b\la u_2,u_2\ra&=\la v,u_2\ra.
\end{align*}}
Vypočteme příslušné skalární součiny
\modre{\begin{align*}
6a+4b&=16,\\
4a+19b&=27.
\end{align*}}
Řešení je \modre{$a=2$} a \modre{$b=1$}. Kolmá projekce je tedy \modre{$$P_Uv=2u_1+u_2=(1,2,5,2,5).$$}
 Dimenze ortogonálního doplňku \modre{$U^\perp$} je \modre{$3$}. Kolmou projekci do \modre{$U^\perp$} nejrychleji spočítáme jako rozdíl 
 \modre{$$P_{U^\perp}v=v-P_Uv=(-1,0,1,-2,0).$$}

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Ortogonální transformace}
Nechť \modre{$V$} je vektorový prostor se skalárním součinem. Lineární zobrazení
\modre{$\varphi:V\to V$} nazýváme \cervene{ortogonální transformací}, jestliže pro všechny dvojice vektorů \modre{$u,v\in V$} platí
\modre{$$\la \varphi(u),\varphi(v)\ra=\la u, v\ra.$$}
Říkáme, že \modre{$\varphi$} zachovává skalární součin. \modre{$\varphi$} zachovává rovněž velikosti vektorů, neboť \modre{$\norm{\varphi(v)}=\sqrt{\la\varphi(v), \varphi(v)\ra}=\sqrt{\la v,v\ra}=\norm{v}$}.

Nechť \modre{$V=\R^n$} se standardním skalárním součinem. Skalární součin dvou vektorů \modre{$x$} a \modre{$y\in\R^n$}, které bereme jako sloupce velikosti \modre{$n$} můžeme zapsat pomocí maticového násobení takto: 
\modre{$\la x,y\ra=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n=(x_1,x_2,\dots,x_n)\cdot
\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=x^T\cdot y$}.

Nechť \modre{$\varphi:\R^n\to\R^n,\ \varphi(x)=Ax$}, kde \modre{$A$} je matice \modre{$n\times n$}, je ortogonální transformace. Potom podle definice platí
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Ortogonální matice}
(\modre{$E$} je jednotková matice) 
\modre{$x^T\cdot E\cdot y=x^T\cdot y=\la x,y\ra=\la Ax,Ay\ra=(Ax)^T\cdot Ay=x^T(\cdot A^T\cdot A)\cdot y$}
pro všechna \modre{$x,y\in\R^n$}. Proto je \modre{$A^TA=E$}, tedy inverzní matice k matici \modre{$A$} je transponovaná matice. Takovým maticím říkáme \cervene{ortogonální matice}.
Jejich definice je ekvivalentní s podmínkami
\begin{itemize}
\item \modre{$AA^T=E$}.
\item Řádky matice \modre{$A$} tvoří ortonormální bázi v \modre{$\R^n$}.
\item  Sloupce matice \modre{$A$} tvoří ortonormální bázi v \modre{$\R^n$}.
\end{itemize}  
Podstatné vlastnosti ortogonálních matic zachycuje následující 
\begin{veta} Determinant ortogonální matice je roven \modre{$\pm 1$}. Vlastní čísla ortogonální matice mají absolutní hodnotu \modre{$1$}. To platí i komplexní vlastní čísla. Jsou-li vlastní čísla reálná, tak jsou \modre{$\pm 1$}.
\end{veta}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Lineární shodné transformace v rovině}
Jsou to ortogonální transformace \modre{$\varphi(x)=Ax$}, kde \modre{$A$} je ortogonální matice
\modre{$2\times 2$}. Mohou nastat tyto možnosti:
\begin{itemize}
\item[1)] \cervene{$\det A=1$}. Potom je \modre{$\varphi$} \cervene{otočení} proti směru hodinových ručiček kolem počátku o úhel \modre{$\alpha$}. Ten je určen jednoznačně prvním sloupcem matice, která má tvar 
\modre{$$A=\begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}.$$}
\item[2)] \cervene{$\det A=-1$}. Potom je \modre{$\varphi$} \cervene{symetrií podle osy} procházející počátkem
se směrovým vektorem rovným vlastnímu vektoru k vlastnímu číslu \modre{$1$}. Další vlastní číslo je \modre{$-1$} a jeho vlastní vektor \modre{$v=(a,b)$} je kolmý ke směrovému vektoru osy. Tedy
osa symetrie má rovnici
 \modre{$$ax_1+bx_2=0.$$} 
\end{itemize}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Lineární shodné transformace v prostoru $\R^3$}
Jsou to ortogonální transformace \modre{$\varphi(x)=Ax$}, kde \modre{$A$} je ortogonální matice
\modre{$3\times 3$}. Charakteristický polynom matice \modre{$A$} je stupně \modre{$3$}, a proto má aspoň jeden reálný kořen. Tedy \modre{$\varphi$} má vlastní číslo \modre{$1$} nebo \modre{$-1$}. Opět rozlišíme dvě možnosti:
\begin{itemize}
\item[1)] \cervene{$\det A=1$}. Potom má \modre{$\varphi$} vlastní číslo \modre{$1$}  a je \cervene{otočením kolem osy} procházející počátkem se směrovým vektorem rovným vlastnímu vektoru \modre{$v$} k vlastnímu číslu \modre{$1$}. Úhel otáčení \modre{$\alpha$} zjistíme tak, že si vezmeme nějaký vektor \modre{$u\ne 0$} kolmý k \modre{$v$} a spočítáme, jaký úhel svírá s vektorem  \modre{$\varphi(u)=Au$}:
\modre{$$\cos\alpha=\frac{\la Au,u\ra}{\norm u\norm {Au}}.$$}  
\item[2)] \cervene{$\det A=-1$}. V tomto případě má \modre{$\varphi$} vlastní vektor \modre{$-1$}
a je \cervene{složením dvou zobrazení}. Prvé je \cervene{otočení kolem osy} se směrovým vektorem rovným vlastnímu vektoru \modre{$v$} k vlastnímu číslu \modre{$-1$} a druhé je \cervene{symetrie podle roviny} procházející počátkem a kolmé k vektoru \modre{$v$}.  
\end{itemize} 
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Příklad I}
Úhel otáčení zjistíme stejným způsobem jako v předchozím případě. 
\begin{priklad} Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení
\modre{$\varphi(x)=Ax$}, kde \modre{$A=\frac13\begin{pmatrix} 2&-1&-2\\ -1&2&-2\\-2&-2&-1
\end{pmatrix}$}.
\end{priklad}
Pozorně spočítáme, že \modre{$\det A=\frac {1}{27}\det\begin{pmatrix} 2&-1&-2\\ -1&2&-2\\-2&-2&-1
\end{pmatrix}=-1$}. Tedy \modre{$A$} musí mít podle předchozího vlastní číslo \modre{$-1$}. Nemusíme tedy počítat charakteristický polynom, ale rovnou spočítáme vlastní vektor k \modre{$-1$} řešením soustavy \modre{$(A+E)v=0$}.  Zjistíme, že \modre{$v=p(1,1,2)$}, \modre{$p\in\R-\{0\}$}. Vezmeme nějaký kolmý 
vektor, např. \modre{$u=(1,-1,0)$}. Spočítáme  \modre{$\varphi(u)=Au=u$}. Tedy úhel otáčení je nulový, proto \modre{$\varphi$} popisuje symetrii podle roviny 
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Příklad II}
procházející počátkem kolmé k vektoru
\modre{$v=(1,1,2)$}. Ta má rovnici \modre{$x_1+x_2+2x_3=0$}. 
\begin{priklad}
 Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení
\modre{$\varphi(x)=Bx$}, kde \modre{$B=\frac13\begin{pmatrix} -2&1&-2\\ -2&-2&1\\1&-2&-2
\end{pmatrix}$}.
\end{priklad}
Analogicky jako v předchozí úloze \modre{$\det B=\frac {1}{27}\det\begin{pmatrix} 
-2&1&-2\\ -2&-2&1\\1&-2&-2
\end{pmatrix}=-1$}. Tedy \modre{$B$} má vlastní číslo \modre{$-1$}. Najdeme vlastní vektor k \modre{$-1$} řešením soustavy \modre{$(B+E)v=0$}.  Zjistíme, že \modre{$v=p(1,1,1)$}. Vezmeme nějaký kolmý 
vektor, např. \modre{$u=(1,-1,0)$}. Spočítáme  \modre{$Bu=(-1,0,1)$}. Pro úhel otáčení je \modre{$\cos\alpha=\frac{\la u,Bu\ra}{\norm u\norm{Bu}}=-\frac12$}, tedy 
\modre{$\alpha=\frac23\pi$}, tj. \modre{$120^o$}.
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Dokončení příkladu II}
Transformace \modre{$\varphi$} je tedy složením  
symetrie podle roviny 
\modre{$x_1+x_2+x_3=0$}
a otočení kolem přímky procházející počátkem se směrovým vektorem \modre{$(1,1,1)$} o úhel
\modre{$\frac23\pi$} (ve směru od vektoru \modre{$(1,-1,0)$} k vektoru \modre{$(-1,0,1)$}). 
\vskip 5cm
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Požadavky}
Typické příklady:
\begin{itemize}
\item Najít v podprostoru ortogonální, resp.
ortonormální bázi.
\item Najít ortogonální doplněk podprostoru v \modre{$\R^n$}.
\item Spočítat kolmou projekci do podprostoru v \modre{$\R^n$}.
\item Zjistit, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení zadané ortogonální maticí \modre{$2\times 2$ a $3\times 3$}.
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%\xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Domácí úloha}
 \footnotesize
\begin{priklad}[6.1]
 Grammovým-Schmidtovým ortogonalizačním procesem sestrojte ortogonální bázi podprostoru
$M$ v prostoru $\mathbb R^4$, je-li
$$M=[(1,2,2,-1), (1,1,-5,3), (0,1,1,0)] . $$ 
Určete nějakou ortonormální bázi podprostoru $M$ a doplňte ji na ortonormální bázi
prostoru $\mathbb R^4$.
\end{priklad}

\begin{priklad}[6.2]
 V souřadnicích  standardní báze je zobrazení $\varphi$ vektorového prostoru $\mathbb R^3$ do sebe určeno maticí 
$$A=\frac13 \begin{pmatrix}
2&2&-1\\ 2&-1&2\\-1&2&2
\end{pmatrix} $$
Určete, o jaké zobrazení se jedná. 
\end{priklad}


\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}


\end{document}