%\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
\documentclass[handout]{beamer}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usecolortheme{sidebartab}

\usetheme{Warsaw}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\title[Afinní geometrie\hspace{15mm} \insertframenumber/\inserttotalframenumber]
{MB141 -- 7. přednáška \\Afinní geometrie}
%\subtitle{}
\author[7. přednáška]{Martin Čadek\\ s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101}
\date{Jarní semestr 2022}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\newtheorem{veta}{Věta}
%\newtheorem{hyp}{Hypot\'eza}
\newtheorem{reseni}{Řešení}
%\newtheorem{problemx}{Problem}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
\theoremstyle{example}
\newtheorem{definice}{Definice}
\newtheorem{priklad}{P\v r\'iklad}
\def\cervena #1{{\color{red} #1}}
\def\cervene #1{{\color{red} #1}}
\def\modra #1{{\color{blue}  #1}}
\def\modre #1{{\color{blue}  #1}}
\xdefinecolor{tmavezelena}{cmyk}{0.7,0,1,0.5}
\def\zelena #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\zelene #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\c #1{\mathcal {#1}}
\def\s #1{\mathsf {#1}}
%\def\poznamka #1{{\footnotesize Pozn.: #1}\\}
\def\poznamka #1{{\scriptsize Pozn.: #1}\\}
\def\otazka #1{{\scriptsize Kontrolní otázka: #1}\\}
\def\zavorka #1{{\scriptsize [ #1 ]}\\}
\def\sami {{\scriptsize Vyřešte samostatně.}}
\def\ec {{\vec{e_1}}}
\def\ecc {{\vec{e_2}}}
\def\efc {{\vec{f_1}}}
\def\efcc {{\vec{f_2}}}

\def\rovina {{\mathbb R^2}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\skalar #1#2{{\langle #1, #2\rangle}}
\def\velikost #1{{\| #1\|}}
\def\sgn #1{{\operatorname{sgn}(#1)}}
\def\norm #1{\|#1\|}

\def\R{\mathbb R}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\K{\mathbb K}
\def\C{\mathbb C}
\def\M{\mathcal M}
\def\N{\mathcal N}
\def\h{\operatorname{h}}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%\input definice-slovak.tex

\def\tuzka{\hfill ${\color{orange}\blacktriangleright \blacktriangleright}$}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\newcommand{\maticemn}[1]{
\left(
\begin{array}{llll}
#1_{11}&#1_{12}&\dots&#1_{1n}\\
#1_{21}&#1_{22}&\dots&#1_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
#1_{m1}&#1_{m2}&\dots&#1_{mn}\\
\end{array}
\right)}

\newcommand{\maticedvadva}[4]{
\left(
\begin{array}{rr}
#1&#2\\
#3&#4\\
\end{array}
\right)}

%\newcommand{\maticedvatri}[6]{
%\left(
%\begin{array}{rrr}
%#1&#2&#3\\
%#4&#5&#6\\
%\end{array}
%\right)}

\newcommand{\maticedvatri}[6]{
\left(
\begin{smallmatrix} 
#1&#2&#3\\
#4&#5&#6
\end{smallmatrix} \right)}


\newcommand{\sloupecdva}[2]{
\left(
\begin{array}{l}
#1\\
#2\\
\end{array}
\right)}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Osnova přednášky}
\begin{itemize}
{\item Afinní podprostory v $\R^n$
\bigskip
\item Parametrický a implicitní popis
\bigskip
\item Hodnost matice a soustavy lineárních rovnic
\bigskip
\item Průnik a součet afinních podprostorů
\bigskip
\item Vzájemná poloha afinních podprostorů
\bigskip
\item Standardní úlohy
}
\end{itemize}
\end{frame}
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \modre{$ $}
\begin{frame}{Geometrie ve vícerozměrném prostoru}
Pokud bereme \modre{$\R^3$} jako vektorový prostor, tak všechny jeho vektorové podprostory jsou
\begin{itemize}
\item \modre{$\{0\}$} množina obsahující pouze nulový vektor (počátek),
\item přímky procházející počátkem,
\item roviny procházející počátkem,
\item celé \modre{$\R^3$}.
\end{itemize}
Chceme-li se ale zabývat geometrií v prostoru, potřebujeme pracovat se všemi přímkami a všemi rovinami.
Proto zavádíme pojem afinního prostoru a jeho afinních podprostorů. Prvky \modre{$\R^3$} (obecně \modre{$\R^n$}) bereme
jednak jako body, jednak jako vektory, tj. uvažujeme 
množinu bodů \modre{$\mathcal B$} a vektorový prostor  \modre{$V$}  a přitom máme operaci \uv{přičtení vektoru k bodu}:
\modre{$+ : \mathcal B\times V \to \mathcal B,\ (B,v)\mapsto B+v $}
a s ní sdruženou operaci  \uv{rozdíl bodů}:
\modre{$- : \mathcal B\times \mathcal B \to V$},  \modre{$(A,B) \mapsto  B-A=\vect{AB}$}. 

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


\begin{frame}{Afinní prostory}

\begin{definice}
Buď \modre{$V=\mathbb R^n$} vektorový prostor.
\cervene{Standardní afinní prostor $\mathcal A_n$}\modre{$=\mathbb R^n$} 
je množina všech \cervene{bodů} 
v \modre{$\mathbb R^n$}
spolu s operací, která bodu \modre{$A=[a_1,\dots, a_n]\in \mathcal A_n$} 
a vektoru \modre{$v= (v_1,\dots,v_n)\in V$}
přiřadí bod \modre{$A+v = [a_1+v_1,\dots, a_n+v_n]\in \mathcal A_n$}. 
\end{definice}
\pause
Tato operace
splňuje následující tři vlastnosti:
\begin{enumerate}
\item \modre{$ A+0 = A$} pro všechny body \modre{$A\in \mathcal A_n$} a nulový 
vektor \modre{$0\in V$},
\item \modre{$A+(v+w) = (A + v)+w$} pro všechny vektory \modre{$v,w\in V$}, 
a~body \modre{$A\in \mathcal A_n$},
\item pro každé dva body \modre{$A,B\in \mathcal A_n$} existuje právě jeden vektor 
\modre{$v\in V$}
takový, že \modre{$A+v=B$}. Značíme jej \modre{$B-A$}, nebo \modre{$\vect{AB}$}. 
\end{enumerate}
\pause
Vektorový prostor \modre{$V$} nazýváme \cervene{zaměření afinního prostoru} \modre{$\mathcal
A_n$}.
\pause

Abychom předešli nejasnostem, tak oddělíme formálně množinu
\modre{$\mathcal A_n$} a \modre{$V$} tak, že body z \modre{$\mathcal A_n$} píšeme do hranatých 
závorek: \modre{$A=[a_1,\dots, a_n]\in \mathcal A_n$}.
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Afinní souřadná soustava}

Pokud zafixujeme jeden pevný bod 
\modre{$A_0\in \mathcal A_n$} a  pevnou bázi 
\modre{$\alpha =(u_1,\dots , u_n)$} ve \modre{$V$}, tak dostáváme pro 
každý bod \modre{$A\in \mathcal A_n$} jednoznačné vyjádření 
$$\modre{
A = A_0 + x_1u_1+\dots + x_nu_n}
.$$
\pause
Hovoříme o \cervene{afinní soustavě souřadnic} 
\modre{$(A_0; u_1,\dots,u_n)$} zadané
počátkem afinní 
souřadné soustavy \modre{ $A_0$} a bazí zaměření \modre{$\alpha$}. 
\pause
\medskip

Afinní souřadnice
bodu $\modre{A = A_0 + x_1u_1+\dots + x_nu_n}$
v soustavě \modre{$(A_0; u_1,\dots,u_n)$} jsou 
$\modre{[x_1, \dots, x_n]}$.

\medskip

Obvykle bereme \modre{$A_0=[0,\dots , 0]$} a standardní bázi \modre{$\alpha=\varepsilon_n$}.
Potom jsou afinní souřadnice bodu \modre{$A=[a_1,\dots , a_n]$} stejná $\modre{n}$-tice 
 \modre{$[a_1,\dots , a_n]$}.
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Afinní podprostory}

\begin{definice}
Neprázdná podmnožina \modre{$\mathcal M$}
afinního prostoru \modre{$\mathcal A_n$} se zaměřením \modre{$V$} se  nazývá 
\cervene{afinní podprostor} v \modre{$\mathcal A_n$}, jestliže existuje vektorový podprostor \modre{$W\subseteq V$}
takový, že pro některý bod \modre{$A\in \M$} je 
podmnožina 
\modre{$$\M=\{A+v \in \mathcal A_n\mid v\in W \}.$$} 
 Zapisujeme $\modre{\mathcal M= A+W}$.
\end{definice}
\pause
\begin{itemize}
\item Vektorový podprostor $\modre{W}$ se nazývá  \cervene{zaměření} afinního podprostoru \modre{$\mathcal M$}. Značíme ho $\modre{Z(\mathcal M)}$ a píšeme   $\modre{\mathcal M= A+Z(\mathcal M)}$.

\item
\cervene{Dimenzí} afinního podprostoru 
rozumíme dimenzi jeho zaměření. 
\end{itemize}

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Afinní kombinace bodů}
\cervene{Afinní kombinací bodů} \modre{$B$} a \modre{$C$} z \modre{$\mathcal A_n$} je bod 
\begin{center}
\modre{$D=(1-\lambda) B+\lambda C$}
\end{center}
definovaný  jako součet bodu a vektoru takto \modre{$D=B+\lambda(C-B)$}. 
Jsou-li body \modre{$B$} a \modre{$C$} různé, pak všechny jejich afinní kombinace vytvářejí přímku.
Pomocí afinních kombinací můžeme afinní podprostory charakterizovat takto:
\begin{veta}
Neprázdná podmnožina \modre{$\M\subseteq \mathcal A_n$} je afinní podprostor, právě když s každými dvěma body obsahuje všechny jejich afinní kombinace. 
To geometricky znamená, že \modre{$\M$} s každými dvěma body obsahuje i přímku, která jimi prochází.
\end{veta}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Parametrický popis}
Nechť \modre{$\mathcal M=A+ Z(\mathcal M)$} je afinní
podprostor v \modre{$\mathcal A_n$} a \modre{$(u_1,\dots, u_k)$} je báze 
\modre{$Z(\mathcal M)\subseteq \mathbb R^n$}. Pak
vyjádření podprostoru 
$$\modre{
\mathcal M=\{A + t_1u_1 +\dots +t_ku_k \mid t_1,\dots, t_k\in\mathbb R\}}
$$
nazýváme \cervene{parametrický popis} podprostoru \modre{$\mathcal M$}.
\pause
\medskip
Příklady:
\begin{itemize}
\item Příkladem na parametrický popis přímky v \modre{$\mathcal A_3$} je \modre{$p:\ X=[2,3,-8]+t(4,1,5)$}, v jednotlivých souřadnicích 
\modre{$x_1=2+4t$}, \modre{$x_2=3+t$}, \modre{$x_3=-8+5t$}.
\item Příkladem na parametrický popis roviny v \modre{$\mathcal A_3$} je \modre{$\sigma: X=[3,-1,2]+r(4,6,1)+s(-1,0,3)$}, v souřadnicích \modre{$x_1=3+4r-s,\ x_2=-1+6r,\ x_3=2+r+3s$}. 
\end{itemize}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Implicitní (obecný) popis afinního podprostoru}
Uvažujme soustavu \modre{4} lineárních rovnic o \modre{5} neznámých \modre{$Ax=b$}. Rozšířenou matici soustavy upravíme na schodovitý tvar
\modre{$$\left(
\begin{array}{rrrrr|r}
2&4&1&5&-1&1\\
1&2&0&2&0&0\\
1&2&0&3&1&2\\
2&4&2&5&-3&0\\
\end{array}\right)
\pause\sim\dots\sim
\left(
\begin{array}{rrrrr|r}
1&2&0&2&0&0\\
0&0&1&1&-1&1\\
0&0&0&1&1&2\\
0&0&0&0&0&0\\
\end{array}\right)
$$}
Řešením je množina 
\newline
\modre{$\mathcal{M}=\{[-4,0,-1,2,0]+t(-2,1,0,0,0)+ s(2,0,2,-1,1)\in \R^5\mid s,t\in\mathbb R\} $.} 
\newline
To je parametrický popis afinního podprostoru. Zaměření  tohoto podprostoru
je 
\modre{$Z(\mathcal{M})=\{t(-2,1,0,0,0)+ s(2,0,2,-1,1)\in \R^5\mid s,t\in\mathbb R\} $},
což je řešení homogenní soustavy \modre{$Ax=0$}.
Vidíme, že $\modre{\dim \mathcal{M} =2}$.
\medskip

Jestliže množina řešení soustavy \modre{$Ax=b$} je neprázdná, jde o afinní podprostor. Popis afinního podprostoru
pomocí soustavy lineárních rovnic se nazývá \cervene{implicitní} nebo také \cervene{obecný popis}.



   
\end{frame}



%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Hodnost matice a soustavy lineárních rovnic}
Dimenze afinního podprostoru, který je množinou řešení soustavy lineárních rovnic, souvisí s hodností matice.
\begin{definice}
Nechť je \modre{$A$} matice s \modre{$k$} řádky a \modre{$n$} sloupci, tj.
každý sloupec je prvek \modre{$\mathbb R^k$}
a každý řádek je prvek \modre{$\mathbb R^n$}. Následující tři celá čísla se rovnají
\begin{itemize}
\item[1)] počet nenulových řádků po úpravě na schodovitý tvar,
\item[2)] maximální počet lineárně nezávislých řádků,
\item[3)] maximální počet lineárně nezávislých sloupců.
\end{itemize}
Jejich společnou hodnotu nazýváme \cervene{hodností matice} \modre{$A$} a značíme \modre{$\h(A)$}.
\end{definice}
%\begin{veta}
\begin{itemize} 
\item Soustava \modre{$A\cdot x=b$} má řešení právě tehdy, když
hodnost matice \modre{$A$} je rovna hodnosti rozšířené matice \modre{$(A\mid b)$}, tj.
\modre{$$\h(A)=\h(A\mid b).$$}
\end{itemize}

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Hodnost matice -- příklady I}
\begin{itemize}
\item Pokud má soustava  \modre{$A\cdot x=b$} řešení \modre{$x\in \R^n$}, pak množina všech řešení je afinní
podprostor dimenze
\begin{center} 
\modre{$n-\h(A)$.}
\end{center} 
Zaměření tohoto afinního podprostoru je množina řešení  
homogenní soustavy \modre{$Ax=0$}.
\end{itemize}
Příklady:
\begin{itemize} 
\item Matice \modre{$A$} tvaru \modre{$4\times 5$}  v příkladu na straně 9 má hodnost {$3$} a ta je rovna hodnosti matice \modre{$(A\mid b)$}. Dimenze příslušného afinního podprostoru je \modre{$5-\h(A)=5-3=2$}.
\item Rovnice \modre{$3x_1+7x_2-2x_3=9$} je implicitním popisem roviny v \modre{$\mathcal A_3$}. Příslušná matice je \modre{$A=(3, 7, -2)$}. Její hodnost je \modre{1}. Dimenze afinního podprostoru, který popisuje, je \modre{$3-1=2$}, což odpovídá tomu, že dimenze roviny je \modre{2}.

\end{itemize}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Hodnost matice -- příklady II}
\begin{itemize}
\item Soustava \modre{$2x_1-x_2+3x_3=1$}, \modre{$x_1+2x_2-x_3=2$} má matici
\modre{$\begin{pmatrix} 2&-1&3\\1&2&-1
\end{pmatrix}$}, jejíž hodnost je \modre{2}. Dimenze příslušného afinního podprostoru je \modre{$3-2=1$}, což odpovídá tomu, že jde  o přímku v \modre{$\mathcal A_3$}.
\item Rovnice \modre{$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=b$} s aspoň  jedním nenulovým koeficientem \modre{$a_i$} popisuje 
afinní podprostor v \modre{$\mathcal A_n$} dimenze \modre{$n-\h(a_1,a_2,\dots, a_n)=n-1$}. Nazýváme jej nadrovinou v \modre{$\R^n$}.
\end{itemize}
Přechod od implicitního (obecného) popisu afinního podprostoru soustavou \modre{$Ax=b$} k parametrickému popisu je jednoduchý, stačí soustavu vyřešit. Příklad jsme si již ukázali na straně 9.



\end{frame}
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Od parametrického vyjádření k implicitnímu}
Přechod od parametrického popisu k implicitnímu (obecnému) je také vždy možný. Ze soustavy rovnic, kde vystupují souřadnice \modre{$x_1,x_2,\dots,x_n$} a parametry \modre{$t_1,t_2,\dots,t_k$}, \modre{$k<n$}, vypočteme z \modre{$k$} rovnic parametry \modre{$t_i$} a ty dosadíme do zbývajících rovnic. Ukážeme si to na příkladu.

\begin{priklad}
 Nalezněte nějakou soustavu lineárních rovnic, jejíž řešení je
 \modre{$\{[0,-1,2,0]+t(-2,1,1,1)+ s(2,2,-1,1)\mid s,t\in\mathbb R\}$}.
\end{priklad}
Parametrický popis v souřadnicích je
\modre{\begin{align*}
x_1&=-2t+2s\\
x_2&=-1+t+2s\\
x_3&=2+t-s\\
x_4&=t+s
\end{align*}} 
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Od parametrického vyjádření k implicitnímu II}
Z posledních dvou rovnic spočítáme
\modre{\begin{align*}
2t&=x_3+x_4-2\\
2s&=x_4-x_3+2
\end{align*}}
a dosadíme do prvních dvou rovnic. Druhou vynásobíme dvěma. Dostaneme
\modre{\begin{align*}
x_1&=-2x_3+4\\
2x_2&=-x_3+3x_4,
\end{align*}} 
což dává soustavu \modre{$Ax=\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&2&1&-3 \end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}
4\\0\end{pmatrix}=b$}. Všimněte si, že řádky matice \modre{$A$} jsou lineárně nezávislé a kolmé k vektorům zaměření, které se vyskytují v parametrickém popisu. Dále, když maticí \modre{$A$} vynásobíme souřadnicemi bodu
\modre{$[0, -1,2,0]^T$} dostaneme pravou stranu \modre{$b$}. Toto platí obecně a můžeme to využí k nalezení nejdříve matice \modre{$A$} a pak pravé strany \modre{$b$}.  
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Průnik afinních podprostorů}
Je-li průnik afinních podprostorů neprázdný, je opět afinním podprostorem.
Metoda výpočtu průniku afinních podprostorů \modre{$\mathcal M$} a \modre{$\mathcal N$} závisí na vyjádření
 prostorů. 
 \begin{itemize}
  \item Oba implicitně: ze 2 soustav vytvoříme jednu velkou soustavu.
  \item Jeden implicitně a druhý parametricky: dosadíme z parametrického vyjádření do soustavy.
  \item Oba parametricky: porovnáním parametrických vyjádření vznikne soustava pro parametry.
\end{itemize}
Ukážeme si řešení v druhém případě.
\begin{priklad}
V $\mathcal A_3$ najděte průnik roviny $\modre{
\sigma:\, 2x_1+3x_2-x_3+1=0}$ s rovinou $\modre{\rho:\, X=[1,3,11]+t(1,0,1)+s(0,1,2)}$.
\end{priklad}

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad na průnik -- dokončení}
Parametrické vyjádření roviny \modre{$\rho$}
\modre{\begin{center}
$x_1=1+t,\  x_2=3+s,\  x_3=11+t+2s$
\end{center}}
dosadíme do rovnice pro rovinu \modre{$\sigma$}.
\modre{\begin{center}
$2(1+t)+3(3+s)-(11+t+2s)+1=0.$
\end{center}}
Po úpravě \modre{$t+s+1=0$}. 
Řešením jsou dvojice \modre{$(t,s)=(a,-1-a)$}, kde \modre{$a\in \R$} je parametr. Body průniku jsou tedy ty body \modre{$X$} z roviny \modre{$\sigma$}, které napíšeme pomocí parametrů \modre{$t=a$} a \modre{$s=-1-a$}:
\modre{\begin{align*}
X&=[1,3,11]+a(1,0,1)-(a+1)(0,1,2)\\
&=[1,2,9]+a(1,-1,-1).
\end{align*}}
Tedy průnikem je přímka s parametrickým vyjádřením \modre{$[1,2,9]+a(1,-1,-1)$}.
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Afinní obal množiny a spojení afinních podprostorů}
\begin{itemize}

\item Afinní podprostor $\modre{\langle M\rangle}$ v $\modre{\mathcal A_n}$
generovaný neprázdnou
množinou \modre{$M$} je nejmenší afinní podprostor obsahující množinu \modre{$M$}, je to průnik všech afinních podprostorů, které obsahují \modre{$M$}.
\item  Hovoříme také o
\cervene{afinním obalu} množiny bodů \modre{$M$} v \modre{$\mathcal A_n$}.
\item Příklad: afinní obal dvou přímek $\modre{A+t\cdot u}$
a $\modre{B+s\cdot v}$ se směrovými vektory $\modre{u,v}$ je $\modre{A +[u,v,\vect{AB}]}$.
\pause
\item Pro dvojici afinních podprostorů \modre{$\mathcal{M}$} a \modre{$\mathcal{N}$} se afinnímu obalu
množiny \modre{$\mathcal{M}\cup\mathcal{N}$} říká \cervene{spojení} afinních podprostorů. 
Značíme \modre{$\mathcal{M}\sqcup\mathcal{N}$}.
\item Pro \modre{$\mathcal{M}=A+Z(\mathcal{M})$}, \modre{$\mathcal{N}=B+Z(\mathcal{N})$} pak platí
\modre{$\mathcal{M}\sqcup\mathcal{N}=A+Z(\mathcal M)+ Z(\mathcal{N})+ [\vect{AB}]
$}. Jeho zaměření je součet tří vektorových podprostorů \modre{$Z(\mathcal M)+ Z(\mathcal{N})+ [\vect{AB}]$}.

\end{itemize}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Vzájemná poloha afinních podprostorů}
Mějme podprostory $\modre{\mathcal M}$ a $\modre{\mathcal N}$ . Pro jejich vzájemnou polohu jsou tyto možnosti:
\begin{enumerate}
\item Jsou si rovny, pokud
 $\modre{\mathcal M\cap\mathcal N\not=\emptyset}$ a $\modre{Z(\mathcal M)=Z(\mathcal N)}$.
 \item Jeden je podprostorem druhého, např.  $\modre{\mathcal M\subseteq \mathcal N}$, pokud
 $\modre{\mathcal M\cap\mathcal N\not=\emptyset}$ a $\modre{Z(\mathcal M)\subseteq Z(\mathcal N)}$.
 \item Podprostory jsou  \cervene{rovnoběžné}, pokud $\modre{\M\cap\N\ne\emptyset}$
 %$\modre{\mathcal M\cap\mathcal N=\emptyset}$ 
 a platí buď 
 $\modre{Z(\mathcal M)\subseteq Z(\mathcal N)}$
 nebo $\modre{Z(\mathcal N)\subseteq Z(\mathcal M)}$.
 \item  Podprostory jsou \cervene{různoběžné}, pokud 
 $\modre{\mathcal M\cap\mathcal N\not=\emptyset}$ a neplatí ani $\modre{Z(\mathcal M)\subseteq Z(\mathcal N)}$
 ani $\modre{Z(\mathcal N)\subseteq Z(\mathcal M)}$.
 \item  Podprostory jsou \cervene{mimoběžné}, pokud 
 $\modre{\mathcal M\cap\mathcal N=\emptyset}$ a neplatí ani $\modre{Z(\mathcal M)\subseteq Z(\mathcal N)}$
 ani $\modre{Z(\mathcal N)\subseteq Z(\mathcal M)}$
\end{enumerate}

\bigskip
Vzájemnou polohu umíme počítat, neboť všechny podmínky umíme prověřit -- stačí určit  
$\modre{\mathcal M\cap\mathcal N}$ a  $\modre{Z(\mathcal M)\cap Z(\mathcal N)}$.

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Příklad na vzájemnou polohu}
\begin{priklad} Zjistěte vzájemnou polohu rovin \modre{$\pi$} a \modre{$\rho$} v \modre{$\mathcal A_4$}.
\modre{\begin{align*}
\pi:&\  X=[1,1,0,2]+a(1,0,1,1)+b(1,0,0,1),\\
\rho:&\ x_1+x_2-x_3+x_4=2,\quad x_1-x_2-x_4=4.
\end{align*}}
\end{priklad}
Nejdříve zjistíme průnik \modre{$\pi\cap\rho$}. Bod průniku \modre{$X=[x_1,x_2,x_3,x_4]$} má parametrické vyjádření bodu roviny \modre{$\pi$} 
\modre{$x_1=1+a+b,\ x_2=1, \ x_3=a, \ x_4=2+a+b$}.
\newline
To dosadíme do rovnic pro \modre{$\rho$}. Dostaneme
\modre{$a+2b+4=2, \ -2=4$}. Je vidět, že soustava nemá řešení, tedy průnik \modre{$\pi\cap\rho=\emptyset$}.
\newline 
Nyní najdeme průnik \modre{$Z(\pi)\cap Z(\rho)$}. 
\modre{\begin{align*}
Z(\pi):&\  u=a(1,0,1,1)+b(1,0,0,1),\\
Z(\rho):&\ x_1+x_2-x_3+x_4=0,\quad x_1-x_2-x_4=0.
\end{align*}}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad na vzájemnou polohu -- dokončení}
Počítáme stejně jako v předchozím případě a pro parametry dostaneme rovnice
\modre{$a+2b=0, \  0=0.$} \v{R}ešením jsou dvojice \modre{$(a,b)=(2t,-t)$}. Průnik zaměření je proto
\modre{$$\{2t(1,0,1,1)-t(1,0,0,1)\}=[(1,9,2,1)].$$} 
Dimenze obou zaměření \modre{$Z(\pi)$} a \modre{$Z(\rho)$} jsou \modre{2}, dimenze průniku je \modre{1}, tedy nenastane \modre{$Z(\pi)\subseteq Z(\rho)$}
ani \modre{$Z(\rho)\subseteq Z(\pi)$}. (V tomto případě, kdy se dimenze rovnají, je každá s inkluzí ekvivalentní rovnosti \modre{$Z(\pi)=Z(\rho)$}.)

\medskip
\zelene{Závěr:} Roviny \modre{$\pi$} a \modre{$\rho$} jsou mimoběžné.
 
\end{frame}

\begin{frame}{Standardní příklady na afinní podprostory I}
\begin{priklad}
Zjistěte, zda  body \modre{$[0,2,1]$}, \modre{$[-1,2,0]$}, \modre{$[-2,5,2]$} a 
\modre{$[0,5,4]$} z \modre{$\mathcal A_3$} leží v jedné rovině.
\end{priklad}
\begin{itemize}
\item Libovolná dvojice zadaných bodů z afinního prostoru  \modre{$\mathcal A_3$ }
určuje vektor. To, že
čtyři body leží v rovině je ekvivalentní tomu, že jsou tři vektory, dané jedním vybraným bodem
a vždy jedním ze tří zbylých, lineárně závislé. 
\pause \item 
Vybereme např. bod  \modre{$[0,2,1]$} (na výběru nezáleží), pak uvažujeme vektory
 \modre{$[-1,2,0]-[0,2,1]=(-1,0,-1)$},  
 \modre{$[-2,5,2]-[0,2,1]=(-2,3,1), [0,5,4]-[0,2,1]=(0,3,3)$}. 
\pause \item 
Již známým výpočtem zjistíme, že vektory jsou lineárně závislé.  Dané body leží tedy v rovině.
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Standardní příklady na afinní podprostory II}

Průnik a spojení afinních podprostorů je nástroj, který se často používá k~řešení mnoha jiných příkladů.  

\begin{priklad}
Najděte příčku dvou mimoběžných přímek
$$\modre{p:\, [1,1,1]+t(2,1,0),\quad q:\,[2,2,0]+t(1,1,1)}\, ,$$
takovou, že přímka jí určená prochází bodem \modre{$C=[1,0,0]$}.
\end{priklad}
\cervene{Příčkou} rozumíme  úsečku, jejíž jeden krajní 
bod leží na jedné z přímek, druhý krajní bod na druhé.

\medskip

Označme \modre{$A=[1,1,1]$}. 
Jeden krajní  bod příčky \modre{$Q\in q$} najdeme jako průnik přímky \modre{$q$} s rovinou \modre{$\rho$}, která je spojením
přímky \modre{$p$} a bodu \modre{$C$}.  Ta má rovnici
$$\modre{A+t(2,1,0)+s\cdot\vect{AC}=[1,1,1]+t(2,1,0)+s(0,1,1)}\, .$$ 

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Příčka mimoběžek -- dokončení}
Průnikem je bod \modre{$Q=[5,5,3]\in q$}. Rovnice přímky \modre{$CQ$} je
\modre{$C+a\cdot\vect{CQ}=[1,0,0]+a(4,5,3)$}. Její průnik s přímkou \modre{$p$} je bod  \modre{$P=[7/3,5/3,1]\in p$}, druhý krajní bod příčky.

\vskip 5cm


\end{frame}


%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Požadavky}
\begin{itemize}
\item Přechod od implicitního popisu k parametrickému a obráceně.
\bigskip
\item Výpočet průniku dvou afinních podprostorů.
\bigskip
\item Výpočet spojení dvou afinních podprostorů.
\bigskip
\item Výpočet vzájemné polohy afinních podprostorů.
\bigskip
\item Nalezení afinního podprostoru daných vlastností.
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx



%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Domácí úloha}
 \begin{priklad}[7.1]
  Najděte parametrický a obecný popis roviny v $\mathbb R^4$, která 
prochází body $A=[1,0,1,0]$, $B=[0,1,0,2]$ a $C=[1,2,3,4]$.
 \end{priklad}

\begin{priklad}[7.2]
 Určete příčku mimoběžek
$$\begin{array}{rl}
p: & [3,0,3]+t\cdot (0,1,2)\\
q: & [0,-1,-2]+s\cdot (1,2,3)\ ,
\end{array}$$
která je rovnoběžná s vektorem $v=(1,-2,1)$.
\end{priklad}
\end{frame}

\begin{frame}{Domácí úloha}
\begin{priklad}[7.3]
 V prostoru $\mathbb R^4$ jsou dány tři body $A=[1,2,3,6]$, $B=[2,3,1,6]$ a $C=[0,1,2,6]$, které
generují afinní podprostor $\M$.  Dále $\N$ je afinní podprostor zadaný implicitně
$$\begin{array}{rrl}
x_1 +x_3  & = & 7\\
x_2+x_3-x_4             & = & 2\ . 
\end{array}$$
Určete afinní podprostory $\M\cap \N$ a $\M\sqcup \N$ (včetně dimenzí).
\end{priklad}
\end{frame}

\begin{frame}{Domácí úloha}

\begin{priklad}[7.4]
 Nechť v prostoru $\mathbb R^4$ je podprostor $\M$ zadaný implicitně
$$\begin{array}{rrl}
x_1 +x_2+x_3  & = & 5\\
x_2-2x_3+x_4  & = & 0\\ 
x_1 +3x_3-x_4  & = & 5\ . 
\end{array}$$
Určete vzájemnou polohu podprostoru $\M$ a přímky $p$ dané takto:
\begin{itemize}
 \item[a)] $p : [4,0,3,-2]+t\cdot (1,-1,1,-1)$,
 \item[b)] $p : [1,1,1,1]+t\cdot (1,1,0,1)$,
 \item[c)]$p : [1,1,1,1]+t\cdot (1,-1,0,1)$.
\end{itemize}
\end{priklad}

\end{frame}


\end{document}

