
%\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
\documentclass[handout]{beamer}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usecolortheme{sidebartab}

\usetheme{Warsaw}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\title[Eukleidovská geometrie\hspace{15mm} \insertframenumber/\inserttotalframenumber]
{MB141 -- 8. přednáška \\Eukleidovská geometrie}
%\subtitle{}
\author[8. přednáška]{Martin Čadek\\ s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101}
\date{Jarní semestr 2022}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\newtheorem{veta}{Věta}
%\newtheorem{hyp}{Hypot\'eza}
\newtheorem{reseni}{Řešení}
%\newtheorem{problemx}{Problem}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
\theoremstyle{example}
\newtheorem{definice}{Definice}
\newtheorem{priklad}{P\v r\'iklad}
\def\cervena #1{{\color{red} #1}}
\def\cervene #1{{\color{red} #1}}
\def\modra #1{{\color{blue}  #1}}
\def\modre #1{{\color{blue}  #1}}
\xdefinecolor{tmavezelena}{cmyk}{0.7,0,1,0.5}
\def\zelena #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\zelene #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\c #1{\mathcal {#1}}
\def\s #1{\mathsf {#1}}
%\def\poznamka #1{{\footnotesize Pozn.: #1}\\}
\def\poznamka #1{{\scriptsize Pozn.: #1}\\}
\def\otazka #1{{\scriptsize Kontrolní otázka: #1}\\}
\def\zavorka #1{{\scriptsize [ #1 ]}\\}
\def\sami {{\scriptsize Vyřešte samostatně.}}
\def\ec {{\vec{e_1}}}
\def\ecc {{\vec{e_2}}}
\def\efc {{\vec{f_1}}}
\def\efcc {{\vec{f_2}}}

\def\rovina {{\mathbb R^2}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\skalar #1#2{{\langle #1, #2\rangle}}
\def\velikost #1{{\| #1\|}}
\def\sgn #1{{\operatorname{sgn}(#1)}}
\def\norm #1{\|#1\|}

\def\R{\mathbb R}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\K{\mathbb K}
\def\C{\mathbb C}
\def\la{\langle}
\def\ra{\rangle}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\A{\mathcal A}
\def\E{\mathcal E}
\def\M{\mathcal M}
\def\N{\mathcal N}
\def\P{\mathcal P}
\def\Q{\mathcal Q}
\def\n #1{\|#1\|}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%\input definice-slovak.tex

\def\tuzka{\hfill ${\color{orange}\blacktriangleright \blacktriangleright}$}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\newcommand{\maticemn}[1]{
\left(
\begin{array}{llll}
#1_{11}&#1_{12}&\dots&#1_{1n}\\
#1_{21}&#1_{22}&\dots&#1_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
#1_{m1}&#1_{m2}&\dots&#1_{mn}\\
\end{array}
\right)}

\newcommand{\maticedvadva}[4]{
\left(
\begin{array}{rr}
#1&#2\\
#3&#4\\
\end{array}
\right)}

%\newcommand{\maticedvatri}[6]{
%\left(
%\begin{array}{rrr}
%#1&#2&#3\\
%#4&#5&#6\\
%\end{array}
%\right)}

\newcommand{\maticedvatri}[6]{
\left(
\begin{smallmatrix} 
#1&#2&#3\\
#4&#5&#6
\end{smallmatrix} \right)}


\newcommand{\sloupecdva}[2]{
\left(
\begin{array}{l}
#1\\
#2\\
\end{array}
\right)}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Osnova přednášky}
\begin{itemize}
{\item Eukleidovské prostory
\bigskip
\item Velikost vektorů a vzdálenost podprostorů
\bigskip
\item Odchylky podprostorů
\bigskip
\item Orientovaný objem rovnoběžnostěnu
\bigskip 
\item Orientace  a vektorový součin v $\R^3$ 
%\bigskip
%\item Afinní kombinace bodů
%\bigskip
%\item Konvexní množiny
}
\end{itemize}
\end{frame}
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \modre{$ $}


\begin{frame}{Eukleidovské prostory}
V afinní geometrii zkoumáme vzájemnou polohu geometrických útvarů, zatímco \cervene{eukleidovská geometrie} 
počítá jejich vzdálenosti, odchylky a objemy.
 \pause
\medskip

Standardní \cervene{bodový euklidovský
prostor} \modre{$\mathcal E_n$} je afinní prostor \modre{$\mathcal A_n$}, 
jehož zaměřením je vektorový 
prostor \modre{$\mathbb R^n$} se standardním skalárním součinem 

$\qquad\qquad\modre{\langle x, y \rangle = x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n.}$ 

\pause
\cervene{Kartézská souřadná soustava} je afinní
souřadná soustava \modre{$(A_0; \alpha)$} s ortonormální bazí \modre{$\alpha$}.

\pause
\cervene{Vzdálenost bodů} \modre{$A,B\in \mathcal E_n$} definujeme jako velikost vektoru
\modre{$\vect{AB}$}

\modre{$\qquad\qquad \|\vect{AB}\|=\sqrt{\la \vect{AB},\ \vect{AB}\ra}.$}
 
\pause
\cervene{Euklidovské podprostory} v \modre{$\mathcal E_n$} jsou afinní podprostory,  jejichž zaměření 
uvažujeme spolu se standardním skalárním součinem.

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{Vzdálenost bodů}
Vzdálenost bodů \modre{$A$} a \modre{$B$} budeme označovat \modre{$\d(A,B)$}. Pro každé tři body \modre{$A,B,C\in \mathcal E_n$} platí 
\begin{itemize}
\item \modre{$\d(A,B) = \d(B,A)$}, symetrie,
\item \modre{$\d(A,B) = 0$} právě, když \modre{$A=B$},
\item \modre{$\d(A,B) + \d(B,C)\ge \d(A,C)$}, trojúhelníková nerovnost.
\end{itemize}
\pause
V kartézké souřadné soustavě \modre{$(A_0;\varepsilon)$} mají body 
$$\modre{A= A_0+
a_1e_1+\dots+a_ne_n,\quad B= A_0+ b_1e_1+\dots+b_ne_n}
$$ 
vzdálenost
$\modre{\sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}}$.
\pause


\begin{definice}
 Vzdálenost dvou afinních podprostorů $\modra{\mathcal P}$ a $\modre{\mathcal Q}$ 
 definujeme takto
 
$\qquad\qquad\modre{\d(\mathcal P,\mathcal Q)=\min \{\d(A,B) \mid A\in\mathcal P, B\in \mathcal Q \} } .$
\end{definice}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Vzdálenost bodu od afinního podprostoru}
Ukážeme si, jak počítat vzdálenost bodu \modre{$A$} od roviny \modre{$\Q$} v \modre{$\E_3$}.
V~rovině \modre{$\Q$} uvažujme nějaký bod \modre{$B$}. Potom \modre{$\Q=B+Z(\Q)$}. Nechť \modre{$L$} je pata kolmice vedené z bodu \modre{$A$} na rovinu \modre{$\Q$}. (Malujte si obrázek.) Vzdálenost
bodu \modre{$A$} od roviny \modre{$\Q$} je rovna vzdálenosti bodů \modre{$A$} a \modre{$L$}.

\modre{$\qquad\qquad\qquad\d(A,\Q)=\d(A,L)$}.

Přitom vektor \modre{$\vect{BA}=\vect{BL}+\vect{LA}$}, kde \modre{$\vect{BL}$} je kolmá projekce
 vektoru \modre{$\vect{BA}$} do zaměření \modre{$Z(\Q)$} a \modre{$\vect{LA}$} je kolmá projekce do ortogonálního doplňku \modre{$Z(\Q)^\perp$}. Označíme-li

  \modre{$P_{Z(\Q)}$} kolmou projekci do
 \modre{$Z(\Q)$} a \modre{$P_{Z(\Q)^\perp}$} kolmou projekci do
 \modre{$Z(\Q)^\perp$}, dostáváme

 \modre{$\qquad\d(A,\Q)=\n{P_{z(\Q)^\perp}(\vect{BA})}\quad{\text a }\quad L=B+P_{Z(\Q)}(\vect{BA})$}.

 \begin{priklad}
Určete vzdálenost bodu 
$\modre{A=[2,1,2]}$ a roviny

$\qquad\qquad\modre{\Q: [1,1,1]+t(1,1,0)+s(0,1,1)}$.
\end{priklad}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{Vzdálenost bodu od roviny -- řešení příkladu}
\zelene{Vzdálenost $\modre{A=[2,1,2]}$ od
$\modre{\Q: [1,1,1] + t(1,1,0) + s(0,1,1)}$.}

\medskip 
\begin{itemize}
\item
Označme \modre{$B=[1,1,1]$}. Prvně spočítáme ortogonální doplněk k~zaměření roviny.
Ten je generován vektorem \modre{$n=(1,-1,1)$}. Dále spočítáme kolmou projekci vektoru
\modre{$u=\vect{BA}=(1,0,1)$} do   \modre{$Z(\Q)^\perp$}. Tu hledáme ve tvaru
\modre{$P_{Z(\Q)^\perp}(u)=a\cdot n$}. Platí
\modre{$\la u-a\cdot n,\ n\ra=0$}. Odtud \modre{$a=\frac23$}. Proto

\modre{$\qquad\qquad\d(A,\Q)=\n{\left(\frac23,-\frac23,\frac23\right)}=\frac23\cdot \sqrt3$}.

\item Nyní najdeme bod \modre{$L\in\Q$}, ve kterém se vzdálenost realizuje, tj.
\modre{$\d(A,L)=\d(A,\Q)$}.
\modre{\begin{align*}
L&=B+P_{Z(\Q)}(u)=B+(u-P_{Z(\Q)^\perp} (u))\\
&=[1,1,1]+\left((1,0,1)-\left(\frac23,-\frac23,\frac23\right)\right)=\left[\frac43,\frac53,\frac43.\right]
\end{align*}}
\end{itemize} 


\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Vzdálenost bodu od roviny -- alternativní řešení}
Předchozí příklad jde také řešit tak, že prvně spočítáme 
kolmou projekci vektoru \modre{$\vect{BA}=u$} do zaměření \modre{$Z(\Q)$}.
To je trochu složitější než počítat kolmou projekci do \modre{$Z(\Q)^\perp$}, neboť \modre{$\dim Z(Q)=2>1=\dim Z(\Q)^\perp$}.
Pak najdeme bod \modre{$L$}, kde se vzdálenost realizuje:
\modre{$$L=B+P_{Z(\Q)}(u)=[1,1,1]+\left(\frac13,\frac23,\frac13\right)=\left[\frac43,\frac53,\frac43\right].$$}
a odtud
\modre{$$\d(A,\Q)=\d(A,L)=\n{[2,1,2]-\left[\frac43,\frac53,\frac43\right]}=\frac23\cdot\sqrt 3.$$}


\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{Vzdálenost bodu od afinního podprostoru obecně}
Výpočet vzdálenosti bodu  od libovolného afinního podprostoru v \modre{$\E_n$} 
provádíme analogicky. Stačí k tomu umět počítat ortogonální doplněk a kolmou projekci, což jsme se naučili v 6. přednášce.
\begin{veta} Nechť \modre{$A$} je bod a \modre{$\Q$} afinní podprostor v \modre{$\E_n$}. Zvolme v \modre{$\Q$} nějaký bod \modre{$B$}. Pak
\modre{$$\d(A,\Q)=\n{P_{Z(\Q)^\perp}(\vect{BA})},$$}
kde \modre{$P_{Z(\Q)^\perp}$} je kolmou projekcí do ortogonálního doplňku zaměření  \modre{$Z(\Q)^\perp$}. 

Bod, v němž se vzdálenost realizuje je 
\modre{$$Q=B+P_{Z(\Q)}(\vect {BA)},$$}
kde \modre{$P_{Z(\Q)}$} je kolmou projekcí do zaměření  \modre{$Z(\Q)$}. 
\end{veta} 
  
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Vzdálenost dvou  přímek v $\E_3$}
Mějme v \modre{$\E_3$} dvě přímky \modre{$p$} a \modre{$q$}. Jejich vzdálenost jsme definovali 

\modre{$\qquad\qquad\d(p,q)=\min\{\d(P,Q)|\ P\in p,\ Q\in q\}$}. 

Představme si přímku, která je na obě přímky \modre{$p$} a \modre{$q$} kolmá.
Potom se při kolmé projekci na tuto přímku promítne každá z~přímek \modre{$p$} a \modre{$q$} do jediného bodu. Vzdálenost přímek je vzdáleností těchto dvou bodů. Přesněji to znamená následující:

\medskip
 Vezměmě bod \modre{$A\in p$} a bod \modre{$B\in q$}. Vzdálenost přímek \modre{$p$} a \modre{$q$} je rovna kolmé projekci vektoru \modre{$\vect{AB}$} do ortogonálního doplňku k součtu zaměření \modre{$Z(p)+Z(q)$}
 obou přímek.
 
 \modre{$$\d(p,q)=\n{P_{(Z(p)+Z(q))^\perp}(\vect{AB})}.$$}
 
Body \modre{$P\in p$} a \modre{$Q\in q$} jsou charakterizovány vlastností
\modre{$$\vect{PQ}\perp (Z(p)+Z(q)).$$} 
Ukažme si výpočet  na příkladu.
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad -- vzdálenost přímek}

\begin{priklad}
V \modre{$\mathcal E_3$} určete vzdálenost přímek 
$$\modre{
p:\, [-4,5,5]+t(1,-1,0),\quad\mbox{a}\quad q:\,[1,6,8]+s(0,2,-1)}.
$$
\end{priklad}

\pause
\begin{itemize}
\item
Položme \modre{$A=[-4,5,5]$} a \modre{$B=[1,6,8]$}. Vektor \modre{$\vect{AB}=u=(5,1,3)$}.
\item  Ortogonální doplněk součtu zaměření \modre{$Z(p)+Z(q)$}  je
\modre{$
[ (1,-1,0),(0,2,-1)]^\perp
=[ (1,1,2)]$}; \modre{$v=(1,1,2)$}.
\item Kolmá projekce vektoru \modre{$u$} do \modre{$[v]$} je \modre{$\frac{\la u,v\ra}{\la v,v\ra}\cdot v=2(1,1,2)=(2,2,4)$}.
\item
Vzdálenost přímek je \modre{$\d(p,q)=\n{(2,2,4)}=2\sqrt{6}$}.

\item 
Body \modre{$P\in p$} a \modre{$Q\in q$}, které realizují vzdálenost přímek, určují vektor, který se rovná výše spočtené kolmé projekci:

\modre{$\qquad\qquad \vect{PQ}=(2,2,4).$}
\end{itemize}

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame} {Příklad -- pokračování}
\begin{itemize}
\item Hledáme je ve tvaru \modre{$P=[-4,5,5]+t(1,-1,0)$} a \modre{$Q=[1,6,8]+s(0,2,-1)$}. Dostaneme tak soustavu tří rovnic pro neznámé \modre{$t$} a \modre{$s$}:
\modre{$\begin{pmatrix}1\\6\\8\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}-4\\5\\5\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}$}
\item Její řešení je \modre{$t=3$} a \modre{$s=-1$}. Proto \modre{$P=[-4,5,5]+3 (1,-1,0)=[-1,2,5]$} a 
\modre{$Q=[1,6,8]+(-1) (0,2,-1)=[1,4,9]$}.
\item Přímka \modre{$PQ$}, která je kolmá k přímce \modre{$p$} i \modre{$q$} a obě přímky protíná, se nazývá \cervene{osa  mimoběžek} \modre{$p$} a \modre{$q$}.
\end{itemize}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Vzdálenost podprostorů}
Obecně se vzdálenost podprostorů počítá dle stejného principu. (Vzdálenost se realizuje v kolmém směru.) 

\begin{veta}
Pro každé dva afinní podprostory \modre{$\mathcal P$} a \modre{$\mathcal Q$} v \modre{$\mathcal E_n$} existují body 
\modre{$P\in \mathcal P$} a \modre{$Q\in \mathcal Q$}, které realizují jejich vzdálenost, tj.
\modre{$\d(\P,\Q) =\d(P,Q)$}.
Zvolíme-li \modre{$A\in \mathcal P$} a \modre{$B\in \mathcal Q$}, je 
vektor
\modre{$$\vect{PQ}=P_{(Z(\P)+Z(\Q))^\perp}(\vect{AB}),$$}
kde \modre{$P_{(Z(\P)+Z(\Q))^\perp}(\vect{AB})$} je kolmý průmět vektoru 
\modre{$\vect{AB}$} do \modre{$(Z(\mathcal P)+Z(\mathcal Q))^\perp$} 
Vzdálenost \modre{$\P$} a \modre{$\Q$} je tedy 
\modre{$$\d(\P,\Q)=\n{(P_{Z(\mathcal P)+Z(\mathcal Q))^\perp}(\vect{AB})}$$}
\end{veta}
\pause



\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{frame}{Příklad -- vzdálenost podprostorů}

\begin{priklad}
Určete vzdálenost  podprostorů v \modre{$\mathcal E_5$}:
$$\modre{
\sigma :\, [3,3,5,4,1]+a(0,1,0,2,-1)+b(1,-1,1,0,-1)}$$
$$\modre{p:\,[2,-1,2,2,3]+s(1,-1,1,-1,1)}.
$$
\end{priklad}
\pause
$\modre{Z(\sigma)+Z(p)=U=[(0,1,0,2,-1),(1,-1,1,0,-1),(1,-1,1,-1,1)] }$,

\pause
$\modre{U^\perp =[ (1,0,-1,0,0),(1,3,1,-2,-1)] }$,

\pause 
\modre{$A=[3,3,5,4,1], B=[2,-1,2,2,3]$},
\modre{$\vect{AB}=B-A=(-1,-4,-3,-2,2)$}.

Je třeba určit projekci \modre{$\vect{AB}$} do $\modre{U^\perp}$.

Zkuste dopočítat sami.

\pause
Projekcí do $\modre{U^\perp}$ určíme i projekci do $\modre{U}$ a naopak. Proto si můžeme vybrat, 
do kterého z těchto dvou podprostorů bude jednodušší projekci počítat.

\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


\begin{frame}{Odchylka dvou vektorů}
Pro dva nenulové vektory \modre{$u$} a \modre{$v$} vždy platí 
 \modre{$$0\le \frac{|\langle u, v\rangle |}{\|u\|\|v\|}\le 1.$$}
 Má tedy smysl následující definice. 
\begin{definice}
\cervene{Odchylka  $\alpha(u,v)$ vektorů}  \modre{$u,v\in V$} ve vektorovém prostoru
se skalárním součinem je dána vztahem 
$$ \modre{
\operatorname{cos}\alpha(u,v)= \frac{\langle u, v\rangle }{\|u\|\|v\|}, \quad 0\le
\alpha(u,v)\le \pi}.
$$

\end{definice}

\pause
\
\end{frame}

\begin{frame}{Odchylky afinních podprostorů v $\E_3$}
\begin{definice}
\begin{enumerate}
\item[1)] \cervene{Odchylka dvou přímek} \modre{$p$} a \modre{$q$} se zaměřeními \modre{$[u]$} a \modre{$[v]$} je úhel \modre{$\alpha(p,q)\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$}, pro který platí
\modre{$$\cos\alpha(p,q) = \frac{|\la u, v\ra|}{\|u\|\|v\|}.$$}
\item[2)] Nechť \modre{$p$} je přímka se zaměřením \modre{$[u]$} a \modre{$\rho$} je rovina 
v~\modre{$\E_3$}. \cervene{Odchylka přímky} \modre{$p$}  \cervene{a roviny} \modre{$\rho$} je úhel \modre{$\alpha(p,\rho)\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$}
který se rovná odchylce vektoru \modre{$u$} od kolmé projekce \modre{$P(u)$} vektoru \modre{$u$} do zaměření roviny:
$$\modre{
\cos\alpha(p,\rho) = \frac{|\la u,P(u)\ra|}{\|u\|\|P(u)\|}=\frac{\n{P(u)}}{\n{u}}}.
$$
 
\end{enumerate}
\end{definice}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Odchylky -- pokračování}
\begin{definice}
\begin{enumerate}
\item[3)] Jsou-li \modre{$\rho$} a \modre{$\sigma$} dvě roviny v \modre{$\E_3$}, které jsou
totožné nebo rovnoběžné, pak je jejich odchylka rovna \modre{$0$}.
\item[4)]  Je-li průnikem dvou rovin \modre{$\rho$} a \modre{$\sigma$}  v \modre{$\E_3$} přímka \modre{$p$}, pak je jejich odchylka \modre{$\alpha(\rho,\sigma)$} rovna
úhlu, který svírá přímka \modre{$Z(\rho)\cap Z(p)^\perp$} s přímkou \modre{$Z(\sigma)\cap Z(p)^\perp$} (nakreslete si obrázek)
\modre{$$
\alpha(\rho,\sigma) = \alpha(Z(\sigma)\cap Z(p)^\perp, Z(\sigma)\cap Z(p)^\perp)
.$$}
\end{enumerate}
\end{definice}
Při počítání odchylky dvou rovin lze také také využít skutečnost, že jejich odchylka je rovna odchylce jejich normálových přímek (přímek kolmých k rovinám). Při počítání
odchylky přímky \modre{$p$} od roviny \modre{$\rho$} s normálovou přímkou \modre{$n$} je 
\modre{$\alpha(p,\rho)=\frac{\pi}{2}-\alpha(p,n)$}.

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Odchylka podprostorů -- příklad}
\begin{priklad}
Je dána krychle \modre{$ABCDA'B'C'D'$} (ve standardním označení, tj.  \modre{$ABCD$} a \modre{$A'B'C'D'$} jsou stěny,
\modre{$AA'$}  pak hrana). Určete odchylku vektorů \modre{ $AB'$} a \modre{ $AD'$}.  
\end{priklad}
\pause
Uvažujme krychli o hraně \modre{$1$} a umístěme ji v \modre{$\mathbb R^3$} tak, že bod \modre{$A$} bude mít ve standardní bázi
souřadnice \modre{$[0,0,0]$}, bod \modre{$B$} pak souřadnice \modre{$[1,0,0]$} a bod \modre{$C$} souřadnice \modre{$[1,1,0]$}. 
Potom
má bod \modre{$B'$} souřadnice \modre{$[1,0,1]$} a bod \modre{$D'$} souřadnice \modre{ $[0,1,1]$}. Pro vyšetřované vektory
tedy můžeme psát \modre{$AB'=B'-A=[1,0,1]-[0,0,0]=(1,0,1)$}, \modre{$AD'=D'-A=[0,1,1]-[0,0,0]=(0,1,1)$}. Podle
definice odchylky \modre{ $\varphi$} těchto vektorů je pak 
$$\modre{
\cos(\varphi)=\frac{\langle (1,0,1),(0,1,1)\rangle}{\parallel (1,0,1)\parallel\parallel(0,1,1)\parallel}=\frac12},
$$
tedy \modre{ $\varphi=60^\circ$}.
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{Odchylka podprostorů -- příklad II}
\begin{priklad}
Určete odchylku rovin
\modre{\begin{eqnarray*}
\sigma:&&\,[1,0,2]+t\cdot (1,-1,1)+s\cdot (0,1,-2)\, ,\\
\rho:&&\,[3,3,3]+t\cdot (1,-2,0)+s \cdot (0,1,1)\, .
\end{eqnarray*} }
\end{priklad}
\pause
Průsečnice má směrový vektor \modre{$(1,-1,1)$}. Kolmá rovina k ní má rovnici
\modre{$x_1-x_2+x_3=0$}. Její průniky se zaměřeními daných rovin jsou postupně
\modre{$[(1,0,-1)]$} a \modre{$[(0,1,1)]$}. Tyto přímky svírají úhel
\modre{$60^\circ$}, neboť 
\modre{$$\cos\alpha=\frac{\la(1,0,-1),(0,1,1)\ra}{\n{(1,0,-1)}\n{(0,1,1)}}=\frac12.$$}


\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Rovnoběžnostěn a jeho objem}
\begin{definice}
Nechť \modre{$u_1,u_2,u_3$}, jsou lineárně nezávislé vektory v zaměření 
\modre{$\mathbb R^n$}, \modre{$A\in \E_3$}
je libovolný bod. 
%
\cervene{Rovnoběžnostěn} 
\modre{$\mathcal P(A;u_1,u_2,u_3)\subseteq \E_3$ }
je množina 
\modre{$$\mathcal P(A;u_1,u_2,u_3)=\{A+c_1u_1+c_2u_2 +c_3u_3 \mid  
0\le c_i\le 1, i=1,2,k\}
.$$}
\end{definice}


\cervene{Orientovaný objem rovnoběžnostěnu} \modre{$\P(A,u_1,u_2,u_3)$}  daného vektory \modre{$u_1=(a,b,c)$}, \modre{$u_2=(d,e,f)$}
a \modre{$u_3=(g,h,i)$} je 
\modre{$$ \begin{array}{|rrr|}
    a & d & g\\
    b & e & h\\
    c & f & i\\
   \end{array}\ .
$$ }
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Orientace v prostoru}
Řekneme, že uspořádaná trojice vektorů \modre{$u_1,u_2,u_3$} je \cervene{kladně orientovaná báze} vektorového prostoru \modre{$\R^3$}, jestliže determinant matice \modre{$3\times 3$}, v jejichž sloupcích stojí postupně souřadnice vektorů \modre{$u_1$, $u_2$} a \modre{$u_3$} je kladný.
Je-li tento determinant záporný, mluvíme o záporně orientované bázi.

\medskip
Ve fyzice se tento pojem přibližuje pomocí tzv. \cervene{pravidla pravé ruky}: Položte pravou ruku na vektor \modre{$u_1$} tak, aby malíček ukazoval ve směru vektoru \modre{$u_1$} a zahnuté prsty
ve směru vektoru \modre{$u_2$}. Ukazuje-li palec ve směru \modre{$u_3$}, má báze \modre{$u_1,u_2,u_3$} kladnou orientaci. 

\medskip
\cervene{Viditelnost}.  Pomocí orientace můžeme zjišťovat viditelnost. Mějme v \modre{$\A_3$}
čtyřstěn \modre{$ABCD$}. Bod \modre{$X$} leží na stejné straně roviny \modre{$ABC$} jako bod \modre{$D$},
jestliže trojice \modre{$(\vect{AB},\vect{AC},\vect{AX})$} má stejnou orientaci jako trojice   \modre{$(\vect{AB},\vect{AC},\vect{AD})$}. Je-li příslušný determinant pro první trojici nulový, leží bod \modre{$X$} v rovině \modre{$ABC$}. Je-li orientace různá, je z bodu \modre{$X$} vidět stěna \modre{$ABC$} zadaného čtyřstěnu.

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Vektorový součin v $\R^3$} 
Vektorový součin v \modre{$\R^3$} je zobrazení \modre{$\times:\ \R^3\times\R^3\to \R^3$}, které vektorům \modre{$x=(x_1,x_2,x_3)$} a \modre{$y=(y_1,y_2,y_3$} přiřazuje vektor \modre{$x\times y=z=(z_1,z_2,z_3)$} takový, že
\modre{$$z_1=\begin{vmatrix}x_2&y_2\\x_3&y_3\end{vmatrix},\quad z_2=-\begin{vmatrix}x_2&y_2\\x_3&y_3\end{vmatrix},\quad z_3=\begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix}.$$} 
Vztah mezi vektorovým součinem a skalárním součinem je dán vzorcem
\modre{$$\forall u\in R^3:\ \la z,u\ra=\begin{vmatrix}x_1&y_1&u_1\\
x_2&y_2&u_2\\x_3&y_3&u_3\end{vmatrix}.$$} 
Z tohoto vzorce lze vyčíst geometrický význam vektorového součinu. Vektor
\modre{$x\times y$} je vektor kolmý k oběma vektorům \modre{$x$} i \modre{$y$}, jeho velikost je obsahem rovnoběžníku určeného vektory \modre{$x$} a \modre{$y$} a jsou-li \modre{$x$} a \modre{$y$} lineárně nezávislé,
pak jsou vektory \modre{$x$}, \modre{$y$} a \modre{$x\times y$} kladně orientované.



\end{frame} 
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Shodná zobrazení v $\E_3$}
Řekneme, že zobrazení \modre{$F:\E_3\to \E_3$} je \cervene{shodnost v prostoru}, jestliže pro každé dva body \modre{$X$} a \modre{$Y\in\E_3$} platí 
\modre{$$\d(F(X),F(Y))=\d(X,Y).$$}
Lze ukázat, že takové zobrazení je bijekce, zobrazuje přímky na přímky, roviny na roviny
a zachovává odchylky mezi mezi těmito afinními podprostory.

Shodná zobrazení jsou složením těchto tří typů:
\begin{enumerate}
\item[1)] Posunutí o pevný vektor \modre{$u$}
\modre{$$F(X)=X+u.$$}
\item[2)] Otočení kolem přímky \modre{$p$} o úhel \modre{$\alpha$}. Zvolme pevně \modre{$A\in p$}. Potom
\modre{$$F(X)=A+R_{\alpha}(X-A),$$}
kde \modre{$R_{\alpha}:\R^3\to\R^3$} je otočení kolem přímky \modre{$Z(p)$} procházející počátkem. 
\end{enumerate}
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Shodná zobrazení -- pokračování}
\begin{itemize}
\item[3)] Symetrie podle roviny \modre{$\rho$}. Nechť \modre{$A\in\rho$} je pevný bod. Pak
\modre{$$F(X)=A+S_{Z(\rho)}(X-A)=A+(X-A)-2P_{Z(\rho)^\perp}(X-A),$$}
kde \modre{$S_{Z(\rho)}:\R^3\to \R^3$} je symetrie podle roviny \modre{$Z(\rho)$} procházející počátkem. Tuto symetrii můžeme spočítat pomocí  kolmé projekce\modre{$P_{Z(\rho)^\perp}(X-A)$}  vektoru \modre{$X-A$} do \modre{$Z(\rho)^\perp$}.
(Namalujte si obrázek.) 
\end{itemize}

Počítání se shodnými zobrazeními si ukážeme na cvičení.

\vskip 3cm


\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Požadavky}
Umět počítat:
\begin{itemize}
\item Vzdálenost bodu a podprostoru.
\item Vzdálenost přímek (osa mimoběžek).
\item Odchylku dvou přímek, odchylka přímky a roviny.
\item Odchylku dvou rovin mající jednodimenzionální průnik zaměření.
\item Objem rovnoběžnostěnu a čtyřstěnu.
\item Viditelnost.
\item Vektorový součin.
\item Shodná zobrazeními v $\E_3$.

\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Domácí úloha}
 \begin{priklad}[8.1]
  V euklidovském prostoru $\mathbb R^3$ určete vzdálenost bodu $B=[2,0,3]$ od 
přímky $p: [-1,0,0] + t(2,-2,1)$. 
 \end{priklad}
 
  \begin{priklad}[8.2]
   V prostoru $\mathbb R^3$ je dán čtyřstěn $ABCD$, kde $A=[-1,0,1]$, $B=[1,2,-1]$, $C=[-3,2,1]$ a $D=[5,2,3]$.
Buď $P$ pata výšky spuštěná z vrchlu $D$ do roviny stěny $ABC$. Určete souřadnice bodu $P$
a velikost výšky $DP$. Dále určete objem čtyřstěnu $ABCD$.
Dále je dán bod $X=[2,3,-10]$. Zjistěte, které stěny čteřstěnu $ABCD$ jsou z něho vidět.
  \end{priklad}
  \end{frame}
\begin{frame}{Domácí úloha}
 \begin{priklad}[8.3]
  V euklidovském prostoru $\mathbb R^4$ určete vzdálenost roviny $\sigma$ a přímky $p$: 

$$\begin{array}{rcl}
\sigma &:& [0,0,1,1]+ a\cdot (0,1,0,1)+b\cdot (1,-1,2,0)\, \\
p &:& [1,4,2,0] + c\cdot (-1,1,1,0) 
\end{array}$$

a body v nichž se realizuje.
 \end{priklad}

 \begin{priklad}[8.4]
  V $\mathbb R^3$ určete odchylku roviny $\sigma: x+2y+z=5$ a 
\begin{itemize}
 \item[i)] přímky $p:[1000,2013,0]+t\cdot (1,1,1)$;
 \item[ii)] roviny $2x+y-z=2013$.
\end{itemize}
 \end{priklad}

 \end{frame}
 
 \begin{frame}{Domácí úloha}
    \begin{priklad}[8.5]
  Mějme v $\mathbb R^3$  body $A=[2,-1,3]$, $B=[1,2,3]$ a $C=[2,-3,8]$. Určete obsah trojúhelníku $ABC$.
  \end{priklad} 
\end{frame}

\end{document}