%\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
\documentclass[handout]{beamer}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usecolortheme{sidebartab}

\usetheme{Warsaw}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\title[Lineární modely\hspace{15mm} \insertframenumber/\inserttotalframenumber]
{MB141 -- 9. přednáška \\Lineární modely}
%\subtitle{}
\author[9. přednáška]{Martin Čadek\\ s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101}
\date{Jarní semestr 2022}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\newtheorem{veta}{Věta}
%\newtheorem{hyp}{Hypot\'eza}
\newtheorem{reseni}{Řešení}
%\newtheorem{problemx}{Problem}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
\theoremstyle{example}
\newtheorem{definice}{Definice}
\newtheorem{priklad}{P\v r\'iklad}
\def\cervena #1{{\color{red} #1}}
\def\cervene #1{{\color{red} #1}}
\def\modra #1{{\color{blue}  #1}}
\def\modre #1{{\color{blue}  #1}}
\xdefinecolor{tmavezelena}{cmyk}{0.7,0,1,0.5}
\def\zelena #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\zelene #1{{\color{tmavezelena}  #1}}
\def\c #1{\mathcal {#1}}
\def\s #1{\mathsf {#1}}
%\def\poznamka #1{{\footnotesize Pozn.: #1}\\}
\def\poznamka #1{{\scriptsize Pozn.: #1}\\}
\def\otazka #1{{\scriptsize Kontrolní otázka: #1}\\}
\def\zavorka #1{{\scriptsize [ #1 ]}\\}
\def\sami {{\scriptsize Vyřešte samostatně.}}
\def\ec {{\vec{e_1}}}
\def\ecc {{\vec{e_2}}}
\def\efc {{\vec{f_1}}}
\def\efcc {{\vec{f_2}}}

\def\rovina {{\mathbb R^2}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\skalar #1#2{{\langle #1, #2\rangle}}
\def\velikost #1{{\| #1\|}}
\def\sgn #1{{\operatorname{sgn}(#1)}}
\def\norm #1{\|#1\|}

\def\R{\mathbb R}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\K{\mathbb K}
\def\C{\mathbb C}
\def\la{\lambda}
\def\ta{\tau}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

%\input definice-slovak.tex

\def\tuzka{\hfill ${\color{orange}\blacktriangleright \blacktriangleright}$}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\newcommand{\maticemn}[1]{
\left(
\begin{array}{llll}
#1_{11}&#1_{12}&\dots&#1_{1n}\\
#1_{21}&#1_{22}&\dots&#1_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
#1_{m1}&#1_{m2}&\dots&#1_{mn}\\
\end{array}
\right)}

\newcommand{\maticedvadva}[4]{
\left(
\begin{array}{rr}
#1&#2\\
#3&#4\\
\end{array}
\right)}

%\newcommand{\maticedvatri}[6]{
%\left(
%\begin{array}{rrr}
%#1&#2&#3\\
%#4&#5&#6\\
%\end{array}
%\right)}

\newcommand{\maticedvatri}[6]{
\left(
\begin{smallmatrix} 
#1&#2&#3\\
#4&#5&#6
\end{smallmatrix} \right)}


\newcommand{\sloupecdva}[2]{
\left(
\begin{array}{l}
#1\\
#2\\
\end{array}
\right)}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Cíl a osnova přednášky}
V této přednášce si ukážeme, jak je možné znalosti o maticích, lineárních zobrazeních
a vlastních číslech využít při vytváření jednoduchých matematických modelů některých procesů, ať se jedná o vývoj nějaké polulace nebo o změny pravděpodobnosti. Osnova přednášky je následující:

\medskip
\begin{itemize}
\item  Příklad populačního modelu (učebnice 3.18 str. 139)
\bigskip
\item Leslieho model růstu 
\bigskip
\item Pozitivní a primitivní matice
\bigskip
\item Markovovy procesy
\end{itemize}
\end{frame}
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \modre{$ $}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad populačního modelu -- stádo ovcí}
%Zkoumáme systém jednotlivců rozdělené dle věkových kategorií.

\pause
{\normalsize 
%\begin{priklad}
 \begin{itemize}
 \item Stádo ovcí rozdělme do 5 věkových kategorií: 
nová jehňata (0-1 rok), stará jehňata (1-2 roky), mladé ovce (2-3 roky), ovce (3-4 roky) a
staré ovce (4-5 roků). 
\item Počet kusů v čase \modre{$t$} (např. roky od začátku chovu) značíme
\modre{$x_1(t)$} (nová jehňata), \modre{$x_2(t)$} (stará jehňata) atd.
Stav stáda v čase \modre{$t$} je tedy  
$\modre{X(t)=(x_1(t),x_2(t),x_3(t),x_4(t),x_5(t))^T}.$
\pause
\item Známe relativní roční změny: 
\begin{itemize}
\item Úhyn v jednotivých kategoriích:\\
\pause\modre{$x_5(t+1)=0.6\cdot  x_4(t)$} \hskip 2cm
\modre{$x_4(t+1)=0.7\cdot  x_3(t)$}\\
\modre{$x_3(t+1)=0.8\cdot  x_2(t)$} \hskip 2cm
\modre{$x_2(t+1)=0.95\cdot  x_1(t)$}\pause
\item Reprodukce: \pause
\modre{$x_1(t+1)= 0.2\cdot  x_2(t)+0.8\cdot x_3(t)+0.6\cdot x_4(t)$}
\end{itemize}\pause
\item Tedy \modre{$X(t+1)=A\cdot X(t)$} s konstantní maticí \modre{$A$}:
$$\modre{
A = \begin{pmatrix}
0&0.2&0.8&0.6&0\\
0.95&0&0&0&0\\
0&0.8&0&0&0\\
0&0&0.7&0&0\\
0&0&0&0.6&0
\end{pmatrix}}
$$
\end{itemize}
%\end{priklad}
}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Stádo ovcí -- pokračování}
 \begin{itemize}
  \item Vlastní čísla matice \modre{$A$}  jsou přibližně:
$\modre{1.03}$,\ \ $\modre{0}$,\ \ $\modre{-0.5}$ a další dvě komplexní 
$\modre{-0,27+0.74 i}$,\ \ $\modre{-0.27-0.74 i}$ 
s absolutními hodnotami \modre{$1.03, 0, 0.5, 0.78, 0.78$}\pause
\item Libovolný počáteční stav je dán vektorem  \modre{$X(0)=v\in \mathbb R^5$}.
Dále \modre{$X(1)=A\cdot X(0)=A\cdot v$},  \modre{$X(2)=A\cdot X(1)=A\cdot A\cdot X(0)$} \modre{$=A\cdot A\cdot v=A^2\cdot v$}, atd. v čase \modre{$k$} bude stav populace dán \modre{$k$}-tou mocninou matice \modre{$A$}, tj.
\modre{$X(0)=A^k\cdot v$}. 
\pause
\item Označíme-li největší reálné vlastní číslo \modre{ $  \lambda $} , v našem případě to je
přibližně \modre{$1,03$}, a příslušný vlastní vektor \modre{$u$}, pak se pro zvětšující se \modre{$k$} bude stav stáda blížit nějakému násobku 
vektoru $\lambda^ku$. To znamená, že  pro velká \modre{$k$} máme \modre{$A^k\cdot v\sim a\cdot \lambda^k u$}.\pause
\item Poměrná  věková struktura stáda (tzv. generační distribuce) se bude blížit
(konvergovat) k poměrům
ve vlastním vektoru \modre{$u$}.
\item Zde \modre{$u$} je přibližně
\modre{$(30, 27,  21, 14, 8)$}. (Součet souřadnic je
\modre{100}, tj. vidíme generační distribuci populace.)
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Lineární iterované procesy}
\begin{itemize}
\item Procesy bývají popsány prostřednictvím lineární transformace
pro jednotlivá
časová období (linearizovaný model).  Budeme chtít studovat jeho chování během delší
doby. \pause
\item Například zkoumáme nějaký systém jednotlivců (pěstovaná zvířata,
hmyz, buněčné kultury apod) rozdělený do \modre{$m$} skupin 
(třeba podle stáří, fází vývoje hmyzu apod.). \pause
\item Stav, závisející na okamžiku \modre{$t_n$}, 
ve kterém systém pozorujeme, je tedy dán vektorem, který zapisujeme jako sloupec 
\modre{$X_n=(x_1(n),\dots,x_m(n))^T$}. \pause
\item
Lineární model vývoje takového systému je dán maticí \modre{$A$}
tvaru \modre{$m\times m$}, která zadává změnu z vektoru \modre{$X_n$} na vektor 
$\modre{
X_{n+1} = A\cdot X_n}
$ 
při přechodu z času \modre{$t_n$} na čas \modre{$t_{n+1}$}. 
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Dravec a kořist}
Uvažujme dva živočičné druhy, jeden z nich je dravec \modre{$D$} a druhý je jeho kořist \modre{$K$}. Označme 
\modre{$X_n=(D_n,K_n)^T$} jejich počty po \modre{$n$} letech. Změna počtu probíhá podle tohoto lineárního modelu
\modre{\begin{align*}
D_{n+1}&=0,6 D_n+0,5 K_n,\\
K_{n+1}&=-p D_n+1,2 K_n,
\end{align*}}
kde \modre{$p$} je parametr (uvažujeme možnosti \modre{$p=0,16$, $p=0,175$, $p=0,135$}).  Maticově
\modre{\begin{equation*}
X_{n+1}=\begin{pmatrix}0,6&0,5\\-p&1,2\end{pmatrix} \cdot X_n=A\cdot X_n.
\end{equation*}}
Zajímá nás vývoj této dvoudruhové populace v závislosti na parametru \modre{$p$}.   Důležitou roli v něm hrají vlastní čísla a vlastní vektory.
 
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Dravec a kořist - pokračování}
Ty jsou následující:
\begin{enumerate}
\item \modre{$p=0,16$: $\lambda_1=1, \ \lambda_2=0,8$, $u_1=(5,4)^T, \ u_2=(5,2)^T$}.
 \item \modre{$p=0,175$: $\lambda_1=0,95, \ \lambda_2=0,85$, $u_1=(10,7)^T, \ u_2=(2,1)^T$}.
 \item \modre{$p=0,135$: $\lambda_1=1,05, \ \lambda_2=0,75$, $u_1=(10,9)^T, \ u_2=(10,3)^T$}.
\end{enumerate}
Počáteční stav obou druhů můžeme napsat jako lineární kombinaci vlastních vektorů
\modre{$$ X_0=\begin{pmatrix} D_0\\K_0\end{pmatrix}=au_1+bu_2. $$}
Potom v čase $n$ je stav obou populací
\modre{\begin{align*} X_n&=A^n\cdot X_0=A^n\cdot \begin{pmatrix} D_0\\K_0\end{pmatrix}=au_1+bu_2=aA^n\cdot u_1+bA^n\cdot u_2\\
&=a\lambda^n_1u_1+b\lambda_2^nu_2. 
\end{align*}}
 
\end{frame}
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Dravec a kořist - další pokračování}
Pro jednotlivé parametry to pro velká \modre{$n$} znamená
\begin{enumerate}
\item \modre{$p=0,16$: $\lambda_1^n=1^n=1$, $\lambda_2^n=0,8^n\to 0$}, tedy \modre{$X_n\to au_1=a(5,4)^T$}. Populace se stabilizuje.
\item \modre{$p=0,175$: $\lambda_1^n=0,95^n\to 0$, $\lambda_2^n=0,85^n\to 0$}, tedy \modre{$X_n\to (0,0)^T$}. Populace mizí.
\item \modre{$p=0,135$: $\lambda_1^n=1,05^n\to \infty$, $\lambda_2^n=0,75^n\to 0$}, tedy pro \modre{$a\ne 0$} populace roste a poměr \modre{$D_n:K_n$} se blíží poměru dravců a kořistí ve vlastním vektoru \modre{$u_1$}, tj. poměru \modre{$10:9$}.
\end{enumerate}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Leslieho model růstu}

Příkladem lineárních procesů je {\em Leslieho model růstu} s maticí 
$$\modre{
A= \begin{pmatrix}
f_1&f_2&f_3&\dots &f_{m-1}&f_m\\
\tau_1&0&0&\dots&0&0\\
0&\tau_2&0&\dots &0&0\\
0&0&\tau_3&\dots &0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\
0&0&0&\dots&\tau_{m-1}&0
\end{pmatrix}},
$$
ve které:
\begin{itemize}
\item  \modre{$f_i$} označuje relativní plodnost příslušné věkové skupiny\\ (ve
sledovaném časovém období vznikne z \modre{$N$} jedinců v \modre{$i$}--té skupině 
\modre{$f_i N$}
jedinců nových, tj. ve skupině první); 
\item \modre{$1-\tau_i$} je relativní úmrtnost
\modre{$i$}-té skupiny během jednoho období. 
\item Platí  \modre{$\tau_i \in [0,1]$} a \modre{$f_i \ge 0$}.
Lze dokázat, že \cervene{matice $A$ má  jediné
kladné reálné vlastní číslo}. 
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


\begin{frame}{Perronova--Frobeniova teorie}
 \begin{itemize}
 \item  Čtvercová matice \modre{$A$} je \cervene{pozitivní}, jestliže 
všechny její prvky jsou kladné.
\item \modre{$A$} je \cervene{primitivní}, jestliže má pouze nezápornými prvky a existuje \modre{$k$}
tak, že   mocnina \modre{$A^k$} je pozitivní.
\end{itemize}

\begin{veta} [Perronova -- Frobeniova]
Nechť \modre{$A$} je primitivní matice.
%
%reálná čtvercová matice dimenze \modre{$m$} s nezápornými prvky, 
%jejíž nějaká mocnina \modre{$A^k$} má samé kladné prvky. 
Pak platí:
\begin{enumerate}
\item existuje kladné reálné vlastní číslo \modre{$\la_m$} matice \modre{$A$} takové, že pro
všechna ostatní vlastní čísla \modre{$\la$} platí \modre{ $|\la|<\la_m$} --
nazýváme jej \cervene{dominantní} vlastní číslo,
\item vlastní podprostor odpovídající \modre{$\la_m$} je generován vlastním vektorem se všemi souřadnicemi kladnými, \pause
\item platí odhad \modre{$\operatorname{min}_i\sum_j a_{ij}\le \la_m \le 
\operatorname{max}_i\sum_j a_{ij}$}. Slovně, uděláme-li součty čísel ve všech sloupcích,
pak $\lambda_m$ leží mezi nejmenším a největším takovým součtem.
\end{enumerate} 
\end{veta} 
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Aplikace na Leslieho model I} 
\begin{itemize}
\item Pokud je matice v Leslieho modelu primitivní, pak máme jediné
dominantní vlastní číslo. 
\item Náš příklad z úvodu přednášky nemá primitivní matici. 
\item Nutná podmínka je, aby bylo  \modre{$\tau_i$} kladné pro všechna \modre{$i$}
a také \modre{$f_m>0$}.
\item Stačí, aby navíc \modre{$f_i, f_{i+1}>0$} pro některý index  \modre{$i$}.
\item Určitě je Leslieho matice primitivní, pokud jsou všechny parametry \modre{$f_j,\tau_i$} kladné.
\item Přesnou charakterizaci není třeba vědět. Je otázkou pro teorii grafů.
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Aplikace na Leslieho model II} 
\begin{itemize}
\item Nechť je  matice v Leslieho modelu primitivní, tj. máme jediné
dominantní vlastní číslo. 
\item Existuje příslušný vlastní vektor \modre{$u$}, který má kladné všechny složky. 
A tento vektor tvoří stabilní populaci. 
\item Pokud %jsou ostatní vlasní čísla velikosti menší než \modre{$1$} a
je dominantní vlastní číslo rovno \modre{$1$},  pak každá počáteční generace konverguje 
k populaci, která je násobkem \modre{$u$}.
\item  Pokud je dominantní vlastní číslo 
větší než \modre{$1$}, pak každá počáteční populace expanduje (přemnoží se). 
Nicméně generační distribuce v populaci konverguje ke generační distribuci v
stabilní populaci \modre{$u$}. 
%nebo konverguje k nulové distribuci (populace vymře).
\item Pokud je dominantní vlastní číslo menší než  \modre{$1$},
tj.  \modre{$\lambda_m  < 1$}, 
pak každá počáteční populace konverguje k nulové populaci (vymře). 
\item Předchozí platí  i v případech, kdy matice sice není primitivní, ale má \modre{$m$} (počet populací)
vlastních čísel a pouze dominantní je větší než \modre{$1$}. 
\end{itemize}
\end{frame}




%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklady na Leslieho model růstu}
V Leslieho modelu řešíme úlohy:
\begin{itemize}
 \item 
 Zjistit tendenci vývoje v dlouhodobém horizontu (viz příklad s ovcemi):
\begin{itemize}
%\pause
\item vymření populace, stabilizace nebo expanze (přemnožení), 
%\pause
\item  poměrná struktura populace.
\end{itemize}
%\pause
\item Určit vhodnou modifikaci parametrů, aby došlo ke stabilizaci populace:
\begin{itemize}\pause
\item odběr pěstovaných kusů na prodej,\pause
\item nasazení přirozených nepřátel zabraňujících přemnožení v~modelu dravec-kořist.
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{priklad}
V příkladu \uv{stádo ovcí} 
určete, kolik procent nových jehňat lze každý rok prodat, aby se stádo stabilizovalo.
\end{priklad}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad -- stádo ovcí -- kontrola populace prodejem}
Leslieho matici \modre{$A=
\begin{pmatrix}
0&0.2&0.8&0.6&0\\
0.95&0&0&0&0\\
0&0.8&0&0&0\\
0&0&0.7&0&0\\
0&0&0&0.6&0
\end{pmatrix}
$} 
chceme změnit na  matici  
$$\modre{
A(z) = \begin{pmatrix}
0&0.2&0.8&0.6&0\\
\cervene{z} &0&0&0&0\\
0&0.8&0&0&0\\
0&0&0.7&0&0\\
0&0&0&0.6&0
\end{pmatrix}}
$$
tak, aby \modre{$A(z)$} měla vlastní číslo rovno jedné, tj. aby platilo \modre{$\det (A(z)-E)=0$}. Tento determinant počítáme Laplaceovým rozvojem podle 2. řádku:
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad -- stádo ovcí -- pokračování}
\modre{$\det(A(z)-E)$} se rovná
\modre{$$(-z)
\begin{vmatrix}
0.2&0.8&0.6&0\\
0.8&-1&0&0\\
0&0.7&-1&0\\
0&0&0.6&-1
\end{vmatrix}
+(-1)
\begin{vmatrix}
-1&0.8&0.6&0\\
0&-1&0&0\\
0&0.7&-1&0\\
0&0&0.6&-1
\end{vmatrix}
$$}
Další aplikací Laplaceova rozvoje na čtvrtý sloupec 1. matice a na 1. sloupec druhé matice dostaneme \modre{$\det(A(z)-E)=1-z(0.2+0.8\cdot 0.8+0.6\cdot 0.7\cdot 0.8)=1-z\cdot 1.176$}.
Odtud \modre{$z=\frac{1}{1.176}\sim 0.85$}. 

\medskip
Proto \modre{ $0.95-z=0.1\sim 10\%$} nově narozených jehňat lze prodat.

\medskip
%\pause
Pokud nechceme počítat se zlomky, tak můžeme vzít matici \modre{$10A(z)$} a počítat
\modre{$\det(10A(z)-10E)$}.


\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Markovovy procesy}
\begin{itemize}
\item Další případ lineárních procesů popisuje systémy, který se
nachází v \modre{$m$} různých stavech s různou pravděpodobností.
%\pause
\item V určitém čase je systém ve stavu \modre{$s_i$} s pravděpodobností \modre{$p_i$}.
Tzn. popis systému v daném čase \modre{$t$}
je dán vektorem \modre{$P(t)=(p_1,p_2,\dots ,p_m)^T$}.
%\item 
Přičemž \modre{$\sum_{i=1}^m p_i=1$}, \modre{$p_i\in[0,1]$}.\pause
\item K přechodu z možného stavu \modre{$j$} do stavu \modre{$i$} dochází 
vždy (tj. nezávisle na čase) s pravděpodobností \modre{$a_{ij}$}.\pause
\item Například pravděpodobnost stavu \modre{$s_1$} v čase \modre{$t+1$} 
se spočítá jako
\modre{$p_1(t+1) = a_{11}p_1(t) + a_{12}p_2(t) +\dots a_{1m}p_m(t)$}. \pause
\item Rozdělení pravděpodobností pro čas \modre{$t+1$} je dáno vynásobením 
pravděpodobnostní maticí  \modre{$A = (a_{ij})$}, tj. 
$\modre{
P(t+1)=A\cdot P(t) }
$.
%\pause
\item Přitom pro libovolné \modre{$j$} platí \modre{ $\sum_{i=1}^m a_{ij}=1$}.
(Součet čísel v každém sloupci je \modre{1}.)
Matice \modre{$A = (a_{ij})$} je tzv.  \cervene{stochastická}.\pause
\item Takovému procesu říkáme \cervene{Markovův proces}. 
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}

\begin{frame}{Markovův proces -- příklad}
\begin{priklad}[Sledovanost televizí]
Vysílají tři televizní stanice. Z veřejného výzkumu vyplynulo, že
po jednom měsíci přejde \modre{$1/4$} diváků první stanice ke druhé stanici
a \modre{$1/4$} diváků ke třetí stanici. Tzn. \modre{$1/2$} diváků zůstane u první stanice.
Dále, že z diváků druhé stanice přejde
\modre{$1/3$} diváků k první stanici a \modre{$1/3$} diváků ke třetí stanici.
Konečně z diváků třetí stanice přejde
\modre{$1/2$} diváků k první stanici a \modre{$1/2$} diváků ke  druhé stanici.
Popište časový vývoj počtu diváků sledujících dané stanice jako Markovův proces.
\end{priklad}
%\pause
Matice Markovova procesu je 
$$\modre{
A= \begin{pmatrix}
\frac12&\frac13&\frac12\\[2pt]
\frac14&\frac13&\frac12\\[2pt]
\frac14&\frac13&0
\end{pmatrix}}\, .
$$
\end{frame}




%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Stochastické matice}
Vlastnosti stochastických matic.
\begin{itemize}
 \item Každý
pravděpodobnostní vektor 
\modre{$p=(p_1,p_2,\dots ,p_m)$} je opět zobrazen na vektor se součtem souřadnic
jedna:
$$\modre{\sum_{i}(\sum_{j}a_{ij}p_j) = \sum_j(\sum_i a_{ij})p_j = \sum_j p_j = 1}.
$$
%\pause
\item Z toho také plyne, že součin dvou stochastických matic je stochastická matice.
Proto je stochastická každá matice $\modre{A^k}$, kde $\modre{A}$ je stochastická
a \modre{$k$} libovolné přirozené číslo.
\item Protože je součet každého sloupce matice \modre{$A$} roven \modre{$1$}, 
je součet každého sloupce matice \modre{$A-E$} roven \modre{$0$}.
Jsou proto řádky matice \modre{$A-E$}  lineárně závislé a matice
 \modre{$A-E$} má nulový determinant. \pause
\item Tedy  \modre{$|A-E|=0$} a \modre{$\la=1$} je vlastní číslo matice \modre{$A$}
a musí k ní existovat vlastní vektor. 
\end{itemize}
\end{frame}



%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

\begin{frame}{Aplikace Perronovy-Frobeniovy věty}
Důsledkem Perronovy-Frobeniovy věty pro Markovovy procesy s 
primitivní maticí, je 
\begin{itemize}
\item existence vlastního vektoru \modre{$P_\infty$} pro vlastní číslo \modre{$1$}, který je
pravděpodobnostní vektor, tj. jeho souřadnice jsou nezáporné a jejich součet je \modre{1}.
\item přibližování hodnoty iterací \modre{$A^k P(0)$} k vektoru \modre{$P_\infty$}
 pro jakýkoliv počáteční
pravděpodobnostní vektor \modre{$P(0)$}. 
\end{itemize}


\medskip

Druhou vlastnost je také možné formulovat tak, že posloupnost
matic \modre{$A^k$} konverguje, při zvětšujícím se \modre{$k$}, k matici \modre{$B$},
jež je tvořena stejnými sloupci, a to \modre{$P_\infty$}.

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


\begin{frame}{Markovův proces -- řešení příkladu}
\begin{priklad}[Sledovanost televizí]
Vysílají tři televizní stanice. Z veřejného výzkumu vyplynulo, že
po jednom měsíci přejde \modre{$1/4$} diváků první stanice ke druhé stanici
a \modre{$1/4$} diváků ke třetí stanici. Tzn. \modre{$1/2$} diváků zůstane u první stanice.
Dále, že z diváků druhé stanice přejde
\modre{$1/3$} diváků k první stanici a \modre{$1/3$} diváků ke třetí stanici.
Konečně z diváků třetí stanice přejde
\modre{$1/2$} diváků k první stanici a \modre{$1/2$} diváků ke  druhé stanici.
Popište časový vývoj počtu diváků sledujících dané stanice jako Markovův proces.
\end{priklad}
%\pause
Maticí Markovova procesu je 
$$\modre{
A= \begin{pmatrix}
\frac12&\frac13&\frac12\\[2pt]
\frac14&\frac13&\frac12\\[2pt]
\frac14&\frac13&0
\end{pmatrix}, \quad A^2>0}
$$
%\pause
Matice má dominantní vlastní číslo \modre{$1$}, příslušný vlastní vektor je \modre{$(4,3,2)$}. 
%Protože je vlastní hodnota dominantní, tak se 
Poměr diváků se ustálí na poměru \modre{$4:3:2$}.
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad bez Perronovy-Frobeniovy věty }
\begin{priklad}[Ruleta]
Hráč rulety má následující strategii: přišel hrát se  \modre{$100$} Kč.
Vždy vsadí všechno, co aktuálně má. Sází
vždy na černou (v ruletě je  \modre{$37$} čísel, z toho je \modre{$18$} černých, \modre{$18$} červených a nula). Hráč skončí,
pokud nic nemá, nebo pokud získá   \modre{$800$} Uvažte tuto úlohu jako Markovův proces
a napište jeho matici. 
\end{priklad}

%\pause

Jednotlivé stavy systému jsou dány aktuální hodnotou, kterou hráč má. Jsou
to tedy částky 0, 100, 200, 400 a 800 Kč. 
%Sloupce příslušné matice jsou
%obrazem situace, kdy hráč je s pravděpodobností jedna v odpovídajícím stavu
%(tj. standardních vektorů báze $\Bbb R^5$).

%\end{frame}

%\begin{frame}
Výsledná matice je:
$$\modre{
A=\begin{pmatrix}
1&a&a&a&0\\
0&0&0&0&0\\
0&b&0&0&0\\
0&0&b&0&0\\
0&0&0&b&1
\end{pmatrix}},
$$
kde \modre{$a=\frac{19}{37}$} a \modre{$b=\frac{18}{37}$}.
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad bez Perronovy-Frobeniovy věty -- pokračování}
 $$\modre{
A=\begin{pmatrix}
1&a&a&a&0\\
0&0&0&0&0\\
0&b&0&0&0\\
0&0&b&0&0\\
0&0&0&b&1
\end{pmatrix}},\pause
\modre{
A^2=\begin{pmatrix}
1&a+ab&a+ab&a&0\\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0\\
0&b^2&0&0&0\\
0&0&b^2&b&1
\end{pmatrix}},\pause
$$
 $$\modre{
A^3=\begin{pmatrix}
1&a+ab+ab^2&a+ab&a&0\\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0\\
0&b^3&b^2&b&1
\end{pmatrix}},\pause
\modre{A^4=A^3}\, .
$$
\begin{itemize}
\item\pause
Proto \modre{$A^k=A^3$} \text{pro} libovolné \modre{$k\ge 3$}.
Matice \modre{$A$} není primitivní. 
\item\pause
Nicméně lze počítat 
\modre{$A^k\cdot P(0)$} pro libovolný počáteční pravděpodobnostní vektor  
\modre{$P(0)$}.\pause 
\item Zejména \modre{$A^k\cdot (0,1,0,0,0)^T=(a+ab+ab^2,0,0,0,b^3)^T$}.
\end{itemize}
\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Příklad bez Perronovy-Frobeniovy věty -- závěr}
\begin{itemize}
\item
Tedy po třech a více kolech hráč vyhraje 800 Kč s pravděpobností \modre{$(18/37)^3\sim 0,1151$}.
S pravděpodoností \modre{$0,8849$} nebude mít nic. 
\end{itemize}
\vskip 6cm

\end{frame}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\begin{frame}{Požadavky}
Příklad, který se může objevit na zkoušce:
 \begin{itemize}
\item Leslieho model růstu -- určit tendenci vývoje v dlouhodobém horizontu.
\item Leslieho model růstu -- modifikovat parametry tak, aby došlo ke stabilizaci populace.
\item Markovovy procesy s primitivní maticí -- 
určit limitní pravděpodobnostní rozložení (vektor).
\end{itemize}
Ve všech případech je třeba umět zkonstruovat matici ze slovního zadaní.
\end{frame}

%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
%\end{document}
%xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


\begin{frame}{Domácí úloha}
 \begin{priklad}[9.1 -- Leslieho populační model.]
 \footnotesize
JZD se zabývá chovem prasat.
Chov se řídí půlročním cyklem a proto prasata rozdělují do čtyř věkových kategorií:
malá selata (0--0,5 roku), větší selata (0,5--1 rok), mladší prasnice (1--1,5 roku)
a starší prasnice  (1,5--2 roky). 
%Prasata ve sledovaných kategoriích jsou samice, pouze
%v kategorii malých selat jsou zahrnuta všechna selata, která se dožijí konce půlročního období.
Po ukončení půlročního období a přepočítání prasat ve všech kategorií se v novém období 
postupuje takto.
\begin{itemize}
\item Malá selata jsou rozdělena na samce, kteří se prodají, 
a na samice, které zůstávají v chovu, přičemž těchto samic je polovina z celkového počtu
malých selat. Na konci nového období z nich jsou velká selata.
\item Velká selata se pouze krmí, na konci nového období jsou ze všech mladší prasnice.
\item Mladší prasnice se nechají zapustit a v průměru vrhnou 11 zdravých selat na jednu prasnici.
Přitom $10\%$ z mladších prasnic uhyne a $90\%$ přežívá -- na konci nového období jsou z nich starší prasnice.
\item Starší prasnice se také zapustí a v průměru vrhnou 10 zdravých selat. 
Na konci nového období jsou však starší prasnice odeslány na jatka.
\end{itemize}
%Tímto způsobem se chtějí o chov prasat starat dlouhodobě. 
Určete, kolik procent
velkých selat mohou během každého období prodat, aby měli stabilizovaný chov.
\end{priklad}
\end{frame}


\begin{frame}{Domácí úloha}
 \begin{priklad}[9.2 -- Markovův proces]
 \footnotesize
  Rodina Novákova každoročně jezdí na 
celý srpen na dovolenou. 
Buď naloží auto kempingovým vybavením a cestuje po Evropě, nebo naloží kola a jedou k babičce na Vysočinu.
Každý rok se rozhodují podle toho, jak trávili dovolenou poslední dva roky,
a~to částečně náhodně za~použití  klasické kostky.  Rozhodují se podle následujících pravidel.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Pokud byli poslední dva roky kempovat  po Evropě, jedou na Vysočinu.
\item[$\bullet$] Pokud byli poslední dva roky na Vysočině, tak jedou po Evropě.
\item[$\bullet$] Pokud byli loni kempovat po Evropě a předloni u babičky, pak hází kostkou,
a když padne liché číslo, tak jedou po Evropě, a když sudé číslo, tak jedou na Vysočinu. 
\item[$\bullet$] Pokud byli loni na Vysočině a předloni po Evropě, pak hází kostkou.
Když padne 1 nebo 2, pak jedou na Vysočinu, jinak jedou po Evropě. 
\end{itemize}
Tímto způsobem se o dovolené rozhodují celý život.
V srpnu letošního roku je přijel do místa jejich bydliště navštívit kamarád, s kterým se neviděli 
po mnoho let. Soused, který věděl, že jsou buď na Vysočině nebo cestují po Evropě, 
ale nevěděl, kde byli poslední roky,  jej poslal na Vysočinu. 
%Kamarád dal na jeho radu
%a rozjel se k jejich babičce jejiž adresu dostal od souseda.
Určete, jaká je pravděpodobnost, že tam rodinu Novákovu najde.
 \end{priklad}
\end{frame}

\begin{frame}{Domácí úloha}
 \begin{priklad}[9.3 -- Markovův proces]
 \footnotesize
  Roztržitý profesor s sebou nosí deštník, ale s jistou pravděpodobností jej zapomene tam, 
odkud zrovna odchází. Ráno odchází z domova do práce, a protože bývá po ránu v kondici,
pravděpodobnost, že deštník zapomene doma, je pouze $1/3$. 
Z práce chodí odpoledne do~restaurace a pravděpodobnost, že deštník zapomene v práci,
je  $1/2$. V restauraci si dá pozdní oběd a jde domů, 
přičemž pravděpodobnost, že zapomene deštník v restauraci, je rovna $2/3$.
Uvažujme pro jednoduchost, že nikam jinam po dostatečně dlouhou dobu profesor 
nechodí a že v restauraci zůstává deštník na profesorově oblíbeném
místě, odkud si ho může následující den (pokud nezapomene) vzít.

Napište matici tohoto Markovova procesu. 
(Je vhodné za časovou jednotku vzít jeden den – od půlnoci do půlnoci.)
Jaká je pravděpodobnost, že se po mnoha dnech bude deštník nalézat o půlnoci doma?
 \end{priklad}
\end{frame}


\end{document}
