\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  3. cvičení z MB141 -- soustavy lineárních rovnic a násobení matic}
\end{center}
\bigskip
{\bf Pokyny pro cvičící:} Spočítejte příklady nejprve příklady s označením A. Teprve pak řešte zbývající příklady s označením B.

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1A.\ } Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
x_1&+&2x_2&+&x_3&+ &3x_4&+&2x_5&=&-2\\
2x_1&+&x_2&+&x_3&+ &x_4&+&3x_5&=&1\\
x_1& &&+&x_3&-&x_4&+&2x_5&=&0\\
x_1&+&2x_2&+&2x_3&+&2x_4&+&3x_5&=&0
\end{array}$$
\end{zad}

\begin{res} Nemá řešení. 
\end{res}


\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2A.\ }  Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
x_1&+&2x_2&+&x_3&- &x_4&+&x_5&=&0\\
2x_1&+&x_2&+&2x_3&- &2x_4&+&2x_5&=&0\\
2x_1& &&+&x_3&-&x_4&+&2x_5&=&-1\\
x_1&+&x_2&+&2x_3&-&2x_4&+&x_5&=&1
\end{array}$$
\end{zad}
\begin{res} Řešení je 
\begin{align*}
[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5]&=[-1-t,0, 1+s,s,t]=[-1,-t,0,1+s,t]=\\
&=[-1,0,1,0,0]+s(0,0,1,1,0)+t(-1,0,0,0,1)
\end{align*}
\end{res}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3A.\ }
Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcr}
2x_1&-&x_2&+&x_3&- &x_4&=&1\\
2x_1&-&x_2& & &- &3x_4&=&2\\
3x_1& &&-&x_3&+&x_4&=&-3\\
2x_1&+&2x_2&-&2x_3&+&5x_4&=&-6
\end{array}$$
\end{zad}

\begin{res} 
Jediné řešení $[0,2,5/3,-4/3]$.
\end{res}


\medskip
%příklad 3B
\begin{zad}{\bf 3B.\ }
 Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
2x_1&-&3x_2&+&17x_3&     -    &29x_4&-&36x_5&=&22\\
2x_1&-&3x_2&+&18x_3&-         &27x_4&+&33x_5&=&21\\
12x_1&- &18x_3&+&102x_3&- &174x_4&-&216x_5&=&132\\
2x_1&-&3x_2&+&21x_3&-         &24x_4&-&30x_5&=&20\\
2x_1&-&3x_2&+&24x_3&-         &21x_4&-&27x_5&=&19
\end{array}$$
\end{zad}

\begin{navod} Velkých koeficientů není třeba se bát, řešení vyjde ``hezky''. 
\end{navod}

\medskip
%příklad 4A
\begin{zad}{\bf 4A.\ }
Zjistěte, zda jde matice násobit , a pokud ano, vynásobte je.
$$
\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2&8\\
-1&-5\\
9&11
\end{pmatrix},\quad 
\begin{pmatrix}
2&8\\
-1&-5\\
9&11
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
\end{pmatrix},
$$
$$
\begin{pmatrix}
2&8&3&21&5
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
9\\
-6\\
3
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
9\\
-6\\
3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2&8&3&21&5
\end{pmatrix}
$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 4B
\begin{zad}{\bf 4B.\ }
Vynásobte následující dvě matice a výsledek vyčíslete s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce 
$$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
r\cos\beta\\
r\sin\beta
\end{pmatrix}.$$
Na základě toho ukažte, že zobrazení
$$F\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha\cdot x-\sin\alpha\cdot y\\
\sin\alpha\cdot x+\cos\alpha\cdot y
\end{pmatrix}
$$
je otočení kolem počátku v rovině o úhel $\alpha$.
\end{zad}

 \medskip
%příklad 5A
\begin{zad}{\bf 5A.\ } Matice $A$ a $B$ tvaru $n\times n$ jsou dány předpisem:
$$
A_{ij}=
\begin{cases}
1, &\text{if $i\ge j$,}\\
2, &\text{if $ i< j$,}
\end{cases}
\qquad
B_{ij}=
\begin{cases}
1, &\text{if $i\le j$,}\\
3, &\text{if $ i>j$.}
\end{cases}
$$
Vypočtěte, čemu se rovná jejich součin. 
\end{zad}
\begin{navod} Pro obecné $n$ spočtěte $(A\cdot B)_{ij}$ zvlášť pro $i\le j$ a pro $i\ge j$.
\end{navod}

\medskip
%příklad 5B
\begin{zad}{\bf 5B.\ }
Označme $\operatorname{op}(A)$ výsledek elementární řádkové úpravy matice $A$ tvaru $k\times n$. Pro jednotlivé druhy úprav dokažte, že platí
$$\operatorname{op}(A)=\operatorname{op}(E_k)\cdot A,$$
kde $E_k$ je jednotková matice tvaru $k\times k$.  Říká se tomu, že řádkové úpravy lze realizovat násobením matice zleva.
\end{zad}




\end{document}

