\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  4. cvičení z MB141-- inverzní matice a determinant, jaro 2022}
\end{center}
\bigskip
{\bf Pokyny pro cvičící:} Spočítejte příklady nejprve příklady s označením A. Teprve pak řešte zbývající příklady s označením B.

\bigskip
%příklad 1A
\begin{zad}{\bf 1A.\ } Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&1&2\\
1&-1&-3\\
2&1 &2
\end{pmatrix}.$$ 
Proveďte zkoušku.
\end{zad}

\medskip
%příklad 1B
\begin{zad}{\bf 1B.\ } Spočtěte inverzní matici k matici
$$A=\begin{pmatrix} 
4&3&2\\
5&6&3\\
3&5 &2
\end{pmatrix}.$$ 
Proveďte zkoušku.
\end{zad}
\begin{res} Řešení najdete v knize Matematika drsně a svižně, příklad 2.13.
$$A^{-1}=\begin{pmatrix} 
3&-4&3\\
1&-2&2\\
-7&11 &-9
\end{pmatrix}.$$ 
\end{res}


\medskip
%příklad 2A
\begin{zad}{\bf 2A.\ } 
 Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&4&-2&3\\
2&9&3&-2\\
-1&-6 &-11&4\\
0&-1&-6&0
\end{pmatrix}.$$ 
Zkoušku proveďte aspoň částečně.
\end{zad}

\begin{res} Inverzní matice je
$$\begin{pmatrix}
154&-179&-205&235\\
-36&42&48&-55\\
6&-7 &-8&9\\
1&-1&-1&1
\end{pmatrix}.$$ 
\end{res}




\medskip
%příklad 3A
\begin{zad}{\bf 3A.\ }
Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&a&0&0&0\\
0&1&a&0&0\\
0&0 &1&a&0\\
0&0&0&1&a\\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}.$$ 
Proveďte zkoušku.
\end{zad}
\begin{res} Inverzní matice je
$$\begin{pmatrix}
1&-a&a^2&-a^3&a^4\\
0&1&-a&a^2&-a^3\\
0&0&1&-a&a^2\\
0&0&0&1&-a\\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}.$$ 
\end{res}

\medskip
%příklad 4A
\begin{zad}{\bf 4A.\ }
 Spočtěte determinant matice
 $$\begin{pmatrix}
2&-1&0&3\\
1&0&-2&0\\
-1&1 &2&1\\
-3&-2&1&1
\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item[a)] pomocí řádkových úprav,
\item[b)] pomocí Laplaceova rozvoje vhodného řádku. 
\end{enumerate}
\end{zad}

\begin{res} 32
\end{res}

\medskip
%příklad 5A
\begin{zad}{\bf 5A.\ }
 Spočtěte determinant matice
 $$\begin{pmatrix}
a&1&1&1&1\\
1&a&1&1&1\\
1&1 &a&1&1\\
1&1&1&a&1\\
1&1&1&1&a
\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item[a)] pomocí řádkových úprav,
\item[b)] pomocí Laplaceova 1. řádku a indukce. 
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 5B
\begin{zad}{\bf 5B.\ }
 Spočtěte determinant matice $n\times n$ pro $n\ge 2$
 $$\begin{pmatrix}
2-n&1&1&\dots &1&1\\
1&2-n&1&\dots&1&1\\
1&1 &2-n&\dots&1&1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
1&1&1&\dots&2-n&1\\
1&1&1&\dots&1&2-n
\end{pmatrix}$$
\end{zad}
\begin{navod} Začněte tím, že k 1. řádku přičtete všechny ostatní řádky.
\end{navod}

\medskip
%příklad 6A
\begin{zad}{\bf 6A.\ }
Zjistěte, pro které parametry $a$, $b$, $c\in\R$ je soustava rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcr}
ax_1&+&bx_2& & &=&c\\
cx_1&&&+ &ax_3 &=&b\\
& &cx_2&+&bx_3&=&a\\
\end{array}$$
jednoznačně řešitelná. Pro tyto parametry najděte řešení pomocí Cramerova pravidla.
\end{zad}



\bigskip



\end{document}

