6. cvičení z MB141, jaro 2022
Pokyny pro cvičící. Příklady 1 a 2 jsou z minulého cvičení. Dále se pokuste vyřešit příklady 3A (stačí 3 úkoly ze 4), 4A, 5A, 6A a 7A. Další úlohy dělejte v pořadí 8A (stačí výpočet vlastních čísel), 9A a 10A (v něm jsou vlastní čísla komplexní. Reálné vlastní vektory neexistují, komplexní vlastní vektory nepočítáme).
Příklad. 1A. Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů P a Q v IR4, jestliže
P= [(4, 0,-2,6), (2,1, -2,3), (3,1, -2,4)], Q= [(1,-1, 0,2), (2,2,-1,3), (0,1,1,0)].
Řešení. Průnik má dimenzi 2 a bázi např. (1, —1, 0, 2), (—2, —1, 2, —3). □ Příklad. 1B. Najděte bázi a dimenze součtu a průniku podprostorů U a V v IR4, jestliže
í/= [(1,1,-1,-1), (2, 3,2, -2)],
F = [(2, 0,1,1), (4,4,7,-1), (0,1,1,0)].
Příklad. 2A. Najděte báze a dimenze podprostorů
P = {feR4[x]\f(l) = 0, f(2) = 0}   a   Q = {geR4[x]\g(x) = g(-x)} a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
/Čeření. dimP = 3, dimQ = 3, dimP H Q = 1, dimP + Q = 5, tedy P + Q = R4[x]. Více na http://www.math.muni.cz/~xfrancirekp/vyuka/seste_cviceni/osme_cviceni.pdf □
Příklad. 2B. Najděte báze a dimenze podprostorů
P = {/eM5MI/(l)=0, /(-1) = 0}   a   Q = {geR5[x]\g(-x) = -g(x)} a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
Příklad. 3A. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
(a) ip : IR2 —> IR, ip(x1,x2) = 2xi + xix2,
(b) <p : IR2 ->• IR3, <p(xi, x2) = (2xľ - 3x2,5x2, xľ - x2),
(c) : IR3M -> IR2, <p(j>) = (p(l),p(2)2),
(d) V9:M3N^M2, <f{j>) = (p(l),p(2)).
Příklad. 3B. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
(a) v? : IR2 —>- Mat2x2(M), <p(Xl,x2) = (x*\   ^ 1
(b) ip : IR2 -> Mat2x2(M), ^1,^2, - ,     _ ^ ^
(c) V9:M3N^M, ¥>(p) =p(l)3+p(2),
2
(d) <p : R3[x] -> R, <p(p) = p(3) + 2p(l).
Příklad. 4A. Ve vektorovém prostoru IR3 uvažujme bázi mx = (1,0,1), u2 = (0,1,1), w3 = (1,1,1). Nechť ip : IR3 —> IR3 je lineární zobrazení, o němž víme, že
Najděte matici A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo <p(x) = Ax.
Příklad. 4B. Ve vektorovém prostoru IR2 uvažujme bázi ui = (2,1), u2 = (1,2). Nechť ip : IR2 —> IR3 je lineární zobrazení, o němž víme, že
Najděte matici A tvaru 3x2 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo <p(x) = Ax.
Příklad. 5A. Nechť tp je zobrazení IR3 do sebe, které je symetrií podle roviny xi — x% = 0. Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je <p(x) = Bx.
Příklad. 5B. Nechť tp je lineární zobrazení IR3 do sebe, které je symetrií podle přímky procházející počátkem se směrovým vektorem ui = (1, —2,1). Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je <p(x) = Bx. (Podobný příklad byl řešen ve slajdech k 5. přednášce.)
Příklad. 6A. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení tp : IR2 —ř IR2
Příklad. 7B. Najděte vlastní čísla a báze vlastních podprostorů lineárního zobrazení ip : IR3 —> M3 zadaného maticí
ip{ui) = u1, ip{u2) = u3, ip(u3) = u2.
<p{Ul) = (4,10,16), V(u2) = (5,11
17).
Příklad. 7A. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice
Příklad. 8A. Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice
/ 1 1     2     1 \
1-2 1 -4 0-1-1 -1
\-l 0-12/
Příklad. 8B. Najděte vlastní čísla a báze vlastních podprostorů lineárního zobrazení IR4 —>■ IR4 zadaného maticí
/10  -9    0     0 \ 4-200 0 0-2-7 \0    0     1 2/
Příklad. 9A. Zjistěte, zda v IR3 existuje báze tvořená vlastními vektory matice
C
Pokud ano, najděte ji.
Příklad. 10A. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení ip : IR2 —?■ IR2
-2   -1\ /rri 5     2    ' U2
V?(ar)