\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  7. cvičení z MB141 -- skalární součin, jaro 2022}
\end{center}
\bigskip
Bylo by dobré udělat všechny příklady, na složitější příklady 5 a 6 je potřeba si ponechat dostatek času. Řešte je způsobem vyloženým na 6. přednášce bez počítání charakteristického polynomu a komplexních vlastních čísel. Příklad 4 řešte tak, že najdete obrazy tří lineárně nezávislých vektorů. 

\medskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
Najděte ortonormální bázi podrostoru
$$S=\left[(1,2,-1,3,1),\ (5,2,-1,7,1),\ (2,-1,2,-4,-2)\right]\subset \R^5,$$
jestliže prostor  $\R^5$ bereme se standardním skalárním součinem. Použijte k tomu prvně Gram\-mův-Schmidtův ortogonalizační proces a potom získané
vektory ortogonální báze vynormujte (tj. vydělte jejich velikostí, abyste získali vektory velikosti 1).
\end{zad}

\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
V $\R^5$ se standardním skalárním součinem najděte ortogonální doplněk podprostoru
$$M=\left[(1,2,-1,-3,3),\ (1,-2,3,1,-1)\right].$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Spočtěte kolmou projekci vektoru $u=(2,11,-3,-4,7)$ do podprostoru $M$ a jeho ortogonálního doplňku $M^{\perp}$ z předchozího příkladu.
 \end{zad}

\medskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je kolmá projekce na rovinu
$$2x_1-x_2+2x_3=0.$$
Najděte matici $A$ tvaru $3\times 3$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je
$$\varphi(x)=Ax=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$  
 \end{zad}


\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Zjistěte jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení $\varphi(x)=Bx$, kde
$$B=\frac13\begin{pmatrix}-1&-2 &2\\
-2&2&1\\
2&1&2\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Zjistěte jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení $\varphi(x)=Cx$, kde
$$C=\frac12\begin{pmatrix}0&\sqrt 2&-\sqrt 2\\
-\sqrt 2&1&1\\
\sqrt 2&1&1\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\bigskip
\centerline{\bf Úlohy k k domácímu procvičení s výsledky}
\medskip
\begin{zad}{\bf 1.} 
Najděte ortonormální bázi podrostoru
$$V=\left[(1,1,3,3,4),\ (1,3,-5,-7,-1),\ (1,-1,5,7,-3)\right]\subset \R^5,$$
jestliže prostor  $\R^5$ bereme se standardním skalárním součinem.
\end{zad}
\begin{res} Ortonormální báze je $\frac16(1,1,3,3,4), \frac17(2,4,-2,-4,3), \frac{1}{6\sqrt 5}(7,7,3,3,-8)$.
\end{res}

\medskip
\begin{zad}{\bf 2.} 
 V $\R^5$ se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru
  $u=(1,2,3,4,5)$ do vektorových podprostorů
  \begin{align*}
  V&=[(3,3,2,1,3),\ (5,1,4,-1,1)]\\
  W&=[(1,-3,4,-2,2),\ (1,5,-8,-2,4),\  (1,-9,16,4,-4)]
  \end{align*} 
  Ve druhém případě spočtěte prvně ortogonální doplněk $W^{\perp}$ a kolmou projekci
  vektoru $u$ do $W^{\perp}$. 
\end{zad}
\begin{res} Projekce do $V$ je $(2,4,1,2,4)$ a projekce do $W$ je $(4,1,2,3,3)$.
\end{res}

\medskip
\begin{zad}{\bf 3.} 
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je kolmá projekce na přímku $p$ procházející počátkem se směrovým vektorem $(1,-2,1)$.
Najděte matici $B$ tvaru $3\times 3$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je
$$\varphi(x)=Bx=B\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$  
\end{zad}
\begin{res}   $$B=\frac16\begin{pmatrix} 1&-2&1\\
                                                                                {-2}&4&-2\\
                                                                                  1&-2&1      
\end{pmatrix}$$
\end{res}

\medskip
\begin{zad}{\bf 4.} 
 V souřadnicích  standardní báze je zobrazení $\varphi$ vektorového prostoru $\mathbb R^3$ do sebe určeno maticí 
$$A=\frac13 \begin{pmatrix}
2&2&-1\\ 2&-1&2\\-1&2&2
\end{pmatrix} $$
Určete, o jaké zobrazení se jedná. 
\end{zad}
\begin{res} Symetrie podle roviny kolmé k vektoru $(1,-2,1)$ procházející počátkem. Její rovnice je $x_1=2x_2+x_3=0$.  
\end{res}

\medskip
\begin{zad}{\bf 5.} 
Zjistěte jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení $\varphi(x)=Cx$, kde
$$C=\frac12\begin{pmatrix}1&-1&-\sqrt 2\\
-1&1&-\sqrt 2\\
\sqrt 2&\sqrt 2&0\end{pmatrix}.$$
\end{zad}
\begin{res} Otáčení kolem přímky procházející počátkem se směrovým vektorem $(1,-1,0)$ o úhel $\pi/2$.
\end{res}

\end{document}

