7. cvičení z MB141 - skalární součin, jaro 2022
Bylo by dobré udělat všechny příklady, na složitější příklady 5 a 6 je potřeba si ponechat dostatek času. Řešte je způsobem vyloženým na 6. přednášce bez počítání charakteristického polynomu a komplexních vlastních čísel. Příklad 4 řešte tak, že najdete obrazy tří lineárně nezávislých vektorů.
Příklad. 1. Najděte ortonormální bázi podrostoru
S = [(1,2,-1,3,1), (5,2,-1,7,1), (2,-1,2,-4,-2)] CM5,
jestliže prostor IR5 bereme se standardním skalárním součinem. Použijte k tomu prvně Gram-mův-Schmidtův ortogonalizační proces a potom získané vektory ortogonální báze vynor-mujte (tj. vydělte jejich velikostí, abyste získali vektory velikosti 1).
Příklad. 2. V IR5 se standardním skalárním součinem najděte ortogonální doplněk podpro-storu
M= [(1,2,-1,-3,3), (1,-2,3,1,-1)].
Příklad. 3. Spočtěte kolmou projekci vektoru u = (2,11, —3, —4, 7) do podprostoru M a jeho ortogonálního doplňku M± z předchozího příkladu.
Příklad. 4. Nechť tp : IR3 —>• IR3 je kolmá projekce na rovinu
2Xi — X2 + 2x% = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
<f(x) = Ax = A I x2
w
Příklad. 5. Zjistěte jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Bx, kde
-1   -2 2N -2    2 1
1 2,
Příklad. 6. Zjistěte jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Cx, kde
/O       72 -y/&
C = -\-V2    1 1 2\V2     1 1
Úlohy k k domácímu procvičení s výsledky Příklad. 1. Najděte ortonormální bázi podrostoru
V= [(1,1,3,3,4), (1,3,-5,-7,-1), (1,-1,5,7,-3)] C jestliže prostor IR5 bereme se standardním skalárním součinem.
2
Řešení. Ortonormální báze je |(1,1, 3, 3,4), ±(2,4, -2, -4,3), ^-(7, 7, 3, 3, -8). □
Příklad. 2. V IR5 se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru u = (1, 2, 3,4, 5) do vektorových podprostorů
V= [(3,3,2,1,3), (5,1,4,-1,1)]
W= [(1,-3,4,-2,2), (1,5,-8,-2,4), (1,-9,16,4,-4)]
Ve druhém případě spočtěte prvně ortogonální doplněk W± a kolmou projekci vektoru u do W±.
Řešení. Projekce do V je (2,4,1, 2,4) a projekce do W je (4,1, 2, 3, 3). □
Příklad. 3. Nechť tp : IR3 —>• IR3 je kolmá projekce na přímku p procházející počátkem se směrovým vektorem (1, —2,1). Najděte matici B tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
íxi
<p(x) = Bx = B I x2 W
Řešení.
□
Příklad. 4. V souřadnicích standardní báze je zobrazení tp vektorového prostoru IR3 do sebe určeno maticí
'2     2 -ŕ -1 2
Určete, o jaké zobrazení se jedná.
Řešení. Symetrie podle roviny kolmé k vektoru (1, —2,1) procházející počátkem. Její rovnice je xi = 2x2 + x3 = 0. □
Příklad. 5. Zjistěte jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Cx, kde
1    -1 -\/2^ -V2\.
Řešení. Otáčení kolem přímky procházející počátkem se směrovým vektorem (1,-1,0) o úhel7r/2. □