8. cvičení z MB141, jaro 2021
První polovinu cvičení věnujte řešení písemky z 22. 4. V druhé části vyřešte úlohy 1, 2, 3 (zde lze pomocí kolmé projekce nebo pomocí normály, jedno udělejte pořádně, u druhého ukažte pouze, jak by se postupovalo). K úloze 4 řekněte pouze, že odchylka rovin v £3 se nejlépe spočítá jako odchylka jejich normál. 5. úloha zůstane asi na další cvičení. Ukažte viditelnost pouze některých stěn, např. ABC je vidět, BCD není vidět.
Příklad. 1. Y £3 spočítejte vzdálenost bodu A = [3,5, 7] od roviny
p : X\ + 3rr2 — 2rr3 + 4 = 0. Současně najděte bod C E p takový, že dist(A, C) = dist(A, p).
Příklad. 2. V £3 spočítejte vzdálenost přímek
p: [4,4,4] + a(2,l,-l)   a   q : [1,15,12] + 6(1, -2,1).
Dále najděte body K E paL E q, v nichž se vzdálenost přímek realizuje, tj. platí dist(_ří, L) = dist(p, q).
Příklad. 3. V £3 určete odchylku roviny p od přímky p:
p: [l,3,5]+a(l,l,l) + 6(l,3,2),   p : [-3,1, 7] + c(l, 0,-1).
Příklad. 4. V £3 určete odchylku rovin p a a:
p : [2,3,4] + a(2,2,1) + 6(3, 3, -2),    a : xx - 2x2 + x3 = 4.
Příklad. 5. Zjistěte, které stěny čtyřstěnu ABCD, kde A = [1,2,3], B = [4,7,8], C = [-1,-2,3], D = [3,0,1], jsou vidět z bodu bodu X = [-10,100,-50].
Řešení. Pomocí znamének determinantů. Není vidět pouze stěna BCD. □
Další úlohy na procvičení
Příklad. 6. Uvažujme čtyřstěn ABCD, kde A = [1, 2, 3], B = [4, 7, 8], C = [-1, -2, 3], D = [3, 0,1]. Určete objem čtyřstěnu, obsah trojúhelníka ABC a velikost výšky na stěnu ABC.
Řešení. Objem pomocí determinantu. Obsah trojúhelníka pomocí vektorového součinu. Výšku ze vzorce pro objem pomocí obsahu základny. □
Příklad. 7. V £4 určete vzdálenost přímky p od roviny p
p: [5,4,4,5]+r(0,0,1,-4),    p: [4,1,1,0] + s(l,-1, 0, 0) + í(2, 0,-1, 0) a body M E p a N E p, v nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. dist(M, N) = dist(p, p).
1