Požadavky k úspěšnému absolvování předmětu 1. Požaduji účast aspoň na 9 cvičeních z 12. 2. Z 10 odpovědníků musíte splnit 7 aspoň na polovinu bodů 3. vnitrosemestrální písemka bude za iz bodů, zkoušková za 24 bodů. K absolvování předmětu musíte získat aspoň 14 bodů z maximálního počtu 36. Přitom ze zkouškové písemky musíte získat aspoň 6 bodů.- Hodnocení šní některého z požadavků všech požadavků celkem bodů 14 až 18 všech požadavků celkem bodů 19 až 23 všech požadavků-celkem bodů 24 až 27 F E_ D C nesplň splněn splněn splněn B splněn všech požadavků celkem bodů 28 až 31 ■ o ■ o MB141 -1. přednáška Geometrie v rovině Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2021 1. přednáška Geometrie v rovině K čemu je dobrá lineární algebra a teorie čísel Motivace. V předmětu MB141 se postupně naučíme • řešit soustavy lineárních rovnic, • pracovat s maticemi, • řešit geometrické úlohy v rovině a v prostoru (uplatnění v počítačové grafice) grafice), • popisovat pomoc matic některé procesy (růst populací, Markovovy procesy) • maximalizovat jednoduché funkce, při existenci mnoha jednoduchých omezení (simplexový algoritmus pro úlohu lineárního programování), • jak se teorie čísel používá v kryptografii s veřejným klíčem. 1. přednáška Geometrie v rovině 2/28 Osnova přednášky • Afinní geometrie • Eukleidovská geometrie • Orientace, obsah a determinant • Shodná a lineární zobrazení • Matice lineárního zobrazení 1. přednáška Geometrie v rovině 3/28 Body a vektory Motivace: chceme umět • počítat s body a přímkami, a měřit vzdálenosti a úhly, počítat obsahy rovinných útvarů, • pracovat s přirozenými transformaci roviny jako je otočení kolem bodu a reflexe podle přímky. Základními objekty budou pro nás • body, • vektory. Vektory jsou zadány uspořádanou dvojicí bodů AĚ, bod A je počáteční, bod B je koncový. Uspořádané dvojice určují stejný vektor ~Ú, jestliže vhodným posunutím převedeme orientovanou úsečku AŠ na orientovanou úsečku 1. přednáška Geometrie v rovině 4/28 Počítání s vektory a body Ax -Mr Vektory ~Ú, V můžeme • sčítat: dostaneme pomocí rovnoběžníkového pravidla, ^ 2^^^ ►► • násobit reálným číslem a g M, alt, z nulový vektor o je reprezentován AÁ, opačný vektor/r*____. k~Ú = AĚ\e -~Ú = BA. . ~f? Kombinací násobení a sčítání dostaneme lineární i x i kombinaci vektorů a~Ú + b~Č. K libovolnému bodu A můžeme přičíst vektor ~Ú. Výsledkem této operace A + ~Ú je bod B, který je koncovým bodem reprezentace vektoru ~Ú pomocí orientované úsečky ÄŠ. Počítání s body a vektory provádíme pomocí souřadnic. 1. přednáška Geometrie v rovině 5/28 Souřadný systém Souřadný systém je určen • počátkem v bodě P, *p , • dvěma nenulovými vektory ě\, e2 umístěnými do bodu P, které neleží v jedné přímce. j j Pro každý bod B v rovině souřadný syst^nrvzadává " B • reálná čísla x a y taková, že B = P + xě\ + ye2. ►► Dvojici reálných čísel [x,y] (v hranatých závorkách) nazýváme souřadnicemi bodu B v souřadném systému (P, ě\, e2). Jestliže je vektor a souřadnice bodů A a B jsou postupně [x1?yi] a [x2,y2], pak souřadnicemi vektoru je dvojice reálných čísel (x2 - x1, y2 - yi) (v kulatých závorkách). Uvědomte si, že nezáleží na tom, kterými dvěma body vektor ~Ú reprezentujeme. ►► Body (a rovněž vektory) v rovině reprezentujeme tedy jako uspořádané dvojice reálných čísel, tj. prvky množiny IR2. , 1. přednáška Geometrie v rovině 6/28 Přímky Každý bodpřímky p procházející bodem A se směrovým vektorem u ^ ~Ů napíšeme jako (X = A+t~Ů pro nějaké reálné číslo t. To je parametrická rovnice přímky p. V souřadnicích [x,y] = [ax,ay] + t(ux,Uy), což lze rozepsat po složkách x = ax + tuXl y = ay + tuy. Je-li ux ^ 0, spočteme z první rovnice parametr t a dosadíme do druhé rovnice. Po vynásobení ux, dostaneme tzv. obecnou (nebo implicitní) rovnici přímky ►► -uyx + uxy + (ayux - axuy) = 0, px + qy + r = 0.a 1. přednáška Geometrie v rovině 7/28 X- é«y N j- J- a • ^= *a * Yv / (O Y-+ ^ "* /t = č? Afinní a konvexní kombinace bodů Přímka určená body A aB, 6, má směrový vektor Její parametrický popis je proto 4 "=5-*V " tA+t~Ů = A+t(B-A) = A + tB-tA = {Jl-t)A+tB. -" ~ Tato kombinace je tvaru aA + (3B, kde a + /3 = 1. Nazýváme ji afinní kombinací bodů /4 a 6. Bod X = (1 - ř)/A + řS leží • na úsečce AB, právě když ř e [0,1], ►► • na polopřímce opačné k polopřímce ÄŠ, právě když t < 0, • na polopřímce opačné k polopřímce BÁ, právě když t > 1. Kombinaci bodů (1 - t)A + tB pro t e [0,1] nazýváme konvexní kombinací bodů A a B. Důvodem je definice konvexní množiny: Podmnožina roviny je konvexní, jestliže s každými dvěma body A a B v ní leží všechny body úsečky AB, tedy všechny jejich konvexní kombinace. 1. přednáška Geometrie v rovině 8/28 Afinní kombinace tří bodů v rovině Nechť A, Ba C jsou body v rovině, které neleží v jedné^řírmie. Pak lze každý bod X roviny psát ve tvaru X = A+tQád-sCA= A+t{B-A)+s(C-A) = (1 -t-s)A+tB+sC. re Tato kombinace aA +J3B + jC, kde a + 3 + t = 1, se nazývá afinní kombinace bodů A, B a C. Lze ukázat, že tato afinní kombinace leží v trojúhelníku ABC, právě když a, fi, 7 e [0,1]. Takovouto afinní kombinaci nazýváme konvexní kombinací tří bodů. Střed strany a = BC je afinní kombinace \B+\C. Těžnice na stranu a procházící bodem A a středem strany a má tedy afinní vyjádření « B ► «0 ► «1►«1 *>*c* 1. přednáška Geometrie v rovině 9/28 Těžnice v trojúhelníku (1-ř)/l+ř|ls + Ic = (1 -t)A+±B+tc. Analogicky těžnice na stranu b = AC je tb: (1 -s)B + s\ + =(1 -s)B+|>4+|c. Průnik těchto přímek je určen parametry ř a s splňujícími rovnici (1 -fy* + |s + |c = (1 -s)B+|/l+|c. Koeficienty u jednotlivých bodů musí být stejné, neboť afinní kombinace pro daný bod je dána jednoznačně. Dostáváme tedy soustavu: s ř ts 2' 2 S' 2 ~° 2'a> <* ► « 1. přednáška Těžnice v trojúhelníku - dokončení Její řešení je ř = s = 2/3. Průnikem těžnic ta a tt, je bod T = -A + -B+ -C. 3 3 3 Nyní stačí ověřit, že tento bod leží i na třetí těžnici tc zadané afinní kombinací (l-r)C + ±A + ±B. Bod T nazýváme těžištěm trojúhelníku ABC. Příklad Určete průnik (průsečík) přímek p : x + 2y = 200 a Q : 2x - 9y = 10. • Obě přímky zadané obecnou rovnicí: řešíme soustavu.►► • Jedna přímka obecně, jedna parametricky : dosadíme. • Obě přímky zadané parametricky : sestaví se soustava a vyřeší. Viz. průnik těžnic. 1. přednáška Průsečík přímek — obecná diskuse Musí průsečík existovat? ax + by = r cx + dy = s. Ekvivalentně: r s Eliminací x dostaneme rovnici (ad - bc)y = as - cr, tj. záleží, zda ad - bc = 0. {clí*)*^ Definice Pro matici [ ^ ) nazýváme hodnotu ad - £>c determinant. □ ► 3 1. přednáška Skalární součin vektorů (Eukleidovská geometrie) Definice Pro dvojici vektorů u = (a, b) a v = (c, oř) definujeme l/, v) = ac + boř, tzv. skalární součin vektoru. Pomocí skalárního součinu můžeme počítat odchylky vektorů. Jestliže jsou vektory u = (a, b) a v = (c, oř) na sebe kolmé, pak podle Pythagorovy věty je \\u+ v\\2 = ||l/||2 + ||v||2. Výpočtem podle definice dostáném ac + bd = 0, tedy (i/, v) = 0. ► 1. přednáška Odchylky vektorů a přímek • Vektory u a v jsou kolmé, právě když (u, v) = 0. Píšeme u _L v. • Příklad: směrový vektor přímky ax + bv ± c = Q je (-£>, a), normálový (a, £>). ►► • Pro dvojici vektorů u a v se jejich odchylka spočítá pomocí vztahu tj/-V)> cos a = (V, V V • Rozlišujeme odchylku vektorů a přímek. Pro přímky: cos a = u v a g [0,7r/2].. • «• mm A* ... /t^ • "Zdůvodnění": Odchylka vektorů u = (r cos a, r sin a) a \z = (c, 0) je evidentně a, což odpovídá vzorci se skalárním součinem, neboť u,v) = r cos a • c + r sin a • 0 = cos a. □ ► <3 1. přednáška Orientace Mějme uspořádanou dvojici nenulových vektorů (~Ů,~Č), kde jeden není násobkem druhého. Řekneme, že tato dvojice je a orientovaná kladně, jestliže jejich odchylka a měřená od prvního vektoru k druhému ve směru hodinových ručiček je kladná, tj. v intervalu (0, tt), ►► • orientovaná záporně, jestliže jejich odchylka a měřená od prvního vektoru k druhému ve směru hodinových ručiček je záporná, tj. leží v intervalu (-71-, 0). ►► Lze ukázat, že orientaci lze počítat pomocí determinantu takto: Jsou-li ~Ú = (a, b) a V = (c, oř), pak dvojice (Ů, V) je Me/^<^ det ^ ^ = ad - bo 0, ^ ^ • orientována záporně, právě když det í f ^ i = ad - Ďc < 0. 1. přednáška Orientovaný obsah rovnoběžníku Uvažujme rovnoběžník s vrcholy P, P + ~Ú, P + V a P + ~Ú + V. Obsah tohoto rovnoběžníku závisí pouze na vektorech nikoliv na bodu P. Zavedeme pojem orientovaného obsahu rovnoběžníku zadaného uspořádanou dvojicí vektorů (Ů, V), označení S(Ů, V). Naše představa je, žeS(7t,V)je 2# y^fi^ • 0, jestliže rovnoběžník zdegeneruje na úsečku, • obsah rovnoběžníku, je-li dvojice (Ů, orientována kladně, 4. • obsah rovnoběžníku vynásobený číslem -1, je-li dvojice (~Ů, V) orientována záporně. ' ^S>(ftt

0. 10 22 Bod C je nalevo od polopřímky AB. Pořadí vrcholů - kladný směr. Určíme IŘj= B - A = (8,10), ÄŔ = R - A = (5,7) 8 5 10 7 Bod R je nalevo od polopřímky AB. 1. přednáška det = 8-7- 10-5 > 0. Viditelnost - příklad - dokončení Příklad a= [10,-4], b= [18,6], c = [25,18], r = [15,3]. Dále BO = c - b = (7,12), b~ř = r - b = (-3, -3) Ď det( 12 -3 ) =7(-3)-12-(-3)>0. Bod r je nalevo od polopřímky bc. • Konečně c~X = A-c = (-15,-22), qň = r-c = (-10,-15), detí J = 15-15-22-10 > 0. Bod r je nalevo od polopřímky ca. • ZáveTľbod r iea/niťr aabc. Viditelnost z bodu P - stejný postup. a ► < i ► < i ► i 1. přednáška Zobrazení roviny Zkoumáme zobrazení F : R2 -» R2. • Posunutí-jednoduché, přičítáme vektor w, F (X) = X + vč. • Předokládejme v dalším, že F([0,0]) = [0,0] a bod X reprezentujme vektorem TÍ, X = [0,0] + u. 9 Základní vlastnost (lineární zobrazení): F (u +v) = F (u) + F (v), F{t - u) = t • F(u), pro lib. ř e R. x y ) = F(xé\ + ye2) = xF(é\ ) + yF(e2). Pokud F(ě\ ) = a-\ě\ + a2e2, F(e2) = £>i ©i + £>2^ potom x \) = ( aix + jbiy \ = ( ai fci V ? x y jj \a2x + b2y ) \a2 b2 )'\y • Pozor linearita ještě neznamená podobnost. 1. přednáška Lineární zobrazení a shodnosti x y ) = a X y kde a g Mař2,2(K)- Sloupce a jsou ^ chceme matici /A určit. )aF( 0 1 ), což pomáhá, když 1. přednáška Lineární zobrazení a shodnosti x y ) = a X y kde a g Mař2,2(K)- • Sloupce a jsou F( ^ J ^) a F( ^ ° )), což pomáhá, když chceme matici >A určit. • Skládání lineárních zobrazení odpovídá násobení příslušných matic. Příklad Napište formuli pro otočení o úhel a kolem počátku. ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Podíváme se, kam se při tomto otočení zobrazí vektory (1,0) a (0,1). x V / cos a — sin a / J \ s\na cos a 1. přednáška y Shodná zobrazení Příklad Je dán pravidelný šestiúhelník se středem v bodě [2,2] a jedním vrcholem v bodě [3,3]. Napište souřadnice vrcholů. Príklad (obtížnější) Popište všechna shodná zobrazení roviny do sebe. X y ) = a b c d x y • Platí a2 + c2 = 1, b2 + d2 = 1, ab + cd = 0. Odtud d2 = é a b2 - c2. 1. přednáška Shodná zobrazení-dokončení Matici shodného zobrazení lze psát tedy ve tvaru a -c c a nebo a c c -a kde a2 + c2 = 1. Pro taková a a c existuje právě jeden úhel a e [0,2tt], že a = cos a a c = sin a. Matice pak jsou cos a —sin a s\na cos a nebo cos a s\na srna — cos a Jedná se o rotaci kolem přímky procházející počátkem se směrnicí a nebo osovou souměrnost podle přímky procházející počátkem se směrnicí a/2. ►► 1. přednáška Shrnutí, požadavky • Příklady s přímkami — průsečíky, úlohy s časem. • Velikosti úseček a úhlů. • Obsahy n-úhelníků. a Úlohy s aplikacemi shodných zobrazení. (Např. pravidelné n-úhelníky.) • Úlohy na viditelnost. (Včetně polohy bodu vně/uvnitř.) 1. přednáška Domácí úloha mini i iim^^^^^^^^^^^^^^^^M V rovině IR2 uvažujeme pravidelný dvanáctiúhelník A^A2.. . A|2, který je vepsán do kružnice s poloměrem 2, se středem S = [0,0] v počátku a vrcholem >A1 = [2,0]. Přitom vrcholy dvanáctiúhelníku A^A2 .. ./A12 jsou číslovány v kladném směru, tj. vrchol A2 má obě souřadnice kladné. i) Určete souřadnice vrcholu A2. ii) Určete obsah dvanáctiúhelníku A^A2.. ./412. iii) Určete obsah trojúhelníku A2A5AQ. iv) Určete velikost úhlu, který svírají úhlopříčky A2A$ a A2AQ. v) Určete průsečík přímek A2A9 a A^A7. 1. přednáška Domácí úloha Příklad (1.2) V rovině jsou dány body 4 = [1,2], B= [3,9], C = [2,13], D = [0,10], E = [5,-1] a F= [3,1]. Určete, zdaje resp. ABEF, konvexní čtyřúhelník. Určete, zda bod X = [2,7] resp. / = [4,15] leží uvnitř nebo vně tohoto čtyřúhelníku a rozhodněte, které strany konvexního čtyřúhelníku jsou vidět z bodu, který je vně. Příklad (1.3) Máme kulečníkový stůl o rozměrech 200 x 100, tj. „levý dolní roh" má souřadnice [0,0] a „pravý horní roh" má souřadnice [200,100]. Ze středu [100,50] vyšlu kouli do bodu [160,100]. Do kterého bodu (po dvou odrazech) dopadne koule na „spodní hraně"? 1. přednáška