MB141 -1. přednáška Geometrie v rovině
Martin Čadek
s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101
Jarní semestr 2021
□ - =
1. přednáška       Geometrie v rovině
K čemu je dobrá lineární algebra a teorie čísel
Motivace. V předmětu MB141 se postupně naučíme
• řešit soustavy lineárních rovnic,
• pracovat s maticemi,
• řešit geometrické úlohy v rovině a v prostoru (uplatnění v počítačové grafice) grafice),
• popisovat pomoc matic některé procesy (růst populací, Markovovy procesy)
• maximalizovat jednoduché funkce, při existenci mnoha jednoduchých omezení (simplexový algoritmus pro úlohu lineárního programování),
• jak se teorie čísel používá v kryptografii s veřejným klíčem.
1. přednáška       Geometrie v rovině 2/28
Osnova přednášky
• Afinní geometrie
• Eukleidovská geometrie
• Orientace, obsah a determinant
• Shodná a lineární zobrazení
• Matice lineárního zobrazení
1. přednáška       Geometrie v rovině 3/28
Body a vektory
Motivace: chceme umět
• počítat s body a přímkami,
• měřit vzdálenosti a úhly, počítat obsahy rovinných útvarů,
• pracovat s přirozenými transformaci roviny jako je otočení kolem bodu a reflexe podle přímky.
Základními objekty budou pro nás
• body,
• vektory.
Vektory jsou zadány uspořádanou dvojicí bodů AĚ, bod >A je
počáteční, bod B je koncový. Uspořádané dvojice AĚaČŮ určují stejný vektor ~Ú, jestliže vhodným posunutím převedeme
orientovanou úsečku AŠ na orientovanou úsečku
1. přednáška       Geometrie v rovině 4/28
Počítání s vektory a body
Vektory ~Ú, V můžeme
• sčítat: dostaneme pomocí rovnoběžníkového pravidla,
• násobit reálným číslem a g IR, a~Ú,
nulový vektor o je reprezentován AA, opačný vektor kTt = ÄŠ\e -~í = BÁ.
Kombinací násobení a sčítání dostaneme lineární kombinaci vektorů aŮ + b~Č.
K libovolnému bodu A můžeme přičíst vektor ~Ú. Výsledkem této operace A + ~Ú je bod B, který je koncovým bodem
reprezentace vektoru ~Ú pomocí orientované úsečky ÄŠ. ►► Počítání s body a vektory provádíme pomocí souřadnic.
1. přednáška
Geometrie v rovině
5/28
Souřadný systém
Souřadný systém je určen
• počátkem v bodě P,
• dvěma nenulovými vektory ě\, e2 umístěnými do bodu P, které neleží v jedné přímce.
Pro každý bod B v rovině souřadný systém zadává
• reálná čísla x a y taková, že B = P + xě\ + ye2. ►►
Dvojici reálných čísel [x,y] (v hranatých závorkách) nazýváme souřadnicemi bodu B v souřadném systému (P, ě\, e2).
Jestliže je vektor a souřadnice bodů A a B jsou
postupně [x1?yi] a [x2,y2], Pak souřadnicemi vektoru je dvojice reálných čísel (x2 - x1, y2 - yi) (v kulatých závorkách). Uvědomte si, že nezáleží na tom, kterými dvěma body vektor ~Ů reprezentujeme. ►►
Body (a rovněž vektory) v rovině reprezentujeme tedy jako uspořádané dvojice reálných čísel, tj. prvky rpno^ny M2. -= t
1. přednáška       Geometrie v rovině 6/28
Přímky
Každý bodpřímky p procházející bodem A se směrovým vektorem u ^ ~Š napíšeme jako
X = A+t~Ú
pro nějaké reálné číslo t. To je parametrická rovnice přímky p. V souřadnicích
[x,y] = [ax,ay] + t(ux,Uy), což lze rozepsat po složkách
x = ax + tux, y = ay + tuy.
Je-li ux ^ 0, spočteme z první rovnice parametr t a dosadíme do druhé rovnice. Po vynásobení ux, dostaneme tzv. obecnou (nebo implicitní) rovnici přímky ►►
-uyx + uxy + (ayux - axuy) = 0,
px + qy + r = 0.^, ==
1. přednáška       Geometrie v rovině 7/28
Afinní a konvexní kombinace bodů
Přímka určená body A aB, A ^ B, má směrový vektor Její parametrický popis je proto
A+t~Ů = A+t(B-A)=A + tB-tA = (Jl-t)A + tB.
Tato kombinace je tvaru aA + /3B, kde a + (3 = 1. Nazýváme ji afinní kombinací bodů A a B. Bod X = (1 - t)A + tB leží
• na úsečce AB, právě když ř e [0,1], ►►
• na polopřímce opačné k polopřímce ÄŠ, právě když t < 0,
• na polopřímce opačné k polopřímce BÁ, právě když t > 1.
Kombinaci bodů (1 - t)A + tB pro t e [0,1] nazýváme konvexní kombinací bodů A a B. Důvodem je definice konvexní množiny: Podmnožina roviny je konvexní, jestliže s každými dvěma body A a B v ní leží všechny body úsečky AB, tedy všechny jejich konvexní kombinace.
1. přednáška
Geometrie v rovině
8/28
Afinní kombinace tří bodů v rovině
Nechť A, B a C jsou body v rovině, které neleží v jedné přímce. Pak lze každý bod X roviny psát ve tvaru
X = A+tBA+sCA = A+t(B-A)+s(C-A) = (1 -t-s)A+tB+sC.
Tato kombinace aA + /3B + 7C, kde a + (3 + 7 = 1, se nazývá afinní kombinace bodů A, B a C.
Lze ukázat, že tato afinní kombinace leží v trojúhelníku ABC, právě když a, /3, 7 e [0,1]. Takovouto afinní kombinaci nazýváme konvexní kombinací tří bodů.
Příklad
Dokažte, že se těžnice v trojúhelníku ABC protínají v jediném bodě.
Střed strany a = BC je afinní kombinace \B+\C. Těžnice na stranu a procházící bodem A a středem strany a má tedy afinní
vyjádření
1. přednáška
Geometrie v rovině
9/28
Těžnice v trojúhelníku
ta:    O -t)A+t\^B+±Cj =(1 -t)A+±B+±C.
Analogicky těžnice na stranu b = AC je
tb:   (1 - s)B + s(±A + IcJ = (1 - s)S+ |>4+ |c.
Průnik těchto přímek je určen parametry ř a s splňujícími rovnici
0 -t)A + ±B + ±c = o -s)e + |^ + |c.
Koeficienty u jednotlivých bodů musí být stejné, neboť afinní kombinace pro daný bod je dána jednoznačně. Dostáváme tedy soustavu:
2     2 2 ° 2 & 1
1. přednáška
Těžnice v trojúhelníku - dokončení
Její řešení je ř = s = 2/3. Průnikem těžnic ta a fa je bod
r = -/i+-e + -c.
3      3 3
Nyní stačí ověřit, že tento bod leží i na třetí těžnici fa zadané afinní kombinací
(1 -r)C+r-A+r-B. Bod T nazýváme těžištěm trojúhelníku ABC.
Příklad
Určete průnik (průsečík) přímek p : x + 2y = 200 a Q : 2x - 9y = 10.
Obě přímky zadané obecnou rovnicí: řešíme soustavu.►► Jedna přímka obecně, jedna parametricky : dosadíme. Obě přímky zadané parametricky : sestaví se soustava a vyřeší. Viz. průnik těžnic.
1. přednáška
Průsečík přímek — obecná diskuse
• Musí průsečík existovat?
Ekvivalentně:
ax + by = r cx + dy = s.
a b c d
x
y
r s
Eliminací x dostaneme rovnici (ad - bc)y = as - cr, tj. záleží, zda ad - be = 0.
Definice
nazýváme hodnotu ad - be determinant
□ s
1. přednáška
Skalární součin vektorů (Eukleidovská geometrie)
Definice
Pro dvojici vektorů u = (a, b) a v = (c, oř) definujeme
l/, v) = ac + boř,
tzv. skalární součin vektoru.
Definice
Velikost vektoru u = (a, £>) je     = ^{u, u) = Va2 + £>2.
Pomocí skalárního součinu můžeme počítat odchylky vektorů. Jestliže jsou vektory u = (a,b)av = (c, oř) na sebe kolmé, pak podle Pythagorovy věty je \\u+ v\\2 = ||l/||2 + \\v\\2. Výpočtem podle definice dostáném ac + bd = 0, tedy (u, v) = 0. ►►
1. přednáška
Odchylky vektorů a přímek
• Vektory u a v jsou kolmé, právě když (u, v) = 0. Píšeme u J_ v.
9 Příklad: směrový vektor přímky ax + by + c = 0 je (-£>, a), normálový (a, £>). ►►
• Pro dvojici vektorů u a v se jejich odchylka spočítá pomocí vztahu
(u, v)
cos a —
u
v
a £ [0,7ľ] .
• Rozlišujeme odchylku vektorů a přímek. Pro přímky:
u, v)
cos a =
U
v
a g [0,tt/2] .
"Zdůvodnění": Odchylka vektorů a = (rcosce, rsin a) a v = (c, 0) je evidentně a, což odpovídá vzorci se skalárním součinem, neboť
u .v) = rcosa • c + rsin a • 0 = l/   v cos a.
1 □
1. přednáška
Orientace
Mějme uspořádanou dvojici nenulových vektorů (~Ů,~Č), kde jeden není násobkem druhého. Řekneme, že tato dvojice je
a orientovaná kladně, jestliže jejich odchylka a měřená od prvního vektoru k druhému ve směru hodinových ručiček je kladná, tj. v intervalu (0, tt), ►►
• orientovaná záporně, jestliže jejich odchylka a měřená od prvního vektoru k druhému ve směru hodinových ručiček je záporná, tj. leží v intervalu (-71-, 0). ►►
Lze ukázat, že orientaci lze počítat pomocí determinantu takto: Jsou-li ~Ú = (a, b) a V = (c, oř), pak dvojice (Ů, V) je
• orientována kladně, právě když
det ( ib d ) = acl ~ ^° > °'
• orientována záporně, právě když a c
det I  ,    , I = ad - bc < 0.
b d
□       g?        -        =        f OQ^o
1. přednáška
Orientovaný obsah rovnoběžníku
Uvažujme rovnoběžník s vrcholy P, P + ~Ú, P + V a P + ~Ú + V. Obsah tohoto rovnoběžníku závisí pouze na vektorech nikoliv na bodu P. Zavedeme pojem
orientovaného obsahu rovnoběžníku zadaného uspořádanou dvojicí vektorů (Ů, V), označení S(Ů, V). Naše představa je, že S(7t,V)je
• 0, jestliže rovnoběžník zdegeneruje na úsečku,
• obsah rovnoběžníku, je-li dvojice (Ů, V) orientována kladně,
• obsah rovnoběžníku vynásobený číslem -1, je-li dvojice (Ů\ V) orientována záporně.
Pak S(7t, V) splňuje tato pravidla:
1) S((1,0),(0,1)) = 1, ►►
2) S(7t,V) = -S(V,7t), ►►
3) S(aŮ, V) = aS(7t, V) a S(7t,aV) = aS(7t, V), ►►
4) S(7t + ^V) = S(7ŕ, V) + S(^, V). _ _ ff.......► t
1. přednáška
Determinant jako orientovaný obsah
Orientovaný obsah rovnoběžníku určeného uspořádanou dvojicí vektorů ~Ú = (a, b) a V = (c, d) je
S(7t,V) = det(^
a c d
= ad - be.
Označme ě\ =(1,0)ae2 = (0,1). Pak ~Ů = aě\ + be2 a V = cě\ + de2. Při využívání pravidel 1) až 4) dostáváme
=S(aě\ + be2, cě\ + de2)
=aS(ě\, cě\ + de2) + bS(e2, cě\ + de2)
=acS(ě\, éí) + adS(ě\, é£) + bcS(e2, ě\) + bdS(e2, e2)
=adS(e1, á£) - bcS(ě\ ,e2) = ad - bc
1. přednáška
Obsah rovnoběžníku zadaného vektory u a v je
S= det
a c b d
Příklad
Mějme body A = [1,1], B = [7,2], C = [5,5]. Určete obsah A ABC.
Obsah AABC\e tedy X\S(ÄŠ,ÄÔ)\ = Í|det
6 1 4 4
= 10.
Orientace a viditelnost
Pro přímku p a bod X nám orientace(znaménko determinant) poskytuje nástroj, jak rozhodnout, v které polorovině určené přímkou p se bod X nalézá. ►►
Nechť p je orientovaná směrovým vektorem ÄŠ. Vektory
a AX dáme do sloupců matice. Pokud je determinant
kladný, je bod X „nalevo od vektoru" ÄŠ. Pokud je determinant záporný je bod „napravo".
Pozn.: Nezáleží zda do řádků nebo sloupců. Důležité je pořadí vektorů.
Příklad
Jsou dány následující body: A = [10, -4], B = [18,6],
C= [25,18], P= [14,14] a R = [15,3].
Rozhodněte, které strany a vrcholy AABC jsou vidět z bodu P.
Rozhodněte, zda je bod R uvnitř AABC.
<£2><^>4 = ><= ^Q^O
1. přednáška
Viditelnost - příklad
Příklad
A= [10,-4], B= [18,6], C = [25,18], R= [15,3].
det
= 8-22-10-15>0.
Z obrázku (nebo zadání) určíme v jakém pořadí jsou vrcholy označeny. (Pozn. když to není zřejmé z obrázku musíme použít determinant.)
Zde A~Ř = B-A= (8,10), ÄÔ = C - A = (15,22), 8 15 10 22
Bod C je nalevo od polopřímky AB. Pořadí vrcholů - kladný směr.
Určíme AĚi = B-A = (8,10), A~ň= R-A= (5,7), detí^ j J = 8-7-10-5>0. Bod R je nalevo od polopřímky AB.
1. přednáška
Viditelnost - příklad - dokončení
Příklad
A= [10,-4], B= [18,6], C = [25,18], R = [15,3].
Dále B~6= C- B= (7,12), B~Ř = R- B= (-3,-3)
deř(l2  -3 ) =7-(-3)-12-(-3)>°-Bod R je nalevo od polopřímky BC.
det
= 15 • 15 - 22 • 10 > 0.
Konečně CA = A - C = (-15, -22)
C~ň= R-C= (-10,-15), -15 -10 -22 -15 Bod R je nalevo od polopřímky CA.
• Závěr: bod R je vnitř AABC.
9 Viditelnost z bodu P - stejný postup.
1. přednáška
Zobrazení roviny
jímáme zobrazení F : R2 -> R2.
Posunutí - jednoduché, přičítáme vektor l/Č, F (X) = X+ vfr.
Předokládejme v dalším, že F([0,0]) = [0,0] a bod X reprezentujme vektorem ~Ú, X = [0,0] + u.
Základní vlastnost (lineární zobrazení):
F(u +v) = F (u) + F(v), F(ŕ • i/) = ŕ • F(i/), pro lib. ŕ e R.
F(      )) = F{xě\ +ye2) = xF(é\) + yF(e2).
Pokud F(áí) = ai ě\ + a2á^, F(á£) = b-i áí + Ď2á^ potom p// x V = / a^x + b^y S = ? a1   61 \   ? x \
lV / /    v ^ + ^2/ y   v a2 b* )' \ y )'
Pozor linearita ještě neznamená podobnost.
1. přednáška
Lineární zobrazení a shodnosti
x
y
) = a
X
y
kde a g Mař2,2(K)-
Sloupce a jsou ^ chceme matici /A určit.
)aF(
0
1
), což pomáhá, když
1. přednáška
Lineární zobrazení a shodnosti
x
y
) = a
X
y
kde a g Mař2,2(K)-
• Sloupce a jsou F( ( J )) a F( ( ° ) )> což pomáhá, když
chceme matici a určit.
• Skládání lineárních zobrazení odpovídá násobení příslušných matic.
Příklad
Napište formuli pro otočení o úhel a kolem počátku._J
Podíváme se, kam se při tomto otočení zobrazí vektory (1,0) a (0,1). ►►
x \. / cos a —sin a \ I x Y J      \ s\na     cos a J \ y
1. přednáška
Shodná zobrazení
Příklad
Je dán pravidelný šestiúhelník se středem v bodě [2,2] a jedním vrcholem v bodě [3,3]. Napište souřadnice vrcholů.
X
y
) =
a b c d
x
y
Platí a2 + c2 = 1, b2 + d2 = 1, ab + cd = 0. Odtud
d2 = a2 a b2 -
c2.
1. přednáška
Shodná zobrazení-dokončení
Matici shodného zobrazení lze psát tedy ve tvaru
a -c \      ,     fa c
nebo
c    a J \ c -a
kde a2 + c2 = 1.
Pro taková a a c existuje právě jeden úhel a e [0,2tt], že a = cos a a c = sin a. Matice pak jsou
cos a   — s\na \       .      / cosce      sin a
nebo
sin a     cos a J \ sin a   —cos a
Jedná se o rotaci kolem přímky procházející počátkem se směrnicí a nebo osovou souměrnost podle přímky procházející počátkem se směrnicí a/2. ►►
1. přednáška
Shrnutí, požadavky
• Příklady s přímkami — průsečíky, úlohy s časem.
• Velikosti úseček a úhlů.
• Obsahy n-úhelníků.
a Úlohy s aplikacemi shodných zobrazení. (Např. pravidelné n-úhelníky.)
• Úlohy na viditelnost.
(Včetně polohy bodu vně/uvnitř.)
1. přednáška
Domácí úloha
Příklad (1.1)
V rovině IR2 uvažujeme pravidelný dvanáctiúhelník a^a2 .. ./A12 který je vepsán do kružnice s poloměrem 2, se středem S = [0,0] v počátku a vrcholem >A1 = [2,0]. Přitom vrcholy dvanáctiúhelníku a^a2 .. ./A12 jsou číslovány v kladném směru, tj. vrchol a2 má obě souřadnice kladné.
) Určete souřadnice vrcholu a2.
) Určete obsah dvanáctiúhelníku a^a2.. ./412.
Ni) Určete obsah trojúhelníku a2a5aq.
iv) Určete velikost úhlu, který svírají úhlopříčky a2a$ a a2aq.
v) Určete průsečík přímek a2a9 a a^a7.
1. přednáška
Domácí úloha
Příklad (1.2)
V rovině jsou dány body 4 = [1,2], b= [3,9], c = [2,13], d = [0,10], e = [5,-1] a f= [3,1]. Určete, zdaje resp. abef, konvexní čtyřúhelník. Určete, zda bod x = [2,7] resp. / = [4,15] leží uvnitř nebo vně tohoto čtyřúhelníku a rozhodněte, které strany konvexního čtyřúhelníku jsou vidět z bodu, který je vně.
Příklad (1.3)
Máme kulečníkový stůl o rozměrech 200 x 100, tj. „levý dolní roh" má souřadnice [0,0] a „pravý horní roh" má souřadnice [200,100]. Ze středu [100,50] vyšlu kouli do bodu [160,100]. Do kterého bodu (po dvou odrazech) dopadne koule na „spodní hraně"?
i
1. přednáška