MB141 -2. přednáška Soustavy lineárních rovnic a počítání s maticemi Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2020 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 1/17 Osnova přednášky • Soustavy lineárních rovnic • Gaussova eliminace • Operace s maticemi 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 2/17 Soustava lineárních rovnic Naším cílem bude řešit soustavy lineárních rovnic. Pro zadaná čísla a,y a b\ hledáme čísla x1, x2,..., xn, která splňují rovnice a^x^ + a12x2 + ... + a^nxn = ^21 *1 + cž22X2 • • • &2nXn — &2 mm mm mm mm m ■ • • • ■ ■ To je soustava k lineárních rovnic o n neznámých X-| , X2, . . . , X/7. • Říkáme, že dvě soustavy jsou ekvivalentní, jestliže mají stejnou množinu řešení. • Postup řešení - přechod od zadané soustavy k ekvivalentní soustavě, kterou již umíme vyřešit. • Provádíme pomocí tzv. elementárních úprav. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 3/17 Elementární úpravy jsou • záměna pořadí dvou rovnic, • vynásobení rovnice nenulovým číslem, • k dané rovnici přičteme c-násobek jiné rovnice. K provádění těchto úprav nemusíme psát rovnice. Stačí, když budeme zaznamenávat koeficienty u neznámých a koeficienty pravé strany. K tomu použijeme tzv. rozšířenou matici soustavy. / a-M a-i 2 321 ^22 &2n Ď1 \ b2 (A\b) Její levá část, matice A se nazývá matice soustavy. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 4/17 Elementární řádkové operace Elementárním úpravám soustavy rovnic pak odpovídají následující elementární řádkové operace s rozšířenou maticí soustavy. • záměna dvou řádků matice, • vynásobení řádku nenulovým číslem, • k danému řádku přičteme c-násobek jiného řádku. Které soustavy lze jednoduše vyřešit? jsou to ty, jejichž rozšířená matice soustavy je v tzv. schodovitém tvaru. Příkladem je následující matice 2 2 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 0 1 2 3 0 popisující soustavu o neznámých x1, x2, x3, x4, x5. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 5/17 Příklad soustavy s maticí schodovitého tvaru 2 2-21 1 0 0 ©2 1 0 0 0 0 2 V třetí rovnici zvolíme x5 za parametr a spočítáme x4: Z druhé rovnice spočítáme x3 = -p- 2(1 - 2p) = 3p - 2._ V prvé rovnici zvolíme x2 za parametr a spočítáme x-\: /*2 = sj x1=l(3-2s + 2(3p-2)-(1-2p)-p) = Ip-s-1 ^ Řešením příslušné sosutavy jsou tedy všechny pětice r7 -p - s- 1,s,3p-2,1 -2p,p , kdep,sel. j&« h *t» <♦ v "- 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 6/17 Schodovitý tvar matice První nenulové číslo v řádku matice se nazývý pivot nebo také vedoucí koeficient toho to řádku. m * x Matice A = (a,y) je ve schodovitém tvaru, jestliže: ^ ~ J • Její nulové řádky, pokud nějaké má, jsou dole. /yytfj^ \ • Je-li a,y pivot Mého řádku, pak (/ + 1 )-ní řádek je buď o&4*c nulový nebo jeho pivot a/+1?p je vpravo od a,y, tj. p > j. Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá takto ^O...Q|ai./ ai,/+i ... ai,/c^i a-i^ ......... ai,m^ 0 ... 0 0 0 ... 0 ^ a2,/c • • • ...... ^2,A7? 0 ... 0 0 0 ... 0 0 . . |^3,p • • • ^3,A77 ■ ■ ■ V : : : / a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 7/17 Algoritmus - Gaussova eliminace Nenulovou matici s prvky v R nebo Q lze konečne mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na schodovitý tvar. (1) Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to y-tý sloupec. ,_£ (2) Pro / = 2,..vynásobením prvního řádku prvkem a,y, O Mého řádku prvkem a1y- a odečtením vynulujeme prvek a,y ^ na Mém řádku. " (3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. (4) Ze schodovitého tvaru vidíme, zda je soustava řešitelná. Pokud ano, umíme popsat množinu všech řešení. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 8/17 _2 /I 0 0 a— - 1 4-1 s -8 A/ 4 ~f 4 -1 ©3 o -i -6 As -é Gaussova eliminace na příkladě Příklad Vyřešte soustavu lineárních rovnic 2^ + 3x2 + - x4 = -2 3x-| + 2x2 + 4x3 - 2x4 = 0 X| - x2 + 4x3 - x4 = 2 Matici soustavy upravíme pomocí Gaussovy eliminace na schodovitý tvar: ►► 2 3 0 -1 -2 3 2 4 -2 0 1 -1 4 -1 2 Odtud dostaneme řešení 4 [X1,X2,X3,X4] = • • • r\j -1 4 -1 2 \ 0 [5 -8 1 0 0 0 0 0/ 12 8 1 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 9/17 Ještě jednou s jinou pravou stranou Příklad Vyřešte soustavu lineárních rovnic 2xi + 3x2 + 3*i + 2x2 + 4x3 *1 - x2 + 4x3 I x4 2x4 x4 1 0 2 Matici soustavy upravíme stejnými úpravami jako v předchozím případě na schodovitý tvar: D'^t* O ^O-^ttf -=-3 2 3 0 -1 1 3 2 4 -2 0 1 -1 4 -1 2 1 -1 4 -1 2\ 0 5 -8 1 0 0 0 0 3/ Poslední řádek vede na rovnici 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 3: která evidentně nemá řešení. Tedy ani původní soustava nemá řešení (množina řešení je prázdná). 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 10/17 Další příklad Příklad Vyřešte soustavu lineárních rovnic. / 2 4 1 5-1 1 2 0 2 0 1 2 0 3 1 V 2 4 2 5^3 1 \ 0 2 o o o o Řešení [-4,0,-1,2,0] + K^^O, 0,0) + 5(2,0,2,-^). Množina řešení soustavy (nad nekonečným polem K) je: jednoprvková, prázdná nebo nekonečná. Pro homogenní soustavy (pravé strany nulové) je množina řešení jednoprvková nebo nekonečná. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 11/17 Operace s maticemi Dvě matice A = (Ay) a 6 = (S,y) stejného tvaruje x_n1 ti. /c řádků a n sloupců, lze sčítat. Výsledná matice /4 + £? má v Mém řádku a y-tém, sloupci číslo ^ 1 ►► Matici >4 = (Ay) tvaru /( x n můžeme násobit číslem c. ~ f & ^] Výsledkem této operace je opět matice k x n, kterou \, h S ?l označujeme c/lav jejímž /-tém řádku a y-tém sloupci je (<*), = cm. j(i*/)e(í« Jestliže prvky matic bereme z množiny přirozených čísel Z nebo racionálních čísel Q nebo reálných čísel IR, má sčítání matic a násobení matic číslem stejně "hezké'Vlastnosti jako sčítání nebo násobení v Z, resp. Q, resp. R. ►► 2. přednáška Soustavy lin. rovnic Násobení matic Začneme speciálním případem. Součinem matic A = (Ai A2^T. Ap) a B = B2 tj. řádku velikosti p a slouce velikosti p, je matice 1 x 1, tj. číslo A-B = A,Bi+ A2B2 + ■■■ + ApBp. ^ ^ fc Součinem matice Atvaru^/c xfpfy matice ^tvaru^T/Ťje "já " -matice A ■ B tvaru k x n taková, že její prvek /-tém řádku a /'-tém sloupci je součinem Mého řádku matice A a /-té h o řádku "matice B, tj. číslo " " " p {A ■ B)íj = Ai Siy + Ai2B2j +■■■ + AipBpi = Yj AisBsj. i; 'P'-'p/ 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 13/17 1 + H í Ji it vt^f ~^r&—