MB141 -2. přednáška Soustavy lineárních rovnic a počítání s maticemi
Martin Čadek
s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101
Jarní semestr 2021
□ - =
2. přednáška       Soustavy lin. rovnic
Osnova přednášky
• Soustavy lineárních rovnic
• Gaussova eliminace
• Operace s maticemi
2. přednáška       Soustavy lin. rovnic 2/38
Soustava lineárních rovnic
Naším cílem bude řešit soustavy lineárních rovnic. Pro zadaná čísla a,j a b\ hledáme čísla x-i, x2,..., xm která splňují rovnice
a^xi   +  a12x2 +
+   ai nXn &2nxn
b2
aklXi  + ak2x2 + ...   + aknxn = bk To je soustava k lineárních rovnic o n neznámých
X-|, X2}.. ■ , Xn-
9
2. přednáška       Soustavy lin. rovnic
3/38
Soustava lineárních rovnic
Naším cílem bude řešit soustavy lineárních rovnic. Pro zadaná čísla a,y a b\ hledáme čísla x1, x2,..., xn, která splňují rovnice
a^xA   +  a12x2 +
c*21 X-\    +    č*22 X2 +
+   &\ n*n S2nxn
b2
3/c1*1    +    a/c2^2 +
+   ^knxn   = Ď/c
To je soustava /c lineárních rovnic o n neznámých
X-| , X2, . . . , X/7.
• Říkáme, že dvě soustavy jsou ekvivalentní, jestliže mají stejnou množinu řešení.
• Postup řešení - přechod od zadané soustavy k ekvivalentní soustavě, kterou již umíme vyřešit.
• Provádíme pomocí tzv. elementárních úprav.
2. přednáška
Soustavy lin. rovnic
3/38
Rozšířená matice soustavy
Elementární úpravy jsou
• záměna pořadí dvou rovnic,
• vynásobení rovnice nenulovým číslem,
• k dané rovnici přičteme c-násobek jiné rovnice.
2. přednáška       Soustavy lin. rovnic
4/38
Elementární úpravy jsou
• záměna pořadí dvou rovnic,
* vynásobení rovnice nenulovým číslem,
9 k dané rovnici přičteme c-násobek jiné rovnice.
K provádění těchto úprav nemusíme psát rovnice. Stačí, když budeme zaznamenávat koeficienty u neznámých a koeficienty pravé strany. K tomu použijeme tzv. rozšířenou matici soustavy.
( &w   a-i 2
321 ^22
32n
(A\b)
Její levá část, matice A, se nazývá matice soustavy.
2. přednáška       Soustavy lin. rovnic
4/38
Elementární řádkové operace
Elementárním úpravám soustavy rovnic pak odpovídají následující elementární řádkové operace s rozšířenou maticí soustavy.
• záměna dvou řádků matice,
• vynásobení řádku nenulovým číslem,
• k danému řádku přičteme c-násobek jiného řádku.
Které soustavy lze jednoduše vyřešit? jsou to ty, jejichž rozšířená matice soustavy je v tzv. schodovitém tvaru. Příkladem je následující matice
2 2 0 0 0 0
2 1 1 1 2 1 0   1 2
3 0
popisující soustavu o neznámých x1, x2, x3, x4, x5.
□ - =
2. přednáška       Soustavy lin. rovnic
5/38
Příklad soustavy s maticí schodovitého tvaru
2 2-21 1 0 0 12 1 0  0     0  1 2
V třetí rovnici zvolíme x5 za parametr a spočítáme x4:
*5 = P,   *4 = 1 - 2p. Z druhé rovnice spočítáme
x3 = -p-2(1 -2p) = 3p-2.
V prvé rovnici zvolíme x2 za parametr a spočítáme Ai:
*2 = s,   *1 = ±(3-2s + 2(3p-2)-(1-2p)-p) = JLd
2V~       1 _/   v 2
Řešením příslušné sosutavy jsou tedy všechny pětice
-p - s - 1, s, 3p - 2,1 - 2p, p , kde p, s e R.
= —D — S — 1
2. přednáška
Soustavy lin. rovnic
6/38
Schodovitý tvar matice
První nenulové číslo v řádku matice se nazývý pivot nebo také
vedoucí koeficient toho to řádku.
Matice A = (a,y) je ve schodovitém tvaru, jestliže:
• Její nulové řádky, pokud nějaké má, jsou dole.
• Je-li a,y pivot Mého řádku, pak (/ + 1 )-ní řádek je buď nulový nebo jeho pivot a/+1?p je vpravo od a,y, tj. p > y.
Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá takto /0...0 a-ij  a-ij+1   ...  a^/c-1   a^^ ......... ai,™\
0 ... 0       0 0 ... 0 ......... C?2,A77
0...0    0      0     ...     0       0    ...   c?3,p  • • • ^3,A7?
■ ■ ■
V   : : J
a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky.
2. přednáška       Soustavy lin. rovnic
7/38
Algoritmus - Gaussova eliminace
Nenulovou matici s prvky v R nebo Q lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na schodovitý tvar.
(1) Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to y-tý sloupec.
(2) Pro / = 2,..vynásobením prvního řádku prvkem a,y, Mého řádku prvkem a1y- a odečtením vynulujeme prvek a,y na Mém řádku.
(3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru.
(4) Ze schodovitého tvaru vidíme, zda je soustava řešitelná. Pokud ano, umíme popsat množinu všech řešení.
2. přednáška       Soustavy lin. rovnic
8/38
Gaussova eliminace na příkladě
Příklad_						
Vyřešte soustavu lineární			ch rovnic			
2xi	+		+		-    xA =	-2
3x-\	+	2x2	+	4x3 -	-  2x4 =	0
X1	-	x2	+	4x3 -	-    xA =	2
2. přednáška       Soustavy lin. rovnic 9/38
Gaussova eliminace na příkladě
Příklad_						
Vyřešte soustavu lineární			ch rovnic			
2xi	+	3x2	+		-    x4 =	-2
3x-\	+	2x2	+	4x3 -	-  2x4 =	0
	-	xz	+	4x3 -	-    x4 =	2
Matici soustavy upravíme pomocí Gaussovy eliminace na schodovitý tvar: ►►
2	3	0	-1	-2
3	2	4	-2	0
1	-1	4	-1	2
• • • r\j
Odtud dostaneme řešení
[x1,x2,x3,x4] =
12
3     F> F>
1		-1	4 -	■1	2
0		5	-8	1	-6
0		0	0	0	0
	6	8	1		
		±š			A
2. přednáška
Soustavy lin. rovnic
9/38
Ještě jednou s jinou pravou stranou
Příklad			
Vyřešte soustavu lineárních rovnic			
2xi   + 3x2 +		= 1	
3*i   + 2x2  + 4x3	- 2x4	= 0	
*1   -    x2   + 4x3	- *4	= 2	
2. přednáška
Ještě jednou s jinou pravou stranou
Příklad			
Vyřešte soustavu lineárních rovnic			
2xi   + 3x2 +		= 1	
3*i   + 2x2  + 4x3	- 2x4	= 0	
*1   -    x2   + 4x3		= 2	
Matici soustavy upravíme stejnými úpravami jako v předchozím případě na schodovitý tvar:
2	3	0	-1	1
3	2	4	-2	0
1	-1	4	-1	2
1	-1	4	-1	2
0	5	-8	1	-6
0	0	0	0	3
Poslední řádek vede na rovnici 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 3, která evidentně nemá řešení. Tedy ani původní soustava nemá řešení (množina řešení je prázdná).
2. přednáška
Další příklad
Příklad
Vyřešte soustavu lineárních rovnic.
í2	4	1	5	-1	1 \
1	2	0	2	0	0
1	2	0	3	1	2
\2	4	2	5	-3	o /
□ - =
2. přednáška
Další příklad
Příklad _					
Vyřešte soustavu lineárních rovnic.					
/ 2 4 1 5		-1	1 \		
	12 0 2	0	0		
	12  0 3	1	2		
V 2 4 2 5		-3	o )		
					
Řešení [-4,0, -1,2,0] + ř(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2, -1,1).
2. přednáška
□ - =
Další příklad
Příklad _					
Vyřešte soustavu lineárních rovnic.					
/ 2 4 1 5		-1	1 \		
	12 0 2	0	0		
	12  0 3	1	2		
V 2 4 2 5		-3	o )		
					
Řešení [-4,0,-1,2,0] + f(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2,-1,1).
Množina řešení soustavy (nad nekonečným polem K) je: jednoprvková, prázdná nebo nekonečná. Pro homogenní soustavy (pravé strany nulové) je množina řešení jednoprvková nebo nekonečná.
2. přednáška
Operace s maticemi
2. přednáška
Násobení matic
2. přednáška
Příklady
2. přednáška
Další příklady
2. přednáška
Maticový zápis systémů lineárních rovnic
• Soustava
+ a12x2 + ^13*3 = 61
a2ix1  + a22*2 + 523 ^3 = b2
^31*1    + ^32^2 + ^33*3 = Ď3
2. přednáška
Maticový zápis systémů lineárních rovnic
• Soustava
+ a12x2 + ai3*3 = b\
a2\x}  + a22*2 + 323X3 = b2
a3-\Xi  + a32x2 + a33X3 = b3
• Zápis pomocí násobení matic:
au  ai2 ai3 \ / Xi \     / fy \
a2i   a22 a23 •    x2    = Ď2
331    332 333 / \ X3 J \ Ď3 /
2. přednáška
□
Maticový zápis systémů lineárních rovnic
• Soustava
a11x1 + a12x2 + ai3*3 = 61
^21*1 + ^22*2 + a23*3 = b2
3%\X\ + &32x2 + a33x3 — ^3
• Zápis pomocí násobení matic:
a-M
^21 ^22 ^23 ^31    a32 ^33
* Stručně píšeme A-x = b, kde xe K3, ďgK3 (sloupce).
2. přednáška
□ S
Maticový zápis systémů lineárních rovnic
• Soustava
+ ai2*2 + a13x3 = fy
a2i^  + a22*2 + ^23X3 = b2
^31^1    + a32^2 + ^33X3 = Ď3
• Zápis pomocí násobení matic:
a-M  ai2 a-13
^21 ^22 ^23 ^31    ^32 ^33
• Stručně píšeme A • x = £>, kde xe K3, ďgK3 (sloupce)
• Obecně xeKn,beKma tedy >A e Mař^n(K). Přesněji x e Mafn 1 (K) a Ď e Mařm 1 (K).
2. přednáška
Maticový zápis systémů lineárních rovnic
• Soustava
a11x1 + a12x2 + a13x3 = fy a2ix-|   + a22x2  + a23x3  = b2
331*1    +    á32X2    +    ^33X3    = £>3
• Zápis pomocí násobení matic:
/       a12 a13 \   / ^ \     / ^ \
a21  a22 a23    •    x2    = fy> V ^31   ^32  a33 /   V X3 /     \ b3 J
• Stručně píšeme /A • x = ď, kde xe K3, ďgK3 (sloupce)
• Obecně x eKn,beKm a tedy /4 g Maŕ^K). Přesněji x g Mařn?1 (K) a ď g Mařm>i (K).
• /A matice soustavy, (A | Ď) rozšířená matice soustavy.
2. přednáška
Postup - elementární řádkové úpravy
• Dvě soustavy (rozšířené matice) jsou ekvivalentní, pokud mají stejná řešení.
□ - =
2. přednáška
Postup - elementární řádkové úpravy
• Dvě soustavy (rozšířené matice) jsou ekvivalentní, pokud mají stejná řešení.
• Postup - převod soustavy na ekvivalentní jednodušší soustavu.
9 Realizace - pomocí elementárních řádkových úprav.
2. přednáška
Postup - elementární řádkové úpravy
• Dvě soustavy (rozšířené matice) jsou ekvivalentní, pokud mají stejná řešení.
• Postup - převod soustavy na ekvivalentní jednodušší soustavu.
o Realizace - pomocí elementárních řádkových úprav.
Elementární řádkové transformace:
• záměna dvou řádků;
• vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem (POLE);
• přičtení (násobku) řádku k jinému řádku.
Systematicky můžeme použít elementární řádkové úpravy k postupné eliminaci proměnných. Postup je algoritmický a většinou se mu říká Gaussova eliminace proměnných.
2. přednáška
Schodovitý tvar matice
Nenulovou matici nad libovolným polem skalám K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv (řádkově) schodovitý tvar:
• Je-li a/1 = • • • = a,y = 0, potom a^ = 0 pro všechna k > i.
9 Je-li a,-_i j první nenulový prvek na (i - 1 )-tém řádku, tzv. pivot, pak au = 0.
2. přednáška
Schodovitý tvar matice
Nenulovou matici nad libovolným polem skalám K lze konečne mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv (řádkově) schodovitý tvar:
• Je-li a/1 = • • • = a,y = 0, potom a^ = 0 pro všechna k > i.
• Je-li a,-_i j první nenulový prvek na (i - 1 )-tém řádku, tzv. pivot, pakajj = 0.
Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá takto
/o-
0. 0.
V
•°  ai,y ai,y'+i
.0 0 o .0   0 o
0 a2)/c 0 0
p
a2,m a3,m
■
a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky.
s    *0 O*
2. přednáška
Příklad
Příklad
Vyřešte soustavu lineárních rovnic.
í2	4	1	5	-1	1 \
1	2	0	2	0	0
1	2	0	3	1	2
\2	4	2	5	-3	o /
□ - =
2. přednáška
Příklad
Příklad _					
Vyřešte soustavu lineárních rovnic.					
/ 2 4 1 5		-1	1 \		
	12 0 2	0	0		
	12  0 3	1	2		
V 2 4 2 5		-3	o )		
					
Řešení [-4,0, -1,2,0] + ř(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2, -1,1).
2. přednáška
□ - =
Příklad
Příklad _					
Vyřešte soustavu lineárních rovnic.					
/ 2 4 1 5		-1	1 \		
	12 0 2	0	0		
	12  0 3	1	2		
V 2 4 2 5		-3	o )		
					
Řešení [-4,0,-1,2,0] + f(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2,-1,1).
Množina řešení soustavy (nad nekonečným polem K) je: jednoprvková, prázdná nebo nekonečná. Pro homogenní soustavy (pravé strany nulové) je množina řešení jednoprvková nebo nekonečná.
2. přednáška
Algoritmus - Gaussova eliminace
Algoritmus pro řešení systémů lineárních rovnic:
O Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to y-tý sloupec.
O Pro / = 2,..vynásobením prvního řádku prvkem a,y, Mého řádku prvkem a1y- a odečtením vynulujeme prvek a,y na Mém řádku.
O Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru.
O Ze schodovitého tvaru vidíme, zda je soustava řešitelná. Pokud ano, umíme popsat množinu všech řešení.
2. přednáška
Algoritmus - Gaussova eliminace
Algoritmus pro řešení systémů lineárních rovnic:
O Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to y-tý sloupec.
O Pro / = 2,..vynásobením prvního řádku prvkem a,y, Mého řádku prvkem a1y- a odečtením vynulujeme prvek a,y na Mém řádku.
O Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru.
O Ze schodovitého tvaru vidíme, zda je soustava řešitelná. Pokud ano, umíme popsat množinu všech řešení.
Algoritmus lze dále dokončit i tak, že matici vyeliminujeme do tzv. redukovaného schodovitého tvaru, kde pivot je jediný nenulový prvek v příslušném sloupci.
(Mluvíme o zpětné eliminaci.) <*> <*> =
2. přednáška
Inverzní matice
Definice
Říkáme, že B je matice inverzní ke čtvercové matici A, když A • B = B • A = E. Píšeme pak B = /A-1, přičemž B je čtvercová matice stejného rozměru n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice.
2. přednáška
Říkáme, že B je matice inverzní ke čtvercové matici A, když A • B = B • A = E. Píšeme pak 6 = /A-1, přičemž B je čtvercová matice stejného rozměru n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice.
Pokud řešíme soustavu A • x = b s invertibilní maticí A, pak x = >A~1 • b je jediné řešení soustavy.
Říkáme, že B je matice inverzní ke čtvercové matici A, když A • B = B • A = E. Píšeme pak 6 = /A-1, přičemž B je čtvercová matice stejného rozměru n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice.
Pokud řešíme soustavu A • x = b s invertibilní maticí A, pak x = >A~1 • b je jediné řešení soustavy.
Postup výpočtu inverzní matice: snažme se určit matici X splňující A • X = E postupně po sloupcích.
Inverzní matice
Říkáme, že B je matice inverzní ke čtvercové matici A, když A • B = B • A = E. Píšeme pak B = /4~1, přičemž 6 je čtvercová matice stejného rozměru n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice.
Pokud řešíme soustavu A • x = b s invertibilní maticí A, pak x = >A~1 • Ď je jediné řešení soustavy.
Postup výpočtu inverzní matice: snažme se určit matici X splňující A • X = E postupně po sloupcích. První sloupec je řešením následujícího systému:
/ 2 3 1 2
1 0
2 0/
5   1 \
\0 1
□ - =
2. přednáška
Inverzní matice
Definice
Říkáme, že B je matice inverzní ke čtvercové matici A, když A • B = B • A = E. Píšeme pak B = /A-1, přičemž B je čtvercová matice stejného rozměru n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice.
Pokud řešíme soustavu A • x = b s invertibilní maticí A, pak x = >A~1 • b je jediné řešení soustavy.
Postup výpočtu inverzní matice: snažme se určit matici X splňující A • X = E postupně po sloupcích. První sloupec je řešením následujícího systému:
/ 2 3 5 1   2 -1 V 0   1 2
1 \
0
0/
/ 1   0 0
0 1 o V 0 0 1
2 9
2. přednáška
Inverzní matice - algoritmus
Algoritmus pro nalezení inverzní matice
O Vedie sebe napíšeme původní matici A a jednotkovou matici E.
O Matici A upravujeme řádkovými elementárními úpravami nejprve na schodovitý tvar.
Q Následně zpětnou eliminací na diagonální matici.
O V té násobíme řádky inverzními prvky z K, abychom dostali jednotkovou matici E.
Q Tytéž úpravy souběžně prováděné s vedle napsanou maticí E vedou k hledané inverzní matici /4~1.
O Pokud tento algoritmus narazí na vynulování celého řádku v původní matici, znamená to, že matice inverzní neexistuje.
2. přednáška
Determinant - osnova
• Motivace - objem.
2. přednáška
Determinant - osnova
• Motivace - objem.
• Obecná definice \A\ (pro čtvercovou matici A).
2. přednáška
□ t3
Determinant - osnova
• Motivace - objem.
• Obecná definice \A\ (pro čtvercovou matici A). a Determinant a elementární řádkové úpravy.
2. přednáška
□ ► 4 S"
Determinant - osnova
• Motivace - objem.
• Obecná definice |>A| (pro čtvercovou matici A)
• Determinant a elementární řádkové úpravy, a Souvislost determinantu s maticí /A~1.
□ t3
2. přednáška
• Motivace - objem.
• Obecná definice \A\ (pro čtvercovou matici A).
• Determinant a elementární řádkové úpravy.
• Souvislost determinantu s maticí /A-1.
• Použití pro přímý výpočet řešení soustavy.
• Výpočet determinantu.
• Determinant a součin matic - A • B = A • B
□ s
Determinant - matice typu 2 x 2, 3 x 3
Pro matici
A =
au a2i
platí \A\ = a-na22 - a12a21.
2. přednáška
Determinant - matice typu 2 x 2, 3 x 3
Pro matici
A =
a-M a-|2 a2i a22
platí \A\ = aiia22 - ai2a2i.
Pro matici
ai2 a22
^32
definujeme \A
a-n a22a33 + a-|2a23a3i + a-i3a2-| a32
—ai3a22a3i — ai2a2i a^—^^^^z
2. přednáška
Determinant - matice typu 2 x 2, 3 x 3
• Pro matici
A =
a-M a-i2
^21 ^22
platí \A\ = ana22 - a12a21.
• Pro matici
A =
ai2 a22
^32
definujeme \A
&\\ ^22^33 + a12^23^31 + a13a21 ^32
—b.\?>&22_3z\ — a-|2a2i a33—au a23a32
a Pozor, pro větší rozměr nelze počítat takto „úhlopříčně". Ani případy n = 2 a n = 3 nejsou aplikací stejného „úhlopříčného principu".
2. přednáška
Determinant - definice
Definice
Buď A = (a,y) čtvercová matice řádu n nad polem Determinant matice \A\ je prvek z K definovaný předpisem
A
sgn(a) • a1čj(1) • a2čJ(2)
o-eSn
'na(n) -
Zde Sn je množina všech permutací množiny {1,2,..., n}. A sgn(a) je parita permutace a (přičemž sgn(a) = ±1).
Pozn.: Formální definice parity - učebnice [MB201].
2. přednáška
Determinant - definice
Definice
Buď A = (a,y) čtvercová matice řádu n nad polem Determinant matice \A\ je prvek z K definovaný předpisem
A
sgn(a) • a1čj(1) • a2čJ(2)
o-eSn
'na(n) -
Zde Sn je množina všech permutací množiny {1,2,..., n}. A sgn(a) je parita permutace a (přičemž sgn(a) = ±1).
Pozn.: Formální definice parity - učebnice [MB201].
Výpočet \A\ z definice není efektivní. Naučíme se jinak.
2. přednáška
Determinant - základní poznatky
Pro jednotkovou matici máme \E\ = 1
2. přednáška
Determinant - základní poznatky
• Pro jednotkovou matici máme \E\ = 1.
• Speciální vzorce n = 2, n = 3.
2. přednáška
Determinant - základní poznatky
• Pro jednotkovou matici máme \E\ = 1.
• Speciální vzorce n = 2, n = 3.
• Pokud A obsahuje nulový řádek, pak \A\ = 0.
2. přednáška
□ S
Determinant - základní poznatky
• Pro jednotkovou matici máme \E\ = 1.
• Speciální vzorce n = 2, n = 3.
• Pokud A obsahuje nulový řádek, pak \A\ = 0.
• Horní trojúhelníková matice - součin prvků na diagonále.
2. přednáška
Determinant - základní poznatky
• Pro jednotkovou matici máme \E\ = 1.
• Speciální vzorce n = 2, n = 3.
• Pokud A obsahuje nulový řádek, pak \A\ = 0.
• Horní trojúhelníková matice - součin prvků na diagonále.
• Pro transponovanou matici AT platí |/4T|=|/4|.
2. přednáška
Determinant a elementární řádkové úpravy
• Vznikne-li matice B přehozením dvou řádků čtvercové matice A, pak \B\ = - \A\.
2. přednáška
□ - =
Determinant a elementární řádkové úpravy
• Vznikne-li matice B přehozením dvou řádků čtvercové matice A, pak |fí| = - \A\.
e Vznikne-li matice B vynásobením některého řádku čtvercové matice A konstantou c, pak \B\ = c • \A
2. přednáška
Determinant a elementární řádkové úpravy
• Vznikne-li matice B přehozením dvou řádků čtvercové matice A, pak \B\ = - \A\.
• Vznikne-li matice B vynásobením některého řádku čtvercové matice A konstantou c, pak \B\ = c • \A\.
• Vznikne-li matice B z čtvercové matice A přičtením násobku některého řádku k jinému řádku, pak \B\ = \A
2. přednáška
Determinant a elementární řádkové úpravy
• Vznikne-li matice B přehozením dvou řádků čtvercové matice A, pak \B\ = - \A\.
• Vznikne-li matice B vynásobením některého řádku čtvercové matice A konstantou c, pak \B\ = c • \A\.
• Vznikne-li matice B z čtvercové matice A přičtením násobku některého řádku k jinému řádku, pak \B\ = \A
[Důkazy MB201]
2. přednáška
Determinant a elementární řádkové úpravy
• Vznikne-li matice B přehozením dvou řádků čtvercové matice A, pak \B\ = - \A\.
• Vznikne-li matice B vynásobením některého řádku čtvercové matice A konstantou c, pak \B\ = c • \A\.
• Vznikne-li matice B z čtvercové matice A přičtením násobku některého řádku k jinému řádku, pak \B\ = \A
[Důkazy MB201]
Metoda výpočtu determinantu pomocí Gaussovy eliminace.
2. přednáška
Determinant a elementární řádkové úpravy
• Vznikne-li matice B přehozením dvou řádků čtvercové matice A, pak \B\ = - \A\.
• Vznikne-li matice B vynásobením některého řádku čtvercové matice A konstantou c, pak \B\ = c • \A\.
• Vznikne-li matice B z čtvercové matice A přičtením násobku některého řádku k jinému řádku, pak \B\ = \A
[Důkazy MB201]
Metoda výpočtu determinantu pomocí Gaussovy eliminace.
Pro čtvercovou matici A je ekvivalentní:
• soustava A- x = b má jediné řešení,
• \A\rO,
• existuje /A-1.
2. přednáška
Determinant - příklad výpočtu
Příklad
2. přednáška
Determinant - příklad výpočtu
Určete determinant matice A =	(!!-!)	
		
Příklad		
Určete determinant matice / B = \	' 1   0  0  2 N 0  3  4 0 0  5  6 0 v 7  0  0  8 ,	\ /
2. přednáška
Determinant - příklad výpočtu
Příklad
Určete determinant matice
A =
2	3	5
1	2	-1
0	1	2
Příklad
Určete determinant matice
B =
/1 0
0 3
0 5
\7 0
0 2 \
4 0
6 0
0 8/
Sami (viz dú). Výsledek \B\ = 12.
2. přednáška
Výpočet determinantu - Laplaceův rozvoj
Buď A = (a,y) čtvercová matice řádu n > 1. Pro zvolené indexy i J označme Ay čtvercovou matici řádu n - 1, která vznikne z A vynecháním Mého řádku a y-tého sloupce. Pak prvek
A; = (-1)/+MA;I nazýváme algebraický doplněk prvku a» v matici A
Věta (Laplaceův rozvoj)	1
Buď A = (a,y) čtvercová matice řádu n > 1. /nc/ex / platí	Pak pro libovolný
A = ayi Ai + 5/2A2 + • • • + a/nAn	n = z2 aiJAiJ • 7=1
Hovoříme 0 rozvoji podle Mého řádku.	
2. přednáška	
Laplaceův rozvoj - příklad
Příklad
Určete determinant matice
B =
í 1 0
0 V 7
0 o
3 4
5 6
0 0
2\ 0
0 8/
i
B| = 1 ■(-!)
1+1
= 8-
3 4 5 6
-2-7-
3 4 0 5 6 0 0  0 8
+ 2-(-1)
1+4
3 4 5 6
= (8-14)
3 4 5 6
0 3 4 0 5 6 7 0 0
= (_6) -(-2) = 12
2. přednáška
Laplaceův rozvoj - příklad
Příklad
Určete determinant matice
B =
í 1 0
0 V 7
0 o
3 4
5 6
0 0
2\ 0
0 8/
i
B| = 1 ■(-!)
1+1
3 4 0 5 6 0 0  0 8
+ 2-(-1)
1+4
= 8-
3 4 5 6
Všiměme si, že
-2-7
3 4 5 6
= (8-14)
3 4 5 6
0 3 4 0 5 6 7 0 0
= (_6) -(-2) = 12.
B
CM		3 4
7 8	•	5 6
2. přednáška
Inverze pomocí adjungované matice - MB201
• Laplaceův rozvoj pomocí sloupce — důkaz transponováním.
2. přednáška
Inverze pomocí adjungované matice - MB201
• Laplaceův rozvoj pomocí sloupce — důkaz transponováním.
• Definujeme A = (Ay) matici řádu n složenou z algebraických doplňků. K ní transponovanou matici /A* = AT nazýváme adjungovanou maticí k matici A.
2. přednáška
Inverze pomocí adjungované matice - MB201
• Laplaceův rozvoj pomocí sloupce — důkaz transponováním.
• Definujeme A = (Ay) matici řádu n složenou z algebraických doplňků. K ní transponovanou matici /A* = AT nazýváme adjungovanou maticí k matici A.
• A>A* = \A\> E. [MB201]
2. přednáška
Inverze pomocí adjungované matice - MB201
• Laplaceův rozvoj pomocí sloupce — důkaz transponováním.
• Definujeme A = (Ay) matici řádu n složenou z algebraických doplňků. K ní transponovanou matici /A* = AT nazýváme adjungovanou maticí k matici A.
m A>A* = \A\> E. [MB201]
• Proto /A-1 existuje právě tehdy, když \A\ ^ 0. (Už víme.)
Věta_			
Buď A čtvercová matice řádu i	i; A	> 1 taková, že "1 • 4*.	A\ ŕ 0. Pak
2. přednáška
Inverze pomocí adjungované matice - MB201
• Laplaceův rozvoj pomocí sloupce — důkaz transponováním.
• Definujeme A = (Ay) matici řádu n složenou z algebraických doplňků. K ní transponovanou matici /A* = AT nazýváme adjungovanou maticí k matici A.
m A>A* = \A\> E. [MB201]
• Proto /A-1 existuje právě tehdy, když \A\ ^ 0. (Už víme.)
Věta_			
Buď A čtvercová matice řádu i	i; A	> 1 taková, že "1 • 4*.	A\ ŕ 0. Pak
9 Praktické použití je diskutabilní. Pro výpočet determinantů Ay| je zapotřebí stejně eliminovat.
2. přednáška
Cramerovo pravidlo
Řešíme rovnici Ax = £>, kde A je čtvercová matice, \A\ ^ 0 • \A\ ^ 0 implikuje jednoznačnost řešení.
2. přednáška
□ ► < gp ► <     ► <
Cramerovo pravidlo
Řešíme rovnici Ax = b, kde A je čtvercová matice, \A\ ^ 0.
• \A\ ^ 0 implikuje jednoznačnost řešení.
• |>4| ^ 0 implikuje existenci /A-1.
2. přednáška
Cramerovo pravidlo
Řešíme rovnici Ax = b, kde A je čtvercová matice, \A\ ^ 0.
• \A\ ^ 0 implikuje jednoznačnost řešení.
• |>4| ^ 0 implikuje existenci /A-1.
• Odtud x = /A"1 r>, kde /A-1 = /l "1 ■ /4*.
2. přednáška
Cramerovo pravidlo
Řešíme rovnici Ax = £>, kde A je čtvercová matice, \A\ ^ 0.
• \A\ ^ 0 implikuje jednoznačnost řešení.
• \A\ ^ 0 implikuje existenci A~A.
• Odtud x = A~Ab, kde A~A = A "1 • A\
Buď A čtvercová matice rádu n > 1 taková, že\A\ ^0. Pak soustava Ax = b má jediné řešení x = (x1, x2,..., xn)T, kde
Xj =
A
A
přičemž Aj je matice vzniklá z matice A nahrazením jejího j-tého sloupce sloupcem b.
2. přednáška
Cramerovo pravidlo - příklad
Příklad (Motivační příklad)		
Vyřešte soustavu lineárních rovnic		
2x + 3y +  5z =	0	
x + 2y  -    z =	4	
y + 2z =	-1	
2. přednáška
Cramerovo pravidlo - příklad
Příklad (Motivační příklad)		
Vyřešte soustavu lineárních rovnic		
2x + 3y +  5z =	0	
x + 2y  -    z =	4	
y + 2z =	-1	
Xi =
0	3	5
4	2	-1
-1	1	2
2	3	5
1	2	-1
0	1	2
=§='
2. přednáška
Cramerovo pravidlo - příklad
Příklad (Motivační příklad)		
Vyřešte soustavu lineárních rovnic		
2x + 3y +  5z =	0	
x + 2y  -    z =	4	
y + 2z =	-1	
Xi =
0	3	5
4	2	-1
-1	1	2
2	3	5
1	2	-1
0	1	2
9 *
= g = 1,   *2,*3 - sami.
2. přednáška
Cauchyova věta
Pro libovolné dve čtvercové matice A a B stejného rádu platí
A-B = A ■ B
2. přednáška
Cauchyova věta
Pro libovolné dve čtvercové matice AaB stejného rádu platí
AB = A • B
Důsledek: A
,-1
A
-1
2. přednáška
Cauchyova věta
Pro libovolné dve čtvercové matice A a B stejného rádu platí
A-B = A ■ B
Důsledek: \A^ \ = Důkaz-[MB201]
2. přednáška
Požadavky
• Vyřešit zadaný systém lineárních rovnic.
• Spočítat inverzní matici (dle algoritmu).
• Spočítat determinant matic (i matic s parametrem). Ovládat obě metody a umět je kombinovat.
• Znát základní vlastnosti determinantů (Cauchyova věta).
• Znalost adjungované matice a Cramerovo pravidlo se nezkouší.
2. přednáška
Domácí úloha
Příklad (6.1)
Nalezněte všechny symetrické matice A rozměru 3 x 3 s jedničkami na diagonále, pro které platí
>A-(1,1,1)r = (1,2,3)r.
Příklad (6.2)
Řešte následující soustavu lineárních rovnic v IR, kde x1, x2, x3 jsou neznámé a a a Ď jsou parametry. Tzn. určete, pro které hodnoty a, Ď g IR má soustava řešení, a pro tato a, b popište množinu všech řešení dané soustavy.
2x-|   +3x2  +ax3 = 3x1   +2x2  +bx3 = x1   +2x2 =
1 1 1
2. přednáška
Domácí úloha
Příklad (6.3)
Určete inverzní matici k matici
Příklad (6.4)						
Určete determinant matice						
A =	0	0 3	2 0	4		
	5	0	6	0	•	
		7	0			
2. přednáška
Doplňující domácí úloha - MB201
Příklad (6.5)
Pro libovolnou elementární úpravu nalezněte matici, která ji realizuje pomocí násobení. Tj. pokud A ~ B je jedna úprava: pak existuje matice U taková, že B = U • A.
Příklad (6.6)
Nechť a a Ď jsou dvě různá reálná čísla a n je kladné celé číslo. Určete determinant matice n/n, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny b a všechny prvky na a nad hlavní diagonálou rovny a.
2. přednáška