MB141 -3. přednáška Inverzní matice a determinanty Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2021 Osnova přednášky • Inverzní matice a jejich výpočet • Determinant matice • Výpočet determinantu pomoci Laplaceova rozvoje • Motivace - objem. • Obecná definice \A\ (pro čtvercovou matici A). • Determinant a elementární řádkové úpravy. • Souvislost determinantu s matici /A-1. • Použití pro přímý výpočet řešení soustavy. • Výpočet determinantu. • Determinant a součin matic - A • B = A • B 3. přednáška Inverzní matice Připomeňme, že písmenem E označujeme jednotkovou matici. Říkáme, že B je matice inverzní ke čtvercové matici A, když A • B = B • A = E. Taková matice je určena jednoznačně, a proto píšeme B = /4~1, přičemž B je čtvercová matice stejného rozměru jako A. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice. Pokud řešíme soustavu A • x = b s invertibilní maticí A, pak x = >A~1 • b je jediné řešení soustavy. Postup výpočtu inverzní matice: snažme se určit matici X splňující A • X = E postupně po sloupcích. Je-li A matice 3x3 a sloupce matice X jsou postupně x, y a z, řešíme rovnice ■ Výpočet inverzní matice Tyto tři soustavy mají stejnou levou stranu a my je můžeme řešit současně tak, že elementárními řádkovými operacemi upravujeme na schodovitý tvar matici kde matice C je ve schodovitém tvaru. Mohou nastat tyto dvě možnosti: O Jestliže je její poslední řádek nulový, pak jedna ze tří rovnic není řešitelná a inverzní matice neexistuje. O Matice C má v každém řádku pivota. Ty leží na úhlopříčce. Tedy s maticí (C\D) můžeme provádět tzv. zpětnou Gaussovu eliminaci, tj. elementárními řádkovými operacemi postupně vytvářet nuly nad pivoty matice C. Výpočet - pokračování Tímto postupem dostaneme na místě matice C jednotkovou matici, na místě matice D budou sloupce inverzní matice, tedy /A-1. (A\E)----- (C|D)----- Ukažme si to na příkladu: 2 3 5 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 ( 1 0 0 0 1 o V 0 0 1 5 9 2 9 1 9 1 9 4 9 2 9 1 2 -1 0 1 0 0 -1 7 1 -2 0 0 0 9 1 -2 1 b 13 \ 9 9 9 \ 7 9 i/ 3. přednáška Inverzní matice - algoritmus Algoritmus pro nalezení inverzní matice O Vedie sebe napíšeme původní matici A a jednotkovou matici E. Q Matici A upravujeme řádkovými elementárními úpravami nejprve na schodovitý tvar. O Následně zpětnou eliminací na jednotkovou matici E. Q Tytéž úpravy souběžně prováděné s vedle napsanou maticí E vedou k hledané inverzní matici /4~1. Q Pokud tento algoritmus narazí na vynulování celého řádku v původní matici, znamená to, že matice inverzní neexistuje. 3. přednáška Determinant čtvercové matice Čtvercové matici A = ^21 ^22 jsme přiřadili číslo |/A| = ana22 - a12a2i, které jsme nazvali determinantem matice A Jeho geometrický význam byl orientovaný obsah rovnoběžníku určeného vektory (a-n, a2i) a (a-i2, a22)- Determinant budeme definovat pro každou čtvercovou matici. Neuděláme to ale přímým předpisem (i když to je možné), ale nepřímo tak, že vyčíslíme jeho vlastnosti. Výhodou tohoto postupu je, že nám dává přímý návod k výpočtu determinantu, zatímco z přímé definice determinant většinou nepočítáme Geometrický význam determinantu matice A tvaru n x n bude orientovaný objem rovnoběžnostěnu v n-rozměrném prostoru určeného vektory sloupců (nebo řádků) matice A. ►► Determinant - základní pravidla Definice Každé čtvercové matici A tvaru n x n lze jednoznačně přiřadit číslo \A\, determinant matice A, který splňuje následující pravidla: 1 4 5 Vznikne-li matice B přehozením dvou řádků matice A, pak B A Vznikne-li matice B vynásobením některého řádku matice A číslem c, pak \ B\ = c • \A\. Vznikne-li matice B z matice A přičtením násobku některého řádku k jinému řádku, pak \ B\ = \A . Determinant jednotkové matice je \E\ = 1. Determinant transponované matice je \AT\ = \A Odvozená pravidla Z předchozích pravidel lze odvodit další: 6) Determinant čtvercové matice ve schodovitém tvaru (tzv. horní trojúhelníkové matice) je roven součinu čísel na úhlopříčce matice. ►► 7) Determinant matice, která obsahuje nulový řádek nebo sloupec, je roven 0. ►► 8) Je-li A matice tvaru k x /c, B matice tvaru (n - k) x (n - k), C matice tvaru k x (n - k) a O nulová matice tvaru (n - k) x /c, pak determinant matice n x n ►► A C 0 B A • B Výpočet determinantu provádíme pomocí Gaussovy eliminace. Determinant - příklad výpočtu Určete determinant matice A = (lil) Výsledek: \A = 9. Příklad 1 Určete determinant matice / B = \ ' 1 0 0 2 N 0 3 4 0 0 5 6 0 v 7 0 0 8 , / Výsledek: |fí| = 12. Cauchyova věta Věta (Cauchyova) Pro libovolné dve čtvercové matice A a B stejné velikosti platí A B = A • B Důsledek: Determinant invertibilní matice je nenulový a platí A -1 A ~1. Platí i obrácené tvrzení. Pro čtvercovou matici A je ekvivalentní: • \A\rO, • existuje A~\ • Pro každou pravou stranu b má soustava A- x = b jediné řešení. Laplaceův rozvoj determinantu Buď A = (a,y) čtvercová matice řádu n > 1. Pro zvolené indexy /,/ označme Ay čtvercovou matici velikosti n - 1, která vznikne z A vynecháním Mého řádku a y-tého sloupce. Pak číslo ^■ = (-i)/+MA,l nazýváme algebraický doplněk prvku a» v matici /A. Věta (Laplaceův rozvoj) Buď A = (a,y) črvercová matice řádu n > 1. Pa/( pro libovolný /nořex / p/atf 4 = ayi Ai + + • • • + a/jA, n = z2 aiJAiJ • 7=1 Hovoříme o rozvoji determinantu podle Mého řádku. Laplaceův rozvoj - příklad Příklad Určete determinant matice B = í 1 0 0 V 7 0 o 3 4 5 6 0 0 2\ 0 0 8/ I B| = 1 ■(-!) 1+1 3 4 0 5 6 0 0 0 8 + 2-(-1) 1+4 = 8- 3 4 5 6 Všiměme si, že -2-7 3 4 5 6 = (8-14) 3 4 5 6 0 3 4 0 5 6 7 0 0 = (_6) -(-2) = 12 B CM 3 4 7 8 • 5 6 Determinant matice 3x3 Proveďme Laplaceův rozvoj obecné matice 3x3 a-n a-i2 A = ( a21 ^22 ^23 ^31 a32 ^33 Dostaneme A\ = a-i 1^22^33 — a23^32) — ai2(a2ia33 — a23^3i) + ^13(^21^32 - ^22^31 = a-|-| a22^33 + a-| 2^23^31 + 513a21 ^32 — ^13^22^31 ~~ ^12^21^33 — a11^23^32 • Pozor, pro větší rozměr nelze počítat takto „úhlopříčně". Ani případy n = 2 a n = 3 nejsou aplikací stejného „úhlopříčného principu". 3. přednáška Cramerovo pravidlo Řešíme rovnici Ax = £>, kde A je čtvercová matice, \A\ ^ 0. • \A\ ^ 0 implikuje jednoznačnost řešení. • \A\ ^ 0 implikuje existenci /A-1. • Odtud x = A~Ab, kde /A-1 = /l "1 • A\ Buď A čtvercová matice rádu n > 1 taková, že\A\ ^0. Pak soustava Ax = b má jediné řešení x = (x1, x2,..., xn)T, kde Xj = A přičemž Aj je matice vzniklá z matice A nahrazením jejího j-tého sloupce sloupcem b. Cramerovo pravidlo - příklad Příklad (Motivační příklad) Vyřešte soustavu lineárních rovnic 2x + 3y + 5z = 0 x + 2y - z = 4 y + 2z = -1 Požadavky • Spočítat inverzní matici (dle algoritmu). • Spočítat determinant matic (i matic s parametrem). Ovládat obě metody a umět je kombinovat. Domácí úloha Příklad (3.1) Určete inverzní matici k matici Příklad (3.2) Určete determinant matice A = n 0 5 \0 0 3 0 7 2 0\ 0 4 6 0 0 8/ Doplňující domácí úloha Příklad (3.3) Pro libovolnou elementární řádkovou operaci nalezněte matici která ji realizuje pomocí násobení. Tj. pokud A ~ B je jedna úprava, pak existuje matice U taková, že B = U • A. Příklad (3.4) Nechť a a Ď jsou dvě různá reálná čísla a n je kladné celé číslo. Určete determinant matice n/n, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny b a všechny prvky na a nad hlavní diagonálou rovny a.