MB141 -4. přednáška Vektorové prostory, báze, dimenze Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2021 4. přednáška Vektorové prostory 1/24 Osnova přednášky • Vektorové prostory • Výběr vhodné generující množiny 9 Báze a dimenze podprostorů • Průnik a součet podprostorů 4. přednáška Vektorové prostory 2/24 Motivace • Vektory - sčítání, násobky. r * • Uvažujme systém m lineárních rovnic pro n proměnných a předpokládejme, že jde o soustavu tvaru A • x = 0, tj. í ^11 ■ ■ ■ \^A7?1 a^n\ /xA /0\ amnJ \xnJ \0J ŘAS 9 Součet dvou řešení x = (xi,.. splňuje xn) a y = (yi,..., y„) 0 a je tedy také řešením, o Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek a • x. 9 Máme tedy podmnožinu Kn sestávající ze všech řešení soustavy M = {x e Kn | A • x = 0} se sčítáním a násobky. 4. přednáška Vektorové prostory 3/24 Vektorové prostory Nechť K je množina reálných čísel R nebo racionálních čísel nebo komplexních čísel C. Definice Vektorový prostor V nad polem skalárů K je neprázdná množina s operacemi sčítání vektorů + : V x V -> V a násobení vektoru skalárem • : K x V -> V, pro které platí (u + v) + w = u + (v + w) u + v = v + u 3 0 G V\fi u + 0 = u a-(v+w) = a-v + a-w VíiG V3(-u) G V: u + (-u) (a + b)-v = a-v + b-v a • (b • v) = (a • b) • v 1 • v = v = 0 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. přednáška Vektorové prostory 4/24 Vektorové prostory - příklady ***** Rozumné (známé) příklady: • Vektory v rovině: IR2. • Prostory vyšší dimenze: Rn. • Matice nad polem: Matn,m(M)> • Polynomy omezeného stupně: M4M = {a4x4 + a3x3 + a2x2 + a^x + a0\ a4,a^a^aA,a^^ R} Obecně Rn[x]. • Množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. • C vektorový prostor nad R. 2r * * * ť* * fr R # Všechno to jsou reálné vektorové prostory, tj. K = R. Lze uvažovat i příklady Q", Cn, Qn[x], kde K = Q či K = C. 4. přednáška Vektorové prostory 5/24 Vektorové prostory - príklady II Poněkud složitější príklady: o Polynomy: R[x]. • Funkce: F(R) = {f : R IR}, o IR vektorový prostor nad Q. Poslední dva jsou trochu divoké. Příklady množin, které netvoří yektoroyý prostor. • Z x Z nad R. = b\, oro o nenulové. y M = {x e Kn I A ■ x =N£>}, pro 1b ňenulo Čtvercové matice s determinantem 1. Polynomy stupně n. >4 •>.=v> 4. přednáška Vektorové prostory 6/24 Vektorové prostory - další vlastnosti Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, dále uvažme skaláry a, b, a,- e K a vektory u, v, uj e V. Potom • a • u = 0 právě když a = 0 nebo u = 0, • (-1) • u = -u, 9 a • {u - v) = a • u - a • v, • (a - b) • u = a - u - b • u, Í4-V - M t(~V 4. přednáška Vektorové prostory 7/24 Výběr optimálních základních vektorů • Cíl: najít (co nejmenší) základní množinu vektorů, abychom mohli pomocí nich ostatní vektory (jednoznačně) vyjádřit. Definice • Výrazy tvaru a^ • ^ h-----\- ak • vk nazýváme lineární kombinace vektorů ^,..., vk e V (zde a, e K skaláry). • Množina vektorů M = , v2,..., vk} c V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá, jestliže pro každou /c-tici skalárů a-i,..., ak e K platí: a-i • ^ h-----h a/c • v/c = 0 =4> a-i = a2 = • • • = ak = 0. a M je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. • M je závislá, právě když aspoň jeden z jejích vektorů je vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních. 4. přednáška Vektorové prostory 8/24 a*** - - ä'^i - — 1? /U4 At r / 3/*£<<>j c^^čf stuJleM, Odstraňování přebytečných vektorů Základní množina vektorů, aby byla co nejmenší, musí být lineárně nezávislá. Jak to poznáme? Příklad Rozhodněte, zda jsou vektory = (1,1,1), i/2 = (-1,0,1) a v3 = (1,2,3) lineárně nezávislé (v reálném prostoru R3). Soustava x1 ^ + x2v2 + x3v3 = 0 s maticí 1 i i ■i i 0 2 1 3 má řešení x-\ = -2t, x2 = -ř, x3 = t. Např. pro ř = 1 dostaneme -2 • v-\ - v2 + v3 = 0, tzn. v3 = 2 • v-\ + v2. Zkouška: 2v1+v2 = (2,2,2) + (-1,0,1) = (1,2,3) = v3. Odpověď: zadané vektory jsou lineárně závislé. 4. přednáška Vektorové prostory 9/24 Odstraňování přebytečných vektorů II Příklad Rozhodněte, zda jsou vektory x3 - x + 1, 2x3 + x2 - 2x. x4 + x3 - x a x4 - x2 + 1 lineárně nezávislé. xl x: x1 x x o v 0 1 0 -1 1 0 2 1 1 1 0 -2 -1 0 0 1 0 -1 0 1 o o o o / Odpověď: jsou lineárně závislé. lnu a ujrM*** Postup (obecně): vektory dáme do (sloupců) matice a řešíme „ příslušnou homogenní rovnici. SlOuAVHL A**% u ***** 4. přednáška • • • 5* <^H*t Podprostory Umíme se zbavovat přebytečných vektorů z potencionální základní množiny. Máme jich ale dost? Tj. stačí na vyjádření všech vektorů? K tomu definujeme další užitečný pojem. Definice Podmnožina 0 ^ U c V se nazývá vektorovým podprostorem, jestliže, spolu se zúženými operacemi sčítání a násobení skaláry, je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme, aby platilo Va, í)gK, Vv, w g U, a - v + b • w e U. Príklady: • Rn[x] C R[x]. • KCC. • M = {x g Kn I 4 • x = 0} c • Sudé polynomy {ŕ g M4[x] | f (x) = ŕ(-x)} c R4[x]}. n 4. prednáška Lineární obal množiny vektorů Říkáme, že vektory v^v2,...,vn generují vektorový prostor^/ jestliže každý vektor u e V je nějakou jejich lineární kombinaci, tj. existují a1,a2,...,anGK, že u = a-i ^ + a2v2 H-----h anvn Lineární kombinace vektorů ^, v2,..., vn nemusí dávat všechny vektory ve V. Nicméně tvoří vždy nějaký jeho podprostor. Říkáme mu lineární obal těchto vektorů. Definice ] Lineární obal vektorů ^, v2, ..., vn je množina V2,..., Vn] = fa ■ i/H-----\-ak- uk\ a-, e K}. 4. přednáška Báze vektorového prostoru Definice • Vektorový prostor, který je generován konečnou množinou vektorů se nazývá konečněrozměrný. 9 Nechť V je konečněrozměrný vektorový prostor. Vektory v-i, v2,..., vn g V tvoří bázi vektorového prostoru V, jestliže generují V a jsou nnearně nezávislí • Počet prvků baze nazýváme dimenzí prostoru V. Značíme dim V. Triviální podprostor {0} je generován prázdnou množinou, L ^3 která je "prázdnou" bází. Má tedy nulovou dimenzi. Je-li (v-i, v2,..., vn) báze, pak libovolný vektor ve V lze jediným způsobem zapsat jako lineární kombinaci vektorů báze v = a^v^ + a2v2 h-----hanvn. Koeficienty (a-i, a2,..., an) nazýváme souřadnice vektoru v v dané bázi. 4. přednáška V-V - C? ■=- 3(R) = {(del) I a,b,c,d,e,f eR} = {a-(188) + M8J8) + M881) + *-(?88) + + e (oio)+ř'(ooi) |a,fc,c,cf,e,f eR}. ró7p íp (71 o n je libovolná množina m vektorů v prostoru dimenze n (např. Rn) lineárně závislá. 4. přednáška /ju#4ix, V Atči*M' p 4* /täte, (swAv**>'"*4 Báze - příklad s polynomy Příklad Je dán vektorový prostor V = IR4[x]. Určete bázi a dimenzi podprostorů P, Q, P n Q, kde P = {fe R4[x] | (Vc e R)(f{c) = ř(-c)) }, Q = [x3 - x + 1, 2x3 + x2 - 2x, x4 + x3 - x, x4 - x2 + 1 ] . o Pmábázi(x4,x2,1)adimenzi3. tf# -^*****:4t**

e? CP I c? & O Domácí úloha Příklad (4.1) Pro každou ze zadaných podmnožin M, vektorového prostoru V = R2[x] = {a2x2 + a\x + a0 | a2, ai, a0 gM} rozhodněte, zda je vektorovým podprostorem V7. i) Mi = {feR2[x] | f(1) = f(2)}; ii) M2 = {fe r2[x] | ř(1) = 0 a (Vc g r)(f(c) = f(-c)) }; uď M3 = {fe r2[x] | ř(1) = 0 a f(0) = 1}. Pokud M, není vektorový podprostor, toto tvrzení zdůvodněte. Pokud je vektorový podprostor, určete dimenzi a nějakou bázi tohoto podprostoru. Příklad (4.2) Ve vektorovém prostoru M4 (nad tělesem r) jsou dány vektory ui =(1,1,1,1), u2 = (2,-1,1,6), u3 = (0,3,1,-4)au4 = (3,1,2,6).Z množiny i/2,1/3,1/4} vyberte maximální podmnožinu lineárně nezávislých vektorů a doplňte ji na bázi prostoru ir4. 4. přednáška Doplňující domácí úloha Příklad (4.3) Ve vektorovém prostoru Mař3,3(IR) máme následující podmnožiny. Určete, které z nich jsou vektorové podprostory, a určete jejich dimenzi a bázi. i) Podmnožina všech matic s jedničkami na diagonále. ii) Podmnožina všech matic s nulami na diagonále. iii) Podmnožina všech matic s nulovým determinantem. iv) Podmnožina všech matic X pro které platí (1,0,0) • X = (1,0,0). /1 2 3\ v) Podmnožina všech matic X pro které je součin 4 5 6 • X = 0. 4. přednáška