MB141 -5. přednáška Lineární zobrazení
Martin Čadek
s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101
Jarní semestr 2021
5. přednáška       Lineární zobrazení
Osnova přednášky
• Definice lineárního zobrazení
• Matice a lineární zobrazení
• Vlastní čísla a vektory
5. přednáška       Lineární zobrazení 2/23
Lineární zobrazení
Definice
Nechť U a V jsou vektorové prostory nad polem skaláru Zobrazení <p : U -> v se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: v O Vu,ve U : <p{u+v) = <p(u)0<p(v),     frC*M + wO~
Podívejme se na několik zobrazení z IR2 do IR:
• <p((x,y)) = xy - není lineární zobrazení. tylfyfylO-j?) s a <p((x, y)) = x2 + 3y - není lineární zobrazení.
• <p((x, y)) = 3x + 1 - není lineární zobrazení.
• <p((x, y)) = ax + by - je lineární zobrazení. Zde
¥>((*>/)) = (a 6)
X
y
5. přednáška
Lineární zobrazení
3/23
V c 4)
^ŕiO^M =- íf(2,^-*yíV) = 4+3-0-t 4+3-1 = - « 8
tfL^q) - bys
Příklady lineárních zobrazení z R2 do
Následující zobrazení z IR2 do sebe jsou lineární: • Prodloužení nebo zkrácení vektoru
x
y
= a
x
y
a 0 0 a
Rotace o úhel a v kladném smyslu
y
x cos a — y sin a xsin a + y cos a
cos a sin a
• Reflexe (symetrie) podle osy y
x
y
-X
y
Obecně, každé zobrazení cp lineární.
x
y
1 0
0 1
a b
c d
— sin ol
COS ol
X
y
X
y
je
5. přednáška
Lineární zobrazení
4/23
Lineární zobrazení z Rn do Rk
Každé zobrazení cp : Rn -> Rk tvaru
*2
W
je lineární a naopak, každé lineární zobrazení z IRn do je tvaru ip(x) = Ax, kde A je matice hn. Odvodíme si to.
e-i, e2, • • •, Gn jsou vektory standardní báze vťa (pfa), (p(e2),..., ip(en) jsou vektory v Rk, které bereme jako sloupce. Z linearity zobrazení ip dostáváme      w j^*^)
3>
ip(x) = (p{xi e-i + x2e2 + ■ ■ ■ + xnen)    \ A^r^Ž^ = X! (p(&\) + x2<^(e2) + —h xncp(ení
5. přednáška
Lineární zobrazení
5/23
Lineární zobrazení z Rn do Rk - dokončení
*2
^21 ^22
■ ■
■ ■
■ ■
Va/c1 ak2
Z odvození je vidět, že platí
^2A7
3knJ
X2
Každé lineární zobrazení je jednoznačné určeno svými hodnotami na vektorech nějaké báze.
5. přednáška       Lineární zobrazení
6/23
Příklad
Příklad
Lineární zobrazení ip : R3    R2 má na třech vektorech hodnoty
Najděte matici A tvaru 2x3 takovou, že pro všechna x e M3 je =/lx. A(s\ c   SM,  A-(fl
Sloupce matice A jsou hodnoty zobrazení <p na vektorech ei = (1,0,0), e2 = (0,1,0)ae3 = (0,0,1). Napíšeme tedy zadané vektory 1/1,1/2,1/3 e M3 do řádků matice a vedle nich napíšeme hodnoty cp(u^), (f(u2), (f(u3) Gl2a tuto matici upravujeme řádkovými úpravami tak, abychom na místě vektorů u\ dostali vektoru e,. Pak na místě vektorů cp(ui) dostaneme vektory ^(e,):
5. přednáška
Lineární zobrazení
7/23
Příklad - pokračování
Úpravy díky linearitě zobrazení p totiž fungují takto
u v
<p(u) <p(v)
U+Vl p(u) + p(v)
u + v cv
v(cv) )
Dostaneme
U3 vil*)
Tedy <p(e,) = (1,2), ^(e2) = (0, -1), ^(e3) = (2,3), a proto
5. přednáška       Lineární zobrazení
8/23
Příklad — geometrické zobrazení
Příklad
Zobrazení cp je symetrií prostoru P3 oodle přímky procházející počátkem se směrovým vektorem (1,1,1). Napište předpis tohoto zobrazení pomocí maticového násobení.
Prvně najdeme obrazy tří vhodných vektorů. Směrový vektor la, = (1,1,1) se zobrazí sám na sebe <p(1,1,1) = (1,1,1). Vektory kolmé k    se zobrazí do opačných vektorů, tedy například ^(1, -1,0) = (-1,1,0) a ^(0,1, -1) = (0, -1,1). Nyní postupujeme obdobným způsobem jako v předchozí úloze. . • ►►
Výsledek:
x2 .
X3/
5. přednáška
Lineární zobrazení
9/23
t
2:1 A/
t
4 4 4
-14 0 (P -i 4
/v
4 4 4 0 4-1
4 4 4
-l O-j
(P -i 4
	ÍA 4	4	4 4 1	\
	0 f*	-f	0 -i -f	
		-3		
A -
3
AS
7	0	0	4	3	
	/	0	Z %		
0	í)		5	1	
	\				i
•2.					
-Y					
/f
s
Příklad - lineární zobrazení v polynomech
Příklad
Uvažme lineární zobrazení cp : IR2M    K3M dané předpisem p(g) = gf + x • g. Nalezněte maticové vyjádření tohoto zobrazení v souřadnicích obvyklých bazí a = (x2, x, 1) a p = (x3, x2, x, 1). (gř značí derivaci polynomu g.)
Pro g = ax2 + Ďx + cmáme
<p(g) = (2ax +75) + (ax3 + Ďx2 + cx) = ax3 + Ďx2 + (2a + c)x + £>. Souřadnicím polynomu g v bázi a, které jsou (gr)a = (a, £>, c) přiřadíme souřadnice polynomu <p(g) v bázi /3, tedy Mg)) p = (a, Ď,2a+c, b). Hledaná matice A má vlastnost A • (a, ď, c)T = (a, Ď,2a + c, fc)7".
/1   0 0\
0 1 o
2  0 1
\ n 1 o
Proto
A =
5. přednáška
Vlastní čísla a vektory
V príklade o symetrii podle přímky byly pro nás užitečné cfc* vektory splňující rovnici cp(u) = A • u pro vhodný skalár A ifbč\--4 (konkrétně A = 1, A = -1). Takové vektory hrají důležitou roli * i v mnoha dalších úlohách, proto jim dáme zvláštní jméno.
Definice
Nechť je vektorový prostor nad K a zobrazení. SkaláryQvyhovující rovnici
V -> V je lineární
pro nenulový vektor u ^ V. nazýváme vlastní čísla_(hodnotv) zobrazení <p, příslušné vektory u ^ 0 nazýváme vlastní vektory zobrazení
5. přednáška
A, = ď (fit*) - O   = %0
Vlastní čísla a vektory - príklad
Uvažujme matici A a vektory u a v:
A =
-3 2 \ / 1
-s 4 ' nr 1
Platí
A - u =
3 2
■5 4
1 1
1 1
-3 2 -5 4
2 5
4 10
v =
2 5
= (-1)
1 1
= -u,
= 2- v.
A- v =
Jsou tedvAí = -1 a A? = 2 vlastní čísla matice A a jejich příslušné vlastní vektory jsou u (proA-i) a v (pro A2). Jiná vlastní čísla nejsou, jak uvidíme za chvíli.
5. přednáška
Jak hledat vlastní čísla a vektory?
Nechť V je vektorový prostor nad K dimenze n a cp : V -> V je lineární zobrazení. Postup při hledání vlastních čísel a vektorů je následující:
1) Rovnost (p(u) = A • u můžeme zapsat v souřadnicích ve zvolené bázi a jako soustavu Ax = A • x, kde x jsou souřadnice hledaného vlastního vektoru zapsané do sloupce a A je maticové vyjádření lineárního zobrazení v bázi a. Tuto soustavu přepišme do tvaru homogenní soustavy rovnic (A - AE)x = 0. A *w^*.^ ^ q
2) Taková soustava rovnic má netriviální řešení x 7^ 0 právě tehdy, když det(/l - A • E) = 0. ( A^X - O
3) det(/A - A • E) je polynom stupně n (v proměnné A), tzv. charakteristický polynom. Jeho kořeny jsou hledaná vlastní čísla.       %„  fAMi^f^ft^ncU** fi^^O.
4) Vlastní vektory najdeme řešením homogenní soustavy (A - XE)x = 0.
5. přednáška
1. příklad
Příklad
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení
/5 2 -3\ /*,
V? : M3 -»• M3,   p(x) =4   5   -4 ) • I x2 | .
V6 4  -4/ U
Spočítáme charakteristický polynom
(A-^)r
5-A 2 4     5-A 6 4
-3 -4
-4-A
= ... = -A + 6A - 11A +
Jestliže má polynom s celočíselnými koeficienty celočíselný kořen, musí tento kořen dělit koecicient u A° = 1, v našem případě číslo 6. Hledáme ho tedy mezi děliteli čísla 6, tj. mezi čísly ±1,±2,±3,±6.
5. přednáška
1. příklad - pokračování
Dosazením zjistíme, že A j = 1 Je kořen. Charakteristický polynom vynásobený -1 vydělíme A - 1. Dostaneme ^y^*^ - O
A3 - A2 + 11A - 6 = (A - 1 HA2 - 5A + 61 a
Kořeny kvadratického polynomu A2 - 5A^ 6 umíme spočítat. Jsou A? = 2 a A1=3. Vlastní vektory k^=^)najdeme řešením homogenní soustavy (A - A-i E)x = 0. Ta má matici soustavy ^ ^
'4 2 -3
4 4-4 6 4-5
Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu 1 jsou tedy p(1,1,2) s p ^ 0. Analogicky najdeme vlastní vektory k vlastnímu číslu 2^ jsou to q(1,0,1), q ^ 0, a vlastnímu číslu 3, ty jsou s(1 ^2,3^ s ^0.
5. přednáška
1. příklad - dokončení
Všimněte si, jak vypadá vyjádření zobrazení cp v souřadnicích báze ^tvořené vlastními vektory =(1,1,2), u2 = (1,0,1), u3 = 0,2,2). Dostáváme totiž "i^T^* í^íT^Js
^fk) r   y>(/lMl +72^2+73^3) =/l^(^l)+72^(^2)+73^(^3)
= 71^1 +72 -2i/2 + 73 -3i/3.
Tedy maticové vyjádření zobrazení ^ v souřadnicích báze tvořené vlastními vektory je
Vidíme, že použití této báze nám významně pomůže zjednodušit popis zobrazení.
5. přednáška
2. příklad
Příklad
Najděte vlastní čísla a vektory zobrazení
(p : M2 -> M2, </?(x)
1 1
-10 -3
*1
*2
Charakteristický polynom je
-1 - A 1 -10 -3-A
= (-1 - A)(-3- A)+ 10 = A2 + 4A + 13.
Tento kvadratický polynom nemá reálné kořeny, neboť jeho   - -3& diskriminant je záporný (-36). Zobrazení tedy nemá reálná vlastní čísla ani vlastní vektory. (Má však komplexní vlastní čísla-2±3i.) . . * r-  .- /t4'/
5. přednáška
Podprostor vlastních vektorů
• Je-li u vlastní vektor matice A příslušející vlastnímu číslu A, 4:        Potom libovolný jeho (nenulový) násobek je také vlastní
vektor příslušející témuž vlastnímu číslu, protože       . . (A e < -?^éK Cf/kUAui
A(au) = a (Au) = a (A u) = A (a a).
Mil/ 6 K
• Podobně, jsou-li u, v vlastní vektory matice A příslušející /I    vlastnímu číslu A (kde u ^ - v), potom jejich součet je také
vlastní vektor příslušející témuž vlastnímu číslu, protože A(u + v) = (Au) + (Av} = (A u) + (A v) = A (u+v)-
• Vlastní vektory příslušející témuž vlastnímu číslu tedy tvoří (společně s nulovým vektorem) podprostor vektorového prostoru Kn. To také zdůvodňuje terminologii „vlastní prostor".
5. přednáška
3. příklad - podprostor vlastních vektorů
Příklad		
Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice A = |	^2 3^ V0 2j	V
A-XE
2 - X 3 0     2 - A
= (2-A
P
Proto je Aj = 2 (násobnosti 2) jediné vlastní číslo. Výpočet vlastního prostoru pro A-i = 2: -2£^ X — O
(A - A-, E | 0) = (A - 2 E | 0) =
0 3 0 0
0 0
Vlastní prostor pro Ai = 2 je {(ŕ, 0) | t e R} = [(1,0)].
5. přednáška
Obecné poznatky
Vlastní vektory lineárního zobrazení Lp : V -> V příslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé.
Jestliže existuje n navzájem různých kořenů A, charakteristického polynomu zobrazení (p : V    V, dim V = n, pak existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má (p diagonální matici (s vlastními čísly na
diagonále).
A
5. přednáška
Obecné poznatky II
Tzv. geometrická násobnost vlastního čísla X (dimenze vlastního podprostoru příslušného X) není větší než algebraická násobnost X (násobnost X jako kořene charakteristického polynomu).
Symetrické matice nad R mají všechna vlastní čísla reálná.
5. přednáška
Požadavky
• Umět určit matici lineárního zobrazení ve standardní bázi ze znalosti hodnot lineárního zobrazení na vektorech nějaké báze.
(•)Umět spočítat vlastní čísla a vlastní vektory.
5. přednáška
Domácí úloha
Příklad (5.1)
Nechť (p je zobrazení prostoru IR3 do sebe a to svmetrie podle roviny zadané rovnicí x1 - x3 = 0. Určete maticM^akovou, že <p(x) = Ax v souřadnicích standardní báze. tf, i, £ ^1«:
Příklad (5.2)
Nechť je dána matice A lineárního zobrazení vektorového prostoru E4 do sebe, o níž víme, že má vlastní číslo 2. Určete všechna vlastní čísla a jim příslušné podprostory (veTíorového prostoru M4) sestávající z jejich vlastních vektorů.
4 =
/ 2 -i
i
V 2
3 -2
-4 4
3 0
-3 2
1 \
-1
0
-1 /
5. přednáška