MB141 -6. přednáška Skalární součin
Martin Čadek
s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101
Jarní semestr 2021
6. přednáška       Skalární součin
Osnova přednášky
• Skalární součin
• Ortonormální báze
• Ortogonální doplněk a kolmá projekce
• Ortogonální transformace a matice
6. přednáška       Skalární součin 2/22
Skalární součin v M2 a v M3
Skalární součin přiřazuje dvěma vektorům reálné číslo. Na střední škole jste si ho definovali na IR2 předpisem
~x,^y) =x1y1 +x2y2
a na IR3 podobným předpisem ^ r ^
= x\Y} +x2y2 + x3y3-
Takto definované zobrazení má tyto vlastnosti
5) (Y, 7} > 0 pro všechny vektory Y ^ 0. ^ Ukazuje se jako výhodné definovat skalární součin na    ^ u * / libovolném reálném vektorovém prostoru jenom pomocí těchto vlastností.
6. přednáška
Skalární součin
3/22
Skalární součin - definice a příklady
(Šipky nad vektory už nebudeme psát.)
Definice
Skalární součin na vektorovém prostoru V nad reálnými čísly je zobrazení (, ) : V x V ->• IR takové, že
1) (u, v) = (v,u), &w*amIuX*€
2) (u + y, w) = (u, w) + (v, w)
3) {a-u,v) = a- {u, v]
5) (v, v) > 0 a je roven 0 pouze při v = o! Příklady:
a My budeme obvykle pracovat s tzv. standardním skalárním součinem na V = Rn
((^, x2j..., xn), (yi, y2, • • •, yn)} = ^y + x2y2 + • • • + xnyn.
6. přednáška       Skalární součin
4/22
Skalární součin - příklady
• Na Rn existuje mnoho dalších skalárních součinů. Např. na R2 zadává předpis
(x,y) = xAyA - xAy2 - x2y + 2x2y2
také skalární součin. Poslední vlastnost z definice je splněna, neboť
(x,x) = x124r2x1x2 + 2x| = (x1 - x2)2 + x| > 0
pro (x1?x2) ^ (0,0).
• Na prostoru všech polynomů V = R[x] můžeme skalární součin zadat pomocí určitého integrálu
Velikost a kolmost vektorů
Velikost vektoru v se definuje jako
V   = y/(V,V).
s£a**    Sk. SOUČIN
/Kil
Vektory ív, v g 1/ se nazývají ortogonální (kolmé), jestliže
ív, v) = 0.
Píšeme ív _L v.
Věta (Cauchyova nerovnost)
Pro každé dva veKtory u a v e V platí nerovnost
u,v
<
u v
Rovnost nastane, právě když jeden vektor je násobkem druhého.
6. přednáška       Skalární součin
6/22
TR2" * Vfc
Odchylky vektorů
\<Mty>\ * '""Uvil -»»1111*11   á- ",I",W|
Jestliže jsou vektory u a v nenulové j)latí podle Cauchyovy nerovnosti
-1 <
u • v
< 1.
Proto existuje právě jedno číslo a e [0, tt] takové, že
cos a =
u • v
/V
Toto číslo nazýváme odchylkou vektoru u a v.
4
6. přednáška       Skalární součin
7/22
Ortogonální a ortonormální báze
Báze prostoru V složená z navzájem kolmých vektorů se CP\Y^~& nazývá ortogonální há7fí_
Mají-li bázové vektory navíc jednotkovou velikost, mluvíme o ortonormální bázi. Název pochází z toho, že vektory jednotkové   . • velikosti se nazývají normované.     Uuul|B. u+    ^u,« u"7 cfA Standardní úlohou je najít najít v podprostoru generovanej 4 několika vektory nejdříve ortogonální a potom ortonormální bázi.
Příklad
Nalezněte ortogonální a ortonormální bázi podprostoru
M = [(1,1,1,1), (1,0,0,3), (1,2,1,0)] vektorového prostoru IR4
Označne tyto vektory postupně ^, v2 a v3. Chceme je postupně nahradit navzájem kolmými ve"ktbry u^,u2,u3.
• Začněme tím, že položíme    = v-i =(1,1,1,1).
6. přednáška
Skalární součin
8/22
Pokračování příkladu
Vektor u2 hledáme ve tvaru u2 = v2 - au^. Rovnost vynásobíme skalárně vektorem u\
0 = (iv2,ui) = (v2, ui> - a(^,u^.
Odtud spočítáme a = $f^= \ = 1. Tedy u2 = v2-\ -u! =(1,0,0,3) -(1,1, f,1) = (0,-1,-1,2). • Vektor ív3 hledáme ve tvaru u3 = v3 - ďl/2 -    . Rovnost vynásobíme skalárně vektorem^ £
0 = (U3, wi) = (v3, t/i) -       wi) - c(t/i,oi).
Protože (iy2, t/1) = 0, spočítáme c =        = 1. Obdobně rovnost vynásobíme skalárně vektorem u2
0 = (u3, u2) = (v3, u2) - b(u2, u2) - c{^,u2).
Protože {u\, u2) = 0, spočítáme b = r^É = - \, tedy u3 = (0,1/2,-1/2,0).
6. přednáška
Skalární součin
9/22
Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces
Velikosti vektorů jsou     || = 2, u2 = V6, i/3 = Ortonormální báze podprostoru M je tedy
1(1,1,1,1), -1(0,-1,-1,2), -1(0,-1,-1,0).
Výše uvedený postup lze aplikovat na libovolnou /c-tici lineárně nezávislých vektorů ^, v2,..., vk, abychom dostali /c-tici navzájem ortogonálních vektorů. Nazývá se Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces.
U*0
tul
6. přednáška
Skalární součin
10/22
Ortogonální doplněk a kolmá projekce
U± = {v e V\ (v, u) = 0 pro všechna u e U}
Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem a U jeho podprostor. Množina všech kolmých vektorů k vektorům z U
se nazývá ortogonální doplněk podprostoru U ve V. Jde opět o vektorový podprostor. Platí, že U + L/1- = V a^V n     = {0}. To je ekvivalentní s tím, že pro každý vektor v e V existuje právě jeden vektor u e U a právě jeden vektor i^gíí1 tak, že
v = u + w. e<M?*bí2|M>*
Vektor u nazýváme kolmou projekcí vektoru v do U. Kolmá projekce do popdprostoru U je lineární zobrazení Pu : V V, které zobrazuje vektory u e U na sebe a vektory w e U± na nulový vektor. V terminologii z předchozí přednášky má kolmá projekce vlastní číslo 1 s vlastním podprostorem U a vlastní číslo 0 s vlastním podprostorem U±. Výpočet kolmé projekci ukážeme na příkladu.
6. přednáška
Skalární součin
11/22
Ar &\1LU      Toi ^ Ä ^
krCuc*( jASpIcte.    4M*?   4*1. U
ff CL /V&sUu*     tí**"     O [dfOuuU/
A/j L to* 6 p
fir J_ p
ti*)*?
fei* šfct/
Výpočet kolmé projekce
Příklad
V prostom IR5 se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru v = (0,2,6,0,5) do podprostoru U = [ui = (1,0,1,0,2),U2 = (-1,2,3,2,1)] a jeho ortogonálního doplňku U±. fiUut 1/1=0"
Kolmou projekci vektoru v do U hledáme ve tvaru      ati*^ ty
Puv = au\ + bu2.
Protože v = Pjv + Pu± v, musí být v - Puv e U±. Tedy v - Pjv je kolmé na vektory íí^^g U. Dostáváme tedy rovnice
{v-Puv,uA) =(v-aui -fci/2jL/i) = 0, (v - P(jv, u2) ={v - au^ - bu2, u2) = 0.
Po úpravě
6. přednáška       Skalární součin 12/22
Pokračování příkladu
afa, ui) + b{u2, ui) =
a(wi, u2) + b(u2, u2) = (v,u2).
Vypočteme příslušné skalární součiny
6a + 4Ď= 16, ^+ 19b = 27.
Řešení je a = 2 a b = 1. Kolmá projekce je tedy
Puv = 2u1 +u2 = (1,2,5,2,5).
Dimenze ortogonálního doplňku je 3. Kolmou projekci do UL nejrychleji spočítáme jako rozdíl
Pu±v = v - P0v = (^,0^,-2,0).
6. přednáška       Skalární součin 13/22
Ortogonální transformace
Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem. Lineární zobrazení <p : V -> V nazýváme ortogonální transformací, jestliže pro všchny dvojice vektorů u, v e V platí
(p(u)^(v)) = (u, v).
Říkáme, že <p zachovává skalární součin. <p zachovává rovněž*^ velikosti vektorů, neboť 7
11^)11 = y/{v{y),v{y)) = V(v>v) = IMI-
Nechť V = Rn se standardním skalárním součinem. Skalární součin dvou vektorů x a y e Kn, které bereme jako sloupce velikosti n můžeme zapsat pomocí maticového násobení takto:
x, y) =     +x2y2+-■ -+xnyn = (xux2,..., xn)
= xT y.
Nechť ip : ->• Rn, (p(x) = Ax, kde A je matice ji xjt, je ortogonální transformace. Motom podle definice platí
6. přednáška
Skalární součin
14/22
Ortogonální matice
(E je jednotková matice)
xTEy = xTy = (x,y) =
Ax,Ay}_ = (Ax)jAy = xT(ATAly pro všechna x,y g IRn. Proto je /A7 /A = E, tedy inverzní matice k matici A je transponovaná matice. Takovým maticím říkáme ortogonální matice. Jejich definice je ekvivalentní s podmínkami ' j    | j ^
4 O
/M7 = E.
Řádky matirie^ tvoří ortonormální há7i v iRn Sloupce matice A tvoří ortonormální bázi v Rn.
Podstatné vlastnosti ortogonálních matic zachycuje následující
Determinant ortogonální matice je roven ±1. Vlastní čísla ortogonální matice mají absolutní hodnotu 1. To platí i komplexní vlastní čísla. Jsou-li vlastní čísla reálná, tak jsou±A.
6. přednáška
Skalární součin
15/22
ecu, CAAr)
t
Lineární shodné transformace v rovině
Jsou to ortogonální transformace p{x) = Ax, kde A je ortogonální matice 2x2. Mohou nastat tyto možnosti:
1) det/A = 1. Potom je cp otočení proti směru hodinových ručiček kolem počátku o úhel a. Ten je určen jednoznačně prvním sloupcem matice, která má tvar
2)JdetA = -1. Potom je cp symetrií podle osy procházející počátkem se směrovým vektorem rovným vlastnímu vektoru k vlastnímu číslu 1. Další vlastní číslo je -1 a jeho vlastní vektor v = (a, b) je kolmý ke směrovému vektoru osy. Tedy osa symetrie má rovnici
ax-i + bx2 = 0.
6. přednáška       Skalární součin 16/22
(O   A =
Oj -b
b A'
(t)
3* e Cox2x)
A* (
(T) A
d, b
V
A lA   — K
Lineární shodné transformace v prostoru
Jsou to ortogonální transformace p{x) = Ax, kde A je ortogonální matice 3x3. Charakteristický polynom matice A je stupně 3, a proto má aspoň jeden reálný kořen. Tedy p má vlastní číslo Jjiebo -1. Opět rozlišíme dvě možnosti: 1) det/A = 1. Potom má p vlastní číslo 1 a je otočením kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem rovným vlastnímu vektoru v k vlastnímu číslu 1. Úhel otáčení a zjistíme tak, že si vezmeme nějaký vektor u   0 kolmý k v a spočítáme, jaký úhel svírá s vektorem cp(u\= Au\
nV CCAu.u) \
cos a =;
r (Au,u)s		
	\\Au	•
2) det/A = -1. V tomto případě má cp vlastní vektor -1 a je složením dvou zobrazení. Prvé je otočení kolem osy se směrovým vektorem rovným vlastnímu vektoru j^k vlastnímu číslu -1 a druhé je symetrie podle roviny procházející počátkem a kolmé k vektoru v.
6. přednáška
Skalární součin
17/22
Áv-V
av \—*> -
70 vlč f?oviÄ/r.
Příklad I
Uhel otáčení zjistíme stejným způsobem jako v předchozím případě.
Příklad
Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení
2   -1 -i v{x) = Ax,YůeA=\\-\    2 -2
-2  -2 -1
Pozorně spočítáme, že detA =^^det
Tedy A musí mít podle předchozího vlastní číslo -j. Nemusíme tedy počítat charakteristický polynom, ale rovnou spočítáme vlastní vektor k -1 řešením soustavy (A + E)v =0. Zjistíme, že v = p(1,1,2), p g R - {0}. Vezmeme nějaký kolmý vektor, napr, u = g, ^J^OV Spočítáme      = /Uv =jv^Tedy úhel A-6$E)y otáčení je nulový, proto <p popisuje symetrii podle roviny^   ^ t
6. přednáška
Skalární součin
18/22
Příklad II
procházející počátkem kolmé k vektoru v = (1,1,2). Ta má rovnici x-i + x? + 2x? = 0.
Příklad
Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení
~/-2   1 -i <p(x) = ex, kde e =/ÍJ -2  -2 1
^\ 1    -2 -2
Analogicky jako v předchozí úloze
/-2   1 -2\
det B =/jJdet   -2  -2   1  j = -1. Tedy B má vlastní číslo
^     \ 1    -2 -2/ -
-1. Najdeme vlastní vektor k -1 řešením soustavy (B+ E)v =Q. Zjistíme, že v = p(1,1,1). Vezmeme nějaký kolmý vektor, např. u = (1, -1,0). Spočítáme Bu = (-1,0,1). Pro úhel otáčení je cos a = |uVm^m =     tedy a = §7r, tj. 120°.
6. přednáška
Skalární součin
Dokončení příkladu II
Transformace cp je tedy složením symetrie podle roviny x1 + x2 + x3 = 0 a otočení kolem přímky procházející počátkem se směrovým vektorem (1,1,1) o úhel |7r (ve směru od vektoru (1,-1,0) k vektoru (-1,0,1)).
6. přednáška
Skalární součin
20/22
Požadavky
(    Typické príklady:
\    • Najít v podprostoru ortogonální, resp. ortonormální bázi. ^ • Najít ortogonální doplněk podprostoru v Rn.
• Spočítat kolmou projekci do podprostoru v Rn.
• Zjistit, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení zadané ortogonální maticí 2 x 2 a 3 x 3.
d*! id* m
6. přednáška
Skalární součin
21/22
Domácí úloha
Příklad (6.1)
Grammovým-Schmidtovým ortogonalizačním procesem sestrojte ortogonální bázi podprostoru M v prostoru ir4, je-li
M=[(1,2,2,-1),(1,1,-5,3),(0,1,1,0)].
Určete nějakou ortonormální bázi podprostoru M a doplňte ji na ortonormální bázi prostoru ir4.
Příklad (6.2)
V souřadnicích standardní báze je zobrazení (p vektorového prostoru ir3 do sebe určeno maticí
2 2-1 2-12
1
A=3
Určete, o jaké zobrazení se jedná.
-1
6. přednáška
Skalární součin
22/22