MB141 -7. přednáška Afinní geometrie
Martin Čadek
s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101
Jarní semestr 2021
7. přednáška       Afinní geometrie
1/27
Osnova přednášky
• Afinní podprostory v Rn
• Parametrický a implicitní popis
• Hodnost matice a soustavy lineárních rovnic
• Průnik a součet afinních podprostorů
• Vzájemná poloha afinních podprostorů
• Standardní úlohy
7. přednáška       Afinní geometrie
2/27
Geometrie ve vícerozměrném prostoru
Pokud bereme IR3 jako vektorový prostor, tak všechny jeho vektorové podprostory jsou
• {0} množina obsahující pouze nulový ve kto rj počátek)
• přímky procházející počátkem,
• roviny procházející počátkem,
• celé IR3. 0
Chceme-li se ale zabývat geometrií v prostoru, potřebujeme pracovat se všemi přímkami a všemi rovinami. Proto zavádíme pojem afinního prostoru a jeho afinních podprostorů. Prvky IR3 (obecně IRn) bereme jednak jako body, jednak jako vektory, tj. ^ uvažujeme množinu bodů B a vektorový prostor V a přitom 7f máme operaci „přičtení vektoru k bodu": A^/^ÍAo + : B x V ->> B, (B, v) h> B+ v a s ní sdruženou operaci „rozdíl
bodů": -:BxB^V,(A,B)^>B-A = AĚ. A
7. přednáška       Afinní geometrie
3/27
Afinní prostory
Definice
Buď V = Rn vektorový prostor. Standardní afinní prostor An= Rn je množina všech bodů v Rn spolu s operací, která bodu A = (ai,..., an\ e An a vektoru v =    ,..., vn) e V přiřadí bod A + v = [a-i +i/1,...,an+i/nlGA.
Tato operace splňuje následující tři vlastnosti: S£ O >A + o = A pro všechny body Ae Ana nulový vektor 0 e V, O A + (v + w) = (A + v) + w pro všechny vektory v, w e V, a body A e An,
O pro každé dva body A,BeAn existuje £rávě jeden vejslpr
v g V takový, že A + v = B. Značíme jej B - A, nebo AĚ.
Vektorový prostor V nazýváme zaměření afinního prostoru An. Abychom předešli nejasnostem, tak oddělíme formálně množinu An a V tak, že body z An píšeme do hranatých závorek: A = [a-i,..., an] £ A?-
7. přednáška       Afinní geometrie
4/27
Afinní souřadná soustava
A = Aq +
Pokud zafixujeme jeden pevný bod A0 e An a pevnou bázi A a = ,..., un) ve V, tak dostáváme pro každý bod AeAn A jednoznačné vyjádření Mz Ť/ä^k*
A.
Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (/A0; 1/1,..., i/n) zadané počátkem afinní souřadné soustavy /A0 a bazí zaměření a.
Afinní souřadnice bodu A = /40 + x1 ^ h-----h xni/n v soustavě
*</!,..., i/n) jsou [x^...,xn].
Obvykle bereme /A0 = [0,..., 0] a standardní bázi a = en. Potom jsou afinní souřadnice bodu A=[a^,...,an] stejná n-tice
7. přednáška
Afinní geometrie
5/27
Afinní podprostory
Definice
Neprázdná podmnožina M afinního prostoru An se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v Am jestliže existuje vektorový podprostor W c V takový, ze pro některý bod A e M je
podmnožina
M = {A+veAn\veW}.
Zapisujeme M = A + W.
Vektorový podprostor W se nazývá zaměření afinního podprostoru M. Značíme ho^r(A/íV)a píšeme"" M = A + Z(M).
Dimenzí afinního podprostoru rozumíme dimenzi jeho zaměřeni. ^ ^ ~ dô*. 2t&)
7. přednáška       Afinní geometrie
6/27
\X/s> if
Afinní kombinace bodů
Afinní kombinací bodů B a C z An je bod
D = (1 - X)B + XC
3 -tB+7>C *
definovaný jako součet bodu a vektoru takto D = B + X(C - B). Jsou-li body B a C různé, pak všechny jejich afinní kombinace vytvářejí přímku. Pomocí afinních kombinací můžeme afinní podprostory charakterizovat takto:
Neprázdná podmnožina M c An je afinní podorostor, právě když s každými dvěma body obsahuje všechny jejich afinní kombinace. To geometricky znamená, že M s každými dvěma body obsahuje i přímku, která iimi prochází
7. přednáška
Afinní geometrie
7/27
Parametrický popis
Nechť M = A + Z{M) je afinní podprostor v An a (u-i,..., uk) je báze Z(M) c Rn. Pak vyjádření podprostoru
M = {A + ŕ,1/1 + • • • + tkuk | h,...,tkeR}
nazýváme parametrický popis podprostoru M. Příklady:
• Příkladem na parametrický popis přímky v A3 je
p : X = [2,3, -8] + ŕ(4,1,5), v jednotlivých souřadnicích
x^ = 2 + 4ŕ, x2 = 3 + ŕ, x3 = -8 + 5f. X = >* *£M
• Příkladem na parameifický popis roviny v A3 je
a : X = [3, -1,2] -f</j(4)s, 1) -f(sľ-1J0,3), v souřadnicích x1 = 3 + 4r - s, x2 = -1 + 6r, x3 = 2 + r + 3s.
p
7. přednáška       Afinní geometrie
8/27
AT 7?
A
AAs
Implicitní (obecný) popis afinního podprostoru
Uvažujme soustavu 4 lineárních rovnic o 5 neznámých Ax = čT) Rozšířenou matici soustavy upravíme na schodovitý tvar
o
2
0 / ^
/2 1
1
V 2
4 2 2 4
1 0 0
2
5
2
3 5
-1
0
1
-3
/ 1 (g)0  2 0 0  0 11-1
Řešením je množina
M = {[^4,0,^,2,0] + ŕ(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2,-1,1J g IR5 | S,řGM}. X^^Sí/ *<*Hř-2fcí&
To je parametrický popis afinního podprostoru. Zaměření tohoto podprostoru je
Z(AQ = {ř(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2, -1,1) e R5 | s, ř G Ry, *óoŕr ,ř2J je řešení homogenní soustavy Ax = 0,. Vidíme, že dim .M = 2.
Jestliže množina řešení soustavy Ax = b je neprázdná, jde o afinní podprostor. Popis afinního podprostoru pomoci soustavy lineárních rovnic se nazývá implicitní nebo také obecný popis.
7. přednáška       Afinní geometrie
9/27
Hodnost matice a soustavy lineárních rovnic
Dimenze afinního podprostoru, který je množinou řešení soustavy lineárních rovnic, souvisí s hodností matice.
Definice
Nechť je A matice s k řádky a n sloupci, tj. každý sloupec je prvek Rk a každý řádek je prvek Rn. Následující tři celá čísla se
rovnají
1) počet nenulových řádků po úpravě na schodovitý tvar,
2) maximální počet lineárně nezávislých řádků,
3) maximální počet lineárně nezávislých sloupců.
Jejich společnou hodnotu nazýváme hodností matice A a značíme h(A). 4A^(A )
• Soustava A • x = b má řešení právě tehdy, když hodnost matice A je rovna hodnosti rozšířené matice (A | £>), tj.
7. přednáška       Afinní geometrie
10/27
Hodnost matice - příklady I
• Pokud má soustava A • x = b řešení x e Rn, pak množina všech řešení je afinní podprostor dimenze
n-h(A).
Zaměření tohoto afinního podprostoru je množina řešení homogenní soustavy Ax = 0.
Příklady:
• Matice A tvaru 4 x 5 v příkladu na straně 9 má hodnost 3 a taje rovna hodnosti matice (A | b). Dimenze příslušného afinního podprostoru je 5 - h(A) = 5-3 = 2.
• Rovnice 3x1 + 7x2 - 2x3 = 9 je implicitním popisem roviny v A3. Příslušná matice je A = (3,7, -2). Její hodnost je 1. Dimenze afinního podprostoru, který popisuje, je
3-1 =2, což odpovídá tomu, že dimenze roviny je 2.
7. přednáška       Afinní geometrie
11/27
Hodnost matice - příklady II
• Soustava 2x1   x2 + 3x3 = 1, x1 + 2x2   x3 = 2 má matici
afinního podprostoru je 3 - 2 = 1, což odpovídá tomu, že jde o přímku v A3.
• Rovnice a-|X-| + a2x2 H-----h anxn = b s aspoň jedním
nenulovým koeficientem a, popisuje afinní podprostor v A dimenze n - h(a-i, a2,..., an) = n - 1. Nazýváme jej nadrovinou v Rn.
Přechod od implicitního (obecného) popisu afinního podprostoru soustavou Ax = b k parametrickému popisu je jednoduchý, stačí soustavu vyřešit. Příklad jsme si již ukázali na straně 9.
jejíž hodnost je 2. Dimenze příslušného
7. přednáška       Afinní geometrie
12/27
Od parametrického vyjádření k implicitnímu
Přechod od parametrického popisu k implicitnímu (obecnému) je také vždy možný. Ze soustavy rovnic, kde vystupují souřadnice x1, x2,..., xn a parametry ři, t2,..., fc, k < n, vypočteme z k rovnic parametry ř, a ty dosadíme do zbývajících rovnic. Ukážeme si to na příkladu.
Příklad	
Nalezněte nějakou soustavu lineárních rovn í [0. -1.2.0] + řř-2.1.1.1) + s(2,2. -1.1)	ic, jejiz reseni je s, ř e M}.
Parametrický popis v souřadnicích je
x-i = -2t + 2s x2 = -1 + t + 2s x3 = 2+t-s xA = ř + s
7. přednáška       Afinní geometrie
13/27
Od parametrického vyjádření k implicitnímu II
Z posledních dvou rovnic spočítáme
(4 O 2 O) (v 1 I'3)
a dosadíme do prvních dvou rovnic.JDruhou vynásobíme
" 2x2 = -x3 + 3x4, ~
což dává soustavu Ax =
" -----~ — ---- -wv...^ . _
dvěma. Dostaneme * -l *i~ ^ ^ ^ k>     ( «\       *1 = -2x3 + 4
x =
4
10  2 0 0  2   1 -3
Všimněte si, že řádky matice A jsou lineárně nezávislé a kolmé k vektorům zaměření, které se vyskytují v parametrickém popisu. Dále, když maticí A vynásobíme souřadnicemi bodu [0, -1,2,0]7 dostaneme pravou stranu b. Toto platí obecně a můžeme to využi k nalezení nejdříve matice A a pak pravé strany b.
7. přednáška       Afinní geometrie
14/27
Průnik afinních podprostorů
0)
Je-li průnik afinních podprostorů neprázdný, je opět afinním podprostorem. Metoda výpočtu průniku afinních podprostorů M a J\f závisí na vyjádření prostorů.
Oba implicitně: ze 2 soustav vytvoříme jednu velkou soustavu.
Jeden implicitně a druhý parametricky: dosadíme z
^    paramPtrinkPhnx/yjáHřpní r]^ Qni|c;ta\/y r
Oba parametricky: porovnáním parametrických vyjádření vznikne soustava pro parametry.
Ukážeme si řešení v druhém případě.
Příklad
V .4.3 najděte průnik roviny^: 2xi + 3x? -    + 1 = 0 s rovinou
y = [1 3 111-1- ŕf n lf+*f"
Os
7. přednáška
Afinní geometrie
15/27
Příklad na průnik - dokončení
Parametrické vyjádření roviny p
xi = 1 + ŕ. xo = 3 + s, x3 = 11 + t + 2s dosadíme do rovnice pro rovinu a.
>1 Yi.
2(1 + ř) + 3(3 + s) - (11 + ř + 2s) + 1 = 0.
Po úpravě t + s + 1 =0. Řešením jsou dvojice (ŕ, s) = (ai-'\ - a), kde a e M je parametr. Body průniku jsou tedy ty body X z roviny a, které napíšeme pomocí parametrů ř = aas = -1 -a: ^_ c
X=[1,3,11] + a(1,0,1)-(a+1)(0,1,2)   ^ ,
Tedy průnikem je přímka s parametrickým vyjádřením [1,2,9] + a(1,-1,-1).
= [1_,2,9] + a(J_,^l,^)
7. přednáška       Afinní geometrie
16/27
Afinní obal množiny a spojení afinních podprostorů
• Afinní podprostor (M) v An generovaný neprázdnou množinou M ie nejmenší afinní podprostor ohsahujíní množinu M, je to průnik všech afinních podprostorů, kterg. obsahují M.
• Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M v An-
• Příklad: afinní obal dvou přímek A+tuaB + svse směrovými vektory u, v je A + [u, v, ÄŠ].    & /hajZa*m4jm N>
• Pro dvojici afinních podprostorů M a M se afinnímifobaJCr množiny M u M říká spojení afinních podprostorů. Značíme MuAÍ.
• Pro M = A + ZjM), M = fi + ZÍAf) pak platí
\M u A/]=Xf Z(M) + Z^f) + [AŠj. Jeho zaměření je součet tří vektorových podprostorů Z(M) + Z(J\Í) + [ÄŠ].
7. přednáška       Afinní geometrie
17/27
Vzájemná poloha afinních podprostorů
Mějme podprostory M a A/\ Pro jejicHlívzájemnou polohu jsou tyto možnosti:
O Jsou si rovny, pokud M n M ^ 0 a Z(A4) = Z{M). #
O Jeden je podprostorem druhého, např. AicjV, pokud MnA/*^ 0 a ZjVW) c Z(AQ. 1
O Podprostory jsou rovnoběžné^ pokud    n N     a platí ř     buď Z(M) c Z(AQ nebo Z(AQ c Z(A4)L
#0 Podprostory jsou různoběžné, pokud MnAÍ ^ 0 a neplatí
ani Z(M) c Z(AT) ani Z(AT) c Z(M).
Podprostory jsou mimoběžné, pokud MnJ\í = 0 a neplatí
ani Z(A4) c Z(AT) ani Z(Af) c Z(A4'
Vzájemnou polohu umíme umíme prověřil - iJtačí urči
od minky
7. přednáška       Afinní geometrie
18/27
3
2rŕ^) 2(b)
^ 2(t) 4 zty
Příklad na vzájemnou polohu
Příklad
Zjistěte vzájemnou polohu rovin tt a p v A4.
tL_.X= [V, 1,0,2] + a(1, OJ,1) +     0,0,1),
p : x-[ + x2 - Xs + x4 = 2,   Xi - x2 - x4 = 4.
Nejdříve zjistíme průnik 7r n p. Bod průniku X = [x-|, x2, x3, x4]
má parametrické vyjádření bodu roviny tt
x-, = 1 + a + £>, x2 = 1, x3 = a, x4 = 2 + a + b. •
To dosadíme do rovnic pro p. Dostaneme
a + 2fo + 4 = 2, -2      Je vidět, že soustava nemá řešení,
tedy průnik tt n p =
Nyní najdeme průnik~Z(7r) n Z(p).
Z(tí) : iy = a(190,1,1) + fc(1,0,0,1),
Zip) : Xi + Xo - Xq + x4 = 0,   Xi - Xo - x4 = 0._
7. přednáška
Afinní geometrie
19/27
Příklad na vzájemnou polohu - dokončení
Počítáme stejně jako v předchozím případě a pro parametry
dostaneme rovnice a + 2b = 0, 0 = 0. Řešením jsou dvojice
(a, b) = (2ř, -tY Průnik zaměření je proto •—-- éCíitef*)
Í2t(1,OJ,1)^i(1?0,0J)} = [(1,9,2,1)].
Dimenze obou zaměření^7i0)^(p^)sou^ dimenze průniku je 1, tedy nenastane Z{j\) LAp) ani ZM c ZM. (V tomto případě, kdy se dimenze rovnají, je každá s inkluzí ekvivalentní rovnosti Z(tt) = Z(p).) / \ -z/ \
Závěr: Roviny 7r a p jsou mimoběžné. . '
7. přednáška       Afinní geometrie
20/27
Standardní příklady na afinní podprostory I
Příklad
Zjistěte, zda body ÍCL2JJ, [-1,2,0], [-2,5,2] a [0,5,41 z A3 leží v jedné rovině.        ' "
o Libovolná dvojice zadaných bodů z afinního prostoru A3 určuje vektor. To, že čtyři body leží v rovině je ekvivalentní tomu, že jsou tři vektory, dané jedním vybraným bodem a vždy jedním ze tří zbylých, lineárně závislé.
• Vybereme např. bod [0,2,1] (na výběru nezáleží), pak uvažujeme vektory [-1,2,0] - [0,2,1] = Í-1,0,-1L
[-2,5,2] -[0,2,1] = (-2,3J), [0,5,4] -[0,2,1] = (0,3,3).
• Již známým výpočtem zjistíme, že vektory jsou lineárně závislé. Dané body leží tedy v rovině. ^ ^
7. přednáška       Afinní geometrie
21/27
Standardní příklady na afinní podprostory II
Průnik a spojení afinních podprostorů je nástroj, který se často používá k řešení mnoha jiných příkladů.
Příklad
Najděte příčku dvou mimoběžných přímek
p: [1,1,1] + f(2,1,0),    q: [2,2,0] + f(1,1,1),
takovou, že přímka jí určená prochází bodem Q - [1 n Oj.
Příčkou rozumíme úsečku, jejíž jeden krajní bod leží na jedné z přímek, druhý krajní bod na druhé.
Označme ^=[1,1,1]. Jeden krajní bod příčky Q e q najdeme jako průnik přímky q s rovinou p, která je spojením přímky p a bodu C. Ta má rovnici
A + t(? 1,Q) + s• ÄÔ = [1,1,1 ] + t(2.1.0) + síQ. 1.11.
7. přednáška       Afinní geometrie
22/27
fr
pi Cuo i- *cw)+ sírni)
q i l tart + a,l4t<<<)
3
-f
- \ -1
ff
A/
-1 4
"A -4
■b *
4 A O V
0. =+3
= C2,2,0] + (t3) IH<)
Příčka mimoběžek - dokončení
Průnikem je bod Q = [5,5,3] e q. Rovnice přímky CQ je
C + a • ČQ = [1,0,0] + a(4,5,3). Její průnik s přímkou p je bod p = [7/3,5/3,1] e p, druhý krajní bod příčky.
^—s>
^ - CG}
7. přednáška       Afinní geometrie
23/27
Požadavky
• Přechod od implicitního popisu k parametrickému obráceně.
• Výpočet průnityafinních podprostorů.
• Výpočet spojení dvou afinních podprostorů.
• Výpočet vzájemné polohy afinních podprostorů.
• Nalezení afinního podprostorů daných vlastností.
7. přednáška       Afinní geometrie
24/27
Domácí úloha
Příklad (7.1)
Najděte parametrický a obecný popis roviny v E4, která prochází body A = [1,0,1,0], B = [0,1,0,2] a C = [1,2,3,4].
Příklad (7.2)
Určete příčku mimoběžek
p:  [3,0,3] + ř.(0,1,2)
q:   [0,-1,-2] + s-(1,2,3),
která je rovnoběžná s vektorem v = (1, -2,1).
7. přednáška       Afinní geometrie
25/27
Domácí úloha
Příklad (7.3)
V prostoru IR4 jsou dány tři body A = [1,2,3,6], B = [2,3,1,6] a C = [0,1,2,6], které generují afinní podprostor M. Dále N je afinní podprostor zadaný implicitně
X}+x$  = 7
Určete afinní podprostory M n M a M u M (včetně dimenzí).
7. přednáška       Afinní geometrie
26/27
Domácí úloha
Nechť v prostoru IR4 je podprostor M zadaný implicitně
+ x2 + x3 = 5 x2 - 2x3 + x4 = 0 x-| + 3x3 - x4  =  5 .
Určete vzájemnou polohu podprostoru M a přímky p dané takto:
a) p: [4,0,3,-2] + ř-(1,-1,1,-1),
b) p: [1,1,1,1] + ř-(1,1,0,1), C) p : [1,1,1,1] + ř-(1,-1,0,1).
7. přednáška       Afinní geometrie
27/27