MB141 -8. přednáška Eukleidovská geometrie Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2021 8. přednáška Eukleidovská geometrie Osnova přednášky • Eukleidovské prostory • Velikost vektorů a vzdálenost podprostorů • Odchylky podprostorů • Orientovaný objem rovnoběžnostěnu a Orientace a vektorový součin v IR3 8. přednáška Eukleidovská geometrie 2/27 Eukleidovské prostory V afinní geometrii zkoumáme vzájemnou polohu geometrických útvarů, zatímco eukleidovská geometrie počítá jejich -g? vzdálenosti, odchylky a objemy. Standardní bodový euklidovský prostor £n je afinní prostor An, jehož zaměřením je vektorový prostory,se standardním skalárním součinem \* ^ (x, y) = x1y1 + x2y2 + • • • + xnyn. A» Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A0] a) s ortonormální bazí a. Vzdálenost bodů A,Be£n definujeme jako velikost vektoru Euklidovské podprostory v £n jsou afinní podprostory, jejichž zaměření uvažujeme spolu se standardním skalárním součinem. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 3/27 Vzdálenost bodů Vzdálenost bodů A a B budeme označovat dist(/A, B). Pro ^ každé tři body A,B,Ce £n platí • dist(/4, B) = dist(B,/4), symetrie, • dist(A B) = 0 právě, když A = £, l^T*> • dist(/A, B) + dist(B, C) > dist(/A, C), trojúhelníková nerovnost. V kartézké souřadné soustavě (A0; mají body A = A0 + a^e^ ^-----h anem B = A0 + e^ H-----h fcnen vzdálenost (a/ _ ^/)2- Definice Vzdálenost dvou afinních podprostorů V a Q definujeme takto dist(P, Ql = min{dist(A B) \ A e V, B e Q}. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 4/27 q 46'. (A-B) «(t"B)-^ 3 Vzdálenost bodu od afinního podprostoru Ukážeme si, jak počítat vzdálenost bodu Aod roviny ^ v g3. V rovině Odvažujme nějaký bodj?. Potom q = B + Z(q). Nechť /_je pata kolmice vedené z bodu A na rovinu q. (Malujte si obrázek.) Vzdálenost bodu A od roviny q je rovna vzdálenosti bodů A a L dist(A q) = dist(A Ľ). —> —> —> Přitom vektor BA = BL + LA, kde je kolmá projekce vektoru BA do zaměření Z^\^ LA je kolmá projekce do ortogonálního. doplňku Z(Q)-L. Označíme-li Pz(q) kolmou projekci do Z(q) a Pz(q)± kolmou projekci do ^(Q)-1, dostáváme dist(AQ) = ||Pz(Q)^(ěŽ)ll a L=B+PZ{Q)(BÁ). Příklad Určete vzdálenost bodu A = [2,1,2] a roviny Q:[1,1,1] + ř(1,1,0) + s(0,1,1). 8. přednáška Eukleidovská geometrie 5/27 Vzdálenost bodu od roviny - řešení příkladu Vzdálenost A = [2,1,2] od Q : [1X 1 ] + f(1,1, Oj^+_s(0, 1,1 \ 9 Označme B = [1,1,1]. Prvně spočítáme ortogonální doplněk k zaměření roviny. Ten je generován vektorem n = (1,-1,1). Dále spočítáme kolmou projekci vektoru u = BA = (1,0,1) do Z(Q)X. Tu hledáme ve tvaru PZ(<2)-l(u) = a - n. Platí (u - a - n, n) = 0. Odtud a = §. Proto ° * 4Ht+> " dist(A fi) = || (1-11)*=?*^. • Nyní najdeme bodL.e Q, ve kterém se vzdálenost realizuje, tj. dist(/A, Ľ) = dist(/4, Q). /^"^^ L =_B+Pzíg)(u) = B + (u- PZ{Q)±(u)) ~~ "4 5 4 = [1,1,1]+((1,0,1)-(?,-|,|)) = 3'3'3 8. přednáška Eukleidovská geometrie 6/27 Vzdálenost bodu od roviny - alternativní řešení Předchozí príklad jde také řešit tak, že prvně spočítáme kolmou projekci vektoru BA = u do zaměření Z(Q). To je trochu složitější než počítat kolmou projekci do Z(Q)-L, neboť dim Z(Q) = 2 > 1 = dim Z(Q)±. Pak najdeme bod /_, kde se vzdálenost realizuje: /. = S+Pz(fi)(^) = [1JJ]+(|,|,|) = 4 5 4 3'3'3 a odtud dist(A Q) = dist(A L) = 8. přednáška Eukleidovská geometrie 7/27 Vzdálenost bodu od afinního podprostoru obecně Výpočet vzdálenosti bodu od libovolného afinního podprostoru v Sn provádíme analogicky. Stačí k tomu umět počítat ortogonální doplněk a kolmou projekci, což jsme se naučili v 6. přednášce. Nechť A je bod a Q afinnípodprostor v £n. Zvolme v Q nějaký bod B. Pak dist(A Q) = \\Pz{q)±(BA)\\, kde Pz(q)± Je kolmou projekcí do ortogonálního doplňku zaměření Z(Q)±. Bod, v němž se vzdálenost realizuje je Q = B + Pz(q)(BÁ) kde Pz(Q) Je kolmou projekcí do zaměření Z (Q). 8. přednáška Eukleidovská geometrie 8/27 Vzdálenost dvou přímek v £3 Mějme v £3 dvě přímky p a q. Jejich vzdálenost jsme definovali dist(p, q) = min{dist(P, Q)| P g p, Q g Q}. Představme si přímku, která je na obě přímky p a q kolmá. Potom se při kolmé projekci na tuto přímku promítne každá z přímek p a q do jediného bodu. Vzdálenost přímek je vzdáleností těchto dvou bodů. Přesněji to znamená následující: Vezměme bod A e p a bod B e q. Vzdálenost přímek p a q je rovna kolmé projekci vektoru ÄŠ do ortogonálního doplňku k «sŕ součtu zaměření Z(p) + Z{q) obou přímek. p v * 1 Body P e p a Q e q jsou charakterizovány vlastností PÔ±(Z(P) + Z(q)). Ukažme si výpočet na príkladu. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 9/27 Příklad - vzdálenost přímek ' Příklad_1 V £3 určete vzdálenost přímek A 3 p: [-4,5,5]+ ř(1,-1,0), a q: [1,6,8] + s(0,2,-1). Položme A = [-4,5,5] a B = [1,6,8]. Vektor ďŽ= , Q) = dist(P, Q). Zvolíme-HA e V a B e Q, je vektor PO _ P(Z(P)+Z(Q))±(^e), kde P(z(P)+z(Q))^(^Ž) je kolmý průmět vektoru do (Z(V) + Z{Q))L Vzdálenost V a Q je tedy dist(P,Q) = ||( pz(v)+z(q))± (ďŽ)ll 8. přednáška Eukleidovská geometrie 12/27 Příklad - vzdálenost podprostorů Příklad Určete vzdálenost podprostorů v £5: a : [3,3,^,4,1] + a(0,1,0,2,-1) + 6(1,-1,1,0,-1) p: [2,-1,2,2,3] + s(1,-1,1,-1,1). Z(a) + Z(p) = U= [(0,1,0 2,-1), (1,-1,1,0,-1), (1,-1,1,-1,1)] ^ = CiJUlAP),(1 3 Y-? ^i)J, (* %it * v^ " A = [3,3,5,4,1], B= [2,-1,2,2,3], v ' 1 ' AŠ = B - A_= (-1, -4, -3, -2,2).« -2 0 0 Odchylka dvou vektorů 14 *Q' V - p> Pro dva nenulové vektory u a v vždy platí 0 < u, v u v < 1 Má tedy smysl následující definice. Definice Odchylka a(u, v) vektorů u, v e V ve vektorovém prostoru se skalárním součinem je dána vztahem cosa(u, v) = u,v u v , 0 < a(u, v) < 7T. (tu tl Kvil é£ // £ I u U f vij 8. přednáška Eukleidovská geometrie 14/27 Odchylky afinních podprostoru v 83 Definice 1) Odchylka dvou přímek p a q se zaměřeními [u] a [v] je úhel a(p, q) e [0, §], pro který platí cos a(p, q) — u v 3 2) Nechťj}je přímka se zaměřením [u] a^je rovina v £3._ Odchylka přímky p a roviny p je úhe a(p, p) e [0, % Lkterý se rovná odchylce vektoru i/ od kolmé projekce P(u) vektoru u do zaměření roviny: /cos cosa(p, p) — u,P(u))\ \\P(u) u\\ \P(u u 8. přednáška Eukleidovská geometrie 15/27 Tu-P ir Z. Odchylky - pokračování Definice 3) Jsou-li p a a dvě roviny v £3, které jsou totožné nebo rovnoběžné, pak je jejich odchylka rovna 0. 4) Je-li průnikem dvou rovin p a^v £3 přímka p, pak je jejich odchylka a(p, a) rovna úhlu, který svírá přímka Z(p) n Z(p)-1 s přímkou Z (a) n Z(p)-1 (nakreslete si obrázek) a(p,a} = a(Z(^) n Z(p)^ Z(a) n Z(p)-1). Při počítání odchylky dvou rovin lze také také využít skutečnost, ) že jejich odchylka je rovna odchylce ieiich normálových přímek J (přímek kolmých k rovinámUPři počítání odchylky přímky p od roviny p s normálovou pľlľríKou n je a(p,p) = % - a(p, rí). 8. přednáška Eukleidovská geometrie 16/27 1... Aru**, Odchylka podprostorů - příklad Příklad Je dána krychle ABCDAlB10D' (ve standardním označení, tj. ABCD a NB'GD' jsou stěny, AN pak hrana). Určete odchylku vektorů^7 a ADf. Uvažujme krychli o hraně 1 a umístěme ji v M3 tak, že bod A n^ej bude mít ve standardní bázi souřadnice [0,0,0], bod B pak souřadnice [1,0,0] a bod C souřadnice [1,1,0]. Potom má bpdp ^ B' souřadnice [1,0,1] a bod D' souřadnice [0,1,1]. Pro^# jr*-"—"7 vyšetřované vektory tedy můžeme psát /_[ ^£=g-^ = [L&U-KLO,0] = (to,iL ACa^nCfM AD' = O - A = [0, J., U - [0,0,0] = (0,1,1). Podle definice J g odchylky ^ těchto vektorů je pak ' cos( tedy (p = 60°. (1,0,1) 8. přednáška (0,1,1) 1 2' 7T "3 Eukleidovská geometrie 17/27 Odchylka podprostorů - příklad II Příklad Určete odchylku rovin cr P [1,0,2] +&(1.-1.-n + ^70.1.-2} [3,3,3] +.f-(1,-2,0) + s(0,1,ť) . Průsečnice má směrový vektor (1,-1,1). Kolmá rovina k ní má rovnici- xo + x« = 01 Její průniky se zaměřeními daných rovin jsou postupné |(T,0, -1)] a [(0,1,1)]. Tyto přímky svírají úhel 60°, neboť ((1,0,-1),(0,1,1)j 1 (X-J cosc* [1(1,0,-1)1111(0,1,1)11 2" 8. přednáška Eukleidovská geometrie 18/27 fC^í fixfjtotró' ýtoo siel*"* Rovnoběžnostěn a jeho objem Definice Nechť l/i , l/2, l/3, jsou lineárně nezávislé vektory v zaměření Rn, A e £3 je libovolný bod. Rovnoběžnostěn V{A\ u\, i/2, l/3) c £3 je množina P(A L/i , L/2, I/3) = {^+^1 L/1 + C2U2 + C3U3 | 0 < Cj < 1 , / = 1 , 2, /C}. Orientovaný objem rovnoběžnostěnu V (A, l/i , l/2, l/3) daného 4*frr»m vektory _l/i = (a, 6, cj, u2 = (ď, e, Q a l/3 = (g, A?, /) f y^P^j a b c d e f . 9 h m 1 Artf m 8. přednáška Eukleidovská geometrie 19/27 Orientace v prostoru Řekneme, ze uspořádaná trojice vektorů ,jJz,u^ je kladně _ orientovaná báze vektorového prostoru IR3", jestliže determinant matice 3 x 3, v jejichž sloupcích stojí postupně souřadnice vektoru 1/1, u? a u3 je kladny. Je-li tento determinant záporný, mluvíme o záporně orientované bázi. Ve fyzice se tento pojem přibližuje pomocí tzv. pravidla pravé ruky: Položte pravou ruku na vektor tak, aby malíček ukazoval ve směru vektoru a zahnuté prsty ve směru vektoru l/2. Ukazuje-li palec ve směru l/3, má báze , l/2, u3 kladnou orientaci. jViditelnosT^omocí orientace můžeme zjišťovat viditelnost. Mějme v ^čtyřstěn ABCD. Bod X leží na stejné straně roviny ABC jako bod D, jestliže trojice ÄÔ, ÄŽ) má stejnou orientaci jako trojice {A^,ÄC,Äu). Je-li příslušný determinant pro první trojici nulový, leží bod X v rovině ABC. Je-li orientace různá, je z bodu X vidět stěna ABC zadaného čtyřstěnu. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 20/27 p B y r A B , A AB, AC Ar Y- ofe AryiCCs ] Vektorový součin v Vektorový součin v(R3Tje zobrazení x : M3 x M3 ->• M3^ které vektorům*: = (x-i, x2, x3) a^ = (yi, y2, y^přiřazuje vektor x x y = z = (z\,z2,Z£) takový, že */^J /- 3- *1 = *2 Y2 *3 z2 = x2 *3 V2 /3 z3 = *1 x2 /i /2 VzteHrhezi ve kto roj vzorcem součinem a skalárním součinem ie dán Viv g R3 z, ív = (-0 je H>w-< Z tohoto vzorce lze vyčíst geometrický význam vektorového součinu. Vektor x x y je vektor kolmý k oběma vektorům x i y, jeho velikost je obsahem rovnoběžníku určeného vektory x a y a jsou-li x a y lineárně nezávislé, pak jsou vektory x, y a x x kladně orientované. // y*£g // - ŕfatA, i^y^á^uUt/ 8. přednáška Eukleidovská geometrie 21/27 =■ /(ßnrfrirC **** 'Aqs /Via,"**, y TR Shodná zobrazení v £3 Řekneme, že zobrazení F : gq -> £qje shodnost v prostoru, jestliže pro každé dva body X aY e £3 platí dist(F(X),F(V)) = dist(X, Y). Lze ukázat, že takové zobrazení je bijekce, zobrazuje přímky na přímky, roviny na roviny a zachovává odchylky mezi mezi těmito afinními podprostory. Shodná zobrazení jsou složením těchto tří typů: 1) Posunutí o pevný vektor u F(X) = X + u. 2) Otočení kolem přímky p o úhel a. Zvolme pevně A e p. Potom F{X) = A+Ra{X-A), kde R, procházející pnřátkpm ie otočení kolem přímky Z(p) 8. přednáška Eukleidovská geometrie 22/27 Shodná zobrazení - pokračování 3) Symetrie podle roviny p. Nechť A e p je pevný bod. Pak F(X) = A + SZ(P)(X -A) = A + (X-A)- 2Pz(p)x(X - A), kde SZ(P) : R3 -> R3 ie symetrie podle roviny Z(p) _ procházející počátkem. Tuto symetrii můžeme spočítat pomocí kolmé projekcePz(/9)±(X - A) vektoru X - A do Z(p)±. (Namalujte si obrázek.) Počítání se shodnými ^>brazeními si ukážeme na cvičení. 2® 8. přední ška Eukleidovská geometrie 23/27 Požadavky >ezek). Umět počítat: • Vzdálenost bodu a jpodprosto a \/7Hg|pnn.Qt pfínppklog • Odchylku dvou přímek, odchylka přímk • Odchylku dvou rovin mající jednodimenzionální průnik zaměření. • Objem rovnoběžnostěnu a čtyřstěnu. • Viditelnost. OKjÍaa/^^ Shodná zobrazeními v £3. 2**2. 9 0 8. přednáška Eukleidovská geometrie 24/27 Domácí úloha Příklad (8.1) V euklidovském prostoru E3 určete vzdálenost bodu B = [2,0,3] od přímky p : [-1,0,0] + ř(2, -2,1). Příklad (8.2) V prostoru E3 je dán čtyřstěn ABCD, kde /A = [-1,0,1], B = [1,2,-1], C = [-3,2,1] a D= [5,2,3]. Buď P pata výšky spuštěná z vrchlu D do roviny stěny ABC. Určete souřadnice bodu P a velikost výšky DP. Dále určete objem čtyřstěnu ABCD. Dále je dán bod X = [2,3, -10]. Zjistěte, které stěny čteřstěnu ABCD jsou z něho vidět. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 25/27 Domácí úloha Příklad (8.3) V euklidovském prostoru IR4 určete vzdálenost roviny a a přímky p: a : [0,0,1,1] + a-(0,1,0,1) + Ď-(1,-1,2,0) p : [1,4,2,0] + C-(-1,1,1,0) a body v nichž se realizuje. Příklad (8.4) V IR3 určete odchylku roviny a:x + 2y + z = 5a i) přímky p : [1000,2013,0] + ř- (1,1,1); ii) roviny 2x + y - z = 2013. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 26/27 Domácí úloha Příklad (8.5) Mějme v E3 body A = [2, -1,3], B = [1,2,3] a C = [2, -3,8]. Určete obsah trojúhelníku ABC. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 27/27