MB141 -8. přednáška Eukleidovská geometrie Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2021 8. přednáška Eukleidovská geometrie Osnova přednášky • Eukleidovské prostory • Velikost vektorů a vzdálenost podprostorů • Odchylky podprostorů • Orientovaný objem rovnoběžnostěnu o Orientace a vektorový součin v IR3 8. přednáška Eukleidovská geometrie 2/27 Eukleidovské prostory V afinní geometrii zkoumáme vzájemnou polohu geometrických útvarů, zatímco eukleidovská geometrie počítá jejich vzdálenosti, odchylky a objemy. Standardní bodový euklidovský prostor £n je afinní prostor An, jehož zaměřením je vektorový prostor Rn se standardním skalárním součinem (x, y) = x1y1 + x2y2 + • • • + xnyn. Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A0] a) s ortonormální bazí a. Vzdálenost bodů A,Be£n definujeme jako velikost vektoru \\AÉ\\ = y/(AŠ, AŠ). Euklidovské podprostory v £n jsou afinní podprostory, jejichž zaměření uvažujeme spolu se standardním skalárním součinem. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 3/27 Vzdálenost bodů Vzdálenost bodů A a B budeme označovat dist(/4, B). Pro každé tři body A,B,Ce £n platí • dist(/4, B) = dist(B,/4), symetrie, • dist(A B) = 0 právě, když A = £, • dist(A B) + dist(B, C) > dist(/A, C), trojúhelníková nerovnost. V kartézké souřadné soustavě (A0; e) mají body A = A0 + a^e^ ^-----h anem B = A0 + b^e^ -\-----h bnen vzdálenost \jYli=\iai ^/)2- Definice Vzdálenost dvou afinních podprostorů PaQ definujeme takto dist(P, Q) = min{dist(A B) \ A e V, B e Q}. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 4/27 Vzdálenost bodu od afinního podprostoru Ukážeme si, jak počítat vzdálenost bodu A od roviny q v £3. V rovině q uvažujme nějaký bod B. Potom q = B + Z(q). Nechť /_je pata kolmice vedené z bodu A na rovinu q. (Malujte si obrázek.) Vzdálenost bodu A od roviny q je rovna vzdálenosti bodů A a L dist(A q) = dist(A ľ). —> —> —^ Přitom vektor BA = BL + LA, kde BL je kolmá projekce vektoru BA do zaměření Z(Q) a LA je kolmá projekce do ortogonálního doplňku Z(q)±. Označíme-li Pz(q) kolmou projekci do Z(q) a Pz(q)± kolmou projekci do ^(Q)-1, dostáváme dist(AQ) = ||Pz(Q)^(ěŽ)ll a L = B+PZ{Q)(BÁ). Příklad Určete vzdálenost bodu A = [2,1,2] a roviny Q:[1,1,1] + ř(1,1,0) + s(0,1,1). 8. přednáška Eukleidovská geometrie 5/27 Vzdálenost bodu od roviny - řešení příkladu Vzdálenost A = [2,1,2] od Q : [1,1,1] + ŕ(1,1,0) + s(0,1,1) Označme B = [1,1,1]. Prvně spočítáme ortogonální doplněk k zaměření roviny. Ten je generován vektorem n = (1.-1,1). Dále spočítáme kolmou projekci vektoru u = BA = (1,0,1) do Z(Q)X. Tu hledáme ve tvaru PZ(Q)-l(u) = a - n. Platí (u - a - n, n) = 0. Odtud a = |. Proto dist(A Q) = \\ (§,-§,§) || = §-V3. Nyní najdeme bod L e Q, ve kterém se vzdálenost realizuje, tj. dist(/A, L) = dist(/A, Q). /_ = B + PZ{Q)(u) = B + (u- PZ{Q)±(u)) = [1,1,1]+ ((i,o,D-(§,-§,§)) = 4 5 4 3'3' 3 8. přednáška Eukleidovská geometrie 6/27 Vzdálenost bodu od roviny - alternativní řešení Předchozí príklad jde také řešit tak, že prvně spočítáme kolmou projekci vektoru BA = u do zaměření Z(Q). To je trochu složitější než počítat kolmou projekci do Z(Q)-L, neboť dimZ(O) = 2 > 1 = dimZ(Q)-L. Pak najdeme bod L, kde se vzdálenost realizuje: /. = e + pz(e)(i7) = [i,i,i] + Q,|l) = a odtud 4 5 4 3'3'3 dist(A Q) = dist(A L) = || [2,1,2]- 4 5 4 3' 3'3 8. přednáška Eukleidovská geometrie 7/27 Vzdálenost bodu od afinního podprostoru obecně Výpočet vzdálenosti bodu od libovolného afinního podprostoru v Sn provádíme analogicky. Stačí k tomu umět počítat ortogonální doplněk a kolmou projekci, což jsme se naučili v 6. přednášce. Věta Nechť A je bod a Q afinnípodprostor v £n. Zvolme v Q nějaký bod B. Pak _^ dist(A Ô) = 11^(0-^(^)11, kde Pz{q)^ Je kolmou projekcí do ortogonálního doplňku zaměření Z(Q)±. Bod, v němž se vzdálenost realizuje je Q = e+Pz(Q)(ě^, kde Pz(q) Je kolmou projekcí do zaměření Z (Q). 8. přednáška Eukleidovská geometrie 8/27 Vzdálenost dvou přímek v £3 Mějme v £3 dvě přímky p a q. Jejich vzdálenost jsme definovali dist(p, q) = min{dist(P, Q)| P e p, Q e q}. Představme si přímku, která je na obě přímky p a g kolmá. Potom se při kolmé projekci na tuto přímku promítne každá z přímek p a g do jediného bodu. Vzdálenost přímek je vzdáleností těchto dvou bodů. Přesněji to znamená následující: Vezměme bod Ae pa bod B e q. Vzdálenost přímekpa qje rovna kolmé projekci vektoru AŠ do ortogonálního doplňku k součtu zaměření Z(p) + Z(q) obou přímek. dist(p, q) - ||P(z(p)+z(qf))-L Body P e p a Q e q jsou charakterizovány vlastností PŽ ± (z(p) + z(q)). Ukažme si výpočet na příkladu. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 9/27 Příklad - vzdálenost přímek Příklad V £3 určete vzdálenost přímek p: [-4,5,5] + ř(1,-1,0), a qr: [1,6,8]+ s(0,2,-1). • Položme A = [-4,5,5] a B = [1,6,8]. Vektor AĚ= u= (5,1,3). • Ortogonální doplněk součtu zaměření Z(p) + Z(q) je [(1,-1,0), (0,2,-1)]x = [(1,1,2)]; v = (1,1,2). • Kolmá projekce vektoru u do [v] je #$-v = 2(1,1,2) = (2,2,4). • Vzdálenost přímek je dist(p, q) = ||(2,2,4)|| =2^/6- • Body P e p a Q e q, které realizují vzdálenost přímek, určují vektor, který se rovná výše spočtené kolmé projekci: PŽ = (2,2,4). 8. přednáška Eukleidovská geometrie 10/27 Příklad - pokračování Hledáme je ve tvaru p = [-4,5,5] + ř(1, -1,0) a Q = [1,6,8] + s(0,2, -1). Dostaneme tak soustavu tří rovnic pro neznámé t a s: Její řešení je t = 3 a s = -1. Proto p=[-4,5,5]+3(1,-1,0) = [-1,2,5]a q=[1,6j8] + (-1)(0,2j-1) = [1j4j9]. Přímka pq, která je kolmá k přímce p i q a obě přímky protíná, se nazývá osa mimoběžek p a q. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 11/27 Vzdálenost podprostorů Obecně se vzdálenost podprostorů počítá dle stejného principu. (Vzdálenost se realizuje v kolmém směru.) Pro každé dva afinní podprostory V a Qv£n existují body P eV a Q e Q, které realizují jejich vzdálenost, tj. dist(7>, Q) = dist(p, q). Zvolíme-HA eV aBeQ,je vektor PO = p (z(p)+z(q)) _L kde P(z(v)+z(Q))±(Äé) Je kolmý průmět vektoru do (Z(V) + Z{Q))L Vzdálenost V a Q je tedy dist(P,Q) = ||( (Äé) 8. přednáška Eukleidovská geometrie 12/27 Příklad - vzdálenost podprostorů Příklad Určete vzdálenost podprostorů v £5: a : [3,3,5,4,1] + a(0,1,0,2,-1)+ 6(1,-1,1,0,-1) p: [2,-1,2,2,3] + S(1,-1,1,-1,1). j Z(a) + Z(p) = U= [(0,1,0,2,-1), (1,-1,1,0,-1), (1,-1,1,-1,1)], ^ = [(1,0,-1,0,0), (1,3,1,-2,-1)], A= [3,3,5,4,1], B = [2,-1,2,2,3], AB = B - A = (-1, -4, -3, -2,2). Je třeba určit projekci AŠ do U±. Zkuste dopočítat sami. Projekcí do U1^ určíme i projekci do U a naopak. Proto si můžeme vybrat, do kterého z těchto dvou podprostorů bude jednodušší projekci počítat. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 13/27 Odchylka dvou vektorů Pro dva nenulové vektory u a v vždy platí 0 < u, v u v < 1 Má tedy smysl následující definice. Definice Odchylka a(u, v) vektorů u, v e V ve vektorovém prostoru se skalárním součinem je dána vztahem cosa(u, v) = u,v u v , 0 < a(u, v) < 7T. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 14/27 Odchylky afinních podprostorů v 83 Definice 1) Odchylka dvou přímek p a q se zaměřeními [u] a [v] je úhel a(p, q) e [0, §], pro který platí cos a(p, q) = v u v 2) Nechť p je přímka se zaměřením [u] a p je rovina v 53. Odchylka přímky p a roviny p je úhel a(p, p) e [0, |] který se rovná odchylce vektoru u od kolmé projekce P(u) vektoru u do zaměření roviny: cos a(p, p) — (u, P{u))\ II P(u) u\\ \\P(u)\\ \\u\ 8. přednáška Eukleidovská geometrie 15/27 Odchylky - pokračování Jsou-li p a a dvě roviny v £3, které jsou totožné nebo rovnoběžné, pak je jejich odchylka rovna 0. Je-li průnikem dvou rovin p a a v £3 přímka p, pak je jejich odchylka a(p, a) rovna úhlu, který svírá přímka Z(p) n Z(p)-1 s přímkou Z (a) n Z(p)-1 (nakreslete si obrázek) a(p, a) = a(Z(a) n ZCp)-1, Z(a) n Z{p)^). Při počítání odchylky dvou rovin lze také také využít skutečnost, že jejich odchylka je rovna odchylce jejich normálových přímek (přímek kolmých k rovinám). Při počítání odchylky přímky p od roviny p s normálovou přímkou n je a(p, p) = f - a(p, n). 8. přednáška Eukleidovská geometrie 16/27 Defi 3) 4) Odchylka podprostorů - příklad Příklad Je dána krychle ABCDAIB'C'D' (ve standardním označení, tj. ABCD a NE'CD' jsou stěny, AN pak hrana). Určete odchylku vektorů ABf a ADf. Uvažujme krychli o hraně 1 a umístěme ji v IR3 tak, že bod A bude mít ve standardní bázi souřadnice [0,0,0], bod B pak souřadnice [1,0,0] a bod C souřadnice [1,1,0]. Potom má bod B' souřadnice [1,0,1] a bod D' souřadnice [0,1,1]. Pro vyšetřované vektory tedy můžeme psát ABf = Bf - A = [1,0,1 ] - [0,0,0] = (1,0,1), AD' = Df -A= [0,1,1] - [0,0,0] = (0,1,1). Podle definice odchylky

, c), l/2 = (cř, e, f)au3 = (g, h, i) je a d g beh c f i 8. přednáška Eukleidovská geometrie 19/27 Orientace v prostoru Řekneme, že uspořádaná trojice vektorů 1/1,1/2, u3 je kladně orientovaná báze vektorového prostoru IR3, jestliže determinant matice 3 x 3, v jejichž sloupcích stojí postupně souřadnice vektorů , u2 a u3 je kladný. Je-li tento determinant záporný, mluvíme o záporně orientované bázi. Ve fyzice se tento pojem přibližuje pomocí tzv. pravidla pravé ruky: Položte pravou ruku na vektor tak, aby malíček ukazoval ve směru vektoru a zahnuté prsty ve směru vektoru l/2. Ukazuje-li palec ve směru l/3, má báze 1/1, l/2, u3 kladnou orientaci. Viditelnost. Pomocí orientace můžeme zjišťovat viditelnost. Mějme v A3 čtyřstěn ABCD. Bod X leží na stejné straně roviny ABC jako bod D, jestliže trojice (ŤlŽ, ÄÔ, ÄŽ) má stejnou orientaci jako trojice {A^,ÄC,Äu). Je-li příslušný determinant pro první trojici nulový, leží bod X v rovině ABC. Je-li orientace různá, je z bodu X vidět stěna ABC zadaného čtyřstěnu. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 20/27 Vektorový součin v Vektorový součin v IR3 je zobrazení x : R3 x 83 4 IR3, které vektorům x = (x-i, x2, x3) a y = (yi, y2, y3 přiřazuje vektor x x y = z = (zi,z2,z3) takový, že x2 y2 X3 /3 Z2 = x2 y2 X3 y3 Z3 = x2 y2 Vztah mezi vektorovým součinem a skalárním součinem je dán vzorcem *i V\ "1 Vív e R3 : (z, zv) = x2 y2 u2 *3 y3 U3 Z tohoto vzorce lze vyčíst geometrický význam vektorového součinu. Vektor x x y je vektor kolmý k oběma vektorům x i y, jeho velikost je obsahem rovnoběžníku určeného vektory x a y a jsou-li x a y lineárně nezávislé, pak jsou vektory x, y a x x y kladně orientované. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 21/27 Shodná zobrazení v £3 Řekneme, že zobrazení F : £3 -> £3 je shodnost v prostoru, jestliže pro každé dva body X a Y e £3 platí dist(F(X),F(V)) = dist(X, Y). Lze ukázat, že takové zobrazení je bijekce, zobrazuje přímky na přímky, roviny na roviny a zachovává odchylky mezi mezi těmito afinními podprostory. Shodná zobrazení jsou složením těchto tří typů: 1) Posunutí o pevný vektor u F(X) = X + u. 2) Otočení kolem přímky p o úhel a. Zvolme pevně A e p. Potom F(X) = A+Ra(X-A), kde Ra : R3 -> R3 je otočení kolem přímky Z(p) procházející počátkem. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 22/27 Shodná zobrazení - pokračování 3) Symetrie podle roviny p. Nechť A e p je pevný bod. Pak F(X) = A + Sz{p){X-A) = A + {X-A)-2Pz{p),(X - A), kde Sz(p) : K3 ^ IR3 je symetrie podle roviny Z(p) procházející počátkem. Tuto symetrii můžeme spočítat pomocí kolmé projekcePz(/9)±(X - A) vektoru X - A do Z(p)±. (Namalujte si obrázek.) Počítání se shodnými zobrazeními si ukážeme na cvičení. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 23/27 Požadavky Umět počítat: • Vzdálenost bodu a podprostorů. • Vzdálenost přímek (osa mimoběžek). o Odchylku dvou přímek, odchylka přímky a roviny. o Odchylku dvou rovin mající jednodimenzionální průnik zaměření. • Objem rovnoběžnostěnu a čtyřstěnu. • Viditelnost. • Vektorový součin. • Shodná zobrazeními v £3. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 24/27 Domácí úloha Příklad (8.1) V euklidovském prostoru E3 určete vzdálenost bodu B = [2,0,3] od přímky p : [-1,0,0] + ř(2, -2,1). Příklad (8.2) V prostoru E3 je dán čtyřstěn ABCD, kde /A = [-1,0,1], B = [1,2,-1], C = [-3,2,1] a D= [5,2,3]. Buď P pata výšky spuštěná z vrchlu D do roviny stěny ABC. Určete souřadnice bodu P a velikost výšky DP. Dále určete objem čtyřstěnu ABCD. Dále je dán bod X = [2,3, -10]. Zjistěte, které stěny čteřstěnu ABCD jsou z něho vidět. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 25/27 Domácí úloha Příklad (8.3) V euklidovském prostoru IR4 určete vzdálenost roviny a a přímky p: a : [0,0,1,1] + a-(0,1,0,1) + Ď-(1,-1,2,0) p : [1,4,2,0] + C-(-1,1,1,0) a body v nichž se realizuje. Příklad (8.4) V IR3 určete odchylku roviny a:x + 2y + z = 5a i) přímky p : [1000,2013,0] + ř- (1,1,1); ii) roviny 2x + y - z = 2013. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 26/27 Domácí úloha Příklad (8.5) Mějme v E3 body A = [2, -1,3], B = [1,2,3] a C = [2, -3,8]. Určete obsah trojúhelníku ABC. 8. přednáška Eukleidovská geometrie 27/27