MB141, zkouška 15. 6. 2022
Příklad. 1A. Určete vzdálenost přímek
p: [2,0,3] + a(l,-1,1)   a   q : [2, 6,-1] + 6(0,-1, 3) a body PEpaQeq,\ nichž se vzdálenost (osa) realizuje.
Řešení. Položme A = [2,0,3], u = (1,-1,1), B = [2,6,-1], v = (0,-1,3). Rozdíl hledaných bodů P = A + auEpaQ = B + bvEqje, kolmý na směrové vektory u a v obou přímek. Proto
(au — bv,u) =(B — A,u), (au — bv, v) =(B — A, v) To vede na soustavu pro neznámé a, b s maticí
2 -5
3 -4
"9 1 ~ (  1 1
-10 0 -7
Řešení je a = —2,b = 1. Hledané body jsou
P = [2, 0, 3] - 2(1, -1,1) = [0, 2,1],   Q = [2,6, -1] + (0, -1, 3) = [2, 5,2]. Vzdálenost je
dist(p, g) = dist(P,Q) = ||(2,3,1)|| = \/Í4.
Alternativně lze najít směrový vektor n pro osu PQ jako kolmý na u i w a následně řešit rovnici A + au + cn = 5 + bv. □ Bodování. Sestavení rovnic (nebo nalezení kolmého vektoru a sestavení rovnic) 2 body
Výpočet a,bl bod
Body P, Q a vektor      2 body
Vzdálenost 1 bod □
i
2
je symetrie podle přímky se směrovým vektorem
Příklad. 2A. Zobrazení ip : u = (1,1,2).
(a) Najděte matici A tak, aby ve standardních souřadnicích bylo
A ■
(b) Je A ortogonální matice? Zdůvodněte svou odpověď.
(c) Najděte inverzní matici A-1.
Řešení, (a) Symetrie podle přímky zobrazuje směrový vektor u na sebe. Dále platí, že libovolný vektor kolmý na směrový se zobrazí na opačný. Stačí tedy zvolit libovolné dva vzájemně nezávislé vektory v, w kolmé na u, např. v = (1,-1,0) aw = (0, 2,-1). Trojice u, v, w tvoří bázi prostoru IR3 a vztahy
<p{u) = u,   ip{v) = —v,   <p(w) = —w
jednoznačně určují zobrazení tp. Odtud již můžeme určit hodnoty zobrazení tp na vektorech ei, e2, e3 standardní báze a tyto hodnoty tvoří sloupce hledané matice. Pro výpočet pišme vektory do řádků
\ /
/
1 1
x
1 -1
2
if(x)
1
-1 0
6 0
\0 0
x
0 o
6 0
-4 2 2
ip(x) \
2 4
-4 4
2 1/
Tedy matice
(b) Sloupce matice jsou na sebe kolmé a mají jednotkovou velikost. Proto je matice ortogonální.
(c) Protože je A ortogonální je A^1 = AT = A. Jiné zdůvodnění spočívá v tom, že se spočítá součin A ■ A = E. □
Bodování, (a) Úvaha, kam se zobrazuje u 1 bod
Výběr dvou nezávislých vektorů z kolmé roviny a úvaha, kam se zobrazují 1 bod Sestavení schématu/soustavy pro výpočet matice 1 bod Výpočet matice 1 bod
(b) Zdůvodnění ortogonality 1 bod
(c) Výpočet inverze 1 bod □
3
Příklad. 3A. Matematik musí v rámci plnění svých pracovních povinností mnohokrát denně procházet mezi kampusem a ulicí. Rád si přitom prodlužuje cestu průchodem botanickou zahradou. Dvě zahradní branky (mezi kampusem a zahradou a mezi ulicí a zahradou) náhodně a nezávisle zamyká a odemyká vrátný, v důsledku čehož bývá každá z nich otevřená s pravděpodobností 1/2. Přímý průchod vrátnicí mezi kampusem a ulicí je vždy otevřený. Chování matematika je popsáno pravidly:
• Pokud se dostane do kampusu nebo na ulici z jiného místa, vykročí v příštím tahu směrem do zahrady.
• Pokud je v zahradě, snaží se pokračovat v načatém směru pochodu.
• Vždy když narazí na zamknutou branku, otočí se a v příštím tahu půjde ke druhému východu.
Všechny jednotkové přesuny i neúspěšné pokusy o překonání branky trvají stejnou dobu. Modelujte pohyb matematika pomocí Markovova procesu. [Návod: stav je definován pozicí i orientací, celkem jich tak bude šest.]
(a) Napište matici tohoto procesu.
(b) Určete řádek a sloupec prvku matice označující přechod ze stavu „matematik je v zahradě a míří do kampusu" do stavu „matematik je v kampusu a míří do zahrady".
(c) Určete, na kterém místě se bude po delším čase matematik nacházet nejčastěji a určete s jakou pravděpodobností.
(d) Předpokládejme, že na začátku byl matematik v kampusu a hleděl k zahradě. Určete, s jakou pravděpodobností skončí za tři tahy na ulici.
Řešení, (a) Označme si třeba směr kampus-ulice-zahrada-kampus jako kladný a směr kampus-zahrada-ulice-kampus jako záporný. Pro posloupnost stavů (K~, K+, Z~, Z+, U~, U+) dostaneme matici
/O    0    0    1/2   1    0 \ 1/2  0    0     0    0 0 1/2  0    0    1/2  0 0 0    0   1/2    0    0 1/2 0    0    0     0    0 1/2 V 0    1   1/2    0    0    0 /
(b) V našem označení se jedná o přechod Z+ —řK~, tedy prvek v prvním řádku a čtvrtém sloupci.
(c) Spočítáme pravděpodobnostní vlastní vektor k vlastnímu číslu 1 matice M.
(M — E) x = 0,    X\ + x2 + x3 + rr4 + rr5 + x$ = 1. To vede na homogenní soustavu
	0	0	1/2	1	0 "\			-2	0	0	0	
1/2	-1	0	0	0	0		0	2	1	0	0	-2
1/2	0	-1	1/2	0	0		0	0	1	-2	0	1
0	0	1/2	-1	0	1/2		0	0	0	5	0	-5
0	0	0	0	-1	1/2		0	0	0	0	-2	1
V o	1	1/2	0	0	-1/		\o	0	0	0	0	0/
4
Řešení je x = jq(2, 1, 2, 2,1, 2)T. Nejčastěji se matematik nachází v zahradě, a to s pravděpodobností j| + j| = ^.
(d) Hledaná pravděpodobnost je součet páté a šesté složky vektoru M3 • (1, 0, 0, 0,0, 0)T a to jsou 3/8. □
Bodování, (a) Matice 2 body
(b) Význam koeficientu 1 bod
(c) Vlastní vektor 1 bod, místo a pravděpodobnost 1 bod
(d) Postup a výpočet 1 bod □
5
Příklad. 4A. Šifrou RSA s veřejným klíčem n = 119 a šifrovacím exponentem e = 31 bylo posláno číslo Z = 53. Šifru prolomte a určete zaslanou zprávu M E {1,2,..., 119}. [Návod: využívejte rozklad modulu na součin mocnin prvočísel.]
Řešení. K prolomení šifry potřebujeme najít inverzi d exponentu e modulo y?(119) = 96, což umíme provést několika způsoby. Např. rozložením 96 = 3 • 32 dostaneme soustavu kongruencí
31d = 1   mod 3, 31d = 1   mod 32,
které nejprve vyřešíme odděleně
d = 1   mod 3, d = — 1   mod 32,
a poté najdeme společný výsledek pro původní modul d = 31 mod 96.
Dešifrování zprávy provedeme umocněním Zd mod 119. Opět se vyplatí využít rozklad modulu 119 = 7-17. S využitím malé Fermatovy věty v prvním kroku dostáváme
5331 = 41 = 4   mod 7
a
5331 _ 215 = 2 . 47 = g . 163 _ g . ^_^3 = _g _ g mod
odkud již určíme 5331 = 60 mod 119. □
Bodování. Úvaha, že dešifrovaná zpráva je tvaru Zd mod n, kde ed = 1 mod <p(n) 1 bod Výpočet íp(n) 1 bod Výpočet inverze d = e-1 2 body
Dešifrování zprávy 2 body □