A. Zkouška z MB141, 25. 5. 2022
Příklad. 1A. [6 bodů] V A4 jsou dány tři body body A = [1, 2,1,2], 5 = [2, 0,1, 3], C = [0,1, —2,4] a afinní podprostor .M zadaný rovnicí
X\ + rr2 — %3 — %4 = — 1 •
(a) Napište parametrickou rovnici roviny p, která je určena body A, B, C. [2 body]
(b) Napište obecný (implicitní) popis roviny p pomocí soustavy rovnic. [2 body]
(c) Spočítejte průnik p n M.. [2 body]
Řešení, (a) Parametrická rovnice roviny p je
A + a(B - A) + b(C - A) = [1,2,1, 2] + a(l, -2, 0,1) + 6(-l, -1, -3, 2).
(b) Nejdříve najdeme homogenní soustavu rovnic pro zaměření roviny p. Pro hledané koeficienty ci, C2, C3, C4 rovnic ci^i + C2X2 + C3X3 + C4X4 = 0 musí platit soustava rovnic
ci — 2c2 + c4 = 0,    —ci — c2 — 3c3 + 2c4 = 0
Její řešení je s(l, 1, 0,1) + í(2,1,-1,0). Homogenní rovnice jsou
xi + X2 + X4 = 0,   2^i + X2 — x% = 0.
Dosazením souřadnic bodu A do levých stran dostaneme soustavu rovnic pro n
xi + X2 + X4 = 5,   2^i + X2 — x% = 3.
(c) Průnik pf] Ai spočítáme tak, že parametrické vyjádření roviny p
x\ = 1 + a — b, X2 = 2 — 2a — b, x% = 1 — 36, X4 = 2 + a + 26 dosadíme do rovnice pro Ai. Dostaneme rovnici
-2a - 6 = -1,
která má řešení a = t, b = 1 — 21 Dosazením do parametrické rovnice pro p dostaneme parametrické vyjádření průniku, kterým je přímka
[0,1, -2,4] + í(3, 0, 6, -3) = [0,1, -2,4] +      0, 2,-1).
Jiným způsobem lze průnik spočítat řešením tří rovnic z obecných popisů afinních pod-prostorů. Matice soustavy je
-1 -1 0 1 -1 0
1  0 1 -1   1 2 0   1 2
Řešením je přímka [4,1, 6, 0] +      0, 2, -1) = [0,1, -2,4] +      0, 2,-1).
Řešení, které hledá prvně parametrické vyjádření pro M. a průnik hledá z parametrických vyjádření obou afinních podprostorů je nešikovné, zdlouhavé, a proto při něm dojde lehce k chybě. □
Bodování. Parametrické vyjádření roviny p za 2 body. Soustava rovnic pro p, správný postup 1 bod, výsledek 1 bod. Vhodný postup výpočtu průniku 1 bod , správný výsledek 1 bod. □
2
Příklad. 2A. [6 bodů] Ukažte, že matice
1 ( "2  _1 M A = -       2-2 1
3 \    1     2 2/
je ortogonální, a zjistěte, jaké geometrické zobrazení v £3 popisuje předpis <p(x) = Ax, kde x = (xi, x2, x3)T je sloupec standardních souřadnic v V případě symetrie popište explicitně osu nebo rovinu symetrie, v případě otočení určete osu otáčení a kosinus úhlu otočení.
Řešení. Sloupce matice jsou na sebe kolmé a mají jednotkovou velikost. Proto je matice ortogonální. Jinak to lze ověřit tak, že spočítáme A ■ AT = E.
Spočítáme determinant matice A. Ten je roven 1, proto musí mít matice vlastní číslo 1 a proto je také dané zobrazení otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem, který je vlastním vektorem k vlastnímu číslu 1.
Jinak. Zkusíme, zda matice má vlastní číslo 1 a —1. Zjistíme, že má pouze jedno reálné vlastní číslo, a to 1. Proto je dané zobrazení otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem, který je vlastním vektorem k vlastnímu číslu 1.
Spočítáme vlastní vektor k vlastnímu číslu 1. Jsou to násobky vektoru u = (1,1, 3)T. Je dobré provést kontrolu tím, že se přesvědčíme, že skutečně Au = u.
Nyní zjistíme úhel otočení a. Vezmeme nějaký nenulový vektor kolmý k u, např. v = (1,-1, 0)T. Spočítáme
V  3'3' 3J
Cosinus úhlu otočení bude
(v, Av) 5 cos a = -—————- = —.
\\v\\ ■ \\Av\\ 6
Závěr: Dané zobrazení je otočení kolem osy [0, 0, 0] + a(l, 1, 3) o úhel a.
□
Bodování. Kontrola ortogonality 1 bod.
Výpočet determinantu 1 bod, výpočet vlastního vektoru kil bod
NEBO zjištění, že 1 je vlastní číslo, ale —1 nikoliv 1 bod, výpočet vlastního vektoru kil bod.
Úvaha, že jde o otočení kolem osy určené vlastním vektorem kil bod. Volba kolmého vektoru v a jeho zobrazení Av 1 bod. Výpočet cosinu úhlu otočení 1 bod.
□
3
Příklad. 3A. [6 bodů] Profesor má 3 oblíbené otázky, z kterých se u každého zkouškového termínu jedna objeví. Profesor nikdy nepoužije stejné otázky po sobě. Když naposledy použil otázku 1, hodí mincí a v případě, že padne líc, zadá otázku 2. Když použil otázku 2, hází 2 mincemi a přejde k otázce 3, pokud je líc na obou mincích. Pokud naposledy zadal otázku 3, tak si hodí 3 mincemi a přejde k otázce 1, když na všech třech padl líc.
(a) Modelujte zadávání otázek pomocí Markovova procesu. Určete jeho matici. [2 body]
(b) Pomocí maticového násobení zjistěte, jaká je pravděpodobnost, že u třetího termínu zadá otázku 2, jestliže u prvního zadal otázku 1. [1 bod]
(c) Za předpokladu, že tímto způsobem zadává otázky hodně dlouho, zjistěte, kterou otázku zadává nejčastěji - výsledek vyjádřete v procentech a vysvětlete, jak jste k němu dospěli. [3 body]
Řešení. Matice Markovova procesu je
/ 0    3/4 l/8\ M = I 1/2    0 7/8 \l/2   1/4    0 /
Spočteme-li M2 = M ■ M, dostaneme matici se všemi vstupy kladnými. Proto je M primitivní matice.
Pravděpodobnost, že profesor zadá u třetího termínu 2. otázku, když u prvního zadal 1. otázku je dána druhou složkou součinu
M-M ■
a taje 7/16.
Při dlouhodobém zadávání se pravděpodobnosti zadání jednotlivých otázek blíží pravděpodobnostnímu vektoru, který je vlastním vektorem matice M k vlastnímu číslu 1. Řešíme proto homogenní soustavu
(M - E)x = 0. Její matici upravíme na schodovitý tvar
-1   3/4  l/8\      ŕ A  -8 7\ 1/2   -1   7/8-0  -2  3 . 1/2   1/4   -1/      \0    0 0/
Vlastní vektory jsou a(5, 6,4). Pravděpodobnostní vektor je
(1/3,2/5,4/15).
V dlouhodobém horizontu pokládá profesor nejčastěji otázku 2, a to s pravděpodobností 2/5, tj. 40%. □ Bodování. Správná matice 2 body. Výpočet 7/16 1 bod.
Soustava pro vlastní vektor a její úprava na schodovitý tvar 1 bod. Správné řešení ve formě pravděpodobnostního vektoru 1 bod.
Správné určení otázky a správná procenta 1 bod. □
4
Příklad. 4A. [6 bodů] Julie a Romeo komunikují šifrou Elgamal. Oba se dohodli na prvočísle p = 19 a na primitivním kořenu g = 10. Julie si za svůj tajný klíč zvolila číslo a = 11, Romeo má svůj tajný klíč b.
(a) Ověřte, že 10 je skutečně primitivní kořen modulo 19. [1 bod]
(b) Jaký údaj poskytla Julie Romeovi? [1 bod]
(c) Romeo posléze poslal Julii jako zprávu dvojici čísel (gb = 7, 4). Pomozte Julii s dešifrováním zprávy. [4 body]
Proveďte celý výpočet bez použití kalkulačky nebo jakéhokoliv softwaru.
Řešení, (a) ^(19) = 18 = 2 • 32. Proto 1018 = 1 mod 19. Počítáme modulo 19
106 = 1003 = 53 = 6 • 5 = 11,
109 = 106 • 100 • 10 = 11 • 5 • 10 = 11 • 12 = 8 • 7 = 18. Tedy 10 je primitivní kořen.
(b) Julie poskytla údaj
ga _ 1011 _ 1Q9 . 10q _ . 5 = 14;      mod 19.
(c) Romeo zašifroval zprávu M jako dvojici (gb,M(ga)b) = (7,4). Proto dešifrujeme takto
M = M(ga)b ■ 1 = 4 • (711)"1 = 4 • (li)"1 =4-7 = 9   mod 19.
Výpočet
711 = 495 • 7 = ll5 • 7 = (-8)5 • 7 = -642 • 56 = -72(-l) = 11   mod 19.
Inverze kil mod 19 se najde jako číslo a takové, že lla+196 = 1 pro nějaké b. Jednoduše (a, b) = (7, —4). Inverze je tedy 7.
□
Bodování, (a) Za v?(19), jeho rozklad a za 6. a 9. mocninu 10 1 bod.
(b) Ví, co má počítat, a správná mocnina 1 bod.
(c) Správný vzorec 2 body. Mocnina a inverze 1 bod.
Správný výsledek 1 bod. □
B. Zkouška z MB141, 25. 5. 2022
5
Příklad. 1B.  [6 bodů] V A4 jsou dány tři body body P = [2,1,1,2], Q = [0, 2,1, 3],
R = [1,0, —2,4] a afinní podprostor J\í zadaný rovnicí
xl + x2 — x3 — x4 = — 1 •
(a) Napište parametrickou rovnici roviny n, která je určena body P,Q,R. [2 body]
(b) Napište obecný (implicitní) popis roviny n pomocí soustavy rovnic. [2 body]
(c) Spočítejte průnik n fl J\í. [2 body]
Řešení, (a) Parametrická rovnice roviny n je
P + a(Q-P) + b(R -P) = [2,1,1,2] + a(-2,1, 0,1) + 6(-l, -1, -3, 2).
(b) Nejdříve najdeme homogenní soustavu rovnic pro zaměření roviny p. Pro hledané koeficienty c1; c2, c3, c4 rovnic circi + c2x2 + C3X3 + c4x4 = 0 musí platit soustava rovnic
-2ci + c2 + c4 = 0,    -ci - c2 - 3c3 + 2c4 = 0
Její řešení je s(l, 1, 0,1) + í(l, 2, —1, 0). Homogenní rovnice jsou
xľ + x2 + X4 = 0,    X! + 2rr2 — ^3 = 0.
Dosazením souřadnic bodu P do levých stran dostaneme soustavu rovnic pro p
xľ + x2 + X4 = 5,   Xi + 2x2 — x3 = 3.
(c) Průnik n fl J\í spočítáme tak, že parametrické vyjádření roviny n
Xi = 2 — 2a — b, x2 = 1 + a — b, x3 = 1 — 36, x4 = 2 + a + 26 dosadíme do rovnice pro A/". Dostaneme rovnici
-2a - 6 = -1,
která má řešení a = t, b = 1 — 21 Dosazením do parametrické rovnice pro n dostaneme parametrické vyjádření průniku, kterým je přímka
[1, 0, -2,4] + í(0, 3, 6, -3) = [1, 0, -2,4] + p(0,1, 2,-1).
Jiným způsobem lze průnik spočítat řešením tří rovnic z obecných popisů afinních pod-prostorů. Matice soustavy je
-1 -1 0 1 -1 0
Řešením je přímka [1,4, 6, 0] + p(0,1, 2, -1) = [1, 0, -2,4] + p(0,1, 2, -1).
Řešení, které hledá prvně parametrické vyjádření pro J\í a průnik hledá z parametrických vyjádření obou afinních podprostorů je nešikovné, zdlouhavé, a proto při něm dojde lehce k chybě. □
Bodování. Parametrické vyjádření roviny n za 2 body. Soustava rovnic pro n, správný postup 1 bod, správný výsledek 1 bod. Vhodný postup výpočtu průniku 1 bod, správný výsledek 1 bod. □
6
Příklad. 2B. [6 bodů] Ukažte, že matice
i ("2 2 "M
5 = -       12 2 3 \   2 1-2/
je ortogonální, a zjistěte, jaké geometrické zobrazení v £3 popisuje předpis y?(rr) = Bx, kde x = (xi, x2, x3)T je sloupec standardních souřadnic v V případě symetrie popište explicitně osu nebo rovinu symetrie, v případě otočení určete osu otáčení a kosinus úhlu otočení.
Řešení. Sloupce matice jsou na sebe kolmé a mají jednotkovou velikost. Proto je matice ortogonální. Jinak to lze ověřit tak, že spočítáme B ■ BT = E.
Spočítáme determinant matice B. Ten je roven 1, proto musí mít matice vlastní číslo 1 a proto je také dané zobrazení otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem, který je vlastním vektorem k vlastnímu číslu 1.
Jinak. Zkusíme, zda matice má vlastní číslo 1 a —1. Zjistíme, že má pouze jedno reálné vlastní číslo, a to 1. Proto je dané zobrazení otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem, který je vlastním vektorem k vlastnímu číslu 1.
Spočítáme vlastní vektor k vlastnímu číslu 1. Jsou to násobky vektoru -u = (1, 3,1)T. Je dobré provést kontrolu tím, že se přesvědčíme, že skutečně B u = u.
Nyní zjistíme úhel otočení (3. Vezmeme nějaký nenulový vektor kolmý k u, např. v = (—1,0,1)T. Spočítáme
Bv = ^(l,l,-A)T.
Cosinus úhlu otočení bude
(v, Bv) 5
COS p = -——-r——— =--.
\\v\\ ■ \\Bv\\ 6
Závěr: Dané zobrazení je otočení kolem osy [0, 0, 0] + a(l, 3,1) o úhel (3.
□
Bodování. Kontrola ortogonality 1 bod.
Výpočet determinantu 1 bod, výpočet vlastního vektoru kil bod
NEBO zjištění, že 1 je vlastní číslo, ale —1 nikoliv 1 bod, výpočet vlastního vektoru kil bod.
Úvaha, že jde o otočení kolem osy určené vlastním vektorem kil bod. Volba kolmého vektoru v a jeho zobrazení Bv 1 bod.
Výpočet cosinu úhlu otočení 1 bod. □
7
Příklad. 3B. [6 bodů] Profesor trpí syndromem vyhoření a u zkoušek už zadává jenom jeden ze tří testů A, B, C. Nikdy však nepoužije po sobě stejné testy. Když naposledy zadal test A, hodí si kostkou a v případě, že padne číslo dělitelné 3, zadá test B. Když použil test B, hází dvěma mincemi a přejde k testu C, pokud na obou padne líc. Když naposledy zadal test C, tak hází opět kostkou a přejde k testu A, pokud na kostce padne prvočíslo.
(a) Modelujte zadávání testů pomocí Markovova procesu. Určete jeho matici. [2 body]
(b) Pomocí maticového násobení zjistěte, jaká je pravděpodobnost, že u třetího termínu zadá test B, jestliže u prvního zadal test C. [1 bod]
(c) Za předpokladu, že tímto způsobem zadává testy hodně dlouho, zjistěte, který test zadává nejčastěji a s jakou pravděpodobností. Vysvětlete, jak jste k výsledku dospěli. [3 body]
Řešení. Matice Markovova procesu je
/ 0    3/4 l/2\ M = I 1/3    0 1/2 \2/3   1/4    0 /
Spočteme-li M2 = M ■ M, dostaneme matici se všemi vstupy kladnými. Proto je M primitivní matice.
Pravděpodobnost, že profesor zadá u třetího termínu test B, když u prvního zadal test C je dána druhou složkou součinu
M-M ■
a ta je 1/6.
Při dlouhodobém zadávání se pravděpodobnosti zadání jednotlivých testů blíží pravděpodobnostnímu vektoru, který je vlastním vektorem matice M k vlastnímu číslu 1. Řešíme proto homogenní soustavu
(M - E)x = 0. Její matici upravíme na schodovitý tvar
-1   3/4  l/2\      (2  -6 3\ 1/3   -1   1/2-0  -9  8 . 2/3   1/4   -1/      \0    0 0/
Vlastní vektory jsou a(21,16,18). Pravděpodobnostní vlastní vektor je
(21/55,16/55,18/55).
V dlouhodobém horizontu zadává profesor nejčastěji test A, a to s pravděpodobností 21/55.
□
Bodování. Správná matice 2 body. Výpočet 1/6 1 bod.
Soustava pro vlastní vektor a její úprava na schodovitý tvar 1 bod. Správné řešení ve formě pravděpodobnostního vektoru 1 bod.
Správné určení otázky a správná procenta 1 bod. □
Příklad. 4B. [6 bodů] Desdemona a Othelo komunikují šifrou Elgamal. Oba se dohodli na prvočísle p = 23 a na primitivním kořenu g = 10. Desdemona si za svůj tajný klíč zvolila číslo a = 9, Othelo má svůj tajný klíč b.
(a) Ověřte, že 10 je skutečně primitivní kořen modulo 23. [5 bodů]
(b) Jaký údaj poskytla Desdemona Othelovi? [5 bodů]
(c) Othelo posléze poslal Desdemoně jako zprávu dvojici čísel (gb = 2, 19). Pomozte Desdemoně s dešifrováním zprávy. [15 bodů]
Proveďte celý výpočet bez použití kalkulačky nebo jakéhokoliv softwaru.
Řešení, (a) ip(23) = 22 = 2 • 11. Proto 1022 = 1 mod 23. Počítáme modulo 23
102 = 100 = 8,
1011 = 1005 • 10 = 85 • 10 = 642 • 80 = 52 • 11 = 22. Tedy 10 je primitivní kořen.
(b) Desdemona poskytla údaj
ga = 109 = 1004 • 10 = 84 • 10 = 52 • 10 = 20,    mod 23.
(c) Othelo zašifroval zprávu M jako dvojici (gb, M(ga)h) = (2,19). Proto dešifrujeme takto
M = M(ga)h ■ (gb)a)~^ = 19 • (29)"1 = 19 • (6)"1 = 19 • 4 = 7   mod 23. Výpočet
29 = 162 • 2 = 72 • 2 = 3 • 2 = 6   mod 23. Inverze k 6 mod 19 se najde jako číslo a takové, že 6a + 236 = 1 pro nějaké b. Jednoduše (a, b) = (4, —1). Inverze je tedy 4. □
Bodování, (a) Za y?(23), jeho rozklad a za 2. a 11. mocninu 10 1 bod.
(b) Ví, co má počítat, a správná mocnina 1 bod.
(c) Správný vzorec 2 body. Mocnina a inverze 1 bod.
Správný výsledek 1 bod. □