PA167 Rozvrhování
16. května 2022
Hodnocení
Závěrečná písemná práce: 80 bodů
minimální počet bodů za zkoušku: 40 bodů
otázky z několika různých oblastí předmětu
příklady: zadán problém, případně i metoda, cílem výpočet rozvrhu;
srovnávací, algoritmus, pojmy
cca 7 příkladů
vzorové zadání písemné práce na webu předmětu
Vnitrosemestrální písemná práce: 28.3.2022 20 bodů
minimální počet bodů za vnitrosemestrální práci: 8 bodů
Bonusové body: až 1 bod za aktivní účast na přednáčce
odpovědi/zápojení do diskuse/otázky studentů
Hodnocení: A 90 a více, B 80-89, C 70-79, D 60-69, E 50-59
Hana Rudová, FI MU: PA167 Rozvrhování 2 16. května 2022
Základní informace
Web předmětu: interaktivní osnova na IS MU
průsvitky + videa + dotazy k probírané látce
průběžně zveřejňováný na webu předmětu
Sbírka cca 240 vzorových příkladů
včetně řešení vybraných příkladů
poklad pro přípravu na zkoušku
Rozvrhování a plánování v jiných přednáškách:
IV126 Umělá inteligence II
PA163 Omezující podmínky
IA158 Real Time Systems
Hana Rudová, FI MU: PA167 Rozvrhování 3 16. května 2022
Literatura
Michael Pinedo: Planning and Scheduling in Manufacturing and
Services, Springer, 2009.
Philippe Baptiste, Claude Le Pape, Wim Nuijten: Constraint-based
scheduling : applying constraint programming to scheduling problems.
Kluwer Academic Publishers, 2001.
Michael Pinedo: Scheduling Theory, Algorithms, and Systems
Springer, 2016.
Hana Rudová, FI MU: PA167 Rozvrhování 4 16. května 2022
Elektronické zdroje
Michael Pinedo, Planning and Scheduling in Manufacturing and Services a
další knihy https://wp.nyu.edu/michaelpinedo/books/
Sigurdur Olafsson, Iowa State University, USA
http://www.stern.nyu.edu/om/faculty/pinedo/book2/dowload.html
Erwin Hans, Johann Hurink, University of Twente, Nizozemí
http://www.stern.nyu.edu/om/faculty/pinedo/book2/dowload.html
Roman Barták, MFF UK, CR
http://kti.ms.mff.cuni.cz/~bartak/planovani/
Hana Rudová, FI MU: PA167 Rozvrhování 5 16. května 2022
Předběžný přehled přednášky (I. část)
Úvod
terminologie
příklady reálných problémů
Grahamova klasifikace rozvrhovacích problémů
Obecné řešící metody
heuristiky
řídící pravidla (dispatching rules)
lokální prohledávání:
simulované žíhání, tabu prohledávání, genetické algoritmy
matematické programování: formulace
myšlenky řešení
lineární, celočíselné
programování s omezujícími podmínkami
úvod k omezujícím podmínkám
rozvrhování s omezujícími podmínkami
Hana Rudová, FI MU: PA167 Rozvrhování 6 16. května 2022
Předběžný přehled přednášky (II. část)
Plánování projektu: reprezentace projektu, kritická cesta, kompromis mezi
časem a cenou, pracovní síla.
Plánování úloh: řídící pravidla, metoda větví a mezí & paprskové
prohledávání, matematické prohledávání.
Rozvrhování montážních systémů:
montážní linka s flexibilním časem, s fixním časem.
Rezervace:
intervalové rozvrhování, rezervační systémy s rezervou.
Timetabling:
rozvrhování s operátory, rozvrhování s pracovní silou.
Univerzitní rozvrhování:
teorie a praxe (rozvrhování na Masarykově univerzitě)
Hana Rudová, FI MU: PA167 Rozvrhování 7 16. května 2022
Úvod do rozvrhování
16. května 2022
1 Rozvrh
2 Reálné problémy
3 Terminologie
4 Klasifikace rozvrhovacích problémů
5 Složitost
Definice pojmu rozvrhování
Rozvrhování
optimální alokace/přiřazení zdrojů množině úloh v čase
omezené množství zdrojů
maximalizace zisku za daných omezení
Stroj Mi , i = 1, . . . , m úloha Tj , j = 1, . . . , n
Strojově orientovaný Ganttův diagram
time
1 1 3 5 4
M T T3 6 9
M T T T T
M T T T2 2 8 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 9 16. května 2022
Rozvrh
Rozvrh:
dán umístěním úloh do konkrétního času a na konkrétní zdroje,
kde mají být úlohy prováděny
Úplný rozvrh:
v rozvrhu jsou umístěny všechny úlohy ze zadání problému
Částečný rozvrh:
některé úlohy ze zadání problému nejsou umístěny/přiřazeny
Konzistentní rozvrh:
rozvrh, ve kterém jsou splněna všechna omezení
kladená na zdroje a umístěné/přiřazené úlohy, např.
úloha je naplánována v čase, kdy je dostupná
na jednom stroji (s jednotkovou kapacitou) běží nejvýše jedna úloha
Konzistentní úplný rozvrh vs. konzistentní částečný rozvrh
Optimální rozvrh:
umístění úloh na stroje je optimální vzhledem k zadanému
optimalizačnímu kritériu, např.
min Cmax : makespan (čas dokončení poslední úlohy) je minimální
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 10 16. května 2022
Příklad: montáž kola
10 úloh s danou dobou trvání
Precedenční podmínky
úlohu lze provést až po provedení
zadané množiny úloh
Nepreemtivní úlohy
úlohy nelze přerušit
Optimalizační kritéria
minimalizace makespan
minimální počet pracovníků
T4
T6 8 T10
T9T5
T1
T3
T7
7
7
822
8
18
3
2
T2 7
T
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 11 16. května 2022
Příklad: montáž kola
10 úloh s danou dobou trvání
Precedenční podmínky
úlohu lze provést až po provedení
zadané množiny úloh
Nepreemtivní úlohy
úlohy nelze přerušit
Optimalizační kritéria
minimalizace makespan
minimální počet pracovníků
T4
T6 8 T10
T9T5
T1
T3
T7
7
7
822
8
18
3
2
T2 7
T
T93T
T1 2
T4 6 T10
T5
T
T8T
T7
Schedule
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 11 16. května 2022
Příklad: montáž kola
10 úloh s danou dobou trvání
Precedenční podmínky
úlohu lze provést až po provedení
zadané množiny úloh
Nepreemtivní úlohy
úlohy nelze přerušit
Optimalizační kritéria
minimalizace makespan
minimální počet pracovníků
T4
T6 8 T10
T9T5
T1
T3
T7
7
7
822
8
18
3
2
T2 7
T
T93T
T1 2
T4 6 T10
T5
T
T8T
T7
Schedule
2TT1
T106TT5T4
Optimal
schedule
7 32
7T
24161452
T8 T93T
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 11 16. května 2022
Reálný problém: rozvrhování sester v nemocnici
Jedná se o problém rozvrhování zaměstnanců
Požadavky na personál
odlišný počet sester v pracovní dny a o víkendu
menší nároky při obsazování nočních směn
dodržení pravidel daných ze zákona
preference zaměstnanců na pracovní dobu
. . .
Cíl
určit přiřazení sester na směny
splnění požadavků
minimalizace ceny
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 12 16. května 2022
Plánování nákladní automobilové dopravy
Problém směrování vozidel (vehicle routing problem)
požadavky na doručení/vyzvednutí/doručení+vyzvednutí
lokace, časová okna, hmotnost, objem
vozidla, která musí tyto lokace obsloužit
kapacita/objem vozidel, jedno/více depot vozidel
stejná/různá vozidla
optimalizace: počtu vozidel, vzdálenosti, ceny
Statický vs. dynamický problém
problém dán předem vs. reakce na změny problému při realizaci řešení
Spolupráce FI s firmou Wereldo
1
3
2 4
5
6 7
8
9
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 13 16. května 2022
Plánování nákladní automobilové dopravy
Problém směrování vozidel (vehicle routing problem)
požadavky na doručení/vyzvednutí/doručení+vyzvednutí
lokace, časová okna, hmotnost, objem
vozidla, která musí tyto lokace obsloužit
kapacita/objem vozidel, jedno/více depot vozidel
stejná/různá vozidla
optimalizace: počtu vozidel, vzdálenosti, ceny
Statický vs. dynamický problém
problém dán předem vs. reakce na změny problému při realizaci řešení
Spolupráce FI s firmou Wereldo
1
3
2 4
5
6 7
8
9
1
3
2 4
5
6 7
8
9
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 13 16. května 2022
Univerzitní rozvrhování předmětů http://www.unitime.org
Nalezení času a místnosti pro výuku předmětů na univerzitě
omezení kladena na umístění předmětů
optimalizace preferenčních požadavků na čas a místnosti
každý předmět má určeny své studenty (registrace, studijní obory)
minimalizace počtu překrývajících se předmětů pro všechny studenty
Návrh, vývoj a používání systému UniTime
FI spolupracuje na návrhu a vývoji od 2001
primárně vyvinuto a používáno na Purdue University, USA
MU: používáno na 7 fakultách včetně FI
International Timetabling Competition ITC 2019
reálné problémy z 10 různých univerzit po celém světě (UniTime data)
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 14 16. května 2022
Terminologie: scheduling vs. timetabling
Scheduling ... rozvrhování/plánování
alokace zdrojů za daných podmínek na objekty umístěných
v časoprostoru tak, že je minimalizována celková cena daných zdrojů
důraz je kladen na uspořádání objektů
precedenční podmínky
př. plánování výroby: stanovení pořadí operací, důležitost časových
návazností operací
schedule ... rozvrh
zahrnuje prostorové a časové informace
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 15 16. května 2022
Terminologie: scheduling vs. timetabling
Scheduling ... rozvrhování/plánování
alokace zdrojů za daných podmínek na objekty umístěných
v časoprostoru tak, že je minimalizována celková cena daných zdrojů
důraz je kladen na uspořádání objektů
precedenční podmínky
př. plánování výroby: stanovení pořadí operací, důležitost časových
návazností operací
schedule ... rozvrh
zahrnuje prostorové a časové informace
Timetabling ... rozvrhování
alokace zdrojů za daných podmínek na objekty umístěných
v časoprostoru tak, že jsou co nejlépe splněna zadaná kritéria
důraz kladen na konkrétní časové umístění objektů
často vymezen předem časový horizont (počet rozvrhovaných slotů)
př. školní rozvrhování: předmětům přiřazen čas a místo vyuky
timetable ... rozvrh
ukazuje, kdy a kde se budou události konat
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 15 16. května 2022
Terminologie: planning
Plánování (planning) někdy chápáno v dlouhodobějším horizontu
krátkodobé podrobné rozvrhování + dlouhodobé obecné plánování
např. plánování=vytvoření vhodné množiny úloh
tak aby bylo dosaženo zadaných cílů
rozvrhování=přiřazení úloh v čase na zdroje
tak aby byla minimalizována cena
nebo dlouhodobé plánování zdrojů
tak abychom pokryli budoucí potřeby
vs. krátkodobé rozvrhování úloh na zdroje
tak aby byly splněny aktuální požadavky
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 16 16. května 2022
Terminologie: AI planning
Plánování v umělé inteligenci (AI planning)
vykonání posloupnosti akcí tak,
abychom se dostali z počátečního stavu do koncového stavu
př. plánování činností robota
počáteční stav v místnosti, cílový stav v místnosti,
robot provede posloupnost akcí (např. přemístí předměty) tak, aby se
dostal do cílového stavu
lze chápat jako vytvoření vhodné množiny úloh jako u plánování
(viz předchozí průsvitka)
Přednášká IV126 Umělá inteligence II
zahrnut blok přednášek o plánování
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 17 16. května 2022
Terminologie: sequencing, rostering
Sequencing ... seřazení
za daných podmínek:
konstrukce pořadí úloh, ve kterém budou prováděny
sequence ... posloupnost
pořadí, ve kterém jsou úlohy prováděny
př. pořadí automobilů na montážní linku
Rostering
umístění zdrojů za daných podmínek do slotů s pomocí vzorů (pattern)
roster ... rozpis
seznam jmen lidí, který určuje, které úlohy budou provádět a kdy
př. rozpis sester v nemocnici, rozpis řidičů autobusů
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 18 16. května 2022
Úlohy, stroje
Stroje (zdroje, prostředky) i = 1, . . . , m
Úlohy (aktivity) j = 1, . . . , n
(i, j) operace nebo provádění úlohy j na stroji i
úloha se může skládat z několika operací
příklad: úloha 4 má tři operace s nenulovou dobou trvání (2,4),(3,4),(6,4), tj.
je prováděna na strojích 2,3,6
Statické parametry úlohy
doba trvání pij , pj : doba provádění úlohy j na stroji i
termín dostupnosti j (release date) rj :
nejdřívější čas, ve kterém může být úloha j prováděna
termín dokončení (due date) dj :
čas, do kdy by měla být úloha j nejpozději dokončena (preference)
vs. deadline: čas, do kdy musí být úloha j nejpozději dokončena (požadavek)
váha wj : důležitost úlohy j relativně vzhledem k ostatním úloham v systému
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 19 16. května 2022
Úlohy, stroje
Stroje (zdroje, prostředky) i = 1, . . . , m
Úlohy (aktivity) j = 1, . . . , n
(i, j) operace nebo provádění úlohy j na stroji i
úloha se může skládat z několika operací
příklad: úloha 4 má tři operace s nenulovou dobou trvání (2,4),(3,4),(6,4), tj.
je prováděna na strojích 2,3,6
Statické parametry úlohy
doba trvání pij , pj : doba provádění úlohy j na stroji i
termín dostupnosti j (release date) rj :
nejdřívější čas, ve kterém může být úloha j prováděna
termín dokončení (due date) dj :
čas, do kdy by měla být úloha j nejpozději dokončena (preference)
vs. deadline: čas, do kdy musí být úloha j nejpozději dokončena (požadavek)
váha wj : důležitost úlohy j relativně vzhledem k ostatním úloham v systému
Dynamické parametry úlohy
čas startu úlohy (start time) Sij , Sj : čas zahájení provádění úlohy j na stroji i
čas konce úlohy (completion time) Cij , Cj : čas, kdy je dokončeno provádění
úlohy j na stroji i
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 19 16. května 2022
Grahamova klasifikace
Grahamova klasifikace α|β|γ
používá se pro popis rozvrhovacích problémů
α: charakteristiky stroje
popisuje způsob alokace úloh na stroje
β: charakteristiky úloh
popisuje omezení aplikovaná na úlohy
γ: optimalizační kritéria
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 20 16. května 2022
Grahamova klasifikace
Grahamova klasifikace α|β|γ
používá se pro popis rozvrhovacích problémů
α: charakteristiky stroje
popisuje způsob alokace úloh na stroje
β: charakteristiky úloh
popisuje omezení aplikovaná na úlohy
γ: optimalizační kritéria
http://www.informatik.uni-osnabrueck.de/knust/class/
složitost pro jednotlivé rozvrhovací problémy
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 20 16. května 2022
Grahamova klasifikace
Grahamova klasifikace α|β|γ
používá se pro popis rozvrhovacích problémů
α: charakteristiky stroje
popisuje způsob alokace úloh na stroje
β: charakteristiky úloh
popisuje omezení aplikovaná na úlohy
γ: optimalizační kritéria
http://www.informatik.uni-osnabrueck.de/knust/class/
složitost pro jednotlivé rozvrhovací problémy
Příklady:
P3|prec|Cmax: montáž kola
Pm|rj | wj Cj : paralelní stroje
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 20 16. května 2022
Vlastnosti stroje α
Jeden stroj 1: 1| . . . | . . .
Identické paralelní stroje Pm
m identických strojů zapojených paralelně (se stejnou rychlostí)
úloha je dána jedinou operací
úloha může být prováděna na libovolném z m strojů
Paralelní stroje s různou rychlostí Qm
doba trvání úlohy j na stroji i přímo závislá na jeho rychlosti vi
pij = pj /vi
př. několik počítačů s různou rychlostí procesoru
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 21 16. května 2022
Vlastnosti stroje α
Jeden stroj 1: 1| . . . | . . .
Identické paralelní stroje Pm
m identických strojů zapojených paralelně (se stejnou rychlostí)
úloha je dána jedinou operací
úloha může být prováděna na libovolném z m strojů
Paralelní stroje s různou rychlostí Qm
doba trvání úlohy j na stroji i přímo závislá na jeho rychlosti vi
pij = pj /vi
př. několik počítačů s různou rychlostí procesoru
Nezávislé paralelní stroje s různou rychlostí Rm
stroje mají různou rychlost pro různé úlohy
stroj i zpracovává úlohu j rychlostí vij
pij = pj /vij
př. vektorový počítač počítá vektorové úlohy rychleji než klasické PC
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 21 16. května 2022
Multi-operační (shop) problémy
Multi-operační (shop) problémy
jedna úloha je prováděna postupně na několika strojích
úloha j se skládá z několika operací (i, j)
operace (i, j) úlohy j je prováděna na stroji i po dobu pij
příklad: úloha j se 4 operacemi (1, j), (2, j), (3, j), (4, j)
1.stroj
3.stroj
4.stroj
2.stroj
Multi-operační problémy jsou klasické
detailně studované problémy operačního výzkumu
Reálné problémy ale často mnohem komplikovanější
využití znalostí o podproblémech nebo zjednodušených problémech a
jejich řešicích metodách
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 22 16. května 2022
Flow shop α
Flow shop Fm
multi-operační problém s m stroji v sérii
každá úloha musí být prováděna na všech strojích
úloha musí být prováděna na všech strojích ve stejném pořadí
nejdříve se úloha provádí na 1. stroji, pak na 2., . . .
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 23 16. května 2022
Flow shop α
Flow shop Fm
multi-operační problém s m stroji v sérii
každá úloha musí být prováděna na všech strojích
úloha musí být prováděna na všech strojích ve stejném pořadí
nejdříve se úloha provádí na 1. stroji, pak na 2., . . .
Flexible flow shop FFs
zobecnění flow shop problému
s fází, každé fázi přísluší paralelní stroj
příklad: paralelní stroj 1.fáze: 1+2+3, paralelní stroj 2.fáze: 4+5, ...
tj. multi-operační problém s s paralelními stroji
úloha musí projít všemi fázemi ve stejném pořadí
nejprve se úloha provádí na paralelním stroji 1. fáze,
pak na paralelním stroji 2. fáze, . . .
na paralelním stroji příslušejícím dané fázi může být úloha prováděna
na libovolném stroji
1.fáze
2.fáze
3.fáze
4.fáze
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 23 16. května 2022
Open shop & job shop α
Job shop Jm
multi-operační problém s m stroji
pořadí provádění operací pro každou úlohu je předem určeno
doba zpracování úlohy na některých strojích může být nulová
(i, j) → (k, j) určuje, že úloha j má být prováděna na stroji i dříve než
na stroji k příklad: (2, j) → (1, j) → (3, j) → (4, j)
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 24 16. května 2022
Open shop & job shop α
Job shop Jm
multi-operační problém s m stroji
pořadí provádění operací pro každou úlohu je předem určeno
doba zpracování úlohy na některých strojích může být nulová
(i, j) → (k, j) určuje, že úloha j má být prováděna na stroji i dříve než
na stroji k příklad: (2, j) → (1, j) → (3, j) → (4, j)
Open shop Om
multi-operační problém s m stroji
doba zpracování úlohy na některých strojích může být nulová
rozvrhovač určí, v jakém pořadí je úloha prováděna na strojích
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 24 16. května 2022
Omezení β
Precedenční podmínky prec
lineární posloupnost, stromová struktura
pro úlohy a, b píšeme a → b, což znamená Sa + pa ≤ Sb
příklad: montáž kola
Přerušení úlohy (preemptions) pmtn
při příchodu úlohy s vyšší prioritou je současná úloha přerušena
Vhodnost stroje Mj
podmnožina strojů Mj , na níž lze provádět úlohu j
přiřazení místností: postačující velikost učebny
hry: počítač s HW grafickou knihovnou
Omezení na pracovní sílu W , Wl
do problému zavedeme další typ zdroje
stroje mohou potřebovat operátory a úlohy lze provádět jen tehdy,
pokud jsou dostupní W operátorů
mohou existovat různé skupiny operátorů se specifickou kvalifikací
Wl je počet operátorů ve skupině l
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 25 16. května 2022
Omezení (pokračování) β
Směrovací (routing) omezení
udávají, na kterých strojích musí být úloha prováděna
pořadí provádění úlohy v multi-operačních problémech
job shop problém: pořadí operací předem stanoveno
open shop problém: pořadí operací úlohy (route for the job)
stanoveno až při rozvrhování
Nastavovací (setup) doba a cena sijk, cijk, sjk, cjk
závislé na posloupnosti provádění
sijk čas nutný pro provádění úlohy k po úloze j na stroji i
cijk cena nutná pro provádění úlohy k po úloze j na stroji i
sjk , cjk čas/cena nezávislý na stroji
příklady
problém obchodního cestujícího 1|sjk |Cmax
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 26 16. května 2022
Omezení (pokračování) β
Výroba na objednávku a na sklad
výroba zboží na sklad, pokud je u něj záruka spotřeby
nutno uvážit cenu za skladování
výroba zboží na objednávku vynucuje úvahu termínů dokončení
vyprodukované množství závislé na zákazníkovi
Skladovací prostor a doba čekání při výrobě
omezené množství prostoru při výrobě
horní hranice počtu úloh čekajících ve frontě na stroj
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 27 16. května 2022
Omezení (pokračování) β
Výroba na objednávku a na sklad
výroba zboží na sklad, pokud je u něj záruka spotřeby
nutno uvážit cenu za skladování
výroba zboží na objednávku vynucuje úvahu termínů dokončení
vyprodukované množství závislé na zákazníkovi
Skladovací prostor a doba čekání při výrobě
omezené množství prostoru při výrobě
horní hranice počtu úloh čekajících ve frontě na stroj
blokování: úloha je zablokována na současném stroji, protože fronta na
následujícím stroji je plná
...
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 27 16. května 2022
Optimalizace: výkon a makespan γ
Makespan Cmax: maximální čas konce úloh
Cmax = max(C1, . . . , Cn)
Příklad: Cmax = max{1, 3, 4, 5, 8, 7, 9} = 9
1 3
2
4 5
6
7Zdroj 1
Zdroj 2
cas
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 28 16. května 2022
Optimalizace: výkon a makespan γ
Makespan Cmax: maximální čas konce úloh
Cmax = max(C1, . . . , Cn)
Příklad: Cmax = max{1, 3, 4, 5, 8, 7, 9} = 9
1 3
2
4 5
6
7Zdroj 1
Zdroj 2
cas
Cíl: minimalizace makespan často
maximalizuje výkon (throughput)
zajišťuje rovnoměrné zatížení strojů (load balancing)
příklad:
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 28 16. května 2022
Optimalizace: výkon a makespan γ
Makespan Cmax: maximální čas konce úloh
Cmax = max(C1, . . . , Cn)
Příklad: Cmax = max{1, 3, 4, 5, 8, 7, 9} = 9
1 3
2
4 5
6
7Zdroj 1
Zdroj 2
cas
Cíl: minimalizace makespan často
maximalizuje výkon (throughput)
zajišťuje rovnoměrné zatížení strojů (load balancing)
příklad: Cmax = max{1, 2, 4, 5, 7, 4, 6} = 7
4
62 5
71 3Zdroj 1
Zdroj 2
cas
Velmi často používané a základní kritérium
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 28 16. května 2022
Optimalizace: zpoždění γ
Zpoždění (lateness) úlohy j: Lj = Cj − dj
Maximální zpoždění Lmax
Lmax = max(L1, . . . , Ln)
Cíl: minimalizace maximálního zpoždění
Příklad:
d1 d3 d2
21
10 1550
3 2
Lmax = max(L1, L2, L3) =
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 29 16. května 2022
Optimalizace: zpoždění γ
Zpoždění (lateness) úlohy j: Lj = Cj − dj
Maximální zpoždění Lmax
Lmax = max(L1, . . . , Ln)
Cíl: minimalizace maximálního zpoždění
Příklad:
d1 d3 d2
21
10 1550
3 2
Lmax = max(L1, L2, L3) =
= max(C1 − d1, C2 − d2, C3 − d3) =
= max(4 − 8, 16 − 14, 10 − 10) =
= max(−4, 2, 0) = 2
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 29 16. května 2022
Optimalizace: nezáporné zpoždění γ
Nezáporné zpoždění (tardiness) úlohy j: Tj = max(Cj − dj , 0)
Cíl: minimalizace celkového zpoždění
n
j=1
Tj celkové zpoždění
Příklad:
d1 d3 d2
21
10 1550
3 2
T1 +T2 +T3 =
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 30 16. května 2022
Optimalizace: nezáporné zpoždění γ
Nezáporné zpoždění (tardiness) úlohy j: Tj = max(Cj − dj , 0)
Cíl: minimalizace celkového zpoždění
n
j=1
Tj celkové zpoždění
Příklad:
d1 d3 d2
21
10 1550
3 2
T1 +T2 +T3 = max(C1 −d1, 0)+max(C2 −d2, 0)+max(C3 −d3, 0) =
max(4−8, 0)+max(16−14, 0)+max(10−10, 0) = 0+2+0 = 2
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 30 16. května 2022
Optimalizace: nezáporné zpoždění γ
Nezáporné zpoždění (tardiness) úlohy j: Tj = max(Cj − dj , 0)
Cíl: minimalizace celkového zpoždění
n
j=1
Tj celkové zpoždění
Příklad:
d1 d3 d2
21
10 1550
3 2
T1 +T2 +T3 = max(C1 −d1, 0)+max(C2 −d2, 0)+max(C3 −d3, 0) =
max(4−8, 0)+max(16−14, 0)+max(10−10, 0) = 0+2+0 = 2
Cíl: minimalizace celkového váženého zpoždění
n
j=1
wjTj celkové vážené zpoždění
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 30 16. května 2022
Termín dokončení a grafy γ
Cj
dj
Cj
dj
Cj
dj
j
Tardiness
Pozdě nebo ne V praxi
T
Cj
dj
j
Lateness
L
Uj
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 31 16. května 2022
Optimalizace: skladování při výrobě γ
Cena za skladování vyrobeného zboží
Cena za skladování při výrobě
(Work-In-Process inventory cost)
příliš velké množství právě vyráběneho zboží může zaplnit linku
příliš dlouho odložené zboží může být znehodnoceno
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 32 16. května 2022
Optimalizace: skladování při výrobě γ
Cena za skladování vyrobeného zboží
Cena za skladování při výrobě
(Work-In-Process inventory cost)
příliš velké množství právě vyráběneho zboží může zaplnit linku
příliš dlouho odložené zboží může být znehodnoceno
Délka skladování při výrobě svázána s časy konce úloh
⇒ minimalizace součtu časů konců úloh
n
j=1
Cj
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 32 16. května 2022
Optimalizace: skladování při výrobě γ
Cena za skladování vyrobeného zboží
Cena za skladování při výrobě
(Work-In-Process inventory cost)
příliš velké množství právě vyráběneho zboží může zaplnit linku
příliš dlouho odložené zboží může být znehodnoceno
Délka skladování při výrobě svázána s časy konce úloh
⇒ minimalizace součtu časů konců úloh
n
j=1
Cj
⇒ minimalizace váženého součtu časů konců úloh
n
j=1
wjCj
celková hodnota daná skladováním při výrobě
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 32 16. května 2022
Další optimalizační kritéria γ
Robustnost
robustnější rozvrh vyžaduje méně změn při změně problému (porucha
stroje, dopravní špička)
Cena za nastavení (setup)
cena za připravení letadla na odlet
(čištění, zásobování, doplnění pohonných hmot)
Cena za pracovní sílu
cena za přiřazení zaměstnanců na konkrétní směnu
V problému často řada optimalizačních kritérií
multi-kriteriální rozvrhování
Pareto optimalizace
žádoucí vztah mezi nimi nemusí být jasně definovaný
co je důležitější?
ani samotná kritéria nemusí být jasně definována
jak daný požadavek reprezentovat kritériem?
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 33 16. května 2022
Polynomiální a nedeterministicky polynomiální problémy
Polynomiální problémy
existuje algoritmus polynomiální složitosti pro řešení problému
NP a NP-úplné problémy
řešitelné nedeterministickým polynomiálním algoritmem
potenciální řešení lze ověřit v polynomiálním čase
v nejhorším případě exponenciální složitost
(pokud neplatí P=NP)
NP-úplný problém
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 34 16. května 2022
Polynomiální a nedeterministicky polynomiální problémy
Polynomiální problémy
existuje algoritmus polynomiální složitosti pro řešení problému
NP a NP-úplné problémy
řešitelné nedeterministickým polynomiálním algoritmem
potenciální řešení lze ověřit v polynomiálním čase
v nejhorším případě exponenciální složitost
(pokud neplatí P=NP)
NP-úplný problém
libovolný problém v NP se na něj dá polynomiálně redukovat
Příklady:
Polynomiální
1||Lmax P|pmtn|Cmax 1|| wj Cj
NP
1|rj |Lmax P2||Cmax P2|| wj Cj
Hana Rudová, FI MU: Úvod do rozvrhování 34 16. května 2022
Řídící pravidla
16. května 2022
6 Řídící pravidla
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Řídící pravidla (dispatching rules)
Řídící pravidlo
určuje pořadí (prioritu), ve kterém mají být úlohy prováděny
pokud má více úloh stejnou prioritu, úlohy jsou seřazeny náhodně
(nebo např. dle čísla úlohy)
jakmile se některý stroj uvolní, je vybrána nejprioritnější úloha
Příklad: použijte pro seřazení úloh nejdřívější termín dostupnosti rj
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 2 1 2 0 3
pj 1 2 1 1 2 2
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 36 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti rj a dokončení dj
Nejdřívější termín dostupnosti (Earliest Release Date first ERD)
ekvivalentní nejdříve-příjde-nejdříve-obsloužen (First-Come-First-Serve)
minimalizuje odlišnosti v době čekání na stroji
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 37 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti rj a dokončení dj
Nejdřívější termín dostupnosti (Earliest Release Date first ERD)
ekvivalentní nejdříve-příjde-nejdříve-obsloužen (First-Come-First-Serve)
minimalizuje odlišnosti v době čekání na stroji
Nejdřívější termín dokončení (Earliest Due Date first EDD)
směřuje k minimalizaci maximálního zpoždění mezi čekajícími úlohami
optimální pro 1||Lmax (všechny úlohy dostupné na začátku)
pozor, i zde (zejména stejně jako u všech pravidel) musíme brát v úvahu
termín dostupnosti, tj. úlohu lze plánovat teprve když je dostupná!!!
př. r2 = 3, d2 = 5, r3 = 0, d3 = 6 – dříve plánujeme úlohu 3
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 3 0 2 0 6
pj 1 2 1 1 2 2
dj 10 5 6 9 2 8
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 37 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti rj a dokončení dj
Nejdřívější termín dostupnosti (Earliest Release Date first ERD)
ekvivalentní nejdříve-příjde-nejdříve-obsloužen (First-Come-First-Serve)
minimalizuje odlišnosti v době čekání na stroji
Nejdřívější termín dokončení (Earliest Due Date first EDD)
směřuje k minimalizaci maximálního zpoždění mezi čekajícími úlohami
optimální pro 1||Lmax (všechny úlohy dostupné na začátku)
pozor, i zde (zejména stejně jako u všech pravidel) musíme brát v úvahu
termín dostupnosti, tj. úlohu lze plánovat teprve když je dostupná!!!
př. r2 = 3, d2 = 5, r3 = 0, d3 = 6 – dříve plánujeme úlohu 3
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 3 0 2 0 6
pj 1 2 1 1 2 2
dj 10 5 6 9 2 8
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 37 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti rj a dokončení dj
Nejdřívější termín dostupnosti (Earliest Release Date first ERD)
ekvivalentní nejdříve-příjde-nejdříve-obsloužen (First-Come-First-Serve)
minimalizuje odlišnosti v době čekání na stroji
Nejdřívější termín dokončení (Earliest Due Date first EDD)
směřuje k minimalizaci maximálního zpoždění mezi čekajícími úlohami
optimální pro 1||Lmax (všechny úlohy dostupné na začátku)
pozor, i zde (zejména stejně jako u všech pravidel) musíme brát v úvahu
termín dostupnosti, tj. úlohu lze plánovat teprve když je dostupná!!!
př. r2 = 3, d2 = 5, r3 = 0, d3 = 6 – dříve plánujeme úlohu 3
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 3 0 2 0 6
pj 1 2 1 1 2 2
dj 10 5 6 9 2 8
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 37 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti rj a dokončení dj
Nejdřívější termín dostupnosti (Earliest Release Date first ERD)
ekvivalentní nejdříve-příjde-nejdříve-obsloužen (First-Come-First-Serve)
minimalizuje odlišnosti v době čekání na stroji
Nejdřívější termín dokončení (Earliest Due Date first EDD)
směřuje k minimalizaci maximálního zpoždění mezi čekajícími úlohami
optimální pro 1||Lmax (všechny úlohy dostupné na začátku)
pozor, i zde (zejména stejně jako u všech pravidel) musíme brát v úvahu
termín dostupnosti, tj. úlohu lze plánovat teprve když je dostupná!!!
př. r2 = 3, d2 = 5, r3 = 0, d3 = 6 – dříve plánujeme úlohu 3
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 3 0 2 0 6
pj 1 2 1 1 2 2
dj 10 5 6 9 2 8
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 37 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti rj a dokončení dj
Nejdřívější termín dostupnosti (Earliest Release Date first ERD)
ekvivalentní nejdříve-příjde-nejdříve-obsloužen (First-Come-First-Serve)
minimalizuje odlišnosti v době čekání na stroji
Nejdřívější termín dokončení (Earliest Due Date first EDD)
směřuje k minimalizaci maximálního zpoždění mezi čekajícími úlohami
optimální pro 1||Lmax (všechny úlohy dostupné na začátku)
pozor, i zde (zejména stejně jako u všech pravidel) musíme brát v úvahu
termín dostupnosti, tj. úlohu lze plánovat teprve když je dostupná!!!
př. r2 = 3, d2 = 5, r3 = 0, d3 = 6 – dříve plánujeme úlohu 3
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 3 0 2 0 6
pj 1 2 1 1 2 2
dj 10 5 6 9 2 8
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 37 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti rj a dokončení dj
Nejdřívější termín dostupnosti (Earliest Release Date first ERD)
ekvivalentní nejdříve-příjde-nejdříve-obsloužen (First-Come-First-Serve)
minimalizuje odlišnosti v době čekání na stroji
Nejdřívější termín dokončení (Earliest Due Date first EDD)
směřuje k minimalizaci maximálního zpoždění mezi čekajícími úlohami
optimální pro 1||Lmax (všechny úlohy dostupné na začátku)
pozor, i zde (zejména stejně jako u všech pravidel) musíme brát v úvahu
termín dostupnosti, tj. úlohu lze plánovat teprve když je dostupná!!!
př. r2 = 3, d2 = 5, r3 = 0, d3 = 6 – dříve plánujeme úlohu 3
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 3 0 2 0 6
pj 1 2 1 1 2 2
dj 10 5 6 9 2 8
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 37 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti rj a dokončení dj
Nejdřívější termín dostupnosti (Earliest Release Date first ERD)
ekvivalentní nejdříve-příjde-nejdříve-obsloužen (First-Come-First-Serve)
minimalizuje odlišnosti v době čekání na stroji
Nejdřívější termín dokončení (Earliest Due Date first EDD)
směřuje k minimalizaci maximálního zpoždění mezi čekajícími úlohami
optimální pro 1||Lmax (všechny úlohy dostupné na začátku)
pozor, i zde (zejména stejně jako u všech pravidel) musíme brát v úvahu
termín dostupnosti, tj. úlohu lze plánovat teprve když je dostupná!!!
př. r2 = 3, d2 = 5, r3 = 0, d3 = 6 – dříve plánujeme úlohu 3
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 3 0 2 0 6
pj 1 2 1 1 2 2
dj 10 5 6 9 2 8
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 37 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti rj a dokončení dj
Nejdřívější termín dostupnosti (Earliest Release Date first ERD)
ekvivalentní nejdříve-příjde-nejdříve-obsloužen (First-Come-First-Serve)
minimalizuje odlišnosti v době čekání na stroji
Nejdřívější termín dokončení (Earliest Due Date first EDD)
směřuje k minimalizaci maximálního zpoždění mezi čekajícími úlohami
optimální pro 1||Lmax (všechny úlohy dostupné na začátku)
pozor, i zde (zejména stejně jako u všech pravidel) musíme brát v úvahu
termín dostupnosti, tj. úlohu lze plánovat teprve když je dostupná!!!
př. r2 = 3, d2 = 5, r3 = 0, d3 = 6 – dříve plánujeme úlohu 3
úlohy 1 2 3 4 5 6
rj 9 3 0 2 0 6
pj 1 2 1 1 2 2
dj 10 5 6 9 2 8
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 37 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti: minimální rezerva
Minimální rezerva (Minimum Slack first MS)
max(dj − pj − t, 0)
dj termín dokončení
pj doba provádění
t aktuální čas
funkci max používáme, abychom neměli záporné hodnoty pro úlohy,
které už to určitě nestihnou
minimalizace kriterií svázaných s termínem dokončení,
tj. maximální zpoždění
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 38 16. května 2022
Pravidla s termíny dostupnosti: minimální rezerva
Minimální rezerva (Minimum Slack first MS)
max(dj − pj − t, 0)
dj termín dokončení
pj doba provádění
t aktuální čas
funkci max používáme, abychom neměli záporné hodnoty pro úlohy,
které už to určitě nestihnou
minimalizace kriterií svázaných s termínem dokončení,
tj. maximální zpoždění
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 38 16. května 2022
Statická vs. dynamická pravidla
Statická pravidla nejsou závislá na probíhajícím čase
pořadí se spočítá jako funkce závislá na úloze a/nebo stroji
pořadí nám definuje prioritní frontu úloh
př. nejdřívější termín dostupnosti
Dynamická pravidla jsou závislá na čase
nutno zahrnout do výpočtu funkce i aktuální čas
uspořádání úloh závisí na čase ⇒ v každém čase je nutné určit znovu
úlohu s nejvyšší prioritou a tu zpracováváme
př. minimální rezerva
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 39 16. května 2022
Pravidla s dobou trvání pj
Nejdelší doba trvání (Longest Processing Time first LPT)
směřuje k rovnoměrnému zatížení paralelních strojů,
tj. k minimalizaci makespan
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 40 16. května 2022
Pravidla s dobou trvání pj
Nejdelší doba trvání (Longest Processing Time first LPT)
směřuje k rovnoměrnému zatížení paralelních strojů,
tj. k minimalizaci makespan
myšlenka: kratší úlohy lze později využít pro vyrovnání zátěže na konci;
jakmile jsou úlohy přiřazeny na stroje, tak je lze přeuspořádat bez
změny zatížení
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 40 16. května 2022
Pravidla s dobou trvání pj
Nejkratší doba trvání (Shortest Processing Time first SPT)
směřuje k minimalizaci součtu časů konců úloh,
tj. WIP (Work In Process, cena za sklad při výrobě)
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 41 16. května 2022
Pravidla s dobou trvání pj
Nejkratší doba trvání (Shortest Processing Time first SPT)
směřuje k minimalizaci součtu časů konců úloh,
tj. WIP (Work In Process, cena za sklad při výrobě)
Vážená nejkratší doba trvání
(Weighted Shortest Processing Time first WSPT)
navíc wj oproti SPT (řadím dle wj /pj )
minimalizace vážených součtu časů konců úloh, tj. WIP
optimální pro jeden stroj, kde jsou všechny úlohy dostupné na začátku
(rj = 0 pro každou úlohu j)
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 41 16. května 2022
Další řídící pravidla
Kritická cesta (Critical Path CP)
vhodné pro precedenční omezení
vybírá úlohu, která je první v nejdelším řetězci
dob provádění v grafu úloh daném precedencemi
vede k minimalizaci makespan
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 42 16. května 2022
Další řídící pravidla
Kritická cesta (Critical Path CP)
vhodné pro precedenční omezení
vybírá úlohu, která je první v nejdelším řetězci
dob provádění v grafu úloh daném precedencemi
vede k minimalizaci makespan
Nejméně flexibilní úloha (Least Flexible Job LFJ first)
při zadání množiny vhodných strojů
vybírá se úloha, která může být prováděna na nejmenším počtu strojů
(tj. nejméně alternativ)
vede k minimalizaci makespan
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 42 16. května 2022
Další řídící pravidla
Kritická cesta (Critical Path CP)
vhodné pro precedenční omezení
vybírá úlohu, která je první v nejdelším řetězci
dob provádění v grafu úloh daném precedencemi
vede k minimalizaci makespan
Nejméně flexibilní úloha (Least Flexible Job LFJ first)
při zadání množiny vhodných strojů
vybírá se úloha, která může být prováděna na nejmenším počtu strojů
(tj. nejméně alternativ)
vede k minimalizaci makespan
Náhodné pořadí (Service in Random Order SIRO)
náhodný výběr úloh
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 42 16. května 2022
Řídící pravidla: diskuse
Jednoduchá na implementaci
Optimální ve speciálních případech
Zaměřeny na jedno optimalizační kritérium
Kombinování několika řídících pravidel: kompozitní řídící pravidla
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 43 16. května 2022
Řídící pravidla: diskuse
Jednoduchá na implementaci
Optimální ve speciálních případech
Zaměřeny na jedno optimalizační kritérium
Kombinování několika řídících pravidel: kompozitní řídící pravidla
Použití v praxi
pro řadu problémů příliš triviální
i tady lze např. použít jako generátor iniciálního řešení
nebo jako metodu pro řešení podproblémů
používá se pro složité problémy s vysokými nároky na propustnost
např. počet naplánovaných aktivit za vteřinu
nebo pro problémy s vysokým stupněm dynamiky
např. plánování úloh na počítače
(neznámá doba trvání, příchody nových úloh, výpadky strojů)
Hana Rudová, FI MU: Řídící pravidla 43 16. května 2022
Lokální prohledávání
16. května 2022
7 Lokální prohledávání obecně
8 Tabu prohledávání
9 Simulované žíhání
10 Genetické algoritmy
Konstruktivní vs. lokální metody
Konstruktivní metody
začneme s prázdným rozvrhem
do rozvrhu přidáváme postupně jednotlivé úlohy tak,
aby byl rozvrh stále konzistentní
Lokální prohledávání
začneme s úplným nekonzistentním rozvrhem
triviálně: s náhodně vygenerovaným
snažíme se najít lepší „podobný” rozvrh lokálními změnami
kvalitu rozvrhu posuzujeme optimalizačními kritérii
např. makespan
optimalizační kritéria vyhodnocují také konzistenci rozvrhu
např. počet porušených precedenčních omezení
Hybridní přístupy
kombinace obou metod
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 45 16. května 2022
Algoritmus lokálního prohledávání
 ¡
¢£
x
F(S)
globální optimum
lokální optimum
1 Inicializace
k = 0
výběr iniciálního rozvrhu S0
zaznamenání dosud nejlepšího rozvrhu:
Sbest = S0 a best_cost = F(S0)
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 46 16. května 2022
Algoritmus lokálního prohledávání
 ¡
¢£
x
F(S)
globální optimum
lokální optimum
1 Inicializace
k = 0
výběr iniciálního rozvrhu S0
zaznamenání dosud nejlepšího rozvrhu:
Sbest = S0 a best_cost = F(S0)
2 Výběr a aktualizace
výběr rozvrhu z okolí: Sk+1 ∈ N(Sk )
pokud kriterium přijetí rozvrhu nesplňuje
žádný prvek N(Sk ), pak algoritmus končí
jestliže F(Sk+1) < best_cost pak
Sbest = Sk+1 a best_cost = F(Sk+1)
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 46 16. května 2022
Algoritmus lokálního prohledávání
 ¡
¢£
x
F(S)
globální optimum
lokální optimum
1 Inicializace
k = 0
výběr iniciálního rozvrhu S0
zaznamenání dosud nejlepšího rozvrhu:
Sbest = S0 a best_cost = F(S0)
2 Výběr a aktualizace
výběr rozvrhu z okolí: Sk+1 ∈ N(Sk )
pokud kriterium přijetí rozvrhu nesplňuje
žádný prvek N(Sk ), pak algoritmus končí
jestliže F(Sk+1) < best_cost pak
Sbest = Sk+1 a best_cost = F(Sk+1)
3 Ukončení
jestliže platí podmínky ukončení pak algoritmus končí
jinak k = k + 1 a skok na krok 2.
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 46 16. května 2022
Jeden stroj + nepreemptivní úlohy
Reprezentace rozvrhu
permutace n úloh
příklad se šesti úlohami: 1,4,2,6,3,5
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 47 16. května 2022
Jeden stroj + nepreemptivní úlohy
Reprezentace rozvrhu
permutace n úloh
příklad se šesti úlohami: 1,4,2,6,3,5
Definice okolí
párová výměna sousedních úloh
příklad: 1,4,2,6,3,5 se změní např. na 1,4,2,6,5,3
možných rozvrhů v okolí:
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 47 16. května 2022
Jeden stroj + nepreemptivní úlohy
Reprezentace rozvrhu
permutace n úloh
příklad se šesti úlohami: 1,4,2,6,3,5
Definice okolí
párová výměna sousedních úloh
příklad: 1,4,2,6,3,5 se změní např. na 1,4,2,6,5,3
možných rozvrhů v okolí: n − 1
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 47 16. května 2022
Jeden stroj + nepreemptivní úlohy
Reprezentace rozvrhu
permutace n úloh
příklad se šesti úlohami: 1,4,2,6,3,5
Definice okolí
párová výměna sousedních úloh
příklad: 1,4,2,6,3,5 se změní např. na 1,4,2,6,5,3
možných rozvrhů v okolí: n − 1
nebo výběr libovolné úlohy v rozvrhu a umístění na libovolnou pozici
příklad: z 1,4,2,6,3,5 náhodně vybereme 4 a dáme ji jinam: 1,2,6,3,4,5
možných rozvrhů v okolí:
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 47 16. května 2022
Jeden stroj + nepreemptivní úlohy
Reprezentace rozvrhu
permutace n úloh
příklad se šesti úlohami: 1,4,2,6,3,5
Definice okolí
párová výměna sousedních úloh
příklad: 1,4,2,6,3,5 se změní např. na 1,4,2,6,5,3
možných rozvrhů v okolí: n − 1
nebo výběr libovolné úlohy v rozvrhu a umístění na libovolnou pozici
příklad: z 1,4,2,6,3,5 náhodně vybereme 4 a dáme ji jinam: 1,2,6,3,4,5
možných rozvrhů v okolí: ≤ n(n − 1)
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 47 16. května 2022
Iniciální řešení & podmínky ukončení
Iniciální řešení generujeme
náhodně
heuristicky např. konstruktivním algoritmem jako jsou řídící pravidla
Podmínka ukončení typicky
zadaný počet iterací
omezená doba běhu
počet porovnání účelové funkce
žádné zlepšení nezískáno po daném počtu iterací
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 48 16. května 2022
Výběr rozvrhu z okolí
Lokální změna
úprava rozvrhu výběrem rozvrhu z okolí
Výběr rozvrhu z okolí, tj. prohledání okolí a výběr vhodného kandidáta
náhodný výběr
výběr nejslibnějšího kandidáta
vybíráme rozvrh s nejlepší hodnotou účelové funkce v okolí
snaha o zlepšení hodnoty účelové funkce
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 49 16. května 2022
Kritérium výběru rozvrhu
Kritérium výběru rozvrhu =
kriterium přijetí/odmítnutí rozvrhu
akceptovat vždy lepší rozvrh?
někdy akceptovat i horší rozvrh?
Metody akceptování horšího rozvrhu
pravděpodobnostní
náhodná procházka: s malou pravděpodobností
(např. 0.01) akceptujeme i horší rozvrh
simulované žíhání
deterministická
tabu prohledávání: udržujeme tabu seznam několika posledních
stavů/změn, které jsou pro další výběr nepřípustné
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 50 16. května 2022
Tabu prohledávání
Deterministické kritérium přijetí/odmítnutí rozvrhu
Udržován tabu seznam několika posledních změn v rozvrhu
tabu seznam = seznam zakázaných změn
každá nová změna je umístěna na vrchol tabu seznamu
př. uchovávané změny: výměna úloh j a k
okolí omezeno na rozvrhy, které nepožadují změnu z tabu seznamu
zabraňuje cyklení
příklad triviáního cyklení:
první krok: prohození úloh 3 a 4, druhý krok: prohození úloh 4 a 3
pevná délka seznamu (typicky: 5-9)
nejstarší změny z tabu seznamu odstraněny
příliš malá délka:
příliš velká délka:
Aspirační kritérium
určuje, kdy je možné akceptovat i změny v tabu seznamu
př. změna z tabu seznamu povolena, pokud zlepšeno F(Sbest)
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 51 16. května 2022
Tabu prohledávání
Deterministické kritérium přijetí/odmítnutí rozvrhu
Udržován tabu seznam několika posledních změn v rozvrhu
tabu seznam = seznam zakázaných změn
každá nová změna je umístěna na vrchol tabu seznamu
př. uchovávané změny: výměna úloh j a k
okolí omezeno na rozvrhy, které nepožadují změnu z tabu seznamu
zabraňuje cyklení
příklad triviáního cyklení:
první krok: prohození úloh 3 a 4, druhý krok: prohození úloh 4 a 3
pevná délka seznamu (typicky: 5-9)
nejstarší změny z tabu seznamu odstraněny
příliš malá délka: nebezpečí cyklení
příliš velká délka: může omezit prohledávání příliš
Aspirační kritérium
určuje, kdy je možné akceptovat i změny v tabu seznamu
př. změna z tabu seznamu povolena, pokud zlepšeno F(Sbest)
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 51 16. května 2022
Algoritmus tabu prohledávání
1 k = 1
výběr iniciálního rozvrhu S1 použitím heuristiky,
Sbest = S1
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 52 16. května 2022
Algoritmus tabu prohledávání
1 k = 1
výběr iniciálního rozvrhu S1 použitím heuristiky,
Sbest = S1
2 výběr Sc ∈ N(Sk )
jestliže je změna Sk → Sc zakázána
protože je v tabu seznamu
a není splněno aspirační kritérium
pak běž na krok 2
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 52 16. května 2022
Algoritmus tabu prohledávání
1 k = 1
výběr iniciálního rozvrhu S1 použitím heuristiky,
Sbest = S1
2 výběr Sc ∈ N(Sk )
jestliže je změna Sk → Sc zakázána
protože je v tabu seznamu
a není splněno aspirační kritérium
pak běž na krok 2
3 jestliže změna Sk → Sc není zakázána tabu seznamem
nebo je splněno aspirační kritérium
pak Sk+1 = Sc
ulož reversní změnu na vrchol tabu seznamu
posuň další pozice v tabu seznamu o pozici níže
smaž poslední položku z tabu seznamu
jestliže F(Sc ) < F(Sbest) pak Sbest = Sc
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 52 16. května 2022
Algoritmus tabu prohledávání
1 k = 1
výběr iniciálního rozvrhu S1 použitím heuristiky,
Sbest = S1
2 výběr Sc ∈ N(Sk )
jestliže je změna Sk → Sc zakázána
protože je v tabu seznamu
a není splněno aspirační kritérium
pak běž na krok 2
3 jestliže změna Sk → Sc není zakázána tabu seznamem
nebo je splněno aspirační kritérium
pak Sk+1 = Sc
ulož reversní změnu na vrchol tabu seznamu
posuň další pozice v tabu seznamu o pozici níže
smaž poslední položku z tabu seznamu
jestliže F(Sc ) < F(Sbest) pak Sbest = Sc
4 k = k + 1
jestliže platí podmínka ukončení pak konec
jinak běž na krok 2.
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 52 16. května 2022
Příklad: tabu seznam
Uvažujte rozvrhovací problém s 1|| wj Tj
opakování: Tj = max(Cj − dj , 0)
úlohy 1 2 3 4
pj 10 10 13 4
dj 4 2 1 12
wj 14 12 1 12
Okolí: všechny rozvrhy získané párovou výměnou sousedních úloh
Výběr rozvrhu z okolí: vybereme nejlepší rozvrh
Tabu seznam: páry úloh (j, k), které byly přehozeny při posledních
dvou změnách
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 53 16. května 2022
Příklad: tabu seznam
Uvažujte rozvrhovací problém s 1|| wj Tj
opakování: Tj = max(Cj − dj , 0)
úlohy 1 2 3 4
pj 10 10 13 4
dj 4 2 1 12
wj 14 12 1 12
Okolí: všechny rozvrhy získané párovou výměnou sousedních úloh
Výběr rozvrhu z okolí: vybereme nejlepší rozvrh
Tabu seznam: páry úloh (j, k), které byly přehozeny při posledních
dvou změnách
S1 = (2, 1, 4, 3)
F(S1) = wj Tj =
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 53 16. května 2022
Příklad: tabu seznam
Uvažujte rozvrhovací problém s 1|| wj Tj
opakování: Tj = max(Cj − dj , 0)
úlohy 1 2 3 4
pj 10 10 13 4
dj 4 2 1 12
wj 14 12 1 12
Okolí: všechny rozvrhy získané párovou výměnou sousedních úloh
Výběr rozvrhu z okolí: vybereme nejlepší rozvrh
Tabu seznam: páry úloh (j, k), které byly přehozeny při posledních
dvou změnách
S1 = (2, 1, 4, 3)
F(S1) = wj Tj = 12 · 8 + 14 · 16 + 12 · 12 + 1 · 36 = 500 = F(Sbest)
F(1, 2, 4, 3) = 480
F(2, 4, 1, 3) = 436 = F(Sbest)
F(2, 1, 3, 4) = 652
Tabu seznam: (1, 4)
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 53 16. května 2022
Příklad: tabu seznam (pokračování)
S2 = (2, 4, 1, 3), F(S2) = 436
F(4, 2, 1, 3) = 460
F(2, 1, 4, 3)(= 500) tabu!
F(2, 4, 3, 1) = 608
Tabu seznam: (2, 4), (1, 4)
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 54 16. května 2022
Příklad: tabu seznam (pokračování)
S2 = (2, 4, 1, 3), F(S2) = 436
F(4, 2, 1, 3) = 460
F(2, 1, 4, 3)(= 500) tabu!
F(2, 4, 3, 1) = 608
Tabu seznam: (2, 4), (1, 4)
S3 = (4, 2, 1, 3), F(S3) = 460
F(2, 4, 1, 3)(= 436) tabu!
F(4, 1, 2, 3) = 440
F(4, 2, 3, 1) = 632
Tabu seznam: (2, 1), (2, 4)
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 54 16. května 2022
Příklad: tabu seznam (pokračování)
S2 = (2, 4, 1, 3), F(S2) = 436
F(4, 2, 1, 3) = 460
F(2, 1, 4, 3)(= 500) tabu!
F(2, 4, 3, 1) = 608
Tabu seznam: (2, 4), (1, 4)
S3 = (4, 2, 1, 3), F(S3) = 460
F(2, 4, 1, 3)(= 436) tabu!
F(4, 1, 2, 3) = 440
F(4, 2, 3, 1) = 632
Tabu seznam: (2, 1), (2, 4)
F4 = (4, 1, 2, 3), F(S4) = 440
F(1, 4, 2, 3) = 408 = F(Sbest)
F(4, 2, 1, 3)(= 460) tabu!
F(4, 1, 3, 2) = 586
Tabu seznam: (4, 1), (2, 1)
F(Sbest) = 408
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 54 16. května 2022
Cvičení: tabu seznam
Uvažujte rozvrhovací problém s 1|| wj Tj
úlohy 1 2 3 4
pj 10 10 13 4
dj 4 2 1 12
wj 14 12 1 12
Aplikujte tabu prohledávání pro iniciální řešení (2, 1, 4, 3)
Okolí: všechny rozvrhy získané párovou výměnou sousedních úloh
Výběr rozvrhu z okolí: vybereme nejlepší rozvrh
Proveďte čtyři iterace
Tabu seznam: páry úloh (j, k), které byly přehozeny při
1 jedné poslední změně výsledek: F(Sbest) = 408
2 třech posledních změnách výsledek: F(Sbest) = 436
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 55 16. května 2022
Simulované žíhání: principy
Myšlenka: simulace procesu ochlazování kovů
na začátku při vyšší teplotě atomy více kmitají a pravděpodobnost
změny krystalické mřížky je vyšší
postupným ochlazováním se atomy usazují do „nejlepší polohy”
s nejmenší energií a pravděpodobnost změny je menší
⇒ na začátku je tedy pravděpodobnost toho, že akceptujeme zhoršování
řešení, vyšší
Aplikace u lokálního prohledávání
lepší nebo stejné řešení akceptováno
algoritmus umožňuje akceptovat horší řešení, abychom unikli
z lokálního minima
pravděpodobnost přijetí horšího řešení se postupně snižuje
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 56 16. května 2022
Simulované žíhání: realizace
Parametr chlazení t
t je iniciálně vysoké: hodně změn je akceptováno
t postupně klesá: horší změny jsou skoro vždy odmítnuty
Rozdíl mezi kvalitou nového a existujícího řešení
∆c = F(Snew ) − F(Sold )
Metropolisovo kritérium
předpoklad: minimalizace F
lepší nebo stejné řešení akceptováno: ∆c ≤ 0, tj. F(Snew ) ≤ F(Sold )
pravděpodobnostní přijetí/odmítnutí rozvrhu:
horší řešení (∆c > 0) akceptováno pokud
U < e−∆c/t
U náhodné číslo z intervalu (0, 1)
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 57 16. května 2022
Metropolisovo kritérium
Horší řešení (F(Snew ) − F(Sold ) = ∆c > 0) akceptováno pokud
U < e−∆c/t
U náhodné číslo z intervalu (0, 1)
∆c > 0, tj. −∆c < 0
pokud klesá t nebo klesá −∆c, tak klesá i e−∆c/t
pomůcka: porovnej e−10/100 vs. e−100/100
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 58 16. května 2022
Metropolisovo kritérium
Horší řešení (F(Snew ) − F(Sold ) = ∆c > 0) akceptováno pokud
U < e−∆c/t
U náhodné číslo z intervalu (0, 1)
∆c > 0, tj. −∆c < 0
pokud klesá t nebo klesá −∆c, tak klesá i e−∆c/t
pomůcka: porovnej e−10/100 vs. e−100/100
Graf ex
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 58 16. května 2022
Metropolisovo kritérium
Horší řešení (F(Snew ) − F(Sold ) = ∆c > 0) akceptováno pokud
U < e−∆c/t
U náhodné číslo z intervalu (0, 1)
∆c > 0, tj. −∆c < 0
pokud klesá t nebo klesá −∆c, tak klesá i e−∆c/t
pomůcka: porovnej e−10/100 vs. e−100/100 a e−10/100 vs. e−10/1
Graf ex
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 58 16. května 2022
Algoritmus simulovaného žíhání
1 k = 1
výběr iniciálního rozvrhu S1 použitím heuristiky, Sbest = S1
nastavení iniciální teploty t0 > 0
výběr funkce redukce teploty α(t)
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 59 16. května 2022
Algoritmus simulovaného žíhání
1 k = 1
výběr iniciálního rozvrhu S1 použitím heuristiky, Sbest = S1
nastavení iniciální teploty t0 > 0
výběr funkce redukce teploty α(t)
2 výběr Snew ∈ N(Sk )
jestliže F(Snew ) < F(Sbest) pak Sbest = Snew , Sk+1 = Snew
jinak
jestliže F(Snew ) ≤ F(Sk ) pak Sk+1 = Snew
jinak
generuj náhodné číslo Uk
jestliže Uk < e
F(S
k
)−F(Snew )
t pak Sk+1 = Snew
jinak Sk+1 = Sk
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 59 16. května 2022
Algoritmus simulovaného žíhání
1 k = 1
výběr iniciálního rozvrhu S1 použitím heuristiky, Sbest = S1
nastavení iniciální teploty t0 > 0
výběr funkce redukce teploty α(t)
2 výběr Snew ∈ N(Sk )
jestliže F(Snew ) < F(Sbest) pak Sbest = Snew , Sk+1 = Snew
jinak
jestliže F(Snew ) ≤ F(Sk ) pak Sk+1 = Snew
jinak
generuj náhodné číslo Uk
jestliže Uk < e
F(S
k
)−F(Snew )
t pak Sk+1 = Snew
jinak Sk+1 = Sk
3 tk = α(tk )
k = k + 1
jestliže platí podmínka ukončení pak konec
jinak běž na krok 2.
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 59 16. května 2022
Příklad: simulované žíhání
Opakování: Tj = max(Cj − dj , 0)
Uvažujte rozvrhovací problém s 1|| wj Tj
úlohy 1 2 3 4
pj 9 9 12 3
dj 10 8 5 28
wj 14 12 1 12
Použijte simulované žíhání
s iniciálním rozvrhem (3, 1, 4, 2)
Okolí: všechny rozvrhy, které dostaneme sousedními párovými
výměnami
Výběr rozvrhu z okolí náhodně
Zvolte α(t) = 0.9 × t
t0 = 0.9
Použijte následující náhodná čísla: 0.17, 0.91, . . .
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 60 16. května 2022
Příklad: simulované žíhání (řešení)
Sbest = S1 = (3, 1, 4, 2)
F(S1) = wj Tj =
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 61 16. května 2022
Příklad: simulované žíhání (řešení)
Sbest = S1 = (3, 1, 4, 2)
F(S1) = wj Tj = 1 · 7 + 14 · 11 + 12 · 0 + 12 · 25 = 461 = F(Sbest )
t0 = 0.9
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 61 16. května 2022
Příklad: simulované žíhání (řešení)
Sbest = S1 = (3, 1, 4, 2)
F(S1) = wj Tj = 1 · 7 + 14 · 11 + 12 · 0 + 12 · 25 = 461 = F(Sbest )
t0 = 0.9
Snew = (1, 3, 4, 2)
F(Snew ) = 316 < F(Sbest )
Sbest = (1, 3, 4, 2)
F(Sbest ) = 316
S2 = (1, 3, 4, 2)
t = 0.9 × 0.9 = 0.81
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 61 16. května 2022
Příklad: simulované žíhání (řešení)
Sbest = S1 = (3, 1, 4, 2)
F(S1) = wj Tj = 1 · 7 + 14 · 11 + 12 · 0 + 12 · 25 = 461 = F(Sbest )
t0 = 0.9
Snew = (1, 3, 4, 2)
F(Snew ) = 316 < F(Sbest )
Sbest = (1, 3, 4, 2)
F(Sbest ) = 316
S2 = (1, 3, 4, 2)
t = 0.9 × 0.9 = 0.81
Snew = (1, 3, 2, 4)
F(Snew ) = 340 > F(Sbest ) = 316
F(Snew ) > F(S2) = 316
U1 = 0.17 > e−(340−316)/0.81 = 1.35 × 10−13
S3 = S2 = (1, 3, 4, 2)
t = 0.729
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 61 16. května 2022
Příklad: simulované žíhání (řešení)
Sbest = S1 = (3, 1, 4, 2)
F(S1) = wj Tj = 1 · 7 + 14 · 11 + 12 · 0 + 12 · 25 = 461 = F(Sbest )
t0 = 0.9
Snew = (1, 3, 4, 2)
F(Snew ) = 316 < F(Sbest )
Sbest = (1, 3, 4, 2)
F(Sbest ) = 316
S2 = (1, 3, 4, 2)
t = 0.9 × 0.9 = 0.81
Snew = (1, 3, 2, 4)
F(Snew ) = 340 > F(Sbest ) = 316
F(Snew ) > F(S2) = 316
U1 = 0.17 > e−(340−316)/0.81 = 1.35 × 10−13
S3 = S2 = (1, 3, 4, 2)
t = 0.729
Snew = (1, 4, 3, 2)
F(Snew ) = 319 > F(Sbest ) = 316
F(Snew ) > F(S3) = 316
U3 = 0.91 > e−(319−316)/0.729 = 0.016
S4 = S3 = (1, 3, 4, 2)
t = 0.6561
. . .
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 61 16. května 2022
Praktické úvahy
Iniciální teplota
musí být „vysoká”
kritérium přijetí rozvrhu: 40%–60% vykazuje dobré výsledky v mnoha
situacích
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 62 16. května 2022
Praktické úvahy
Iniciální teplota
musí být „vysoká”
kritérium přijetí rozvrhu: 40%–60% vykazuje dobré výsledky v mnoha
situacích
Parametr chlazení
několik změn při dané teplotě
jedna změna při každé teplotě
t = α × t α typicky v intervalu [0.9,0.99]
t = t
1+βt β typicky blízké k 0
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 62 16. května 2022
Praktické úvahy
Iniciální teplota
musí být „vysoká”
kritérium přijetí rozvrhu: 40%–60% vykazuje dobré výsledky v mnoha
situacích
Parametr chlazení
několik změn při dané teplotě
jedna změna při každé teplotě
t = α × t α typicky v intervalu [0.9,0.99]
t = t
1+βt β typicky blízké k 0
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 62 16. května 2022
Genetické algoritmy
Srovnání
simulované žíhání, tabu prohledávání
jedno řešení je přenášeno z jedné iterace do druhé
genetické algoritmy
udržována populace (několika přenášených) řešení
Genetické algoritmy
rozvrhy jsou jednotlivci (chromozomy), kteří tvoří populaci
rozhodovací proměnná (např. čas jedné úlohy) je gen
hodnota rozhodovací proměnné (např. konkrétní čas) je alela
každý jednotlivec je vyhodnocen kritériem vhodnosti (fitness)
někteří jednotlivci mutují
jednotlivci jsou vybrání k reprodukci křížením a
mají děti tvořící následující populaci
nejvhodnější jedinci přežijí do další populace
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 63 16. května 2022
Reprodukce
Křížení (crossover): kombinování posloupnosti operací na jednom stroji
v jednom rodičovském rozvrhu s posloupností operací na jiném stroji
u jiného rodiče
Operátor jednoduchého křížení není užitečný!
P1=[2 1 3 4 5 6 7]
P2=[4 3 1 2 5 7 6]
O1=[2 1 3 2 5 7 6]
O2=[4 3 1 4 5 6 7]
bod řezu
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 64 16. května 2022
Reprodukce
Křížení (crossover): kombinování posloupnosti operací na jednom stroji
v jednom rodičovském rozvrhu s posloupností operací na jiném stroji
u jiného rodiče
Operátor jednoduchého křížení není užitečný!
P1=[2 1 3 4 5 6 7]
P2=[4 3 1 2 5 7 6]
O1=[2 1 3 2 5 7 6]
O2=[4 3 1 4 5 6 7]
bod řezu
Každá alela (hodnota) se musí výskytnout v jedinci právě jednou
používány různé formy mapování
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 64 16. května 2022
Křížení dané pořadím
Křížení dané pořadím (Order crossover, OX)
1 Vybrány náhodně dva body křížení
2 Z rodiče 1 hodnoty mezi nimi zkopírovány na stejné pozice v
potomkovi
3 Z rodiče 2 začneme od druhého bodu křížení vybírat prvky, které již
nebyly vybrány z rodiče 1, a dávame je do potomka od 2. bodu křížení
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 65 16. května 2022
Mutace
Mutace umožňuje genetickému algoritmu prohledávat prostor
nedosažitelný operátorem křížení
Párová výměna sousedů v posloupnosti
[1, 2, . . . , n] → [2, 1, . . . , n]
Mutace výměnou: změna dvou náhodně vybraných prvků permutace
Mutace posunem: přesun náhodně vybraného prvku o náhodný počet
míst doleva nebo doprava
Mutace promícháním podseznamu: výběr dvou bodů v řetězci náhodně
a náhodná permutace prvků mezi těmito dvěma pozicemi
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 66 16. května 2022
Výběr
Ruletové kolo
šance na reprodukci jsou proporcionálně závislé na vhodnosti jedince
velikost každého dílu ruletového kola
záleží na vhodnosti konkrétního jedince
př. kritérium vhodnosti pro 6 jedinců: 5,7,1,3,3,3
první díl má velikost 5, druhý 7, třetí 1, čtvrtý 3, páty 3, šestý 3
vybraný jedinec díl pro 1.jedince
díl pro 2.jedince
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 67 16. května 2022
Výběr
Ruletové kolo
šance na reprodukci jsou proporcionálně závislé na vhodnosti jedince
velikost každého dílu ruletového kola
záleží na vhodnosti konkrétního jedince
př. kritérium vhodnosti pro 6 jedinců: 5,7,1,3,3,3
první díl má velikost 5, druhý 7, třetí 1, čtvrtý 3, páty 3, šestý 3
vybraný jedinec díl pro 1.jedince
díl pro 2.jedince
Kroky pro ruletové kolo
1 sečti vhodnost všech jednotlivců populace: TF
př. TF = 5 + 7 + 1 + 3 + 3 + 3 = 22
2 generuj náhodné číslo m mezi 0 a 22
3 vrať prvního jednotlivce populace do jehož dílu spadá m
čím větší vhodnost jedince, tím větší pravděpodobnost,
že se na něj strefíme
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 67 16. května 2022
Výběr (pokračování)
Turnajový výběr
1 výběr jednoho jedince
náhodně vyber skupinu t jedinců z populace
vyber nejlepšího jedince
2 pokud potřebujeme vybrat k jedinců, pak postup opakujeme k-krát
Jak garantovat, že nejlepší člen/členové populace přežijí?
Elitářský model:
nejlepší člen populace je vybrán jako člen následující populace
nebo
nejlepší potomci a rodiče jsou vybírání do následující populace
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 68 16. května 2022
Základní implementace genetického algoritmu
1 k = 1
vyber N iniciálních rozvrhů S1,1, . . . , S1,N
použitím heuristiky
vyhodnoť jednotlivce populace
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 69 16. května 2022
Základní implementace genetického algoritmu
1 k = 1
vyber N iniciálních rozvrhů S1,1, . . . , S1,N
použitím heuristiky
vyhodnoť jednotlivce populace
2 vytvoř nové jednotlivce spojením jednotlivců
současné populace pomocí křížení a mutace
smaž členy existující populace,
aby udělali místo novým jednotlivcům
vyhodnoť nové jednotlivce a
přidej je do populace Sk+1,1, . . . , Sk+1,N
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 69 16. května 2022
Základní implementace genetického algoritmu
1 k = 1
vyber N iniciálních rozvrhů S1,1, . . . , S1,N
použitím heuristiky
vyhodnoť jednotlivce populace
2 vytvoř nové jednotlivce spojením jednotlivců
současné populace pomocí křížení a mutace
smaž členy existující populace,
aby udělali místo novým jednotlivcům
vyhodnoť nové jednotlivce a
přidej je do populace Sk+1,1, . . . , Sk+1,N
3 k = k + 1
jestliže platí podmínka ukončení
pak vrať nejlepšího jedince jako řešení a skonči
jinak běž na krok 2.
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 69 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy
Uvažujte rozvrhovací problém s 1| | Tj
úlohy 1 2 3 4 5
pj 4 3 7 2 2
dj 5 6 8 8 17
Velikost populace: 3
Výběr
v každé populaci se reprodukuje nejvhodnější jedinec
triviální verze pro snadný výpočet!
pro reprodukci je použita párová výměna sousedů
počet možných potomků:
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 70 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy
Uvažujte rozvrhovací problém s 1| | Tj
úlohy 1 2 3 4 5
pj 4 3 7 2 2
dj 5 6 8 8 17
Velikost populace: 3
Výběr
v každé populaci se reprodukuje nejvhodnější jedinec
triviální verze pro snadný výpočet!
pro reprodukci je použita párová výměna sousedů
počet možných potomků: 4
pro reprodukci náhodně vybrán jeden z nich
potomek nahradí nejhoršího rodiče
Iniciální populace: náhodné posloupnosti permutací
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 70 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy (řešení)
Populace 1 Jedinec 25314 14352 12345
Cena 25 17 16
Vybraný jedinec:
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 71 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy (řešení)
Populace 1 Jedinec 25314 14352 12345
Cena 25 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 71 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy (řešení)
Populace 1 Jedinec 25314 14352 12345
Cena 25 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 13245, cena 20
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 71 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy (řešení)
Populace 1 Jedinec 25314 14352 12345
Cena 25 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 13245, cena 20
Populace 2 Jedinec 13245 14352 12345
Cena 20 17 16
Vybraný jedinec:
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 71 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy (řešení)
Populace 1 Jedinec 25314 14352 12345
Cena 25 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 13245, cena 20
Populace 2 Jedinec 13245 14352 12345
Cena 20 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 12354, cena 17
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 71 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy (řešení)
Populace 1 Jedinec 25314 14352 12345
Cena 25 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 13245, cena 20
Populace 2 Jedinec 13245 14352 12345
Cena 20 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 12354, cena 17
Populace 3 Jedinec 12354 14352 12345
Cena 17 17 16
Vybraný jedinec:
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 71 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy (řešení)
Populace 1 Jedinec 25314 14352 12345
Cena 25 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 13245, cena 20
Populace 2 Jedinec 13245 14352 12345
Cena 20 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 12354, cena 17
Populace 3 Jedinec 12354 14352 12345
Cena 17 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 12435, cena 11
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 71 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy (řešení)
Populace 1 Jedinec 25314 14352 12345
Cena 25 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 13245, cena 20
Populace 2 Jedinec 13245 14352 12345
Cena 20 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 12354, cena 17
Populace 3 Jedinec 12354 14352 12345
Cena 17 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 12435, cena 11
Populace 4 Jedinec 14352 12345 12435
Cena 17 16 11
Vybraný jedinec:
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 71 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy (řešení)
Populace 1 Jedinec 25314 14352 12345
Cena 25 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 13245, cena 20
Populace 2 Jedinec 13245 14352 12345
Cena 20 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 12354, cena 17
Populace 3 Jedinec 12354 14352 12345
Cena 17 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 12435, cena 11
Populace 4 Jedinec 14352 12345 12435
Cena 17 16 11
Vybraný jedinec: 12435 – optimální řešení
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 71 16. května 2022
Příklad: genetické algoritmy (řešení)
Populace 1 Jedinec 25314 14352 12345
Cena 25 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 13245, cena 20
Populace 2 Jedinec 13245 14352 12345
Cena 20 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 12354, cena 17
Populace 3 Jedinec 12354 14352 12345
Cena 17 17 16
Vybraný jedinec: 12345 s potomkem 12435, cena 11
Populace 4 Jedinec 14352 12345 12435
Cena 17 16 11
Vybraný jedinec: 12435 – optimální řešení
Nevýhoda takto jednoduchého nastavení algoritmu:
výběr nejlepšího jedince způsobuje opakovanou reprodukci nejlepšího jedince,
dokud není nahrazen lepším potomkem
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 71 16. května 2022
Praktické úvahy
Velikost populace
malá populace
velká populace
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 72 16. května 2022
Praktické úvahy
Velikost populace
malá populace riskuje příliš malé pokrytí prohledávacího prostoru
velká populace
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 72 16. května 2022
Praktické úvahy
Velikost populace
malá populace riskuje příliš malé pokrytí prohledávacího prostoru
velká populace má velké výpočetní nároky
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 72 16. května 2022
Praktické úvahy
Velikost populace
malá populace riskuje příliš malé pokrytí prohledávacího prostoru
velká populace má velké výpočetní nároky
dle empirických výsledků
velikost populace kolem 30 často adekvátní
velikost populace 20-100 je běžná
Mutace: obvykle použita s pravděpodobností
např. mutace jednoho genu jedince
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 72 16. května 2022
Praktické úvahy
Velikost populace
malá populace riskuje příliš malé pokrytí prohledávacího prostoru
velká populace má velké výpočetní nároky
dle empirických výsledků
velikost populace kolem 30 často adekvátní
velikost populace 20-100 je běžná
Mutace: obvykle použita s velmi malou pravděpodobností
např. mutace jednoho genu jedince
Hana Rudová, FI MU: Lokální prohledávání 72 16. května 2022
Matematické programování
16. května 2022
11 Linerární programování
12 Celočíselné programování
Matematické programování
Řada rozvrhovacích problémů může být formulována
jako matematické programy
Lineární programování, nelineární programování,
celočíselné programování
Předměty
PřF:M0160 Optimalizace
ESF:BKM_OPRO Optimalizace a rozhodování
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 74 16. května 2022
Lineární programování
Lineární program (LP)
Minimalizace c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn
za předpokladu
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn ≥ b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn ≥ b2
· · ·
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn ≥ bm
xj ≥ 0 pro j = 1, . . . , n
xj ∈ R pro j = 1, . . . , n
V maticovém zápisu: minimalizace c x
za předpokladu Ax ≥ b
x ≥ 0
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 75 16. května 2022
Lineární programování: příklad
Výrobce vyrábí 3 výrobky A, B, C, na které spotřebuje
materiál M a pracovní dobu P
Maximalizujeme denní "Zisk"za předpokladu, že platí:
zisk z 1 kusu A = 500 Kč, spotřebujeme 4M a 2P.
zisk z 1 kusu B = 800 Kč, spotřebujeme 1M a 5P.
zisk z 1 kusu C = 300 Kč, spotřebujeme 2M a 1P.
přitom platí denní omezení materiálu M≤30 kusů a
pracovních hodin P≤48 hodin (např. 6 lidí pracujících 8 hodin denně)
Jak lze použít obecný LP vzorec?
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 76 16. května 2022
Lineární programování: příklad
Výrobce vyrábí 3 výrobky A, B, C, na které spotřebuje
materiál M a pracovní dobu P
Maximalizujeme denní "Zisk"za předpokladu, že platí:
zisk z 1 kusu A = 500 Kč, spotřebujeme 4M a 2P.
zisk z 1 kusu B = 800 Kč, spotřebujeme 1M a 5P.
zisk z 1 kusu C = 300 Kč, spotřebujeme 2M a 1P.
přitom platí denní omezení materiálu M≤30 kusů a
pracovních hodin P≤48 hodin (např. 6 lidí pracujících 8 hodin denně)
Jak lze použít obecný LP vzorec?
max(Zisk) = 500*A + 800*B + 300*C (c1 = 500, x1 = A,...)
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 76 16. května 2022
Lineární programování: příklad
Výrobce vyrábí 3 výrobky A, B, C, na které spotřebuje
materiál M a pracovní dobu P
Maximalizujeme denní "Zisk"za předpokladu, že platí:
zisk z 1 kusu A = 500 Kč, spotřebujeme 4M a 2P.
zisk z 1 kusu B = 800 Kč, spotřebujeme 1M a 5P.
zisk z 1 kusu C = 300 Kč, spotřebujeme 2M a 1P.
přitom platí denní omezení materiálu M≤30 kusů a
pracovních hodin P≤48 hodin (např. 6 lidí pracujících 8 hodin denně)
Jak lze použít obecný LP vzorec?
max(Zisk) = 500*A + 800*B + 300*C (c1 = 500, x1 = A,...)
4*A + 1*B + 2*C ≤ 30 (omezení materiálu)
2*A + 5*B + 1*C ≤ 48 (omezení prac. hodin)
Jak bude vypadat výsledek? V jakých proměnných budeme mít
uloženou odpověď na naši otázku? Co budou vyjadřovat?
Bude to použitelné v praxi?
Max vs. min není problém, neboť platí:
max f (x) = −min(−f (x)) pro x ∈ Rn
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 76 16. května 2022
Lineární programování: metody řešení
Pro malé 2D, 3D problémy si často vystačíme s grafickým řešením
cíl je rovnice s parametrem = vrstevnice v ploše
omezení jsou poloroviny
oblast řešení je průnik polorovin (polyedr, tj. mnohostěn)
řešení je průnik rovnice s parametrem a vzniklého polyedru
Simplexová metoda
efektivní nalezení řešení
většinou polynomiální čas
použití v praxi pro řešení
rozsáhlých problémů
Elipsoidová metoda
Metoda vnitřních bodů
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 77 16. května 2022
Celočíselné programování
Celočíselné programování (integer programming IP)
lineární programování + všechny proměnné celočíselné
Mixed-integer programming (MIP)
použity celočíselné i reálné obory hodnot proměnných
Mnohem obtížnější než lineární programování
Pro rozvrhování mnohem užitečnější
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 78 16. května 2022
Celočíselné programování a metody řešení
Pracuje se s LP relaxací celočíselného programu,
tj. z celočíselného programu jsou odstraněna omezení požadující řešení
z oboru celých čísel a řešíme lineární programy a řešíme lineární
programy
Metoda řezné roviny (cutting plane)
generována přídavná lineární omezení (řezné roviny),
která musí být splněna v celočíselném řešení
přídavná omezení zužují množinu přípustných řešení
při zachování celočíselných řešení
řešení LP relaxace celočíselného programu s přídavnými omezeními
pokud nenalezeno řešení celočíselné, přidáváme dalsí řezné roviny a
opakujeme postup
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 79 16. května 2022
Celočíselné programování a metody řešení
Pracuje se s LP relaxací celočíselného programu,
tj. z celočíselného programu jsou odstraněna omezení požadující řešení
z oboru celých čísel a řešíme lineární programy a řešíme lineární
programy
Metoda řezné roviny (cutting plane)
generována přídavná lineární omezení (řezné roviny),
která musí být splněna v celočíselném řešení
přídavná omezení zužují množinu přípustných řešení
při zachování celočíselných řešení
řešení LP relaxace celočíselného programu s přídavnými omezeními
pokud nenalezeno řešení celočíselné, přidáváme dalsí řezné roviny a
opakujeme postup
Metoda větví a mezí (branch and bound)
větvení na rozhodovacích proměnných
(xj = r v LP řešení pak přidáme xj ≤ r , xj ≥ r )
lineární programy s přidanými omezeními poskytují hranice (meze)
Hybridní metody
kombinace různých metod
např. kombinace metody větví a mezí a řezných rovin (branch and cut)Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 79 16. května 2022
Ukázka problému: rozvrhování směn
Směna: množina period, kdy zaměstnanec pracuje
často je směna chápána jako množina po sobě jdoucích period
př. denní směna 6:00-18:00, noční směna 18:00-6:00
Problém rozvrhování směn
cyklus je dán předem
např. 1 den je cyklus, časová jednotka (perioda) je hodina
je dáno několik vzorků směn s odlišnou cenou
cíl je minimalizovat celkovou cenu
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 80 16. května 2022
Ukázka problému: rozvrhování směn
Směna: množina period, kdy zaměstnanec pracuje
často je směna chápána jako množina po sobě jdoucích period
př. denní směna 6:00-18:00, noční směna 18:00-6:00
Problém rozvrhování směn
cyklus je dán předem
např. 1 den je cyklus, časová jednotka (perioda) je hodina
je dáno několik vzorků směn s odlišnou cenou
cíl je minimalizovat celkovou cenu
Problém si popíšeme jako matematický celočíselný program
minimalizace
n
j=1
cj xj
za předpokladu:
n
j=1
aij xj ≥ bi ∀i : 1 ≤ i ≤ m
xj ≥ 0 ∀j : 1 ≤ j ≤ n
xj ∈ Z ∀j : 1 ≤ j ≤ n
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 80 16. května 2022
Formulace problému
m period (hodin)
př. od 10:00 do 21:00
V periodě i, i = 1, . . . , m je potřeba bi zaměstnanců
př. 10:00: 3, 11:00: 4, 12:00 6, ...
n vzorků směn
př. 10:00 – 18:00, 13:00 – 21:00, 18:00 – 21:00, ...
Každý zaměstnanec přiřazen právě jednomu vzorku
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 81 16. května 2022
Formulace problému
m period (hodin)
př. od 10:00 do 21:00
V periodě i, i = 1, . . . , m je potřeba bi zaměstnanců
př. 10:00: 3, 11:00: 4, 12:00 6, ...
n vzorků směn
př. 10:00 – 18:00, 13:00 – 21:00, 18:00 – 21:00, ...
Každý zaměstnanec přiřazen právě jednomu vzorku
Vzorek směny j je vektor (a1j , a2j , . . . , amj )
aij = 1: i je pracovní perioda
aij = 0: jinak
př. směna 18:00 – 21:00 odpovídá (0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1) pro 10:00 – 21:00
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 81 16. května 2022
Formulace problému
m period (hodin)
př. od 10:00 do 21:00
V periodě i, i = 1, . . . , m je potřeba bi zaměstnanců
př. 10:00: 3, 11:00: 4, 12:00 6, ...
n vzorků směn
př. 10:00 – 18:00, 13:00 – 21:00, 18:00 – 21:00, ...
Každý zaměstnanec přiřazen právě jednomu vzorku
Vzorek směny j je vektor (a1j , a2j , . . . , amj )
aij = 1: i je pracovní perioda
aij = 0: jinak
př. směna 18:00 – 21:00 odpovídá (0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1) pro 10:00 – 21:00
Cena přiřazení zaměstnance na směnu j: cj
xj : proměnná reprezentující počet zaměstnanců přiřazených ke směně j
Cíl: minimalizace celkové ceny přiřazených zaměstnanců
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 81 16. května 2022
Formulace problému a řešení
m period (hodin)
př. od 10:00 do 21:00
V periodě i, i = 1, . . . , m je potřeba bi zaměstnanců
př. 10:00: 3, 11:00: 4, 12:00 6, ...
n vzorků směn
př. 10:00 – 18:00, 13:00 – 21:00, 18:00 – 21:00, ...
Každý zaměstnanec přiřazen právě jednomu vzorku
Vzorek směny j je vektor (a1j , a2j , . . . , amj )
aij = 1: i je pracovní perioda
aij = 0: jinak
př. směna 18:00 – 21:00 odpovídá (0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1) pro 10:00 – 21:00
Cena přiřazení zaměstnance na směnu j: cj
xj : proměnná reprezentující počet zaměstnanců přiřazených ke směně j
Cíl: minimalizace celkové ceny přiřazených zaměstnanců
Problém je NP-těžký, nicméně
A má speciální tvar, kde směna je dána jako kontinuální posloupnost 1
platí: řešení tohoto lineárního programu je vždy celočíselné
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 81 16. května 2022
Příklad rozvrhování směn v obchodě
Obchod otevřen
od 10:00 do 21:00
5 vzorků (typů) směny
Vzorek Doba Hodin Cena
1 10-18 8 50
2 13-21 8 60
3 12-18 6 30
4 10-13 3 15
5 18-21 3 16
Požadavky na počet zaměstnanců v obchodě
Hodina 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Počet zaměstnanců 3 4 6 4 7 8 7 6 4 7 8
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 82 16. května 2022
Příklad rozvrhování směn v obchodě
Obchod otevřen
od 10:00 do 21:00
5 vzorků (typů) směny
Vzorek Doba Hodin Cena
1 10-18 8 50
2 13-21 8 60
3 12-18 6 30
4 10-13 3 15
5 18-21 3 16
Požadavky na počet zaměstnanců v obchodě
Hodina 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Počet zaměstnanců 3 4 6 4 7 8 7 6 4 7 8
Lineární relaxace
c = (50, 60, 30, 15, 16) A =


















1 0 0 1 0
1 0 0 1 0
1 0 1 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
0 1 0 0 1
0 1 0 0 1
0 1 0 0 1


















b =


















3
4
6
4
7
8
7
6
4
7
8


















Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 82 16. května 2022
Příklad rozvrhování směn v obchodě
Obchod otevřen
od 10:00 do 21:00
5 vzorků (typů) směny
Vzorek Doba Hodin Cena
1 10-18 8 50
2 13-21 8 60
3 12-18 6 30
4 10-13 3 15
5 18-21 3 16
Požadavky na počet zaměstnanců v obchodě
Hodina 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Počet zaměstnanců 3 4 6 4 7 8 7 6 4 7 8
Lineární relaxace
c = (50, 60, 30, 15, 16) A =


















1 0 0 1 0
1 0 0 1 0
1 0 1 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
0 1 0 0 1
0 1 0 0 1
0 1 0 0 1


















b =


















3
4
6
4
7
8
7
6
4
7
8

















Řešení (x1, x2, x3, x4, x5)
= (0, 0, 8, 4, 8)
Hana Rudová, FI MU: Matematické programování 82 16. května 2022
Omezující podmínky (pokračování)
16. května 2022
13 Problém splňování podmínek
14 Rozvrhování jako problém splňování podmínek
15 Podmínky pro zdroje
16 Globální omezení
17 Prohledávání a rozvrhovací strategie
Prohledávání/přiřazování
Konzistenční techniky jsou (obvykle) neúplné
⇒ potřeba prohledávací algoritmus, který vyřeší "zbytek"
př. X in 1..2, Y in 1..2, Z in 1..2, X=Y, Y=Z, X=Z
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 84 16. května 2022
Prohledávání/přiřazování
Konzistenční techniky jsou (obvykle) neúplné
⇒ potřeba prohledávací algoritmus, který vyřeší "zbytek"
př. X in 1..2, Y in 1..2, Z in 1..2, X=Y, Y=Z, X=Z
AC neodstraní žádnou hodnotu ale problem je nekonzistentní
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 84 16. května 2022
Prohledávání/přiřazování
Konzistenční techniky jsou (obvykle) neúplné
⇒ potřeba prohledávací algoritmus, který vyřeší "zbytek"
př. X in 1..2, Y in 1..2, Z in 1..2, X=Y, Y=Z, X=Z
AC neodstraní žádnou hodnotu ale problem je nekonzistentní
Přiřazovaní (labeling)
prohledávání do hloubky (DFS/BT)
přiřaď hodnotu do proměnné
propaguj = udělěj
problém lokálně konzistentní
vrať se v případě neúspěchu
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 84 16. května 2022
Prohledávání/přiřazování
Konzistenční techniky jsou (obvykle) neúplné
⇒ potřeba prohledávací algoritmus, který vyřeší "zbytek"
př. X in 1..2, Y in 1..2, Z in 1..2, X=Y, Y=Z, X=Z
AC neodstraní žádnou hodnotu ale problem je nekonzistentní
Přiřazovaní (labeling)
prohledávání do hloubky (DFS/BT)
přiřaď hodnotu do proměnné
propaguj = udělěj
problém lokálně konzistentní
vrať se v případě neúspěchu
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 84 16. května 2022
Prohledávání/přiřazování
Konzistenční techniky jsou (obvykle) neúplné
⇒ potřeba prohledávací algoritmus, který vyřeší "zbytek"
př. X in 1..2, Y in 1..2, Z in 1..2, X=Y, Y=Z, X=Z
AC neodstraní žádnou hodnotu ale problem je nekonzistentní
Přiřazovaní (labeling)
prohledávání do hloubky (DFS/BT)
přiřaď hodnotu do proměnné
propaguj = udělěj
problém lokálně konzistentní
vrať se v případě neúspěchu
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 84 16. května 2022
Prohledávání/přiřazování
Konzistenční techniky jsou (obvykle) neúplné
⇒ potřeba prohledávací algoritmus, který vyřeší "zbytek"
př. X in 1..2, Y in 1..2, Z in 1..2, X=Y, Y=Z, X=Z
AC neodstraní žádnou hodnotu ale problem je nekonzistentní
Přiřazovaní (labeling)
prohledávání do hloubky (DFS/BT)
přiřaď hodnotu do proměnné
propaguj = udělěj
problém lokálně konzistentní
vrať se v případě neúspěchu
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 84 16. května 2022
Prohledávání/přiřazování
Konzistenční techniky jsou (obvykle) neúplné
⇒ potřeba prohledávací algoritmus, který vyřeší "zbytek"
př. X in 1..2, Y in 1..2, Z in 1..2, X=Y, Y=Z, X=Z
AC neodstraní žádnou hodnotu ale problem je nekonzistentní
Přiřazovaní (labeling)
prohledávání do hloubky (DFS/BT)
přiřaď hodnotu do proměnné
propaguj = udělěj
problém lokálně konzistentní
vrať se v případě neúspěchu
X in 1..5 ≡ X=1 ∨ X=2 ∨ X=3 ∨ X=4 ∨ X=5
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 84 16. května 2022
Prohledávání/přiřazování
Konzistenční techniky jsou (obvykle) neúplné
⇒ potřeba prohledávací algoritmus, který vyřeší "zbytek"
př. X in 1..2, Y in 1..2, Z in 1..2, X=Y, Y=Z, X=Z
AC neodstraní žádnou hodnotu ale problem je nekonzistentní
Přiřazovaní (labeling)
prohledávání do hloubky (DFS/BT)
přiřaď hodnotu do proměnné
propaguj = udělěj
problém lokálně konzistentní
vrať se v případě neúspěchu
X in 1..5 ≡ X=1 ∨ X=2 ∨ X=3 ∨ X=4 ∨ X=5
Obecně: prohledávací algoritmus řeší zbylé disjunkce
X=1 ∨ X=1 standardní přiřazování
X<3 ∨ X≥3 dělení domén
X<Y ∨ X≥Y uspořádání proměnných
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 84 16. května 2022
Kostra ohodnocování
Prohledávání do hloubky je kombinováno s AC, které omezuje
prohledávaný prostor
Technika pohledu dopředu (MAC)
procedure labeling(V,D,C)
if (všechny proměnné z V přiřazeny) then return V
vyber dosud nepřiřazenou proměnnou x z V
for (každou hodnotu v z Dx ) do
(TestOk,D’) := consistent(V,D,C ∪ {x=v})
if TestOk=true then R := labeling(V,D’,C)
if R=fail then return R
return fail
end labeling
Před labeling je spuštěn iniciální běh konzistenčních algoritmů, aby
byla zajištěna iniciální konzistence
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 85 16. května 2022
Rozvrhování jako CSP: čas
Aktivita A: entita vyžadující prostor (zdroje) a čas
Proměnné a jejich domény pro časové přiřazení aktivity
start(A): startovní čas aktivity
aktivita nemůže začít před svým termínem dostupnosti
est(A) = min(start(A)), earliest start time/nejdřívější startovní čas
end(A): čas skončení aktivity
aktivita musí skončit před svým deadline
lct(A) = max(end(A)), latest completion time/nejpozdější koncový čas
p(A): doba provádění aktivity
start(A) = {est(A), . . . , (lct(A)-p(A))}
end(A) = {(est(A)+p(A)), . . . , lct(A)}
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 86 16. května 2022
Rozvrhování jako CSP: základní omezení I.
Nepřerušitelná aktivita: žádné přerušení během jejího zpracování
start(A) + p(A) = end(A)
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 87 16. května 2022
Rozvrhování jako CSP: základní omezení I.
Nepřerušitelná aktivita: žádné přerušení během jejího zpracování
start(A) + p(A) = end(A)
Přerušitelná aktivita: může být přerušena během svého zpracování
start(A) + p(A) ≤ end(A)
p(A) = p(A[1]) + p(A[2]) + p(A[3]) + p(A[4])
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 87 16. května 2022
Rozvrhování jako CSP: základní omezení II.
Seřazení A<<B aktivity A,B
(také: precedenční omezení mezi aktivitami A,B)
end(A) ≤ start(B)
Disjunktivní omezení: nepřekrývání aktivit A a B
nepřerušitelné aktivity
A<<B or B<<A
end(A) ≤ start(B) or end(B) ≤ start(A)
viz dále unární zdroje
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 88 16. května 2022
Rozvrhování jako CSP: zdroje
Doménové proměnné pro zdroje:
cap(A): požadovaná kapacita zdroje aktivitou A
unární/disjunktivní zdroje
v daném čase může být zpracována maximálně jedna aktivita
kumulativní zdroje
několik aktivit se může zpracovávat paralelně, ovšem za předpokladu,
že není překročena kapacita zdroje
produkovatelné/spotřebovatelné zdroje
aktivita konzumuje (snižuje) nebo produkuje (navyšuje) aktuální
množství zdroje
na zdroji musí zbýt nějaká minimální volná kapacita a maximální
kapacita zdroje nemůže být překročena
příklad: reservoár
resource(A): alternativní zdroje pro A
pro zpracování A vybereme jeden z alternativních zdrojů
jednotlivé hodnoty z domény resource(A) odkazují na konkrétní zdroje
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 89 16. května 2022
Značení
est(A) nejdřívějsí startovní čas aktivity A (earliest start time)
ect(A) nejdřívější koncový čas aktivity A (earliest completion time)
lst(A) nejpozdější startovní čas aktivity A (latest start time)
lct(A) nejpozdější koncový čas aktivity A (latest completion time)
Ω je množina aktivit
p(Ω) = A∈Ω p(A)
est(Ω) = min{est(A) | A ∈ Ω}
lct(Ω) = max{lct(A) | A ∈ Ω}
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 90 16. května 2022
Unární zdroje
Aktivivity se nemohou překrývat
v daném čase běží maximálně jedna aktivita, proto se těmto zdrojům
říká unární
Grahamova klasifikace: jeden stroj
Předpokládáme, že aktivity jsou nepřerušitelné
nepřerušitelná aktivita zabírá zdroj od svého startu až do ukončení
Jednoduchý model s disjunktními omezeními
A<<B ∨ B<<A
end(A)≤start(B) ∨ end(B)≤start(A)
těmto zdrojům se proto někdy říká disjunktní
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 91 16. května 2022
Hledání hran (edge finding)
Baptiste & Le Pape (1996)
Co se stane, pokud nebude aktivita A zpracována jako první?
C(5)
B(4)
A(2)
7 15
16
4
6
16
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 92 16. května 2022
Hledání hran (edge finding)
Baptiste & Le Pape (1996)
Co se stane, pokud nebude aktivita A zpracována jako první?
C(5)
B(4)
A(2)
7 15
16
4
6
16
Pro A,B,C není dost času, a tedy aktivita A musí být první
A(2)
B(4)
C(5)
4 7
6 16
157
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 92 16. května 2022
Hledání hran: příklad s odvozovacími pravidly
lct(Ω ∪ {A}) − est(Ω) < p(Ω ∪ {A}) ⇒ A << Ω
C(5)
B(4)
A(2)
7 15
16
4
6
16
Ω = {B, C}
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 93 16. května 2022
Hledání hran: příklad s odvozovacími pravidly
lct(Ω ∪ {A}) − est(Ω) < p(Ω ∪ {A}) ⇒ A << Ω
C(5)
B(4)
A(2)
7 15
16
4
6
16
Ω = {B, C}
A << Ω ⇒ end(A) ≤ min{lct(Ω ) − p(Ω ) | Ω ⊆ Ω}
A(2)
B(4)
C(5)
4 7
6 16
157
všechny podmnožiny Ω musí stihnout své zpracování
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 93 16. května 2022
Hledání hran: všechna odvozovací pravidla
Zopakujme tedy odvozovací pravidla: pro end(A)
(co se stane, pokud nebude aktivita A zpracována jako první?)
lct(Ω ∪ {A}) − est(Ω) < p(Ω ∪ {A})
⇒ A << Ω
A << Ω ⇒
end(A) ≤ min{lct(Ω ) − p(Ω ) | Ω ⊆ Ω}
Symetrická odvozovací pravidla: pro start(A)
(co se stane, pokud nebude aktivita A zpracována jako poslední?)
lct(Ω) − est(Ω ∪ {A}) < p(Ω ∪ {A})
⇒ Ω << A
Ω << A ⇒
start(A) ≥ max{est(Ω ) + p(Ω ) | Ω ⊆ Ω}
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 94 16. května 2022
Hledání hran: všechna odvozovací pravidla
Zopakujme tedy odvozovací pravidla: pro end(A)
(co se stane, pokud nebude aktivita A zpracována jako první?)
lct(Ω ∪ {A}) − est(Ω) < p(Ω ∪ {A})
⇒ A << Ω
A << Ω ⇒
end(A) ≤ min{lct(Ω ) − p(Ω ) | Ω ⊆ Ω}
Symetrická odvozovací pravidla: pro start(A)
(co se stane, pokud nebude aktivita A zpracována jako poslední?)
lct(Ω) − est(Ω ∪ {A}) < p(Ω ∪ {A})
⇒ Ω << A
Ω << A ⇒
start(A) ≥ max{est(Ω ) + p(Ω ) | Ω ⊆ Ω}
V praxi:
celkem existuje n·2n
párů A,Ω (příliš mnoho!)
Carlier & Pinson 1994, Vilím & Barták & Čepek 2004
algoritmus s časovou složitostí O(n log n)
(je nutné kontrolovat pouze některé páry A,Ω)
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 94 16. května 2022
Ne-první/ne-poslední (not-first/not-last)
Torres & Lopez 2000
Co se stane, pokud aktivita A bude zpracována jako první?
A(2)
C(4)
B(5)
6 16
157
4
16
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 95 16. května 2022
Ne-první/ne-poslední (not-first/not-last)
Torres & Lopez 2000
Co se stane, pokud aktivita A bude zpracována jako první?
A(2)
C(4)
B(5)
6 16
157
4
16
Pro B a C není dost času, a tedy aktivita A nemůže být první
A(2)
B(5)
C(4)
16
157
4
8
16
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 95 16. května 2022
Ne-první/ne-poslední: př. s odvozovacími pravidly
p(Ω ∪ {A}) > lct(Ω) − est(A) ⇒ ¬A << Ω
A(2)
C(4)
B(5)
6 16
157
4
16
Ω = {B, C}
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 96 16. května 2022
Ne-první/ne-poslední: př. s odvozovacími pravidly
p(Ω ∪ {A}) > lct(Ω) − est(A) ⇒ ¬A << Ω
A(2)
C(4)
B(5)
6 16
157
4
16
Ω = {B, C}
¬A << Ω ⇒ start(A) ≥ min{ect(B)|B ∈ Ω}
A(2)
B(5)
C(4)
16
157
4
8
16
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 96 16. května 2022
Odvozovací pravidla pro ne-první/ne-poslední
Zopakujme Ne-první pravidla:
(co se stane, pokud aktivita A bude zpracována jako první?)
lct(Ω) − est(A) < p(Ω ∪ {A})
⇒ ¬A << Ω
¬A << Ω
⇒ start(A) ≥ min{ect(B)|B ∈ Ω}
Ne-poslední (symetrická) pravidla:
(co se stane, pokud aktivita A bude zpracována jako poslední?)
lct(A) − est(Ω) < p(Ω ∪ {A})
⇒ ¬Ω << A
¬Ω << A ⇒
end(A) ≤ max{lst(B)|B ∈ Ω}
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 97 16. května 2022
Odvozovací pravidla pro ne-první/ne-poslední
Zopakujme Ne-první pravidla:
(co se stane, pokud aktivita A bude zpracována jako první?)
lct(Ω) − est(A) < p(Ω ∪ {A})
⇒ ¬A << Ω
¬A << Ω
⇒ start(A) ≥ min{ect(B)|B ∈ Ω}
Ne-poslední (symetrická) pravidla:
(co se stane, pokud aktivita A bude zpracována jako poslední?)
lct(A) − est(Ω) < p(Ω ∪ {A})
⇒ ¬Ω << A
¬Ω << A ⇒
end(A) ≤ max{lst(B)|B ∈ Ω}
V praxi:
Vilím 2004: algoritmus s časovou složitostí O(n log n)
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 97 16. května 2022
Alternativní zdroje
Jak modelovat alternativní zdroje pro danou aktivitu?
Pro každý zdroj uděláme duplikát aktivity
duplikát se účastní příslušných zdrojových podmínek,
ale neomezuje další aktivity na daném zdroji
„neúspěch” u duplikátu znamená odstranění zdroje z domény proměnné
resource(A) příslušné aktivity
odstranění zdroje z domény proměnné resource(A) znamená „smazání”
odpovídajícího duplikátu
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 98 16. května 2022
Alternativní zdroje
Jak modelovat alternativní zdroje pro danou aktivitu?
Pro každý zdroj uděláme duplikát aktivity
duplikát se účastní příslušných zdrojových podmínek,
ale neomezuje další aktivity na daném zdroji
„neúspěch” u duplikátu znamená odstranění zdroje z domény proměnné
resource(A) příslušné aktivity
odstranění zdroje z domény proměnné resource(A) znamená „smazání”
odpovídajícího duplikátu
původní aktivita se účastní precedenčních podmínek
(např. v rámci multi-operační úlohy)
omezení časů u duplikátu se propaguje do originálu aktivity a naopak
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 98 16. května 2022
Alternativní zdroje: odvozovací pravidla
Nechť Au reprezentuje duplikát aktivity A na zdroji u∈resource(A),
pak probíhají následující propagace:
u∈resource(A) ⇒ start(A) ≤ start(Au)
u∈resource(A) ⇒ end(Au) ≤ end(A)
start(A) ≥ min{start(Au): u ∈ resource(A)}
end(A) ≤ max{end(Au): u ∈ resource(A)}
neúspěch pro Au ⇒ resource(A)\{u}
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 99 16. května 2022
Kumulativní zdroje
Každá aktivita využívá jistou kapacitu zdroje cap(A)
Aktivity mohou být zpracovány paralelně, pokud není překročena
kapacita zdroje
Kapacita zdroje může být v čase proměnná
takové zdroje lze modelovat pomocí v čase neměnné kapacity, od které
se odečte kapacita pevně umístěných aktivit, čímž se v každém čase
dosáhne požadované kapacity
pevně umístěné aktivity vytvoří
kapacitní profil zdroje
volnákapacita
pevná kapacita
čas
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 100 16. května 2022
Agregované požadavky
Baptiste et al. 2001
Kdy je dostatečná kapacita pro zpracování aktivity?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
využitákapacita
čas
agregované požadavky
kapacita zdroje
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 101 16. května 2022
Agregované požadavky
Baptiste et al. 2001
Kdy je dostatečná kapacita pro zpracování aktivity?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
využitákapacita
čas
agregované požadavky
kapacita zdroje
Jak se konstruuje graf agregovaných požadavků?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¢¢¢£
£
£
£
£
£
£
£
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
využitákapacita
čas
kapacita zdroje
agregované požadavky
tady aktivita určitě poběží
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 101 16. května 2022
Podmínka tabulky (timetable constraint)
Uvažujeme diskrétní čas
Jak zajistit, že v žádném čase není překročena maximální kapacita?
∀t
start(Ai )≤t≤end(Ai )
cap(Ai ) ≤ MaxCapacity
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 102 16. května 2022
Podmínka tabulky (timetable constraint)
Uvažujeme diskrétní čas
Jak zajistit, že v žádném čase není překročena maximální kapacita?
∀t
start(Ai )≤t≤end(Ai )
cap(Ai ) ≤ MaxCapacity
Tabulka (timetable) pro aktivitu A je množina boolovských
proměnných X(A, t) udávajících, zda A běží v čase t
∀t
Ai
X(Ai , t)cap(Ai ) ≤ MaxCapacity (∗)
∀t, i start(Ai ) ≤ t ≤ end(Ai ) ⇔ X(Ai , t)
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 102 16. května 2022
Podmínka tabulky: př. s odvozovacími pravidly
Počáteční stav
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 103 16. května 2022
Podmínka tabulky: př. s odvozovacími pravidly
Počáteční stav
Některé pozice zakázány vzhledem ke kapacitě zdroje
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 103 16. května 2022
Podmínka tabulky: př. s odvozovacími pravidly
Počáteční stav
Některé pozice zakázány vzhledem ke kapacitě zdroje
Nový stav
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 103 16. května 2022
Podmínka tabulky: odvozovací pravidla
Jak realizovat filtraci přes omezení
∀t, i start(Ai ) ≤ t < end(Ai ) ⇔ X(Ai , t) ?
Problém: t je zároveň index a také proměnná
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 104 16. května 2022
Podmínka tabulky: odvozovací pravidla
Jak realizovat filtraci přes omezení
∀t, i start(Ai ) ≤ t < end(Ai ) ⇔ X(Ai , t) ?
Problém: t je zároveň index a také proměnná
start(A) ≥ min{t | 1 ∈ X(A,t)}
end(A) ≤ 1+max{t | 1 ∈ X(A,t)}
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 104 16. května 2022
Podmínka tabulky: odvozovací pravidla
Jak realizovat filtraci přes omezení
∀t, i start(Ai ) ≤ t < end(Ai ) ⇔ X(Ai , t) ?
Problém: t je zároveň index a také proměnná
start(A) ≥ min{t | 1 ∈ X(A,t)}
end(A) ≤ 1+max{t | 1 ∈ X(A,t)}
X(A,t)=0 ∧ t < ect(A) ⇒ start(A)>t
X(A,t)=0 ∧ lst(A)≤t ⇒ end(A)≤t
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 104 16. května 2022
Podmínka tabulky: odvozovací pravidla
Jak realizovat filtraci přes omezení
∀t, i start(Ai ) ≤ t < end(Ai ) ⇔ X(Ai , t) ?
Problém: t je zároveň index a také proměnná
start(A) ≥ min{t | 1 ∈ X(A,t)}
end(A) ≤ 1+max{t | 1 ∈ X(A,t)}
X(A,t)=0 ∧ t < ect(A) ⇒ start(A)>t
X(A,t)=0 ∧ lst(A)≤t ⇒ end(A)≤t
lst(A)≤t ∧ t < ect(A) ⇒ X(A,t)=1
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 104 16. května 2022
Cvičení: podmínka tabulky
Máme zadány zdroj s kapacitou 2 a aktivity
j cap(j) est(j) lct(j) p(j)
A 2 1 6 3
B 1 3 9 4
C 1 0 3 2
1 Jak jsou inicializovány proměnné X(j,t)?
2 Jak se jejich hodnoty mění při použití odvozovacích pravidel podmínky
tabulky?
3 Jak by mohly vypadat výsledné rozvrhy po aplikaci pravidel?
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 105 16. května 2022
Cvičení: podmínka tabulky
1 Jak jsou inicializovány proměnné X(j,t)?
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 106 16. května 2022
Cvičení: podmínka tabulky
1 Jak jsou inicializovány proměnné X(j,t)?
X(A, 1) až X(A, 5) jsou {0, 1}, X(B, 3) až X(B, 8) jsou {0, 1},
X(C, 0) až X(C, 2) jsou {0, 1}, ostatní proměnné nulové
2 Jak se jejich hodnoty mění při použití odvozovacích pravidel podmínky
tabulky?
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 106 16. května 2022
Cvičení: podmínka tabulky
1 Jak jsou inicializovány proměnné X(j,t)?
X(A, 1) až X(A, 5) jsou {0, 1}, X(B, 3) až X(B, 8) jsou {0, 1},
X(C, 0) až X(C, 2) jsou {0, 1}, ostatní proměnné nulové
2 Jak se jejich hodnoty mění při použití odvozovacích pravidel podmínky
tabulky?
1 dle (∗) B může začít nejdříve v čase 4 kvůli A, tj. X(B, 3) = 0 a
A musí být před B, tj. A nejpozději skončí v čase 5 a X(A, 5) = 0
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 106 16. května 2022
Cvičení: podmínka tabulky
1 Jak jsou inicializovány proměnné X(j,t)?
X(A, 1) až X(A, 5) jsou {0, 1}, X(B, 3) až X(B, 8) jsou {0, 1},
X(C, 0) až X(C, 2) jsou {0, 1}, ostatní proměnné nulové
2 Jak se jejich hodnoty mění při použití odvozovacích pravidel podmínky
tabulky?
1 dle (∗) B může začít nejdříve v čase 4 kvůli A, tj. X(B, 3) = 0 a
A musí být před B, tj. A nejpozději skončí v čase 5 a X(A, 5) = 0
2 dále z (∗) X(C, 2) = 0, C začne v čase 0
X(A, 1) = 0 a A začne v čase 2
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 106 16. května 2022
Cvičení: podmínka tabulky
1 Jak jsou inicializovány proměnné X(j,t)?
X(A, 1) až X(A, 5) jsou {0, 1}, X(B, 3) až X(B, 8) jsou {0, 1},
X(C, 0) až X(C, 2) jsou {0, 1}, ostatní proměnné nulové
2 Jak se jejich hodnoty mění při použití odvozovacích pravidel podmínky
tabulky?
1 dle (∗) B může začít nejdříve v čase 4 kvůli A, tj. X(B, 3) = 0 a
A musí být před B, tj. A nejpozději skončí v čase 5 a X(A, 5) = 0
2 dále z (∗) X(C, 2) = 0, C začne v čase 0
X(A, 1) = 0 a A začne v čase 2 a také
B musí začít až v čase 5 a X(B, 4) = 0
a máme jediné řešení
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 106 16. května 2022
Cvičení: podmínka tabulky
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 107 16. května 2022
Cvičení: podmínka tabulky
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 108 16. května 2022
Unární a kumulativní zdroje: shrnutí a možná rozšíření
Disjunktivní omezení
známe: unarní zdroje, nepřerušitelné aktivity
rozšíření: přerušitelné aktivity, kumulativní zdroje
Hledání hran
známe: unarní zdroje, nepřerušitelné aktivity
rozšíření: přerušitelné aktivity, kumulativní zdroje
Ne-první/ne-poslední
známe: unarní zdroje, nepřerušitelné aktivity
rozšíření: kumulativní zdroje
Podmínka tabulky
známe: kumulativní zdroje, nepřerušitelné aktivity
rozšíření: přerušitelné aktivity
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 109 16. května 2022
Globální podmínky
Pro reprezentaci zdrojů využívány v programovacích jazycích
tzv. globální podmínky
definované pro libovolný konečný počet proměnných
komplexní podmínky s vlastním propagačním algoritmem
Základní globální podmínky (pro rozvrhování)
příklady z IBM ILOG OPL (Optimization Programming Language)
všechny proměnné různé
allDifferent
disjunktivní zdroj
dvar interval, dvar sequence
noOverlap
kumulativní zdroj
cumuFunction, pulse
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 110 16. května 2022
Všechny proměnné různé
Proměnné v poli Array jsou různé
reprezentace unárního zdroje s jednotkovou dobou trvání všech aktivit
dvar int Array[Interval];
globální podmínka: allDifferent(Array)
učitel min max
Jan 3 6
Petr 3 4
Anna 2 5
Ota 2 4
Eva 3 4
Marie 1 6
Příklad: učitelé musí učit v různé hodiny
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 111 16. května 2022
Všechny proměnné různé
Proměnné v poli Array jsou různé
reprezentace unárního zdroje s jednotkovou dobou trvání všech aktivit
dvar int Array[Interval];
globální podmínka: allDifferent(Array)
učitel min max
Jan 3 6
Petr 3 4
Anna 2 5
Ota 2 4
Eva 3 4
Marie 1 6
Příklad: učitelé musí učit v různé hodiny
Jan = 6, Ota = 2, Anna = 5,
Marie = 1, Petr ∈ {3, 4}, Eva ∈ {3, 4}
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 111 16. května 2022
Intervalové proměnné
Intervalová proměnná: pro modelování časového intervalu (úlohy, aktivity)
hodnotou intervalové proměnné je celočíselný interval [start, end)
příklad: dvar interval x in 0..1000000 size 100..200;
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 112 16. května 2022
Disjunktní rozvrhování
Sekvenční proměnná p
definována na množině intervalových proměnných x
dvar interval x[i in 1..n] ...;
dvar sequence p in x;
hodnota intervalové proměnné p je permutace přítomných intervalů
pozor, permutace t ještě neimplikuje žádné uspořádání v čase
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 113 16. května 2022
Disjunktní rozvrhování
Sekvenční proměnná p
definována na množině intervalových proměnných x
dvar interval x[i in 1..n] ...;
dvar sequence p in x;
hodnota intervalové proměnné p je permutace přítomných intervalů
pozor, permutace t ještě neimplikuje žádné uspořádání v čase
Omezení noOverlap(p)
vyjadřuje, že sekvenční proměnná p reprezentuje řetězec
nepřekrývajících se intervalových proměnných
pro vyjádření rozvrhování na unárním/disjunktivním zdroji, kde se
intervaly/úlohy nepřekrývají
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 113 16. května 2022
Precedence
Mezi intervalovými proměnnými můžeme definovat precedenční podmínky:
dvar interval i;
dvar interval j;
endBeforeStart(i, j);
startBeforeStart(i, j);
startAtStart(i, j);
...
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 114 16. května 2022
Precedence, účelová funkce
Mezi intervalovými proměnnými můžeme definovat precedenční podmínky:
dvar interval i;
dvar interval j;
endBeforeStart(i, j);
startBeforeStart(i, j);
startAtStart(i, j);
...
Pro vytváření účelových funkcí nebo definici omezení
startOf(x)
endOf(x)
sizeOf(x, V)
Příklad: minimalizace makespanu
minimize max(i in 1..n) endOf(x[i])
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 114 16. května 2022
Příklad: rozvrhování problému job-shop
tuple Operation {
int mch; // machine
int pt; // processing time
};
Operation Ops[j in Jobs][p in Pos] = ...;
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 115 16. května 2022
Příklad: rozvrhování problému job-shop
tuple Operation {
int mch; // machine
int pt; // processing time
};
Operation Ops[j in Jobs][p in Pos] = ...;
op[j][p] odkazuje operaci úlohy j, která je zpracovávána v rámci úlohy jako p-tá
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 115 16. května 2022
Kumulativní zdroj pomocí kumulativní funkce
Hodnota výrazu kumulativní funkce reprezentuje vývoj kvantity v čase, která může
být inkrementálně změněna (snížena nebo navýšena) intervalovými proměnnými.
Intervalové proměnné x[i] přispívají do kumul. funkce po dobu svého provádění
int capacity[1..5] = [1,3,2,4,1];
cumulFunction y = sum(i in 1..5) pulse(x[i],capacity[i]);
Omezení na výrazech kumulativní funkce: pro omezení kapacity zdroje
int h = ...
cumulFunction f= ...
f<=h
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 116 16. května 2022
Kumulativní zdroj pomocí kumulativní funkce
Hodnota výrazu kumulativní funkce reprezentuje vývoj kvantity v čase, která může
být inkrementálně změněna (snížena nebo navýšena) intervalovými proměnnými.
Intervalové proměnné x[i] přispívají do kumul. funkce po dobu svého provádění
int capacity[1..5] = [1,3,2,4,1];
cumulFunction y = sum(i in 1..5) pulse(x[i],capacity[i]);
Omezení na výrazech kumulativní funkce: pro omezení kapacity zdroje
int h = ...
cumulFunction f= ...
f<=h
Příklad: job-shop a omezení celkového počtu strojů
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 116 16. května 2022
Kumulativní zdroj pomocí kumulativní funkce
Hodnota výrazu kumulativní funkce reprezentuje vývoj kvantity v čase, která může
být inkrementálně změněna (snížena nebo navýšena) intervalovými proměnnými.
Intervalové proměnné x[i] přispívají do kumul. funkce po dobu svého provádění
int capacity[1..5] = [1,3,2,4,1];
cumulFunction y = sum(i in 1..5) pulse(x[i],capacity[i]);
Omezení na výrazech kumulativní funkce: pro omezení kapacity zdroje
int h = ...
cumulFunction f= ...
f<=h
Příklad: job-shop a omezení celkového počtu strojů
cumulFunction allMachines = sum(j in Jobs, p in Pos) pulse(op[j][p],1);
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 116 16. května 2022
Kumulativní zdroj pomocí kumulativní funkce
Hodnota výrazu kumulativní funkce reprezentuje vývoj kvantity v čase, která může
být inkrementálně změněna (snížena nebo navýšena) intervalovými proměnnými.
Intervalové proměnné x[i] přispívají do kumul. funkce po dobu svého provádění
int capacity[1..5] = [1,3,2,4,1];
cumulFunction y = sum(i in 1..5) pulse(x[i],capacity[i]);
Omezení na výrazech kumulativní funkce: pro omezení kapacity zdroje
int h = ...
cumulFunction f= ...
f<=h
Příklad: job-shop a omezení celkového počtu strojů
cumulFunction allMachines = sum(j in Jobs, p in Pos) pulse(op[j][p],1);
allMachines <= m;
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 116 16. května 2022
Prohledávání/přiřazování (opakování)
Konzistenční techniky jsou (obvykle) neúplné
⇒ potřeba prohledávací algoritmus, který vyřeší "zbytek"
Přiřazovaní (labeling)
prohledávání do hloubky (DFS/BT)
přiřaď hodnotu do proměnné
propaguj = udělěj
problém lokálně konzistentní
vrať se v případě neúspěchu
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 117 16. května 2022
Způsoby větvení
Jaká proměnná má být ohodnocena první?
princip prvotního neúspěchu (first-fail)
preferuj proměnnou, jejíž přiřazení je nejobtížnější
např. proměnné s nejmenší doménou:
doména se snadněji vyprázdní
nebo proměnné s nejvíce podmínkami: pro proměnné s více podmínkami
je obecně obtížnější nalézt hodnotu proměnné
definuje tvar prohledávacího stromu
výběr proměnné s malou velikostí domény: malé větvení na této úrovni
výběr proměnné s velkou velikostí domény: velké větvení na této úrovni
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 118 16. května 2022
Způsoby větvení
Jaká proměnná má být ohodnocena první?
princip prvotního neúspěchu (first-fail)
preferuj proměnnou, jejíž přiřazení je nejobtížnější
např. proměnné s nejmenší doménou:
doména se snadněji vyprázdní
nebo proměnné s nejvíce podmínkami: pro proměnné s více podmínkami
je obecně obtížnější nalézt hodnotu proměnné
definuje tvar prohledávacího stromu
výběr proměnné s malou velikostí domény: malé větvení na této úrovni
výběr proměnné s velkou velikostí domény: velké větvení na této úrovni
Jaká hodnota má být vyzkoušena první?
princip prvotního úspěchu (succeed-first)
preferuj hodnoty, které nejspíše patří do řešení
např. hodnoty s nejvíce podporami v okolních proměnných
tato heuristika je obvykle problémově závislá
definuje pořadí procházení větví
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 118 16. května 2022
Schémata větvení
Větvení = řešení disjunkcí
Tradiční rozvrhovací přístupy
kritická rozhodnutí se dělají první
vyřeš kritická místa (bottlenecks), . . .
definuje tvar prohledávacího stromu
podobně jako princip prvního neúspěchu (first-fail)
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 119 16. května 2022
Schémata větvení
Větvení = řešení disjunkcí
Tradiční rozvrhovací přístupy
kritická rozhodnutí se dělají první
vyřeš kritická místa (bottlenecks), . . .
definuje tvar prohledávacího stromu
podobně jako princip prvního neúspěchu (first-fail)
preferuj alternativy s větší flexibilitou
definuje pořadí větví pro prozkoumání
podobně jako princip prvního úspěchu (succeed-first)
Jak popsat, co je kritické a co je flexibilní?
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 119 16. května 2022
Rezerva (slack) Smith&Cheng 1993
Rezerva (slack) je formální popis flexibility
Rezerva pro dané pořadí dvou aktivit
„volný čas pro posunování aktivit”
A
B
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 120 16. května 2022
Rezerva (slack) Smith&Cheng 1993
Rezerva (slack) je formální popis flexibility
Rezerva pro dané pořadí dvou aktivit
„volný čas pro posunování aktivit”
A
B
slack for A<<B
slack(A << B) = max(end(B)) − min(start(A)) − p(A) − p(B))
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 120 16. května 2022
Rezerva (slack) Smith&Cheng 1993
Rezerva (slack) je formální popis flexibility
Rezerva pro dané pořadí dvou aktivit
„volný čas pro posunování aktivit”
A
B
slack for A<<B
slack(A << B) = max(end(B)) − min(start(A)) − p(A) − p(B))
Rezerva pro dvě aktivity (bez určení pořadí)
slack({A, B}) = max(slack(A << B), slack(B << A))
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 120 16. května 2022
Rezerva (slack) Smith&Cheng 1993
Rezerva (slack) je formální popis flexibility
Rezerva pro dané pořadí dvou aktivit
„volný čas pro posunování aktivit”
A
B
slack for A<<B
slack(A << B) = max(end(B)) − min(start(A)) − p(A) − p(B))
Rezerva pro dvě aktivity (bez určení pořadí)
slack({A, B}) = max(slack(A << B), slack(B << A))
Rezerva pro skupinu aktivit
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 120 16. května 2022
Rezerva (slack) Smith&Cheng 1993
Rezerva (slack) je formální popis flexibility
Rezerva pro dané pořadí dvou aktivit
„volný čas pro posunování aktivit”
A
B
slack for A<<B
slack(A << B) = max(end(B)) − min(start(A)) − p(A) − p(B))
Rezerva pro dvě aktivity (bez určení pořadí)
slack({A, B}) = max(slack(A << B), slack(B << A))
Rezerva pro skupinu aktivit
slack(Ω) = max(end(Ω)) − min(start(Ω)) − p(Ω)
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 120 16. května 2022
Větvení uspořadáním dvojic aktivit
A << B ∨ ¬A << B
Jaké aktivity mají být uspořádány první?
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 121 16. května 2022
Větvení uspořadáním dvojic aktivit
A << B ∨ ¬A << B
Jaké aktivity mají být uspořádány první?
nejkritičtější pár (first-fail)
pár s minimální rezervou slack({A, B})
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 121 16. května 2022
Větvení uspořadáním dvojic aktivit
A << B ∨ ¬A << B
Jaké aktivity mají být uspořádány první?
nejkritičtější pár (first-fail)
pár s minimální rezervou slack({A, B})
Jaké pořadí aktivit má být zvoleno?
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 121 16. května 2022
Větvení uspořadáním dvojic aktivit
A << B ∨ ¬A << B
Jaké aktivity mají být uspořádány první?
nejkritičtější pár (first-fail)
pár s minimální rezervou slack({A, B})
Jaké pořadí aktivit má být zvoleno?
nejflexibilnější pořadí (succeed-first)
pořadí maximalizující slack(A??B)
Příklad: vybereme pořadí A << B
slack for A<<B
A
B
Bodů volby při n aktivitách:
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 121 16. května 2022
Větvení uspořadáním dvojic aktivit
A << B ∨ ¬A << B
Jaké aktivity mají být uspořádány první?
nejkritičtější pár (first-fail)
pár s minimální rezervou slack({A, B})
Jaké pořadí aktivit má být zvoleno?
nejflexibilnější pořadí (succeed-first)
pořadí maximalizující slack(A??B)
Příklad: vybereme pořadí A << B
slack for A<<B
A
B
Bodů volby při n aktivitách: O(n2)
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 121 16. května 2022
Větvení první/poslední Baptiste at al. 1995
(A << Ω ∨ ¬A << Ω) ∨ (Ω << A ∨ ¬Ω << A)
Máme hledat první nebo poslední aktivitu?
díváme se na množinu možných kandidátů na první aktivitu a
na množinu možných kandidátu na poslední aktivitu
výbereme menší z těchto dvou množin (first-fail)
menší počet kandidátů znamená, že
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 122 16. května 2022
Větvení první/poslední Baptiste at al. 1995
(A << Ω ∨ ¬A << Ω) ∨ (Ω << A ∨ ¬Ω << A)
Máme hledat první nebo poslední aktivitu?
díváme se na množinu možných kandidátů na první aktivitu a
na množinu možných kandidátu na poslední aktivitu
výbereme menší z těchto dvou množin (first-fail)
menší počet kandidátů znamená, že je těžší najít vhodného kandidáta
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 122 16. května 2022
Větvení první/poslední Baptiste at al. 1995
(A << Ω ∨ ¬A << Ω) ∨ (Ω << A ∨ ¬Ω << A)
Máme hledat první nebo poslední aktivitu?
díváme se na množinu možných kandidátů na první aktivitu a
na množinu možných kandidátu na poslední aktivitu
výbereme menší z těchto dvou množin (first-fail)
menší počet kandidátů znamená, že je těžší najít vhodného kandidáta
Jaká aktivita má být vybrána?
pokud se hledá první aktivita,
potom preferuj aktivitu, která
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 122 16. května 2022
Větvení první/poslední Baptiste at al. 1995
(A << Ω ∨ ¬A << Ω) ∨ (Ω << A ∨ ¬Ω << A)
Máme hledat první nebo poslední aktivitu?
díváme se na množinu možných kandidátů na první aktivitu a
na množinu možných kandidátu na poslední aktivitu
výbereme menší z těchto dvou množin (first-fail)
menší počet kandidátů znamená, že je těžší najít vhodného kandidáta
Jaká aktivita má být vybrána?
pokud se hledá první aktivita,
potom preferuj aktivitu, která má nejmenší min(start(A))
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 122 16. května 2022
Větvení první/poslední Baptiste at al. 1995
(A << Ω ∨ ¬A << Ω) ∨ (Ω << A ∨ ¬Ω << A)
Máme hledat první nebo poslední aktivitu?
díváme se na množinu možných kandidátů na první aktivitu a
na množinu možných kandidátu na poslední aktivitu
výbereme menší z těchto dvou množin (first-fail)
menší počet kandidátů znamená, že je těžší najít vhodného kandidáta
Jaká aktivita má být vybrána?
pokud se hledá první aktivita,
potom preferuj aktivitu, která má nejmenší min(start(A))
pokud se hledá poslední aktivita,
potom preferuj aktivitu, která
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 122 16. května 2022
Větvení první/poslední Baptiste at al. 1995
(A << Ω ∨ ¬A << Ω) ∨ (Ω << A ∨ ¬Ω << A)
Máme hledat první nebo poslední aktivitu?
díváme se na množinu možných kandidátů na první aktivitu a
na množinu možných kandidátu na poslední aktivitu
výbereme menší z těchto dvou množin (first-fail)
menší počet kandidátů znamená, že je těžší najít vhodného kandidáta
Jaká aktivita má být vybrána?
pokud se hledá první aktivita,
potom preferuj aktivitu, která má nejmenší min(start(A))
pokud se hledá poslední aktivita,
potom preferuj aktivitu, která má největší max(end(A))
Bodů volby:
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 122 16. května 2022
Větvení první/poslední Baptiste at al. 1995
(A << Ω ∨ ¬A << Ω) ∨ (Ω << A ∨ ¬Ω << A)
Máme hledat první nebo poslední aktivitu?
díváme se na množinu možných kandidátů na první aktivitu a
na množinu možných kandidátu na poslední aktivitu
výbereme menší z těchto dvou množin (first-fail)
menší počet kandidátů znamená, že je těžší najít vhodného kandidáta
Jaká aktivita má být vybrána?
pokud se hledá první aktivita,
potom preferuj aktivitu, která má nejmenší min(start(A))
pokud se hledá poslední aktivita,
potom preferuj aktivitu, která má největší max(end(A))
Bodů volby: O(n)
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 122 16. května 2022
Zdrojová rezerva
Zdrojová rezerva je definovaná jako
rezerva množiny aktivit zpracovávaných daným zdrojem
Jak používat zdrojovou rezervu?
pokud volíme zdroj, na kterém budou aktivity uspořádány jako první
vyber zdroj s
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 123 16. května 2022
Zdrojová rezerva
Zdrojová rezerva je definovaná jako
rezerva množiny aktivit zpracovávaných daným zdrojem
Jak používat zdrojovou rezervu?
pokud volíme zdroj, na kterém budou aktivity uspořádány jako první
vyber zdroj s minimální rezervou (kritické místo)
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 123 16. května 2022
Zdrojová rezerva
Zdrojová rezerva je definovaná jako
rezerva množiny aktivit zpracovávaných daným zdrojem
Jak používat zdrojovou rezervu?
pokud volíme zdroj, na kterém budou aktivity uspořádány jako první
vyber zdroj s minimální rezervou (kritické místo)
pokud volíme zdroj, na který alokovat danou aktivitu
vyber zdroj s
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 123 16. května 2022
Zdrojová rezerva
Zdrojová rezerva je definovaná jako
rezerva množiny aktivit zpracovávaných daným zdrojem
Jak používat zdrojovou rezervu?
pokud volíme zdroj, na kterém budou aktivity uspořádány jako první
vyber zdroj s minimální rezervou (kritické místo)
pokud volíme zdroj, na který alokovat danou aktivitu
vyber zdroj s maximální rezervou (flexibilita)
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 123 16. května 2022
Omezující podmínky: shrnutí
Problém splňování podmínek
popis problému pomocí doménových proměnných a omezení
konzistence a propagace
prohledávání
Rozvrhování jako problém splňování podmínek
doménové proměnné pro čas a zdroje
propagační algoritmy pro
unární zdroje
kumulativní zdroje
produkovatelné a spotřebovatelné zdroje
alternativní zdroje
globálních podmínky pro zdroje
prohledávání a rozvrhovací strategie
pojem rezervy
přístupy k větvení
Hana Rudová, FI MU: Omezující podmínky (pokračování) 124 16. května 2022
Plánování projektu
16. května 2022
18 Úvod
19 Reprezentace projektu
20 Neomezené zdroje
21 Variabilní doba trvání
22 Přidání pracovní síly
Problémy plánování projektu
Zprostředkování, instalace a testování
rozsáhlého počítačového systému
projekt zahrnuje
evaluace a výběr hardware, vývoj software, nábor a školení lidí,
testování a ladění systému, . . .
precedenční vztahy
některé úlohy mohou být prováděny paralelně
úloha musí být realizována až po dokončení jiných úloh
cíl: minimalizovat čas na realizaci celého projektu
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 126 16. května 2022
Problémy plánování projektu
Zprostředkování, instalace a testování
rozsáhlého počítačového systému
projekt zahrnuje
evaluace a výběr hardware, vývoj software, nábor a školení lidí,
testování a ladění systému, . . .
precedenční vztahy
některé úlohy mohou být prováděny paralelně
úloha musí být realizována až po dokončení jiných úloh
cíl: minimalizovat čas na realizaci celého projektu
Příklady dalších problémů
stavba nemovitostí, konstrukce center elektráren, vojenský průmysl
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 126 16. května 2022
Plánování projektu
Základní problém plánování projektu
precedenční podmínky
paralelní stroj s neomezeným počtem strojů
minimalizace maximálního času konce úloh (makespan)
relativně jednoduché na řešení
21 4 6
3 5 7
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 127 16. května 2022
Plánování projektu
Základní problém plánování projektu
precedenční podmínky
paralelní stroj s neomezeným počtem strojů
minimalizace maximálního času konce úloh (makespan)
relativně jednoduché na řešení
21 4 6
3 5 7
Rozšíření
variabilní doba trvání (spojena s cenou provádění)
optimalizace: kompromis mezi cenou na ukončení projektu a cenou za
zkrácení délky úloh
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 127 16. května 2022
Plánování projektu
Základní problém plánování projektu
precedenční podmínky
paralelní stroj s neomezeným počtem strojů
minimalizace maximálního času konce úloh (makespan)
relativně jednoduché na řešení
21 4 6
3 5 7
Rozšíření
variabilní doba trvání (spojena s cenou provádění)
optimalizace: kompromis mezi cenou na ukončení projektu a cenou za
zkrácení délky úloh
pracovní síla (skupiny operátorů s odlišnou specializací)
při sdílení omezeného množství operátorů nutno uvažovat disjunktivní
hrany
⇒ komplexní problém, jehož řešení je velmi obtížné
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 127 16. května 2022
Reprezentace projektu: úloha jako uzel
Reprezentace: úloha jako uzel
hrany reprezentují precedenční podmínky
síť neobsahuje žádné orientované cykly
Úloha Doba Předchůdci
trvání
1 2 –
2 3 1
3 1 1
4 4 2
5 2 3
6 1 4,5
7 3 4,5
21 4 6
3 5 7
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 128 16. května 2022
Výhodnější reprezentace
Běžně používana reprezentace úloha jako hrana
Výhodnější ale úloha jako uzel
nejsou nutné redundantní hrany (pomocné úlohy) pro korektní
vyjádření precedencí
úloha jako uzel lze převést na úloha jako obdelník
horizontální strany obdelníku použity jako časové osy odpovídající době
provádění úlohy
uloha j
uloha k
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 129 16. května 2022
Popis problému
Popis problému
m paralelně zapojených strojů
n úloh s precedenčními omezeními
doba provádění pj
objektivní funkce: minimalizace maximálního času konce úloh
(makespan)
P∞|prec|Cmax (a m ≥ n) polynomiální složitost, metoda kritické cesty
Pm|prec|Cmax 2 ≤ m < n NP úplný problém
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 130 16. května 2022
Popis problému
Popis problému
m paralelně zapojených strojů
n úloh s precedenčními omezeními
doba provádění pj
objektivní funkce: minimalizace maximálního času konce úloh
(makespan)
P∞|prec|Cmax (a m ≥ n) polynomiální složitost, metoda kritické cesty
Pm|prec|Cmax 2 ≤ m < n NP úplný problém
Značení
Sj nejdřívější startovní čas úlohy j
Cj = Sj + pj nejdřívější koncový úlohy j
Sj nejpozdější startovní čas úlohy j
Cj nejpozdější koncový čas úlohy j
Precj (přímí) předchůdci úlohy j
∀k ∈ Precj všechny úlohy k, které předcházejí úlohu j
∀j : k ∈ Precj všechny úlohy j, které následují úlohu k
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 130 16. května 2022
Metoda kritické cesty
Popis algoritmu pro nalezení kritické cesty
dopředná procedura
start v čase 0
výpočet nejdřívějšího startovního času každé úlohy
čas dokončení poslední úlohy je makespan
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 131 16. května 2022
Metoda kritické cesty
Popis algoritmu pro nalezení kritické cesty
dopředná procedura
start v čase 0
výpočet nejdřívějšího startovního času každé úlohy
čas dokončení poslední úlohy je makespan
zpětná procedura
start v čase rovném makespan
výpočet nejpozdějšího startovního času, aby byl realizován tento
makespan
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 131 16. května 2022
Metoda kritické cesty
Popis algoritmu pro nalezení kritické cesty
dopředná procedura
start v čase 0
výpočet nejdřívějšího startovního času každé úlohy
čas dokončení poslední úlohy je makespan
zpětná procedura
start v čase rovném makespan
výpočet nejpozdějšího startovního času, aby byl realizován tento
makespan
Úloha s rezervou (slack job)
její startovní čas může být odložen aniž je navýšen makespan
úloha, jejichž nejdřívější startovní čas je menší než nejpozdější startovní čas
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 131 16. května 2022
Metoda kritické cesty
Popis algoritmu pro nalezení kritické cesty
dopředná procedura
start v čase 0
výpočet nejdřívějšího startovního času každé úlohy
čas dokončení poslední úlohy je makespan
zpětná procedura
start v čase rovném makespan
výpočet nejpozdějšího startovního času, aby byl realizován tento
makespan
Úloha s rezervou (slack job)
její startovní čas může být odložen aniž je navýšen makespan
úloha, jejichž nejdřívější startovní čas je menší než nejpozdější startovní čas
Kritická úloha
úloha, která nesmí být odložena
úlohy, jejichž nejdřívější startovní čas je roven nejpozdějšímu startovnímu čas
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 131 16. května 2022
Metoda kritické cesty
Popis algoritmu pro nalezení kritické cesty
dopředná procedura
start v čase 0
výpočet nejdřívějšího startovního času každé úlohy
čas dokončení poslední úlohy je makespan
zpětná procedura
start v čase rovném makespan
výpočet nejpozdějšího startovního času, aby byl realizován tento
makespan
Úloha s rezervou (slack job)
její startovní čas může být odložen aniž je navýšen makespan
úloha, jejichž nejdřívější startovní čas je menší než nejpozdější startovní čas
Kritická úloha
úloha, která nesmí být odložena
úlohy, jejichž nejdřívější startovní čas je roven nejpozdějšímu startovnímu čas
Kritická cesta
řetěz úloh začínající v čase 0 a končící v čase Cmax
v grafu může existovat více kritických cest
kritické cesty se mohou částečně překrývat
graf kritických cest GCP : podgraf daný množinou kritických úloh a kritických cest
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 131 16. května 2022
Kritická cesta: zadání příkladu
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
2 7
10
12 14
4
1
3
6 9
5 8
1311
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 132 16. května 2022
Příklad: dopředná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6 9
5 8
1311
12
j
legenda
j j jS’ + p = C’
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 133 16. května 2022
Příklad: dopředná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6 9
5 8
1311
12
j
legenda
j j jS’ + p = C’
0+5=5
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 133 16. května 2022
Příklad: dopředná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6 9
5 8
1311
12
j
legenda
j j jS’ + p = C’
0+5=5
5+6=11
5+9=14
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 133 16. května 2022
Příklad: dopředná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6 9
5 8
1311
12
j
legenda
j j jS’ + p = C’
0+5=5
5+6=11
5+9=14
11+12=23
14+12=26
14+7=21
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 133 16. května 2022
Příklad: dopředná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6 9
5 8
1311
12
j
legenda
j j jS’ + p = C’
0+5=5
5+6=11
5+9=14
11+12=23
14+12=26
14+7=21
26+6=32
23+10=33
26+10=36
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 133 16. května 2022
Příklad: dopředná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6 9
5 8
1311
12
j
legenda
j j jS’ + p = C’
0+5=5
5+6=11
5+9=14
11+12=23
14+12=26
14+7=21
26+6=32
23+10=33
26+10=36
36+7=43
33+9=42
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 133 16. května 2022
Příklad: dopředná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6 9
5 8
1311
12
j
legenda
j j jS’ + p = C’
0+5=5
5+6=11
5+9=14
11+12=23
14+12=26
14+7=21
26+6=32
23+10=33
26+10=36
36+7=43
33+9=42
43+8=51
43+7=50
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 133 16. května 2022
Příklad: dopředná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6 9
5 8
1311
12
j
legenda
j j jS’ + p = C’
0+5=5
5+6=11
5+9=14
11+12=23
14+12=26
14+7=21
26+6=32
23+10=33
26+10=36
36+7=43
33+9=42
43+8=51
43+7=50
51+5=56
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 133 16. května 2022
Příklad: zpětná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6
5 8
1311
12
9
legenda
j j j
j
C’’ − p = S’’
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 134 16. května 2022
Příklad: zpětná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6
5 8
1311
12
9
legenda
j j j
j
C’’ − p = S’’
56−5=51
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 134 16. května 2022
Příklad: zpětná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6
5 8
1311
12
9
legenda
j j j
j
C’’ − p = S’’
56−5=5151−8=43
51−7=44
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 134 16. května 2022
Příklad: zpětná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6
5 8
1311
12
9
legenda
j j j
j
C’’ − p = S’’
56−5=5151−8=43
51−7=44
43−9=34
43−7=36
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 134 16. května 2022
Příklad: zpětná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6
5 8
1311
12
9
legenda
j j j
j
C’’ − p = S’’
56−5=5151−8=43
51−7=44
43−9=34
43−7=36
34−10=24
36−6=30
36−10=26
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 134 16. května 2022
Příklad: zpětná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6
5 8
1311
12
9
legenda
j j j
j
C’’ − p = S’’
56−5=5151−8=43
51−7=44
43−9=34
43−7=36
34−10=24
36−6=30
36−10=26
24−12=12
26−7=19
26−12=14
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 134 16. května 2022
Příklad: zpětná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6
5 8
1311
12
9
legenda
j j j
j
C’’ − p = S’’
56−5=5151−8=43
51−7=44
43−9=34
43−7=36
34−10=24
36−6=30
36−10=26
24−12=12
26−7=19
26−12=14
14−9=5
12−6=6
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 134 16. května 2022
Příklad: zpětná procedura
2 7
10
14
4
1
3
6
5 8
1311
12
9
legenda
j j j
j
C’’ − p = S’’
56−5=5151−8=43
51−7=44
43−9=34
43−7=36
34−10=24
36−6=30
36−10=26
24−12=12
26−7=19
26−12=14
14−9=5
12−6=6
5−5=0
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pj 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 134 16. května 2022
Kritická cesta
2 7
10
12 14
4
1
3
6 9
5 8
1311
maxC = 56
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 135 16. května 2022
Algoritmus pro nalezení kritické cesty
1 Dopředná procedura
1 t = 0
2 pro všechny úlohy j bez předchůdce: Sj = 0, Cj = pj
3 vypočítej postupně pro všechny zbývající úlohy j:
k1
jk2
k3
Sj =
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 136 16. května 2022
Algoritmus pro nalezení kritické cesty
1 Dopředná procedura
1 t = 0
2 pro všechny úlohy j bez předchůdce: Sj = 0, Cj = pj
3 vypočítej postupně pro všechny zbývající úlohy j:
k1
jk2
k3
Sj = max
∀k∈Precj
Ck , Cj = Sj + pj
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 136 16. května 2022
Algoritmus pro nalezení kritické cesty
1 Dopředná procedura
1 t = 0
2 pro všechny úlohy j bez předchůdce: Sj = 0, Cj = pj
3 vypočítej postupně pro všechny zbývající úlohy j:
k1
jk2
k3
Sj = max
∀k∈Precj
Ck , Cj = Sj + pj
4 optimální makespan je Cmax = max(C1, . . . , Cn)
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 136 16. května 2022
Algoritmus pro nalezení kritické cesty
1 Dopředná procedura
1 t = 0
2 pro všechny úlohy j bez předchůdce: Sj = 0, Cj = pj
3 vypočítej postupně pro všechny zbývající úlohy j:
k1
jk2
k3
Sj = max
∀k∈Precj
Ck , Cj = Sj + pj
4 optimální makespan je Cmax = max(C1, . . . , Cn)
2 Zpětná procedura
t = Cmax
pro všechny úlohy j bez následníka: Cj = Cmax , Sj = Cmax − pj
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 136 16. května 2022
Algoritmus pro nalezení kritické cesty
1 Dopředná procedura
1 t = 0
2 pro všechny úlohy j bez předchůdce: Sj = 0, Cj = pj
3 vypočítej postupně pro všechny zbývající úlohy j:
k1
jk2
k3
Sj = max
∀k∈Precj
Ck , Cj = Sj + pj
4 optimální makespan je Cmax = max(C1, . . . , Cn)
2 Zpětná procedura
t = Cmax
pro všechny úlohy j bez následníka: Cj = Cmax , Sj = Cmax − pj
vypočítej postupně pro všechny zbývající úlohy j:
k3
j
k1
k2 Cj =
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 136 16. května 2022
Algoritmus pro nalezení kritické cesty
1 Dopředná procedura
1 t = 0
2 pro všechny úlohy j bez předchůdce: Sj = 0, Cj = pj
3 vypočítej postupně pro všechny zbývající úlohy j:
k1
jk2
k3
Sj = max
∀k∈Precj
Ck , Cj = Sj + pj
4 optimální makespan je Cmax = max(C1, . . . , Cn)
2 Zpětná procedura
t = Cmax
pro všechny úlohy j bez následníka: Cj = Cmax , Sj = Cmax − pj
vypočítej postupně pro všechny zbývající úlohy j:
k3
j
k1
k2 Cj = min
∀k:j∈Preck
Sk , Sj = Cj − pj
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 136 16. května 2022
Algoritmus pro nalezení kritické cesty
1 Dopředná procedura
1 t = 0
2 pro všechny úlohy j bez předchůdce: Sj = 0, Cj = pj
3 vypočítej postupně pro všechny zbývající úlohy j:
k1
jk2
k3
Sj = max
∀k∈Precj
Ck , Cj = Sj + pj
4 optimální makespan je Cmax = max(C1, . . . , Cn)
2 Zpětná procedura
t = Cmax
pro všechny úlohy j bez následníka: Cj = Cmax , Sj = Cmax − pj
vypočítej postupně pro všechny zbývající úlohy j:
k3
j
k1
k2 Cj = min
∀k:j∈Preck
Sk , Sj = Cj − pj
ověř, že 0 = min(S1 , . . . , Sn )
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 136 16. května 2022
Kompromis mezi časem a cenou
Lze uvažovat variabilní dobu trvání úloh
za předpokladu vyšší ceny lze zkrátit dobu provádění
Lineární cena
Doba trvání pmin
j ≤ pj ≤ pmax
j
Marginální cena: cena za zkrácení doby trvání úlohy o 1 časovou
jednotku
cj =
ca
j − cb
j
pmax
j − pmin
j
cj
a
cj
b
pj
min pj
max
doba provádění
prostředky (peníze)
př. pmin
j = 10, pmax
j = 15, cb
j = 10, ca
j = 20, cj =
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 137 16. května 2022
Kompromis mezi časem a cenou
Lze uvažovat variabilní dobu trvání úloh
za předpokladu vyšší ceny lze zkrátit dobu provádění
Lineární cena
Doba trvání pmin
j ≤ pj ≤ pmax
j
Marginální cena: cena za zkrácení doby trvání úlohy o 1 časovou
jednotku
cj =
ca
j − cb
j
pmax
j − pmin
j
cj
a
cj
b
pj
min pj
max
doba provádění
prostředky (peníze)
př. pmin
j = 10, pmax
j = 15, cb
j = 10, ca
j = 20, cj = 2
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 137 16. května 2022
Kompromis mezi časem a cenou
Lze uvažovat variabilní dobu trvání úloh
za předpokladu vyšší ceny lze zkrátit dobu provádění
Lineární cena
Doba trvání pmin
j ≤ pj ≤ pmax
j
Marginální cena: cena za zkrácení doby trvání úlohy o 1 časovou
jednotku
cj =
ca
j − cb
j
pmax
j − pmin
j
cj
a
cj
b
pj
min pj
max
doba provádění
prostředky (peníze)
př. pmin
j = 10, pmax
j = 15, cb
j = 10, ca
j = 20, cj = 2
⇒ cena provádění úlohy j po dobu pj : cb
j + cj (pmax
j − pj )
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 137 16. května 2022
Cena za provádění projektu
Fixní režijní náklady c0 celkem: Cmaxc0
na časovou jednotku doby provádění projektu
Cena F(pj ) za provádění projektu
při době provádění úloh pj
určena jako součet
ceny za provádění všech úloh
fixních režijních nákladů
F(pj ) = Cmaxc0 +
j
cb
j + cj (pmax
j − pj )
Cíl: ∀j nalézt pj a Sj tak, aby byla F(pj ) minimální
cj
a
cj
b
pj
min pj
max
doba provádění
prostředky (peníze)
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 138 16. května 2022
Variabilní doba trvání: metody řešení
Objektivní funkce: minimální cena projektu
Kompromisní heuristika mezi časem a cenou
dobrá kvalita rozvrhu
použitené i pro nelineární cenu
Formulace lineárního programování
optimální rozvrh
nelineární verze obtížně řešitelné
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 139 16. května 2022
Opakování: Řez, minimální řez
Orientovaný graf G = (V , E)
Počáteční uzel: zdroj s ∈ V
Koncový uzel: stok t ∈ V
Řez: ... také mluvíme o vrcholovém řezu
množina uzlů V , jejíž smazáním z grafu se rozpojí zdroj a stok
E množina hran incidentních s V
tj. v G’=(V-V’,E-E’) neexistuje orientovaná cesta z s to t
Minimální řez: řez U takový, že neexistuje řez W ⊂ U
tj. vrácení libovolného uzlu z U do grafu znovu spojí zdroj a stok
řez
zdroj stok
minimální řez
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 140 16. května 2022
Řez, minimální řez II.
Uvažujme orientovaný graf G0 = (V0, E0)
Do grafu přidáme zdroj:
nový vrchol s a
hrany S vedoucí z s do všech vrcholů G0 bez předchůdců
Do grafu přidáme stok:
nový vrchol t a
hrany T vedoucí ze všech vrcholů G0 bez následníků do t
Nový graf G = (V , E): V = V0 ∪ {s, t}, E = E0 ∪ S ∪ T
Budeme hledat řezy a minimální řezy z s do t v G
řez
zdroj stok
minimální řez
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 141 16. května 2022
Řez, minimální řez II.
Uvažujme orientovaný graf G0 = (V0, E0)
Do grafu přidáme zdroj:
nový vrchol s a
hrany S vedoucí z s do všech vrcholů G0 bez předchůdců
Do grafu přidáme stok:
nový vrchol t a
hrany T vedoucí ze všech vrcholů G0 bez následníků do t
Nový graf G = (V , E): V = V0 ∪ {s, t}, E = E0 ∪ S ∪ T
Budeme hledat řezy a minimální řezy z s do t v G
řez
zdroj stok
minimální řez
př. graf má 4 minimální řezy
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 141 16. května 2022
Kompromisní heuristika: příklad
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pmax
j 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
pmin
j 3 5 7 9 5 9 8 3 7 5 4 5 5 2
cb
j 20 25 20 15 30 40 35 25 30 20 25 35 20 10
cj 7 2 4 3 4 3 4 4 4 5 2 2 4 8
fixní režijní náklady na časovou jednotku c0=6
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 142 16. května 2022
Příklad (pokračování): maximální doba provádění
2 7
10
12 14
4
1
3
6 9
5 8
1311
maxC = 56
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 143 16. května 2022
Kompromisní heuristika: příklad
c0=6
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
pmax
j 5 6 9 12 7 12 10 6 10 9 7 8 7 5
pmin
j 3 5 7 9 5 9 8 3 7 5 4 5 5 2
cb
j 20 25 20 15 30 40 35 25 30 20 25 35 20 10
cj 7 2 4 3 4 3 4 4 4 5 2 2 4 8
Náklady na provedení projektu při maximální době trvání úloh
F(pmax
j ) = Cmaxc0 + j cb
j + cj (pmax
j − pmax
j ) =
= Cmaxc0 + j cb
j =
= 56 × 6 + 20 + 25 + 20 + 15 + 30 + 40 + 35 + 25+
+30 + 20 + 25 + 35 + 20 + 10 =
= 336 + 350 = 686
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 144 16. května 2022
Podgraf s kritickou cestou (GCP)
Kandidáti na redukci: uzel 11 a uzel 12, vybereme uzel 12
12 141
3
6 9
11
c = 36 c = 49
c = 212 c = 814c = 71
c = 43
Rezy: {1},{3},{6},{9}
{11},{12},{14}
c = 211
minimální řez
s nejnižší cenou
³
ulohy 12 z 8 na 7
redukce doby provádení
Fixní režijní náklady se redukují z 56 × 6 na
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 145 16. května 2022
Podgraf s kritickou cestou (GCP)
Kandidáti na redukci: uzel 11 a uzel 12, vybereme uzel 12
12 141
3
6 9
11
c = 36 c = 49
c = 212 c = 814c = 71
c = 43
Rezy: {1},{3},{6},{9}
{11},{12},{14}
c = 211
minimální řez
s nejnižší cenou
³
ulohy 12 z 8 na 7
redukce doby provádení
Fixní režijní náklady se redukují z 56 × 6 na 55 × 6 = 330
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 145 16. května 2022
Podgraf s kritickou cestou (GCP)
Kandidáti na redukci: uzel 11 a uzel 12, vybereme uzel 12
12 141
3
6 9
11
c = 36 c = 49
c = 212 c = 814c = 71
c = 43
Rezy: {1},{3},{6},{9}
{11},{12},{14}
c = 211
minimální řez
s nejnižší cenou
³
ulohy 12 z 8 na 7
redukce doby provádení
Fixní režijní náklady se redukují z 56 × 6 na 55 × 6 = 330
Cena za provádění úloh
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 145 16. května 2022
Podgraf s kritickou cestou (GCP)
Kandidáti na redukci: uzel 11 a uzel 12, vybereme uzel 12
12 141
3
6 9
11
c = 36 c = 49
c = 212 c = 814c = 71
c = 43
Rezy: {1},{3},{6},{9}
{11},{12},{14}
c = 211
minimální řez
s nejnižší cenou
³
ulohy 12 z 8 na 7
redukce doby provádení
Fixní režijní náklady se redukují z 56 × 6 na 55 × 6 = 330
Cena za provádění úloh naroste o c12 = 2, tj. 350 + 2 = 352
Celková cena klesla z 686 na 330 + 352 = 682
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 145 16. května 2022
Podgraf s kritickou cestou (GCP)
12 141
3
6 9
1311
c = 36 c = 49
c = 413
c = 212 c = 814c = 71
c = 211c = 43
Rezy: {1},{3},{6},{9}
{11},{12,13},{14}
minimální řez
s nejnižší cenou
¬
5
9 12 10
7 7
77 na 6
redukce doby trvání ulohy 11 ze 7 na 6
Fixní režijní náklady se redukují z 55 × 6 na 54 × 6 = 324
Cena za provádění úloh naroste o c11 = 2, tj. 352 + 2 = 354
Celková cena klesla z 682 na 324 + 354 = 678
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 146 16. května 2022
Podgraf s kritickou cestou (GCP)
12 141
3
6 9
1311
C = 36 C = 49
C = 413
C = 212 C = 814
C = 211C = 43
2 7
10
12 141
3
6 9
1311
C = 71
C = 22 C = 47C = 34
C = 510
4
5−2
10−7
5−3
6−5
12−9 10−8
9−5
7−5
12−9
9−7
8−5
další redukce: pro uzel 2 na 5 a pro uzel 11 na 5, ...
7−4
Fixní režijní náklady se redukují z 54 × 6 na 53 × 6 = 318
Cena za provádění úloh naroste o
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 147 16. května 2022
Podgraf s kritickou cestou (GCP)
12 141
3
6 9
1311
C = 36 C = 49
C = 413
C = 212 C = 814
C = 211C = 43
2 7
10
12 141
3
6 9
1311
C = 71
C = 22 C = 47C = 34
C = 510
4
5−2
10−7
5−3
6−5
12−9 10−8
9−5
7−5
12−9
9−7
8−5
další redukce: pro uzel 2 na 5 a pro uzel 11 na 5, ...
7−4
Fixní režijní náklady se redukují z 54 × 6 na 53 × 6 = 318
Cena za provádění úloh naroste o c2 + c11 = 2 + 2, tj. 354 + 4 = 358
Celková cena klesla z 678 na 318 + 358 = 676
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 147 16. května 2022
Algoritmus kompromisní heuristiky
1 Nastav doby provádění na jejich maximum: pj = pmax
j
Urči všechny kritické cesty s těmito dobami provádění
Zkonstruuj graf GCP kritických cest
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 148 16. května 2022
Algoritmus kompromisní heuristiky
1 Nastav doby provádění na jejich maximum: pj = pmax
j
Urči všechny kritické cesty s těmito dobami provádění
Zkonstruuj graf GCP kritických cest
2 Urči všechny minimální řezy v GCP
pozn. pokud zkrátíme dobu provádění všech úloh v minimálním řezu,
podaří se nám i zkrátit dobu provádění projektu!
Najdi řezy, jejichž doba provádění je větší než jejich minimum:
pj > pmin
j ∀j ∈ GCP
Pokud takový řez neexistuje STOP, jinak běž na krok 3
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 148 16. května 2022
Algoritmus kompromisní heuristiky
1 Nastav doby provádění na jejich maximum: pj = pmax
j
Urči všechny kritické cesty s těmito dobami provádění
Zkonstruuj graf GCP kritických cest
2 Urči všechny minimální řezy v GCP
pozn. pokud zkrátíme dobu provádění všech úloh v minimálním řezu,
podaří se nám i zkrátit dobu provádění projektu!
Najdi řezy, jejichž doba provádění je větší než jejich minimum:
pj > pmin
j ∀j ∈ GCP
Pokud takový řez neexistuje STOP, jinak běž na krok 3
3 Pro každý minimální řez: spočítej cenu redukující všechny doby
provádění o 1 časovou jednotku
Vyber minimální řez s nejnižší cenou
pozn. abychom za snížení zaplatili co nejnižší cenu
Jestliže je cena řezu menší než fixní režijní náklady c0 za časovou
jednotku běž na krok 4, jinak STOP
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 148 16. května 2022
Algoritmus kompromisní heuristiky
1 Nastav doby provádění na jejich maximum: pj = pmax
j
Urči všechny kritické cesty s těmito dobami provádění
Zkonstruuj graf GCP kritických cest
2 Urči všechny minimální řezy v GCP
pozn. pokud zkrátíme dobu provádění všech úloh v minimálním řezu,
podaří se nám i zkrátit dobu provádění projektu!
Najdi řezy, jejichž doba provádění je větší než jejich minimum:
pj > pmin
j ∀j ∈ GCP
Pokud takový řez neexistuje STOP, jinak běž na krok 3
3 Pro každý minimální řez: spočítej cenu redukující všechny doby
provádění o 1 časovou jednotku
Vyber minimální řez s nejnižší cenou
pozn. abychom za snížení zaplatili co nejnižší cenu
Jestliže je cena řezu menší než fixní režijní náklady c0 za časovou
jednotku běž na krok 4, jinak STOP
4 Redukuj všechny doby provádění v minimálním řezu o 1 časovou
jednotku
Urči novou množinu kritických cest
Reviduj graf GCP a běž na krok 2
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 148 16. května 2022
Lineární program
Heuristika negarantuje nalezení optima
Celková cena je lineární
c0Cmax +
n
j=1
cb
j + cj (pmax
j − pj )
všimněte si: stejná účelová funkce jako cena za provádění projektu
Lineární program: cb
j a cj pmax
j
minimalizace: c0Cmax −
n
j=1
cj pj se nemění
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 149 16. května 2022
Lineární program
Heuristika negarantuje nalezení optima
Celková cena je lineární
c0Cmax +
n
j=1
cb
j + cj (pmax
j − pj )
všimněte si: stejná účelová funkce jako cena za provádění projektu
Lineární program: cb
j a cj pmax
j
minimalizace: c0Cmax −
n
j=1
cj pj se nemění
za předpokladu:
xk − pj − xj ≥ 0 ∀j ∈ Preck
pj ≤ pmax
j ∀j
pj ≥ pmin
j ∀j
xj ≥ 0 ∀j
Cmax − xj − pj ≥ 0 ∀j
kde xj je nejdřívější možný startovní čas úlohy j
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 149 16. května 2022
Přidání pracovní síly
Pracovní síla = operátor = zdroj
Problém popsán v literatuře jako
problém plánování projektu s omezenými zdroji
resource-constrained project scheduling problem (RCPSP)
n úloh
N zdrojů
Ri kapacita zdroje i
pj doba provádění úlohy j
Rij požadavek úlohy j na zdroj i
Precj (přímí) předchůdci úlohy j
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 150 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Pomocná úloha n + 1 jako stok, pn+1 = 0
xjt = 1 úloha j je dokončena v čase t
xjt = 0 jinak
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 151 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Pomocná úloha n + 1 jako stok, pn+1 = 0
xjt = 1 úloha j je dokončena v čase t
xjt = 0 jinak
Kapacita zdroje i, který potřebuje úloha j
v intervalu [t − 1, t]: Rij
t+pj −1
u=t
xju tt−1
pjj
t+pj −1
u=t
xju . . . počítá, zda úloha j běží v čase [t − 1, t]
př. úloha s Sj = 2, pj = 2 a t = 2, 3, 4, 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 151 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Pomocná úloha n + 1 jako stok, pn+1 = 0
xjt = 1 úloha j je dokončena v čase t
xjt = 0 jinak
Kapacita zdroje i, který potřebuje úloha j
v intervalu [t − 1, t]: Rij
t+pj −1
u=t
xju tt−1
pjj
t+pj −1
u=t
xju . . . počítá, zda úloha j běží v čase [t − 1, t]
př. úloha s Sj = 2, pj = 2 a t = 2, 3, 4, 5 (xj4 = 1,
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 151 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Pomocná úloha n + 1 jako stok, pn+1 = 0
xjt = 1 úloha j je dokončena v čase t
xjt = 0 jinak
Kapacita zdroje i, který potřebuje úloha j
v intervalu [t − 1, t]: Rij
t+pj −1
u=t
xju tt−1
pjj
t+pj −1
u=t
xju . . . počítá, zda úloha j běží v čase [t − 1, t]
př. úloha s Sj = 2, pj = 2 a t = 2, 3, 4, 5 (xj4 = 1, pro t = 3, 4 úloha započítána)
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 151 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Pomocná úloha n + 1 jako stok, pn+1 = 0
xjt = 1 úloha j je dokončena v čase t
xjt = 0 jinak
Kapacita zdroje i, který potřebuje úloha j
v intervalu [t − 1, t]: Rij
t+pj −1
u=t
xju tt−1
pjj
t+pj −1
u=t
xju . . . počítá, zda úloha j běží v čase [t − 1, t]
př. úloha s Sj = 2, pj = 2 a t = 2, 3, 4, 5 (xj4 = 1, pro t = 3, 4 úloha započítána)
H jako horní hranice makespan: H =
n
j=1
pj
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 151 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Pomocná úloha n + 1 jako stok, pn+1 = 0
xjt = 1 úloha j je dokončena v čase t
xjt = 0 jinak
Kapacita zdroje i, který potřebuje úloha j
v intervalu [t − 1, t]: Rij
t+pj −1
u=t
xju tt−1
pjj
t+pj −1
u=t
xju . . . počítá, zda úloha j běží v čase [t − 1, t]
př. úloha s Sj = 2, pj = 2 a t = 2, 3, 4, 5 (xj4 = 1, pro t = 3, 4 úloha započítána)
H jako horní hranice makespan: H =
n
j=1
pj
Koncový čas úlohy j: Cj =
H
t=1
t xjt
Makespan: Cmax =
H
t=1
t xn+1,t koncový čas stoku
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 151 16. května 2022
Celočíselný program
Minimalizace
H
t=1
t xn+1,t minimalizace makespan
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 152 16. května 2022
Celočíselný program
Minimalizace
H
t=1
t xn+1,t minimalizace makespan
za předpokladu
jestliže j je předchůdce k, pak Cj ≤ Sk , tj. Cj ≤ Ck − pk , tj. Cj + pk − Ck ≤ 0
H
t=1
t xjt + pk −
H
t=1
t xkt ≤ 0 ∀j ∈ Preck
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 152 16. května 2022
Celočíselný program
Minimalizace
H
t=1
t xn+1,t minimalizace makespan
za předpokladu
jestliže j je předchůdce k, pak Cj ≤ Sk , tj. Cj ≤ Ck − pk , tj. Cj + pk − Ck ≤ 0
H
t=1
t xjt + pk −
H
t=1
t xkt ≤ 0 ∀j ∈ Preck
pro každý čas t: požadavek na zdroj i nepřeroste kapacitu i
n
j=1

Rij
t+pj −1
u=t
xju

 ≤ Ri ∀i ∀t
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 152 16. května 2022
Celočíselný program
Minimalizace
H
t=1
t xn+1,t minimalizace makespan
za předpokladu
jestliže j je předchůdce k, pak Cj ≤ Sk , tj. Cj ≤ Ck − pk , tj. Cj + pk − Ck ≤ 0
H
t=1
t xjt + pk −
H
t=1
t xkt ≤ 0 ∀j ∈ Preck
pro každý čas t: požadavek na zdroj i nepřeroste kapacitu i
n
j=1

Rij
t+pj −1
u=t
xju

 ≤ Ri ∀i ∀t
každá úloha j skončí právě jednou
H
t=1
xjt = 1 ∀j
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 152 16. května 2022
Diskuse
Řešení celočíselného programu obtížné
Při velkém počtu úloh a dlouhém časovém horizontu
použití heuristik
Lze použít programování s omezujícími podmínkami
kumulativní zdroje
precedenční podmínky
Probírané speciální případy problému
job shop + makespan
timetabling
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 153 16. května 2022
Plánování projektu: shrnutí
Základní problém s neomezenými zdroji
metoda kritické cesty
Neomezené zdroje + variabilní doba trvání (lineární)
kompromisní heuristika mezi časem a cenou
lineární programování
Problém plánování projektu s omezenými zdroji
celočíselné programování
heuristiky
programování s omezujícími podmínkami
Hana Rudová, FI MU: Plánování projektu 154 16. května 2022
Plánování úloh (na jednom stroji)
16. května 2022
23 Řídící pravidla
24 Metoda větví a mezí
25 Paprskové prohledávání
26 Matematické programování
Jeden stroj a paralelní stroj
Dekompoziční problémy pro složité (flexible) job shop problémy
používají
jeden stroj
paralelní stroj
jako podproblémy při řešení
Metody řešení:
řídící pravidla
metoda větví & mezí
paprskové prohledávání
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 156 16. května 2022
Řídící pravidla pro jeden stroj: přehled
Cmax a rj = 0, dj = ∞ (snadné: nezávisí na rozvrhu)
wj Cj a rj = 0, dj = ∞
vážená nejkratší doba provádění (WSPT) je optimální
rozvrhuje úlohy v klesajícím pořadí podle wj /pj
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 157 16. května 2022
Řídící pravidla pro jeden stroj: přehled
Cmax a rj = 0, dj = ∞ (snadné: nezávisí na rozvrhu)
wj Cj a rj = 0, dj = ∞
vážená nejkratší doba provádění (WSPT) je optimální
rozvrhuje úlohy v klesajícím pořadí podle wj /pj
Lmax a rj = 0
nejdřívější termín dokončení (EDD) je optimální
rozvrhuje úlohy ve vzrůstající velikosti dj
minimální rezerva (MS)
pravidlo příbuzné EDD ale dynamické
max(dj − pj − t, 0), kde je t aktuální čas
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 157 16. května 2022
Řídící pravidla pro jeden stroj: přehled
Cmax a rj = 0, dj = ∞ (snadné: nezávisí na rozvrhu)
wj Cj a rj = 0, dj = ∞
vážená nejkratší doba provádění (WSPT) je optimální
rozvrhuje úlohy v klesajícím pořadí podle wj /pj
Lmax a rj = 0
nejdřívější termín dokončení (EDD) je optimální
rozvrhuje úlohy ve vzrůstající velikosti dj
minimální rezerva (MS)
pravidlo příbuzné EDD ale dynamické
max(dj − pj − t, 0), kde je t aktuální čas
Lmax a rozdílné rj
NP-těžký problém
základní podproblém v rámci známé heuristiky posouvání kritického
místa
řešen pomocí metody větví a mezí nebo dynamického programování
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 157 16. května 2022
Řídící pravidla pro jeden stroj: přehled
Cmax a rj = 0, dj = ∞ (snadné: nezávisí na rozvrhu)
wj Cj a rj = 0, dj = ∞
vážená nejkratší doba provádění (WSPT) je optimální
rozvrhuje úlohy v klesajícím pořadí podle wj /pj
Lmax a rj = 0
nejdřívější termín dokončení (EDD) je optimální
rozvrhuje úlohy ve vzrůstající velikosti dj
minimální rezerva (MS)
pravidlo příbuzné EDD ale dynamické
max(dj − pj − t, 0), kde je t aktuální čas
Lmax a rozdílné rj
NP-těžký problém
základní podproblém v rámci známé heuristiky posouvání kritického
místa
řešen pomocí metody větví a mezí nebo dynamického programování
Tj , wj Tj
mnohem obtížnější na optimalizaci
kompozitní řídící pravidlo apparent tardiness cost (ATC) využívající
kombinaci WSPT a MS
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 157 16. května 2022
Řídící pravidla a paralelní stroj: přehled
Cmax : důležité kritérium při balancování zátěže strojů
NP-těžký
nejdelší doba provádění (LPT)
kratší úlohy odloženy, protože je snadnější je narozvrhovat
nalezne řešení s garancí rozsahu 33% optima
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 158 16. května 2022
Řídící pravidla a paralelní stroj: přehled
Cmax : důležité kritérium při balancování zátěže strojů
NP-těžký
nejdelší doba provádění (LPT)
kratší úlohy odloženy, protože je snadnější je narozvrhovat
nalezne řešení s garancí rozsahu 33% optima
Cj a rj = 0
nepreemptivní nejkratší doba provádění (SPT)
nepreemptivní SPT minimalizuje Cj
nepreemptivní SPT zůstává optimální i při povolených přerušeních
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 158 16. května 2022
Řídící pravidla a paralelní stroj: přehled
Cmax : důležité kritérium při balancování zátěže strojů
NP-těžký
nejdelší doba provádění (LPT)
kratší úlohy odloženy, protože je snadnější je narozvrhovat
nalezne řešení s garancí rozsahu 33% optima
Cj a rj = 0
nepreemptivní nejkratší doba provádění (SPT)
nepreemptivní SPT minimalizuje Cj
nepreemptivní SPT zůstává optimální i při povolených přerušeních
wj Cj a rj = 0
NP-těžký
WSPT grarantuje řešení v rámci 22% optima
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 158 16. května 2022
Řídící pravidla a paralelní stroj: přehled
Cmax : důležité kritérium při balancování zátěže strojů
NP-těžký
nejdelší doba provádění (LPT)
kratší úlohy odloženy, protože je snadnější je narozvrhovat
nalezne řešení s garancí rozsahu 33% optima
Cj a rj = 0
nepreemptivní nejkratší doba provádění (SPT)
nepreemptivní SPT minimalizuje Cj
nepreemptivní SPT zůstává optimální i při povolených přerušeních
wj Cj a rj = 0
NP-těžký
WSPT grarantuje řešení v rámci 22% optima
wj Tj
ještě obtížnější problém
lze použít ATC (apparent tardiness cost), ale kvalita řešení nemusí být
dobrá
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 158 16. května 2022
Vážený součet koncových časů pro jeden stroj
Řídící pravidlo vážená nejkratší doba trvání
(weighted shortest processing time, WSPT)
je optimální pro 1|| wj Cj .
WSPT rozvrhuje úlohy v klesajícím pořadí podle wj /pj
Důkaz:
předpokládejme, že to není pravda a že S je optimální
pak existují dvě sousední úlohy, např. úloha j následovaná úlohou k
takové, že
wj
pj
<
wk
pk
, tj.pkwj < pjwk
S :
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 159 16. května 2022
Vážený součet koncových časů pro jeden stroj
Řídící pravidlo vážená nejkratší doba trvání
(weighted shortest processing time, WSPT)
je optimální pro 1|| wj Cj .
WSPT rozvrhuje úlohy v klesajícím pořadí podle wj /pj
Důkaz:
předpokládejme, že to není pravda a že S je optimální
pak existují dvě sousední úlohy, např. úloha j následovaná úlohou k
takové, že
wj
pj
<
wk
pk
, tj.pkwj < pjwk
po provedení párové výměny máme rozvrh S
j kt+p +p
j k
t+p +p
j k
k j
... ...
... ...
S:
S’:
Příspěvky do účelové funkce pro j a k:
S :
S :
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 159 16. května 2022
Vážený součet koncových časů pro jeden stroj
Řídící pravidlo vážená nejkratší doba trvání
(weighted shortest processing time, WSPT)
je optimální pro 1|| wj Cj .
WSPT rozvrhuje úlohy v klesajícím pořadí podle wj /pj
Důkaz:
předpokládejme, že to není pravda a že S je optimální
pak existují dvě sousední úlohy, např. úloha j následovaná úlohou k
takové, že
wj
pj
<
wk
pk
, tj.pkwj < pjwk
po provedení párové výměny máme rozvrh S
j kt+p +p
j k
t+p +p
j k
k j
... ...
... ...
S:
S’:
Příspěvky do účelové funkce pro j a k:
S : (t + pj )wj + (t + pj + pk )wk = twj + pj wj + twk + pjwk + pk wk
S :
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 159 16. května 2022
Vážený součet koncových časů pro jeden stroj
Řídící pravidlo vážená nejkratší doba trvání
(weighted shortest processing time, WSPT)
je optimální pro 1|| wj Cj .
WSPT rozvrhuje úlohy v klesajícím pořadí podle wj /pj
Důkaz:
předpokládejme, že to není pravda a že S je optimální
pak existují dvě sousední úlohy, např. úloha j následovaná úlohou k
takové, že
wj
pj
<
wk
pk
, tj.pkwj < pjwk
po provedení párové výměny máme rozvrh S
j kt+p +p
j k
t+p +p
j k
k j
... ...
... ...
S:
S’:
Příspěvky do účelové funkce pro j a k:
S : (t + pj )wj + (t + pj + pk )wk = twj + pj wj + twk + pjwk + pk wk
S : (t + pk )wk + (t + pk + pj )wj = twk + pk wk + twj + pkwj + pj wj
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 159 16. května 2022
Vážený součet koncových časů pro jeden stroj
Řídící pravidlo vážená nejkratší doba trvání
(weighted shortest processing time, WSPT)
je optimální pro 1|| wj Cj .
WSPT rozvrhuje úlohy v klesajícím pořadí podle wj /pj
Důkaz:
předpokládejme, že to není pravda a že S je optimální
pak existují dvě sousední úlohy, např. úloha j následovaná úlohou k
takové, že
wj
pj
<
wk
pk
, tj.pkwj < pjwk
po provedení párové výměny máme rozvrh S
j kt+p +p
j k
t+p +p
j k
k j
... ...
... ...
S:
S’:
Příspěvky do účelové funkce pro j a k:
S : (t + pj )wj + (t + pj + pk )wk = twj + pj wj + twk + pjwk + pk wk
S : (t + pk )wk + (t + pk + pj )wj = twk + pk wk + twj + pkwj + pj wj
wj Cj pro S < wj Cj pro S spor s optimalitou S
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 159 16. května 2022
Zpoždění pro jeden stroj
EDD optimální pro 1||Lmax
Rozdílné termíny dostupnosti rj , tj. problém 1|rj |Lmax : NP-úplný
problém
Proč je tento problém tak obtížný?
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 160 16. května 2022
1|rj|Lmax
Úlohy 1 2 3
pj 4 6 5
rj 0 3 5
dj 8 14 10Rozvrh pomocí EDD:
r3
r2r1 d1 d3 d2
1
10 1550
32
Lmax =
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 161 16. května 2022
1|rj|Lmax
Úlohy 1 2 3
pj 4 6 5
rj 0 3 5
dj 8 14 10Rozvrh pomocí EDD:
r3
r2r1 d1 d3 d2
1
10 1550
32
Lmax = max(L1, L2, L3) =
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 161 16. května 2022
1|rj|Lmax
Úlohy 1 2 3
pj 4 6 5
rj 0 3 5
dj 8 14 10Rozvrh pomocí EDD:
r3
r2r1 d1 d3 d2
1
10 1550
32
Lmax = max(L1, L2, L3) =
= max(C1 − d1, C2 − d2, C3 − d3) =
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 161 16. května 2022
1|rj|Lmax
Úlohy 1 2 3
pj 4 6 5
rj 0 3 5
dj 8 14 10Rozvrh pomocí EDD:
r3
r2r1 d1 d3 d2
1
10 1550
32
Lmax = max(L1, L2, L3) =
= max(C1 − d1, C2 − d2, C3 − d3) =
= max(4 − 8, 10 − 14, 15 − 10) =
= max(−4, −4, 5) = 5
Existuje lepší řešení?
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 161 16. května 2022
Rozvrh se zdržením pro 1|rj|Lmax
Pozdržíme provádění úloh:
r3
r2r1 d1 d3 d2
21
10 1550
3 2
Lmax = max(L1, L2, L3) =
= max(C1 − d1, C2 − d2, C3 − d3) =
= max(4 − 8, 16 − 14, 10 − 10) =
= max(−4, 2, 0) = 2
Problém je obtížný, protože
optimální rozvrh není nutně bez zdržení
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 162 16. května 2022
1|rj, prmp|Lmax
Preemptivní úlohy: je možné přerušit jejich provádění
Preemptivní verze řídících pravidel:
nečekáme až na dokončení prováděné úlohy
pro výběr další úlohy k provádění
v každém časovém okamžiku je nutné zvážit, zda není k dispozici
jiná prioritnější úloha (např. vzhledem k jejímu rj )
pokud existuje prioritnější úloha,
přerušíme aktuální úlohu a spustíme prioritnější úlohu
Cvičení: aplikujte preemptivní EDD na předchozí příklad
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 163 16. května 2022
1|rj, prmp|Lmax
Preemptivní úlohy: je možné přerušit jejich provádění
Preemptivní verze řídících pravidel:
nečekáme až na dokončení prováděné úlohy
pro výběr další úlohy k provádění
v každém časovém okamžiku je nutné zvážit, zda není k dispozici
jiná prioritnější úloha (např. vzhledem k jejímu rj )
pokud existuje prioritnější úloha,
přerušíme aktuální úlohu a spustíme prioritnější úlohu
Cvičení: aplikujte preemptivní EDD na předchozí příklad
Preemptivní EDD pravidlo je optimální pro preemptivní verzi problému
1|rj , prmp|Lmax
Preemptivní EDD je optimální pro předchozí příklad
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 163 16. května 2022
Metoda větví a mezí
Prohledávací prostor se rychle zvětšuje se zvětšujícím počtem
proměnných
Metoda větví a mezí (Branch & Bound search, BB)
založena na myšlence postupného dělení prohledávacího prostoru
S
SS
SS S
. . .
. . .
. . .
12 13
1 2 n
S = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sn S1 ∩ S2 ∩ · · · ∩ Sn = ∅
potřebujeme spočítat hranici/mez na cenu řešení
části stavového prostoru, které dávají řešení horší než tato mez
nemusíme prohledávat
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 164 16. května 2022
Výpočet dolní hranice řešení
Typický způsob, jak zjistit hranice je
relaxovat (zjednodušit) původní problém
(např. odstraněním některých požadavků)
na snadno řešitelný problém
jestliže neexistuje řešení pro relaxovaný problém,
pak neexistuje řešení pro původní problém
(větev lze smazat)
jestliže je optimální řešení relaxovaného problému zároveň řešením
původního problému,
pak je pro něj také optimální
jestliže optimální řešení není řešením původního problému, pak dává
hranici na jeho řešení
(původní problém nebude mít zcela jistě lepší řešení)
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 165 16. května 2022
Pravidla větvení pro 1|rj|Lmax
*,*,*,*
1,3,*,*1,2,*,*
2,*,*,*1,*,*,* n,*,*,*
. . .
. . .
. . .
Uroven 2
Uroven 1
Uroven 0
Rozvrh je konstruován od času t = 0
Úroveň 1:
n větví, ve kterých je každá z n úloh rozvrhována první
Úroveň k − 1:
úlohy j1, . . . , jk−1 jsou rozvrhovány v pořadí 1, . . . , k − 1
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 166 16. května 2022
Pravidla větvení pro 1|rj|Lmax
*,*,*,*
1,3,*,*1,2,*,*
2,*,*,*1,*,*,* n,*,*,*
. . .
. . .
. . .
Uroven 2
Uroven 1
Uroven 0
Rozvrh je konstruován od času t = 0
Úroveň 1:
n větví, ve kterých je každá z n úloh rozvrhována první
Úroveň k − 1:
úlohy j1, . . . , jk−1 jsou rozvrhovány v pořadí 1, . . . , k − 1
Úlohu c uvažujeme na úrovni k (a odpovídající větvení) pokud:
rc < minl∈J (max(t, rl ) + pl ) = PS
J množina dosud nerozvržených úloh
t čas, kdy je skončena jk−1 a lze rozvrhovat další úlohu
pokud je rc ≥ PS, pak je třeba rozvrhovat úlohu minimalizující PS
na pozici k a úlohu c na pozici k + 1 (nebo i později)
(toto uspořádání úloh stejně vůbec neovlivní čas dokončení c)
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 166 16. května 2022
Dolní hranice pro 1|rj|Lmax
Relaxace problému 1|rj |Lmax je problém 1|rj , prmp|Lmax
neumožnění přerušení je omezení pouze v původním problému 1|rj |Lmax
Preemptivní EDD pravidlo je optimální pro 1|rj , prmp|Lmax
⇒ Preemptivní rozvrh (rozvrh bez zdržení) určitě nebude mít Lmax větší
než ne-preemptivní rozvrh (rozvrh potenciálně se zdržením)
⇒ Dolní hranice na úrovni k − 1 může být založena na rozvrhu
zbývajících úloh podle preemptivního EDD pravidla
+ Jestliže preemptivní EDD dává nepreemptivní rozvrh,
pak můžeme všechny uzly s větší dolní hranicí zrušit
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 167 16. května 2022
Příklad: BB pro 1|rj|Lmax
Úlohy 1 2 3 4
pj 4 2 6 5
rj 0 1 3 5
dj 8 12 11 10
2,*,*,* 4,*,*,*
1,3,*,*
1,3,4,2
3,*,*,*
uloha 2 muže být
prováděna před ulohou 3
uloha 1 muže být
prováděna před ulohou 4
*,*,*,*
1,2,*,*
1,*,*,*
LB=5
LB=6 LB=5
LB=7
1,4,*,* nemá smysl prozkoumávat,
protože už v 1,3,*,* máme šanci na řešení s minimání LB=5
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 168 16. května 2022
Příklad: dolní hranice BB pro 1|rj|Lmax
Úlohy 1 2 3 4
pj 4 2 6 5
rj 0 1 3 5
dj 8 12 11 10
(3,*,*,*)
uloha 2 muže
být prováděna
před ulohou 3
(4,*,*,*)
uloha 1 i 2 muže
být prováděna
před ulohou 3
(*,*,*,*)
(1,2,*,*)
1 [0,4] L =−4
2 [4,6] L =−6
4 [6,11] L =1
3 [11,17] L =6
2
1
3
4
(1,3,*,*)
1 [0,4] L =−4
3 [4,10] L =−1
4 [10,15] L =5
2 [15,17] L =52
4
3
1 Rozvrh: (1,3,4,2)
4
2
1
2 [1,3] L =−9
(2,*,*,*)
1 [3,7] L =−1
4 [7,12] L =2
3 [12,18] L =73
(1,*,*,*)
3 [4,5]
2 [15,17] L = 5
1 [0,4] L =−41
2
3
4
3 [10,15] L = 4
4 [5,10] L =0
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 169 16. května 2022
Paprskové prohledávání
Metoda větví a mezí
uvažuje každý uzel
pro n úloh:
na první úrovni n uzlů, na druhé úrovni n(n − 1) uzlů,
na třetí úrovni n(n − 1)(n − 2) uzlů, . . .
⇒ n! uzlů na n-té úrovni
garantuje optimum
obvykle příliš pomalá
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 170 16. května 2022
Paprskové prohledávání
Metoda větví a mezí
uvažuje každý uzel
pro n úloh:
na první úrovni n uzlů, na druhé úrovni n(n − 1) uzlů,
na třetí úrovni n(n − 1)(n − 2) uzlů, . . .
⇒ n! uzlů na n-té úrovni
garantuje optimum
obvykle příliš pomalá
Paprskové prohledávání (Beam Search, BS)
uvažuje pouze slibné uzly
šířka paprsku (beam width)
udává, u kolika uzlů budeme na každé úrovni pokračovat v prohledávání
negarantuje optimální řešení
mnohem rychlejší
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 170 16. května 2022
Větvení
Kriterium: 1|| j wj Tj
Problém:
Úlohy 1 2 3 4
pj 10 10 13 4
rj 4 2 1 12
dj 14 12 1 12
Šířka paprsku 2:
2,*,*,* 4,*,*,*3,*,*,*
*,*,*,*
1,*,*,*
(1,4,2,3) (2,4,1,3) (3,4,1,2) (4,1,2,3)
ATC pravidlo
408 436 814 440
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 171 16. května 2022
Paprskové prohledávání
2,*,*,*
2,4,*,*1,4,*,*
4,*,*,*3,*,*,*
2,1,*,*
2,4,1,3 2,4,3,11,4,3,2
1,2,*,*
1,4,2,3
*,*,*,*
1,*,*,*
2,3,*,*1,3,*,*
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 172 16. května 2022
Diskuse
Kompromisy při implementaci:
podrobná evaluace uzlů (kvůli přesnosti)
odhad evaluace uzlu (kvůli rychlosti)
Dvoufázová procedura
odhad evaluace
je prováděn pro všechny uzly na úrovni k
podrobná evaluace
šířka filtru > šířka paprsku
prováděna pro počet uzlů odpovídající šířce filtru
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 173 16. května 2022
Matematické programování (opakování)
Celočíselný program
minimalizace
n
j=1
cj xj
za předpokladu:
n
j=1
aij xj ≥ bi ∀i : 1 ≤ i ≤ m
xj ≥ 0 ∀j : 1 ≤ j ≤ n
xj ∈ Z ∀j : 1 ≤ j ≤ n
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 174 16. května 2022
Model problému 1| | n
j=1 wjCj
Proměnné xjt = 1 jestliže úloha j začne v čase t
= 0 jinak
Formulace celočíselného programu
Minimalizace
n
j=1
Cmax −1
t=0
wj (t + pj )xjt tj.
n
j=1
wj Cj
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 175 16. května 2022
Model problému 1| | n
j=1 wjCj
Proměnné xjt = 1 jestliže úloha j začne v čase t
= 0 jinak
Formulace celočíselného programu
Minimalizace
n
j=1
Cmax −1
t=0
wj (t + pj )xjt tj.
n
j=1
wj Cj
za předpokladu
xjt ∈ 0, 1 ∀j, t
každá úloha právě jednou začne:
Cmax −1
t=0 xjt = 1 ∀j
v každém čase běží právě jedna úloha:
n
j=1
t−1
s=max(t−pj ,0) xjs = 1 ∀t
(pro každé t běží v intervalu t − 1, t) právě jedna úloha)
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 175 16. května 2022
V každém čase jedna úloha
Proměnné xjt = 1 jestliže úloha j začne v čase t
V každém čase, tj. v každém intervalu t − 1, t ,
běží právě jedna úloha:
n
j=1
t−1
s=max(t−pj ,0)
xjs = 1 ∀t
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 176 16. května 2022
V každém čase jedna úloha
Proměnné xjt = 1 jestliže úloha j začne v čase t
V každém čase, tj. v každém intervalu t − 1, t ,
běží právě jedna úloha:
n
j=1
t−1
s=max(t−pj ,0)
xjs = 1 ∀t
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 176 16. května 2022
V každém čase jedna úloha
Proměnné xjt = 1 jestliže úloha j začne v čase t
V každém čase, tj. v každém intervalu t − 1, t ,
běží právě jedna úloha:
n
j=1
t−1
s=max(t−pj ,0)
xjs = 1 ∀t
Hana Rudová, FI MU: Plánování úloh (na jednom stroji) 176 16. května 2022
Plánování job-shopu
16. května 2022
27 Disjunktivní grafová reprezentace
28 Matematické programování a job shop
29 Metoda větví a mezí pro job shop
30 Posunování kritického místa (shifting bottleneck)
Multi-operační rozvrhování:
job shop s minimalizací makespan
n úloh
m strojů
operace (i, j): provádění úlohy j na stroji i
Pořadí operací úlohy je stanoveno:
(i, j) → (k, j) specifikuje, že úloha j má být prováděna na stroji i dříve
než na stroji k
pij : trvání operace (i, j)
Cíl: rozvrhovat úlohy na strojích
bez překrytí na strojích
bez překrytí v rámci úlohy
minimalizace makespan Cmax
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 178 16. května 2022
Příklad: job shop problém
Data:
stroje: M1, M2, M3
úlohy: J1 : (3, 1) → (2, 1) → (1, 1)
J2 : (1, 2) → (3, 2)
J3 : (2, 3) → (1, 3) → (3, 3)
doby trvání: p31 = 4, p21 = 2, p11 = 1
p12 = 3, p32 = 3
p23 = 2, p13 = 4, p33 = 1
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 179 16. května 2022
Příklad: job shop problém
Data:
stroje: M1, M2, M3
úlohy: J1 : (3, 1) → (2, 1) → (1, 1)
J2 : (1, 2) → (3, 2)
J3 : (2, 3) → (1, 3) → (3, 3)
doby trvání: p31 = 4, p21 = 2, p11 = 1
p12 = 3, p32 = 3
p23 = 2, p13 = 4, p33 = 1
Řešení:
105 12
M3
M2
M1
0
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 179 16. května 2022
Disjunktivní grafová reprezentace
Graf G = (N, A ∪ B ∪ P)
uzly odpovídají operacím N = {(i, j)|(i, j) je operace} ∪ {U, V }
dva pomocné uzly U a V reprezentující zdroj a stok
konjunktivní hrany A reprezentují pořadí operací úlohy
(i, j) → (k, j) ∈ A ⇐⇒ operace (i, j) předchází (k, j)
disjunktivní hrany B reprezentují konflikty na strojích
dvě operace (i, j) a (i, l) jsou spojeny dvěma opačně orientovanými
hranami
pomocné hrany P
hrany z U ke všem prvním operacím úlohy
hrany ze všech posledních operací úlohy do V
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 180 16. května 2022
Výběr hran
Pojmy:
Podmnožina D ⊂ B je nazývána výběr, jestliže obsahuje z každého
páru disjuktivních hran právě jednu
Výběr D je splnitelný, jestliže výsledný orientovaný graf
G(D) = (N, A ∪ D ∪ P) je acyklický
jedná se o graf s pomocnými, konjunktivními hranami
a vybranými disjunktními hranami
Poznámky:
splnitelný výběr určuje posloupnost, ve které jsou operace prováděny
na strojích
vztah splnitelného výběru a (konzistentního) rozvrhu?
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 181 16. května 2022
Výběr hran
Pojmy:
Podmnožina D ⊂ B je nazývána výběr, jestliže obsahuje z každého
páru disjuktivních hran právě jednu
Výběr D je splnitelný, jestliže výsledný orientovaný graf
G(D) = (N, A ∪ D ∪ P) je acyklický
jedná se o graf s pomocnými, konjunktivními hranami
a vybranými disjunktními hranami
Poznámky:
splnitelný výběr určuje posloupnost, ve které jsou operace prováděny
na strojích
vztah splnitelného výběru a (konzistentního) rozvrhu?
každý (konzistentní) rozvrh jednoznačně určuje splnitelný výběr
každý splnitelný výběr jednoznačně určuje (konzistentní) rozvrh
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 181 16. května 2022
Příklad: nesplnitelný výběr
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 182 16. května 2022
Příklad: nesplnitelný výběr
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
V grafu existuje v důsledku nevhodného výběru hran cyklus:
(1, 2) → (3, 2)
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 182 16. května 2022
Příklad: nesplnitelný výběr
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
V grafu existuje v důsledku nevhodného výběru hran cyklus:
(1, 2) → (3, 2)
(3, 2) → (3, 1) → (2, 1) → (1, 1) → (1, 2)
⇒ nelze splnit (k tomuto výběru neexistuje rozvrh)
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 182 16. května 2022
Příklad: výběr pro daný rozvrh
Nalezněte (splnitelný) výběr hran pro daný rozvrh:
105 12
M3
M2
M1
0
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 183 16. května 2022
Příklad: výběr pro daný rozvrh
Nalezněte (splnitelný) výběr hran pro daný rozvrh:
105 12
M3
M2
M1
0
Konstrukce odpovídajícího výběru:
vybereme (jeden stroj po druhém) disjunktivní hrany,
které odpovídají uspořádání operací na stroji v daném rozvrhu:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 183 16. května 2022
Příklad: výběr pro daný rozvrh
Nalezněte (splnitelný) výběr hran pro daný rozvrh:
105 12
M3
M2
M1
0
Konstrukce odpovídajícího výběru:
vybereme (jeden stroj po druhém) disjunktivní hrany,
které odpovídají uspořádání operací na stroji v daném rozvrhu:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 183 16. května 2022
Příklad: rozvrh pro daný splnitelný výběr
Jakým způsobem nalézt rozvrh pro daný splnitelný výběr?
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
Tedy: jakým způsobem lze nalézt tento odpovídající rozvrh:
105
M3
M2
M1
0 15 20
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 184 16. května 2022
Výpočet rozvrhu pro výběr
Metoda: výpočet nejdelších cest z U do dalších uzlů v G(D)
obdoba dopředného zpracování z metody kritické cesty
pro plánování projektu
Technický popis:
uzly (i, j) mají ohodnocení pij , uzel U má váhu 0
délka cesty i1, i2, . . . , ir je součet ohodnocení uzlů i1, i2, . . . , ir−1
spočítej délku lij nejdelší cesty z U do (i, j) a V
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 185 16. května 2022
Výpočet rozvrhu pro výběr
Metoda: výpočet nejdelších cest z U do dalších uzlů v G(D)
obdoba dopředného zpracování z metody kritické cesty
pro plánování projektu
Technický popis:
uzly (i, j) mají ohodnocení pij , uzel U má váhu 0
délka cesty i1, i2, . . . , ir je součet ohodnocení uzlů i1, i2, . . . , ir−1
spočítej délku lij nejdelší cesty z U do (i, j) a V
1 lU = 0 a pro každý uzel (i, j) s jediným předchůdcem U: lij = 0
2 vypočítej postupně pro všechny zbývající uzly (i, j) (a pro uzel V):
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 185 16. května 2022
Výpočet rozvrhu pro výběr
Metoda: výpočet nejdelších cest z U do dalších uzlů v G(D)
obdoba dopředného zpracování z metody kritické cesty
pro plánování projektu
Technický popis:
uzly (i, j) mají ohodnocení pij , uzel U má váhu 0
délka cesty i1, i2, . . . , ir je součet ohodnocení uzlů i1, i2, . . . , ir−1
spočítej délku lij nejdelší cesty z U do (i, j) a V
1 lU = 0 a pro každý uzel (i, j) s jediným předchůdcem U: lij = 0
2 vypočítej postupně pro všechny zbývající uzly (i, j) (a pro uzel V):
lij = max
∀(k,l):(k,l)→(i,j)
(lkl + pkl )
tj. projdeme všechny předchůdce (k, l) uzlu (i, j)
délka cesty do (i, j) přes (k, l) je lkl + pkl
zahaj operaci (i, j) v čase lij
délka nejdelší cesty z U do V je rovna makespan
tato cesta je kritická cesta
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 185 16. května 2022
Výpočet rozvrhu pro výběr
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
2 4 1
124
33
Výpočet lij :
uzel (3,1) (1,2) (2,3) (2,1) (3,2) (1,1) (1,3) (3,3) V
délka 0 0 0
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 186 16. května 2022
Výpočet rozvrhu pro výběr
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
2 4 1
124
33
Výpočet lij :
uzel (3,1) (1,2) (2,3) (2,1) (3,2) (1,1) (1,3) (3,3) V
délka 0 0 0 4 4
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 186 16. května 2022
Výpočet rozvrhu pro výběr
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
2 4 1
124
33
Výpočet lij :
uzel (3,1) (1,2) (2,3) (2,1) (3,2) (1,1) (1,3) (3,3) V
délka 0 0 0 4 4 6
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 186 16. května 2022
Výpočet rozvrhu pro výběr
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
2 4 1
124
33
Výpočet lij :
uzel (3,1) (1,2) (2,3) (2,1) (3,2) (1,1) (1,3) (3,3) V
délka 0 0 0 4 4 6 7
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 186 16. května 2022
Výpočet rozvrhu pro výběr
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
2 4 1
124
33
Výpočet lij :
uzel (3,1) (1,2) (2,3) (2,1) (3,2) (1,1) (1,3) (3,3) V
délka 0 0 0 4 4 6 7 11
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 186 16. května 2022
Výpočet rozvrhu pro výběr
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
2 4 1
124
33
Výpočet lij :
uzel (3,1) (1,2) (2,3) (2,1) (3,2) (1,1) (1,3) (3,3) V
délka 0 0 0 4 4 6 7 11 12
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 186 16. května 2022
Disjunktivní programování
Formulace disjunktivního programování
nejčastěji používaná formulace matematického programování pro job
shop bez recirkulace
(bez recirkulace: úlohy prováděny na stroji nejvýše jednou)
vychází z disjunktivní grafové reprezentace
Disjunktivní programování
jedná se o matematické programování
omezení rozděleny do množin konjunktivních omezení
všechna tato omezení musí být splněna
standardní matematické programování: všechna omezení konjuktivní
a jedné nebo více množin disjunktivních omezení
z každé množiny disjunktivních omezení musí být alespoň jedno
omezení splněno
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 187 16. května 2022
Disjunktivní programování a job shop
yij značí startovní čas operace (i, j) úlohy j na stroji i
Minimalizace Cmax
za předpokladu
∀(i, j) → (k, j) ∈ A
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 188 16. května 2022
Disjunktivní programování a job shop
yij značí startovní čas operace (i, j) úlohy j na stroji i
Minimalizace Cmax
za předpokladu
ykj − yij ≥ pij ∀(i, j) → (k, j) ∈ A
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 188 16. května 2022
Disjunktivní programování a job shop
yij značí startovní čas operace (i, j) úlohy j na stroji i
Minimalizace Cmax
za předpokladu
ykj − yij ≥ pij ∀(i, j) → (k, j) ∈ A
∀(i, j) ∈ N
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 188 16. května 2022
Disjunktivní programování a job shop
yij značí startovní čas operace (i, j) úlohy j na stroji i
Minimalizace Cmax
za předpokladu
ykj − yij ≥ pij ∀(i, j) → (k, j) ∈ A
Cmax − yij ≥ pij ∀(i, j) ∈ N
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 188 16. května 2022
Disjunktivní programování a job shop
yij značí startovní čas operace (i, j) úlohy j na stroji i
Minimalizace Cmax
za předpokladu
ykj − yij ≥ pij ∀(i, j) → (k, j) ∈ A
Cmax − yij ≥ pij ∀(i, j) ∈ N
∀(i, l), (i, j) :
i = 1 . . . m
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 188 16. května 2022
Disjunktivní programování a job shop
yij značí startovní čas operace (i, j) úlohy j na stroji i
Minimalizace Cmax
za předpokladu
ykj − yij ≥ pij ∀(i, j) → (k, j) ∈ A
Cmax − yij ≥ pij ∀(i, j) ∈ N
yij − yil ≥ pil nebo yil − yij ≥ pij ∀(i, l), (i, j) :
i = 1 . . . m
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 188 16. května 2022
Disjunktivní programování a job shop
yij značí startovní čas operace (i, j) úlohy j na stroji i
Minimalizace Cmax
za předpokladu
ykj − yij ≥ pij ∀(i, j) → (k, j) ∈ A
Cmax − yij ≥ pij ∀(i, j) ∈ N
yij − yil ≥ pil nebo yil − yij ≥ pij ∀(i, l), (i, j) :
i = 1 . . . m
yij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ N
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 188 16. května 2022
Disjunktivní programování a job shop
yij značí startovní čas operace (i, j) úlohy j na stroji i
Minimalizace Cmax
za předpokladu
ykj − yij ≥ pij ∀(i, j) → (k, j) ∈ A
Cmax − yij ≥ pij ∀(i, j) ∈ N
yij − yil ≥ pil nebo yil − yij ≥ pij ∀(i, l), (i, j) :
i = 1 . . . m
yij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ N
Tato formulace ale nezajišťuje existenci standardní řešící procedury
Problém velmi obtížný
Ukážeme další přístupy: enumerační procedury (BB),
heuristiky (posunování kritického místa)
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 188 16. května 2022
Typy rozvrhů
Rozvrh je bez zdržení (nondelay), pokud žádný stroj nečeká, když
existuje dostupná operace
Rozvrh je aktivní, pokud nemůže být žádná operace rozvrhována dříve
změnou posloupnosti úloh na stroji bez zdržení jiné operace
redukce makespan aktivního rozvrhu je možná pouze zvýšením
startovního času alespoň jedné operace
optimální rozvrh je aktivní rozvrh
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 189 16. května 2022
Příklad: aktivní vs. neaktivní rozvrh
Neaktivní rozvrh:
105
M3
M2
M1
0 15 20
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 190 16. května 2022
Příklad: aktivní vs. neaktivní rozvrh
Neaktivní rozvrh:
105
M3
M2
M1
0 15 20
Aktivní rozvrh:
105
M3
M2
M1
0 15 20
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 190 16. května 2022
Aplikace metody větví a mezí na job shop
Víme: optimální rozvrh je aktivní rozvrh
Metoda řešení
generování množiny aktivních rozvrhů
výběr nejlepšího rozvrhu
Zlepšení
použití metody větví a mezí při generování
Důsledek
potřebujeme algoritmus pro generování všech aktivních rozvrhů
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 191 16. května 2022
Aplikace metody větví a mezí na job shop
Víme: optimální rozvrh je aktivní rozvrh
Metoda řešení
generování množiny aktivních rozvrhů
výběr nejlepšího rozvrhu
Zlepšení
použití metody větví a mezí při generování
Důsledek
potřebujeme algoritmus pro generování všech aktivních rozvrhů
Značení
Ω: množina všech operací, jejichž předchůdci už jsou narozvrhováni
rij : nejdřívější startovní čas operace (i, j) ∈ Ω
může být spočítano pomocí výpočtu nejdelší cesty
Ω : podmnožina Ω
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 191 16. května 2022
Generování množiny všech aktivních rozvrhů
1 Inicializace
Ω := {první operace každé úlohy}
rij := 0 pro všechna (i, j) ∈ Ω
2 Výběr stroje
spočítej pro současný částečný rozvrh
t(Ω) := min
(i,j)∈Ω
{rij + pij }
tj. kdy nejdřívě může nějaká úloha z Ω skončit
i∗
:= stroj, na němž bylo dosaženo minima
3 Větvení
Ω := {(i∗
, j)|ri∗j < t(Ω)}
pro všechna (i∗
, j) ∈ Ω
přidej do rozvrhu (i∗
, j) jako další operaci na stroji i∗
smaž (i∗
, j) z Ω
přidej následníky úlohy (i∗
, j) do Ω
běž na krok 2
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 192 16. května 2022
Příklad: generování aktivních rozvrhů
Úlohy: J1 : (3, 1) → (2, 1) → (1, 1)
J2 : (1, 2) → (3, 2)
J3 : (2, 3) → (1, 3) → (3, 3)
Částečný rozvrh:
neřešíme od začátku,
začneme řešit už s tímto rozvrhem,
aby byl postup demonstrativní
5
M3
M2
M1
0Ω = {(1, 1), (3, 2), (1, 3)}
p11 = 1, p32 = 3, p13 = 4 r11 = 6, r32 = 4, r13 = 3
t(Ω) = min(6 + 1, 4 + 3, 3 + 4) = 7 např. i∗ = M1
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 193 16. května 2022
Příklad: generování aktivních rozvrhů
Úlohy: J1 : (3, 1) → (2, 1) → (1, 1)
J2 : (1, 2) → (3, 2)
J3 : (2, 3) → (1, 3) → (3, 3)
Částečný rozvrh:
neřešíme od začátku,
začneme řešit už s tímto rozvrhem,
aby byl postup demonstrativní
5
M3
M2
M1
0Ω = {(1, 1), (3, 2), (1, 3)}
p11 = 1, p32 = 3, p13 = 4 r11 = 6, r32 = 4, r13 = 3
t(Ω) = min(6 + 1, 4 + 3, 3 + 4) = 7 např. i∗ = M1
Ω = {(1, 1), (1, 3)}
Rozšířené částečné rozvrhy:
5
M3
M2
M1
0 5
M3
M2
M1
0
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 193 16. května 2022
Disjunkce vybrané při větvení
Větvení algoritmu volí disjunkce
Předpokládejme větvení Ω = {(i∗, j), (i∗, l)}
→ výběr (i∗, j) při větvení
přidání disjunkce (i∗
, j) → (i∗
, k) pro všechny dosud nenarozvrhované
operace (i∗
, k)
→ výběr (i∗, l) při větvení
přidání disjunkce (i∗
, l) → (i∗
, k) pro všechny dosud nenarozvrhované
operace (i∗
, k)
Důsledek:
každý uzel stromu je charakterizován množinou D vybraných disjukcí
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 194 16. května 2022
Výpočet dolní hranice
Předpokládejme uzel V s vybranými disjukcemi D
Jednoduchá dolní hranice
spočítej kritickou cestu v G(D )
dolní hranice LB(V )
Vylepšená dolní hranice
uvažuj stroj i
povolíme překrývání operací na všech strojích kromě i
vyřeš problém na stroji i
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 195 16. května 2022
Podproblém: 1|rj|Lmax
Vypočítej nejdřívější startovní čas rij všech operací (i, j) na stroji i
nejdelší cesta ze zdroje v G(D )
Vypočítej minimální množství času ∆ij mezi:
startem operace (i, j) (tj. rij ) a
koncem rozvrhu (nejdelší cesta v G(D ) z uzlu do stoku)
Získáme termíny dokončení dij = LB(V ) − ∆ij + pij
time
p
LB(V)dij
ij
ij
Vyřeš výsledný problém: 1|rj |Lmax
viz dříve
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 196 16. května 2022
Vylepšená dolní hranice
Vyřeš 1|rj |Lmax pro všechny stroje
Výsledek: L1, . . . , Lm
LBnew
(V ) = LB(V ) + max
i=1...m
Li
tj. výsledné řešení nemůže mít lepší kvalitu než nejlepší možné řešení
pro každý stroj zvlášť, a proto zahrneme do dolní hranice nejhorší
(největší) spočítané zpoždění
Poznámky:
1|rj |Lmax je NP-úplný problém
experimentální výsledky přesto ukazují, že se vyplatí řešit
m NP-úplných problémů pro každý uzel stromu
20 × 20 instance jsou už obtížně řešitelné metodou větví a mezí
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 197 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Částečný rozvrh:
5
M3
M2
M1
0
Odpovídající graf:
hrany G(D’)
pár disjuktivních dosud nevybraných hran
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
vybrané disjunktivní hrany konjuktivní hrany
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 198 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 =
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11 = 1
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11 = 1
d12
(víme: dij = LB(V ) − ∆ij + pij )
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11 = 1
d12 = 3
(víme: dij = LB(V ) − ∆ij + pij )
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11 = 1
d12 = 3 d13
(víme: dij = LB(V ) − ∆ij + pij )
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11 = 1
d12 = 3 d13 = 7
(víme: dij = LB(V ) − ∆ij + pij )
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11 = 1
d12 = 3 d13 = 7 d11
(víme: dij = LB(V ) − ∆ij + pij )
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11 = 1
d12 = 3 d13 = 7 d11 = 8
(víme: dij = LB(V ) − ∆ij + pij )
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Graf G(D ) s dobami provádění:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
1
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11 = 1
d12 = 3 d13 = 7 d11 = 8
(víme: dij = LB(V ) − ∆ij + pij )
Optimální řešení: Lmax = 0, LBnew (V ) = 8
0 3 7 8
M1
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 199 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Změna p11 z 1 na 2:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
2
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V )
= l(U, (3, 1), (2, 1), (1, 1), V ) = 8
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 200 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Změna p11 z 1 na 2:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
2
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V )
= l(U, (3, 1), (2, 1), (1, 1), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11 = 2
d12 = 3 d13 = 7 d11 = 8
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 200 16. května 2022
Příklad: dolní hranice
Změna p11 z 1 na 2:
3,1 2,1 1,1
1,2 3,2
2,3 1,3 3,3
U V
4 2
142
3 3
2
LB(V ) = l(U, (1, 2), (1, 3), (3, 3), V )
= l(U, (3, 1), (2, 1), (1, 1), V ) = 8
Data pro úlohy na stroji M1:
modrá zelená červená
r12 = 0 r13 = 3 r11 = 6
∆12 = 8 ∆13 = 5 ∆11 = 2
d12 = 3 d13 = 7 d11 = 8
Optimální řešení: Lmax = 1, LBnew (V ) = 9
0 3 7
M1
9
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 200 16. května 2022
Posunování kritického místa
(shifting bottleneck)
Úspěšná heuristika
při řešení problému minimalizace makespan pro job shop
Základní popis
iterativní heuristika
v každé iteraci je určen rozvrh pro jeden další stroj
používána re-optimalizace pro změnu už narozvrhovaných strojů
Rozšiřitelnost: metoda lze rozšířít
na obecnější job shop problémy
další objektivní funkce
flexible flow shop
(paralelní stroj místo samostatných strojů)
nastavovací doba stroje
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 201 16. května 2022
Princip algoritmu
Značení
M je množina všech strojů
Dáno
určen rozvrh pro podmnožinu M0 ⊂ M strojů
tj. je určen výběr disjunktivních hran
Akce při jedné iteraci
1 výběr stroje k, pro který ještě neexistuje rozvrh
tj. stroj z M\M0
2 určení rozvrhu (výběru disjunktivních hran) pro stroj k
na základě daných (zafixovaných) rozvrhů pro stroje z M0
3 nové rozvrhování (= přeplánování) strojů z M0
na základě ostatních daných (zafixovaných) rozvrhů
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 202 16. května 2022
Princip výběru stroje a určení jeho rozvrhu
Myšlenka:
výběr ještě nerozvrženého stroje, který působí nejvíce problémů, tzv.
kritický (bottleneck) stroj
Realizace:
spočítej pro každou operaci na nenarozvrhovaném stroji
nejdřívější možný startovní čas a
minimální zdržení mezi koncem operace a koncem úplného rozvrhu
založeného na
zafixovaných rozvrzích strojů v M0 a
pořadí úloh
spočítej pro každý nenarozvrhovaný stroj rozvrh respektující tyto
nejdřívější termíny dostupnosti a zdržení
vyber stroj s maximálním koncovým časem a zafixuj rozvrh na tomto
stroji
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 203 16. května 2022
Princip přeplánování strojů
Myšlenka:
snaha redukovat makespan rozvrhu pro stroje v M0
Popis:
uvažuj stroje z M0 jeden po druhém
smaž rozvrh vybraného stroje a spočítej nový rozvrh na základě
nejdřívějšího startovního času a
zdržení
vyplývající z
ostatních strojů v M0 a
pořadí úloh
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 204 16. května 2022
Plánování job-shopu: shrnutí
Modelování a reprezentace
disjunktivní grafová reprezentace
matematické programování a job shop (+ řešení)
Řešení
metoda větví a mezí pro job shop
heuristika: posunování kritického místa
Hana Rudová, FI MU: Plánování job-shopu 205 16. května 2022
Rozvrhování montážních systémů
16. května 2022
31 Montážní linka s flexibilním časem
32 Montážní linka s fixním časem
Montážní linka
Job shop
každá úloha má jednoznačnou
identitu
výroba na objednávku,
malý objem výroby
potenciálně komplikovaná cesta
systémem
velmi obtížný problém
Montážní linka
(flexible assembly system)
limitovaný počet odlišných
typů výrobků
specifikováno vyráběné
množství každého typu
systém pro manipulaci
s materiálem
startovní čas úlohy je funkcí
času dokončení na předchozím
stroji
limitovaný počet úloh
čekajících ve frontě mezi stroji
masová produkce
ještě obtížnější problém
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 207 16. května 2022
Montážní linka s flexibilním časem
(unpaced assembly system)
Několik strojů zapojených sériově (flow system)
Flexibilní čas
stroj může strávit tolik času na úloze, kolik je třeba
Blokování
následující stroj je plný a úloha na něj nemůže být přesunuta
Fronty mezi stroji?
bez újmy na obecnosti lze uvažovat fronty nulové délky
frontu délky n lze simulovat n stroji, na kterých je doba provádění
úlohy nulová
⇒ budeme uvažovat fronty nulové délky
Limitovaný počet odlišných typů výrobků
Specifikováno vyráběné množství každého typu
Cíl: maximalizace výkonu
výkon opět definován kritickým strojem
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 208 16. května 2022
Příklad: výroba kopírek
Různé typy kopírek montované na jedné lince
Odlišné modely mají obvykle společný základ
Odlišnost v rámci komponent
automatický podavač ano/ne, rozdílné optiky, . . .
Odlišnost typů vede k odlišným dobám výroby na jednotlivých strojích
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 209 16. května 2022
Cyklické rozvrhy
Rozvrhy jsou často cyklické nebo periodické
daná množina úloh rozvrhována v určitém pořadí
jsou obsaženy všechny typy výrobků
některé typy zde mohou být vícekrát
druhá identická množina rozvrhována, atd.
Nevhodné pokud jsou dlouhé nastavovací doby
pak se vyplatí dlouhé běhy výrobku jednoho typu
Praktické pokud nevýznamná nastavovací doba
nízké skladovací náklady
snadné na implementaci
nicméně: acyklický rozvrh může dávat maximální výkon
V praxi
cyklické rozvrhy s malými odchylkami závislými na aktuálních
objednávkách
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 210 16. května 2022
Minimální podílová množina (minimum part set)
Předpokládejme l typů výrobků
Nk požadovaný počet výrobků typu k
z největší společný dělitel
Potom
N∗
=
N1
z
, . . . ,
Nl
z
je nejmenší množina se „správnými” proporcemi
minimální podílová množina
(MPS, minimum part set)
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 211 16. května 2022
Minimální podílová množina (minimum part set)
Předpokládejme l typů výrobků
Nk požadovaný počet výrobků typu k
z největší společný dělitel
Potom
N∗
=
N1
z
, . . . ,
Nl
z
je nejmenší množina se „správnými” proporcemi
minimální podílová množina
(MPS, minimum part set)
Uvažujme úlohy v MPS jako n úloh: n =
1
z
l
k=1
Nk
pij jako dříve
cyklický rozvrh je rozvrh určen seřazením úloh v MPS
maximalizace výkonu = minimalizace doby cyklu
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 211 16. května 2022
Příklad: MPS
Systém se 4 stroji
Tři odlišné typy výrobku, které musí být vyráběny ve stejném
množství, tj.
N∗
= (1, 1, 1)
Doby provádění
Úlohy 1 2 3
p1j 0 1 0
p2j 0 0 0 ← fronta mezi strojem 1 a 3
p3j 1 0 1
p4j 1 1 0
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 212 16. května 2022
Příklad: posloupnost v MPS 1,2,3
Úlohy 1 2 3
p1j 0 1 0
p2j 0 0 0
p3j 1 0 1
p4j 1 1 0
1
1 3
3
1
1
1
1 1
3
3 1
1
1
32 2
2 2
22
2
0 1 2 3 5 4 6 7
doba cyklu=3
1
2
3
4
stroje
8
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 213 16. května 2022
Příklad: posloupnost v MPS 1,3,2
Úlohy 1 2 3
p1j 0 1 0
p2j 0 0 0
p3j 1 0 1
p4j 1 1 0
1
1
12 2
2
3
3
2
1
1 2 1
3 1
3 2
1
0 1 2 4 5 6
doba cyklu=2
3
4
stroje
2
1
3
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 214 16. května 2022
Minimalizace doby cyklu
Heuristika padnoucího profilu (profile fitting heuristic, PF)
Vyber první úlohu j1
výběr libovolné úlohy nebo
výběr úlohy s nejdelší celkovou dobou provádění
Úloha generuje profil
Xi,j1 =
i
h=1
ph,j1
předpokládáme, že úloha j1 poběží bez blokování
⇒ Xi,j1 čas odchodu: čas, kdy úloha j1 opustí stroj i
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 215 16. května 2022
PF: určení následující úlohy
Spočítej pro každou možnou úlohu
dobu, kterou stroje čekají
dobu, kdy je úloha blokována
spočítej čas odchodu pro kandidáta na druhou pozici (j2),
např. pro úlohu c (j1: úloha na první pozici)
X1,j2 = max(X1,j1 + p1c, X2,j1 )
Xi,j2 = max(Xi−1,j2 + pic, Xi+1,j1 ) i = 2, . . . , m − 1
Xm,j2 = Xm−1,j2 + pmc
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 216 16. května 2022
PF: určení následující úlohy
Spočítej pro každou možnou úlohu
dobu, kterou stroje čekají
dobu, kdy je úloha blokována
spočítej čas odchodu pro kandidáta na druhou pozici (j2),
např. pro úlohu c
X1,j2 = max(X1,j1 + p1c, X2,j1 )
Xi,j2 = max(Xi−1,j2 + pic, Xi+1,j1 ) i = 2, . . . , m − 1
Xm,j2 = Xm−1,j2 + pmc
neproduktivní doba na stroji i,
pokud je c na druhé pozici: Xi,j2 − Xi,j1 − pic
celková neproduktivní doba (přes všechny stroje) pro c:
m
i=1
(Xi,j2 − Xi,j1 − pic)
úloha s nejmenší neproduktivní dobou vybrána na druhou pozici (pro
další pozice opakuj totéž) ... myšlenka padnoucího profilu
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 217 16. května 2022
Diskuse
PF heuristika se chová v praxi dobře
stále platí, že při použití heuristiky PF nehrají roli nastavovací doby
Zjemnění:
neproduktivní doby nejsou stejně špatné
na všech strojích
uvažuj kritický stroj
použití vah v součtu
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 218 16. května 2022
Montážní linka s fixním časem
Popis modelu
transportér, který se posunuje konstantní rychlostí
výrobky, které se vyrábí se posunují mezi stroji pevnou rychlostí
jednotková doba cyklu:
určena jako doba mezi dvěma po sobě jdoucími úlohami na lince
každý stroj má danou kapacitu a omezení
cíl: uspořádat úlohy tak, aby
nebyly stroje přetíženy a
byla minimalizována cena za nastavení
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 219 16. května 2022
Montážní linka s fixním časem
Popis modelu
transportér, který se posunuje konstantní rychlostí
výrobky, které se vyrábí se posunují mezi stroji pevnou rychlostí
jednotková doba cyklu:
určena jako doba mezi dvěma po sobě jdoucími úlohami na lince
každý stroj má danou kapacitu a omezení
cíl: uspořádat úlohy tak, aby
nebyly stroje přetíženy a
byla minimalizována cena za nastavení
Příklad: výroba automobilu
rozdílné modely vyráběné na stejné lince
auta mají odlišné barvy a vybavení
vyráběná auta uspořádána tak, aby byla
minimalizována cena za nastavení a
stroje na lince byly rovnoměrně vytíženy
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 219 16. května 2022
Skupiny a distribuce
Atributy a charakteristiky každé úlohy
barva, vybavení, . . .
Cena za změny při výrobě
vytváření skupin výrobků,
které mají vybrané atributy stejné
např. barva auta
Časově náročné operace
distribuuj úlohy, které obsahují tyto operace
operace omezující kapacitu (index kritičnosti)
operace s vyšším indexem jsou kritičtější
např. instalace posuvné střechy
př. čtyřikrát časově náročnější, 10% aut má posuvnou střechu, tj. index
kritičnosti = 4/10
sekce linky pro instalaci posuvné střechy musí být vytížena alespoň
čtyřikrát méně než sekce pro automobily bez posuvné střechy, jinak
nebude dostatek času na instalaci posuvné střechy
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 220 16. května 2022
Kritéria
Minimalizace celkové ceny na nastavení
Splnění termínů dokončení pro výrobky na objednávku
celkové nezáporné vážené zpoždění
opakování: Tj = max(Cj − dj , 0)
Distribuce operací omezujících kapacitu
ψi (l) značí penalizaci, pokud stroj musí vyrábět dva výrobky,
které jsou l pozic od sebe
Pravidelné tempo spotřeby materiálu
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 221 16. května 2022
Heuristika seskupování a distribuce
(grouping and spacing)
1 Urči celkový počet úloh, které mají být rozvrhovány
vyšší počet úloh na rozvrhování umožní nižší cenu,
ale snadněji dojde k narušení rozvrhu
typicky jeden den až týden
2 Seskup úlohy obsahující operace s vysokými cenami za nastavení
3 Uspořádej skupiny podle nastavovacích cen a termínů objednávky
4 Distribuuj úlohy v rámci skupiny tak,
aby byly brány v úvahu operace omezující kapacitu
nejkritičtější operace distribuovány co nejlépe co nejdříve
a zohledni přitom termíny objednávky
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 222 16. května 2022
Jednoduchý matematický model
1 stroj, n úloh
Každá úloha: pj = 1, dj (mohou být nekonečné), wj ,
b atributů aj1, . . . , ajb
1. atribut reprezentuje barvu
2. atribut je 1, pokud má úloha posuvnou střechu, jinak je 0
. . .
Jestliže úloha j následována úlohou k a aj1 = ak1, pak je nutná cena
na nastavení cjk
cjk je funkcí aj1 a ak1
Jestliže aj2 = ak2 = 1, pak je nutná penalizace ψ2(l)
pokud jsou úlohy j a k od sebe vzdáleny l pozic
Jestliže je úloha dokončena po termínu dokončení, uvažujeme vážené
nezáporné zpoždění
Cíl: minimalizovat celkovou cenu včetně
ceny za nastavení
ceny za distribuci
ceny za zpoždění
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 223 16. května 2022
Příklad: heuristika seskupování a distribuce (zadání)
1 stroj, 10 úloh, pj = 1
Atributy úlohy j: aj1 a aj2
Cena za nastavení s využitím aj1 pro úlohu j:
dvě po sobě jdoucí úlohy mají aj1 = ak1, pak cjk = |aj1 − ak1|
aj2 = ak2 = 1 a mezi j a k je (l − 1) úloh, pak ψ2(l) = max(3 − l, 0)
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 224 16. května 2022
Příklad: heuristika seskupování a distribuce (zadání)
1 stroj, 10 úloh, pj = 1
Atributy úlohy j: aj1 a aj2
Cena za nastavení s využitím aj1 pro úlohu j:
dvě po sobě jdoucí úlohy mají aj1 = ak1, pak cjk = |aj1 − ak1|
aj2 = ak2 = 1 a mezi j a k je (l − 1) úloh, pak ψ2(l) = max(3 − l, 0)
úlohy těsně po sobě (0 = l − 1), pak je penalizace max(3 − 1, 0) = 2
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 224 16. května 2022
Příklad: heuristika seskupování a distribuce (zadání)
1 stroj, 10 úloh, pj = 1
Atributy úlohy j: aj1 a aj2
Cena za nastavení s využitím aj1 pro úlohu j:
dvě po sobě jdoucí úlohy mají aj1 = ak1, pak cjk = |aj1 − ak1|
aj2 = ak2 = 1 a mezi j a k je (l − 1) úloh, pak ψ2(l) = max(3 − l, 0)
úlohy těsně po sobě (0 = l − 1), pak je penalizace max(3 − 1, 0) = 2
jedna úloha mezi nimi (1 = l − 1), pak je penalizace max(3 − 2, 0) = 1
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 224 16. května 2022
Příklad: heuristika seskupování a distribuce (zadání)
1 stroj, 10 úloh, pj = 1
Atributy úlohy j: aj1 a aj2
Cena za nastavení s využitím aj1 pro úlohu j:
dvě po sobě jdoucí úlohy mají aj1 = ak1, pak cjk = |aj1 − ak1|
aj2 = ak2 = 1 a mezi j a k je (l − 1) úloh, pak ψ2(l) = max(3 − l, 0)
úlohy těsně po sobě (0 = l − 1), pak je penalizace max(3 − 1, 0) = 2
jedna úloha mezi nimi (1 = l − 1), pak je penalizace max(3 − 2, 0) = 1
více než jedna úloha mezi nimi (s), pak je penalizace max(3 − s, 0) = 0
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 224 16. května 2022
Příklad: heuristika seskupování a distribuce (zadání)
1 stroj, 10 úloh, pj = 1
Atributy úlohy j: aj1 a aj2
Cena za nastavení s využitím aj1 pro úlohu j:
dvě po sobě jdoucí úlohy mají aj1 = ak1, pak cjk = |aj1 − ak1|
aj2 = ak2 = 1 a mezi j a k je (l − 1) úloh, pak ψ2(l) = max(3 − l, 0)
úlohy těsně po sobě (0 = l − 1), pak je penalizace max(3 − 1, 0) = 2
jedna úloha mezi nimi (1 = l − 1), pak je penalizace max(3 − 2, 0) = 1
více než jedna úloha mezi nimi (s), pak je penalizace max(3 − s, 0) = 0
Některé úlohy mají konečné termíny dokončení,
pokud překročeny, pak wj Tj brána v úvahu
Úlohy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
aj1 1 1 1 3 3 3 5 5 5 5
aj2 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0
dj ∞ 2 ∞ ∞ ∞ ∞ 6 ∞ ∞ ∞
wj 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 224 16. května 2022
Příklad: heuristika seskupování a distribuce (řešení)
3 skupiny dle aj1
Skupina A: úlohy 1,2,3 skupina B: úlohy 4,5,6
skupina C: úlohy 7,8,9,10
Nejlepší pořadí skupin
vzhledem k ceně za nastavení A, B, C nebo C, B, A
Ale úloha 7 nebo 2 by nebyla dokončena včas a cena za zpoždění
vysoká ⇒ výběr pořadí A, C, B
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 225 16. května 2022
Příklad: heuristika seskupování a distribuce (řešení)
3 skupiny dle aj1
Skupina A: úlohy 1,2,3 skupina B: úlohy 4,5,6
skupina C: úlohy 7,8,9,10
Nejlepší pořadí skupin
vzhledem k ceně za nastavení A, B, C nebo C, B, A
Ale úloha 7 nebo 2 by nebyla dokončena včas a cena za zpoždění
vysoká ⇒ výběr pořadí A, C, B
Úlohy s atributem 2 nutno distribuovat, optimální posloupnosti
minimalizující penalizaci ψ2
A: 2,1,3 atributy 1 0 1
C: 8,7,9,10 atributy 0 1 0 0
B: 5,4,6 atributy 1 0 1
cena 3 (první-třetí=1, třetí-pátý=1, osmý-desátý=1)
Celková cena: 6+3+0=9
(cena za nastavení+cena za distribuci+cena za zpoždění)
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 225 16. května 2022
Shrnutí
Montážní linka s flexibilním časem
př. výroba kopírek
cyklické rozvrhy
heuristika padnoucího profilu PF
Montážní linka s fixním časem
př. výroba automobilů
heuristika seskupování a distribuce
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování montážních systémů 226 16. května 2022
Rezervace
16. května 2022
33 Úvod
34 Intervalové rozvrhování
35 Rezervační systém s rezervou
Rezervační systém
m strojů zapojených paralelně
n úloh s
dobou provádění p1, . . . , pn
termíny dostupnosti r1, . . . , rn
termíny dokončení d1, . . . , dn
váhy w1, . . . , wn
Úloha musí být prováděna v rámci daného časového intervalu
termín dostupnosti a dokončení nelze porušit
Nemusí být možné realizovat všechny úlohy
Cíl: vyber podmnožinu úloh,
pro kterou existuje konzistentní rozvrh
která maximalizuje danou objektivní funkci
maximalizace počtu prováděných úloh
maximalizace celkového množství provádění
maximalizace profitu realizovaných úloh (zadané váhy)
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 228 16. května 2022
Základní modely
Systém bez rezervy
úlohy trvají od termínu dostupnosti do termínu dokončení, tj.
pj = dj − rj
mluvíme o pevných intervalech nebo o intervalovém rozvrhování
Systémy s rezervou
interval mezi termínem dostupnosti a dokončení může mít nějakou
rezervu, tj. pj ≤ dj − rj
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 229 16. května 2022
Aplikace rezervačních systémů
Pronájem aut
čtyři typy aut: subcompact, střední velikost, plná velikost, sportovní typ
pevné množství každého typu
stroj = typ auta
úloha = zákazník požadující auto
zákazník může požadovat určitý(é) typ(y) auta
úloha může být prováděna na podmnožině strojů
v případě nedostatku některého typu auta může být nabídnut
v některých případech silnější typ auta
Rezervace pokojů v hotelu
Rezervace strojů v továrně
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 230 16. května 2022
Intervalové rozvrhování
m strojů zapojených paralelně
n úloh, pro úlohu j zadán
termín dostupnosti rj
termín dokončení dj
doba provádění pj = dj − rj
množina Mj strojů, na kterých může být úloha j prováděna
wij : profit z provádění úlohy j na stroji i
Cíl: maximalizovat profit z prováděných úloh
wij = 1: maximalizovat počet realizovaných úloh
wij = wj : maximalizovat vážený počet realizovaných úloh
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 231 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Časové periody 1, . . . , H
Jl : množina úloh, která potřebuje provádění v čase l (známe předem!)
xij = 1 pokud je úloha j prováděna na stroji i
xij = 0 jinak
Maximalizace
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 232 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Časové periody 1, . . . , H
Jl : množina úloh, která potřebuje provádění v čase l (známe předem!)
xij = 1 pokud je úloha j prováděna na stroji i
xij = 0 jinak
Maximalizace
m
i=1
n
j=1
wij xij
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 232 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Časové periody 1, . . . , H
Jl : množina úloh, která potřebuje provádění v čase l (známe předem!)
xij = 1 pokud je úloha j prováděna na stroji i
xij = 0 jinak
Maximalizace
m
i=1
n
j=1
wij xij
za předpokladu:
úloha běží nejvýše na jednom stroji
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 232 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Časové periody 1, . . . , H
Jl : množina úloh, která potřebuje provádění v čase l (známe předem!)
xij = 1 pokud je úloha j prováděna na stroji i
xij = 0 jinak
Maximalizace
m
i=1
n
j=1
wij xij
za předpokladu:
úloha běží nejvýše na jednom stroji
m
i=1
xij ≤ 1 j = 1, . . . , n
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 232 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Časové periody 1, . . . , H
Jl : množina úloh, která potřebuje provádění v čase l (známe předem!)
xij = 1 pokud je úloha j prováděna na stroji i
xij = 0 jinak
Maximalizace
m
i=1
n
j=1
wij xij
za předpokladu:
úloha běží nejvýše na jednom stroji
m
i=1
xij ≤ 1 j = 1, . . . , n
v každém čase běží na každém stroji nejvýše jedna úloha
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 232 16. května 2022
Formulace celočíselného programování
Časové periody 1, . . . , H
Jl : množina úloh, která potřebuje provádění v čase l (známe předem!)
xij = 1 pokud je úloha j prováděna na stroji i
xij = 0 jinak
Maximalizace
m
i=1
n
j=1
wij xij
za předpokladu:
úloha běží nejvýše na jednom stroji
m
i=1
xij ≤ 1 j = 1, . . . , n
v každém čase běží na každém stroji nejvýše jedna úloha
j∈Jl
xij ≤ 1 i = 1, . . . , m l = 1, . . . , H
provádění úlohy j na stroji i: xij ∈ {0, 1}
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 232 16. května 2022
Jednotková doba trvání
Každá úloha je dostupná přesně 1 časovou jednotku
Co z toho plyne?
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 233 16. května 2022
Jednotková doba trvání
Každá úloha je dostupná přesně 1 časovou jednotku
Co z toho plyne? Problém lze rozdělit na nezavislé problémy
víme přesně, které úlohy i jsou prováděny v každé časové jednotce
jeden podproblém pro každou časovou jednotku
Výsledný problém pro časovou jednotku l:
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 233 16. května 2022
Jednotková doba trvání
Každá úloha je dostupná přesně 1 časovou jednotku
Co z toho plyne? Problém lze rozdělit na nezavislé problémy
víme přesně, které úlohy i jsou prováděny v každé časové jednotce
jeden podproblém pro každou časovou jednotku
Výsledný problém pro časovou jednotku l:
Maximalizace m
i=1
n
j=1
wij xij
za předpokladu
m
i=1
xij ≤ 1 j = 1, . . . , n
j∈Jl
xij ≤ 1 i = 1, . . . , m
xij ∈ {0, 1}
Jedná se o problém přiřazení (assignment problem)
problém řešitelný v polynomiálním čase
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 233 16. května 2022
Jednotková váha & identické stroje
wij = 1; Mj = {1, . . . , m} pro všechna i, j; obecná pj
tedy stroje jsou identické a
cíl je maximalizovat počet realizovaných úloh
nejednotková pj , nelze tedy řešit rozkladem v čase
Algoritmus dávající optimální řešení
Předpokládejme: r1 ≤ · · · ≤ rn
J = ∅ (J je množina už vybraných úloh pro provádění)
for j = 1 to n do
if existuje stroj dostupný v čase rj then
přiřaď j tomuto stroji
J := J ∪ {j}
else urči úlohu j∗
takovou, že Cj∗ = maxk∈J Ck = maxk∈J (rk + pk )
if Cj = rj + pj > Cj∗ then
nezařazuj j do J
else přiřaď j stroji j∗
J := J ∪ {j}\{j∗
}
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 234 16. května 2022
Příklad: jednotková váha & identické stroje
2 stroje a 8 úloh:
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
Iterace 1: j = 1
1
1050
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 235 16. května 2022
Příklad: jednotková váha & identické stroje
2 stroje a 8 úloh:
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
Iterace 1: j = 1
1
1050
M2
M1
Iterace 2: j = 2 2
1
1050
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 235 16. května 2022
Příklad: jednotková váha & identické stroje
2 stroje a 8 úloh:
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
Iterace 1: j = 1
1
1050
M2
M1
Iterace 2: j = 2 2
1
1050
M2
M1
Iterace 3: j = 3, j∗ = 1
3
2
1050
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 235 16. května 2022
Příklad: jednotková váha & identické stroje
2 stroje a 8 úloh:
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
Iterace 1: j = 1
1
1050
M2
M1
Iterace 2: j = 2 2
1
1050
M2
M1
Iterace 3: j = 3, j∗ = 1
3
2
1050
M2
M1
Iterace 4: j = 4 4
3
2
1050
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 235 16. května 2022
Příklad: jednotková váha & identické stroje
2 stroje a 8 úloh:
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
Iterace 5: j = 5
5
4
3
2
1050
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 236 16. května 2022
Příklad: jednotková váha & identické stroje
2 stroje a 8 úloh:
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
Iterace 5: j = 5
5
4
3
2
1050
M2
M1
Iterace 6: j = 6, j∗ = 4 6
53
2
1050
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 236 16. května 2022
Příklad: jednotková váha & identické stroje
2 stroje a 8 úloh:
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
Iterace 5: j = 5
5
4
3
2
1050
M2
M1
Iterace 6: j = 6, j∗ = 4 6
53
2
1050
M2
M1
Iterace 7: j = 7
7
6
53
2
1050
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 236 16. května 2022
Příklad: jednotková váha & identické stroje
2 stroje a 8 úloh:
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
Iterace 5: j = 5
5
4
3
2
1050
M2
M1
Iterace 6: j = 6, j∗ = 4 6
53
2
1050
M2
M1
Iterace 7: j = 7
7
6
53
2
1050
M2
M1
Iterace 8: j = 8, j∗ = 7
8
6
53
2
1050
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 236 16. května 2022
Jednotková váha
a nelimitovaný počet identických strojů
wij = 1 pro všechna i, j
Všechny úlohy musí být realizovány
Cíl: použít minimální počet strojů
Algoritmus dávající optimální řešení
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 237 16. května 2022
Jednotková váha
a nelimitovaný počet identických strojů
wij = 1 pro všechna i, j
Všechny úlohy musí být realizovány
Cíl: použít minimální počet strojů
Algoritmus dávající optimální řešení
Předpokladejme: r1 ≤ · · · ≤ rn
M = ∅ (M množina použitých strojů)
i := 0
for j = 1 to n do
if stroj z M je volný v rj
then
přiřaď j na volný stroj
else
i := i + 1
M := M ∪ {i}
přiřaď úlohu j na stroj i
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 237 16. května 2022
Příklad: jednotková váha a
nelimitovaný počet identických strojů
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
1
1050
M3
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 238 16. května 2022
Příklad: jednotková váha a
nelimitovaný počet identických strojů
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
1
1050
M3
M2
M1
2
1
1050
M3
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 238 16. května 2022
Příklad: jednotková váha a
nelimitovaný počet identických strojů
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
1
1050
M3
M2
M1
2
1
1050
M3
M2
M1
3
2
1
1050
M3
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 238 16. května 2022
Příklad: jednotková váha a
nelimitovaný počet identických strojů
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
4
3
2
1
1050
M3
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 239 16. května 2022
Příklad: jednotková váha a
nelimitovaný počet identických strojů
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
4
3
2
1
1050
M3
M2
M1
5
4
3
2
1
1050
M3
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 239 16. května 2022
Příklad: jednotková váha a
nelimitovaný počet identických strojů
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
4
3
2
1
1050
M3
M2
M1
5
4
3
2
1
1050
M3
M2
M1
6
6
5
4
3
2
1
1050
M3
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 239 16. května 2022
Příklad: jednotková váha a
nelimitovaný počet identických strojů
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
7
6
6
5
4
3
2
1
1050
M3
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 240 16. května 2022
Příklad: jednotková váha a
nelimitovaný počet identických strojů
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
7
6
6
5
4
3
2
1
1050
M3
M2
M1
8M4
7
6
6
5
4
3
2
1
1050
M3
M2
M1
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 240 16. května 2022
Barvení grafu
Problém barvení grafu
Je možné obarvit vrcholy grafu
s použitím n barev tak, aby žádné
dva sousední vrcholy nebyly
obarveny stejnou barvou?
Chromatické číslo grafu
Minimální počet barev n nutný
k obarvení grafu tak, by žádné dva
sousední vrcholy nebyly obarveny
stejnou barvou.
NP-úplný problém
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 241 16. května 2022
Reformulace na problém barvení grafu
Problém s jednotkovou vahou a nelimitovaným počtem identických strojů
lze reformulovat na problém barvení grafu
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 242 16. května 2022
Reformulace na problém barvení grafu
Problém s jednotkovou vahou a nelimitovaným počtem identických strojů
lze reformulovat na problém barvení grafu
vrchol = úloha
hrana (j, k) znamená, že se úlohy j a k překrývají v čase
každá barva odpovídá jednomu stroji
přiřaď barvu (tj. stroj) každému vrcholu tak, že dva sousední vrcholy
(překrývají se v čase) mají různou barvu (tj. stroje)
Poznámky:
obecný problém existence obarvení grafu m barvami je NP-úplný
uvažovaný rezervační problém je speciálním (jednodušším) případem
problému barvení grafu
heuristiky diskutovány v kapitole o timetabling
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 242 16. května 2022
Příklad: reformulace
j 1 2 3 4 5 6 7 8
rj 0 1 1 3 4 5 6 6
dj 5 3 4 7 6 7 9 8
Odpovídající řešení problému barvení grafu:
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
8
7
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
6
5
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
1
4
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©










































!!!"""###
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
(
(
(
(
(
(
(
(
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 243 16. května 2022
Rezervační systém s rezervou
Rezervační systém s rezervou: pj ≤ dj − rj
Triviální případ
doby provádění = 1, identické váhy, identické stroje
řešení opět dekompozicí v čase
Maximalizace váženého počtu aktivit
NP-těžký problém ⇒ řešení heuristikami
kompozitní řídící pravidlo
předzpracování:
určení flexibility úloh a strojů
algoritmus:
nejméně flexibilní úloha na nejméně flexibilním stroji první
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 244 16. května 2022
Předzpracování
ψit: počet úloh, které mohou být přiřazeny
na stroj i během intervalu [t − 1, t]
možné využití stroje i v čase t
čím vyšší hodnota, tím je zdroj i v tomto čase flexibilnější
|Mj |: počet strojů, které mohou být přiřazeny úloze j
čím vyšší hodnota, tím je úloha j flexibilnější
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 245 16. května 2022
Prioritní indexy
Prioritní index pro úlohu j: Ij = f (wj /pj , |Mj |)
uspořádání úloh podle: I1 ≤ I2 ≤ · · · ≤ In
čím menší je |Mj |, tím nižší je Ij
čím vyšší je wj /pj , tím nižší je Ij
snažíme se dát přednost kratším úlohám, protože maximalizujeme
počet vážených provedených aktivit a delší úlohy jsou náročnější
např. Ij =
|Mj |
wj /pj
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 246 16. května 2022
Prioritní indexy
Prioritní index pro úlohu j: Ij = f (wj /pj , |Mj |)
uspořádání úloh podle: I1 ≤ I2 ≤ · · · ≤ In
čím menší je |Mj |, tím nižší je Ij
čím vyšší je wj /pj , tím nižší je Ij
snažíme se dát přednost kratším úlohám, protože maximalizujeme
počet vážených provedených aktivit a delší úlohy jsou náročnější
např. Ij =
|Mj |
wj /pj
Prioritní index pro stroj
vybírá stroj pro úlohu
jestliže úloha potřebuje stroj v [t, t + pj ]
pak výběr stroje i záleží na funkci s faktory ψi,t+1, . . . , ψi,t+pj
, tj. na
g(ψi,t+1, . . . , ψi,t+pj
)
např. g(ψi,t+1, . . . , ψi,t+pj
) =
pj
l=1
ψi,t+l /pj
nebo g(ψi,t+1, . . . , ψi,t+pj
) = max(ψi,t+1, . . . , ψi,t+pj
)
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 246 16. května 2022
Algoritmus maximalizace
váženého počtu aktivit
1 j = 1
2 Vyber úlohu j s nejnižším Ij a
vyber mezi stroji a dostupnými časy zdroj a čas s nejnižší
g(ψi,t+1, . . . , ψi,t+pj
)
Zruš úlohu j jestliže nemůže být přiřazena ani jednomu stroji
v žádném čase
3 Jestliže j = n STOP
jinak nastav j = j + 1 a běž na krok 2
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 247 16. května 2022
Cvičení: maximalizace váženého počtu aktivit
Nalezněte rozvrh pro daný problém
Úlohy 1 2 3 4 5 6 7
pj 3 10 9 4 6 5 3
wj 2 3 3 2 1 2 3
rj 5 0 2 3 2 4 5
dj 12 10 20 15 18 19 14
Mj {1, 3} {1, 2} {1, 2, 3} {2, 3} {1} {1} {1, 2}
pro Ij =
|Mj |
wj /pj
a
g(ψi,t+1, . . . , ψi,t+pj
) =
pj
l=1 ψi,t+l /pj
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 248 16. května 2022
Cvičení: maximalizace váženého počtu aktivit
Nalezněte rozvrh pro daný problém
Úlohy 1 2 3 4 5 6 7
pj 3 10 9 4 6 5 3
wj 2 3 3 2 1 2 3
rj 5 0 2 3 2 4 5
dj 12 10 20 15 18 19 14
Mj {1, 3} {1, 2} {1, 2, 3} {2, 3} {1} {1} {1, 2}
pro Ij =
|Mj |
wj /pj
a
g(ψi,t+1, . . . , ψi,t+pj
) =
pj
l=1 ψi,t+l /pj
Řešení:
Úlohy 7 6 1 4 5 2
Stroje 2 1 3 3 1 2
Časy 11-14 14-19 5-8 11-15 2-8 0-10
úlohu 3 nelze umístit
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 248 16. května 2022
Shrnutí
Rezervace
Intervalové rozvrhování (rezervační systém bez rezervy)
celočíselné programování
jednotková doba trvání: formulace problému přiřazení
(řešení pro každou čas. jednotku zvlášť)
jednotková váha & identické stroje
(maximalizace počtu provedených aktivit)
jednotková váha & nelimitovaný počet identických strojů
Rezervační systém s rezervou
kompozitní řídící pravidlo
Hana Rudová, FI MU: Rezervace 249 16. května 2022
Rozvrhování jako timetabling
16. května 2022
36 Úvod
37 Rozvrhování s operátory
38 Rozvrhování s pracovní sílou
Rozvrhování = timetabling
Doposud: rozvrhování = scheduling
Nyní: rozvrhování = timetabling
důraz kladen na časové umístění objektů
vazby na časové uspořádání mezi objekty hrají malou roli
Omezení operátorů/nástrojů (operator/tool)
mnoho operátorů
úloha potřebuje jeden nebo více odlišných operátorů
úlohy vyžadující stejné operátory nemohou běžet zároveň
možné cíle:
rozvržení všech úloh v rámci časového horizontu H
nebo minimalizace makespan
Omezení pracovní síly
R identických pracovníků = jeden zdroj kapacity R
každá úloha potřebuje několik pracovníků
celkový počet pracovníků nesmí být nikdy překročen
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 251 16. května 2022
Rozvrhování jako
problém plánování projektu s omezenými zdroji
Problém plánování projektu s omezenými zdroji
resource-constrained project scheduling problem (RCPSP)
n úloh
N zdrojů
Ri kapacita zdroje i
pj doba provádění úlohy j
Rij požadavek úlohy j na zdroj i
Precj (přímí) předchůdci úlohy j
Rozvrhování s operátory
Ri = 1 pro všechna i = 1 . . . N
Rozvrhování s pracovní sílou
N = 1
Oba problémy rozvrhování stále velmi obtížné
i při pj = 1 NP-těžké
operátoři ≡ barvení grafu
pracovní síla ≡ bin-packing
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 252 16. května 2022
Rozvrhování s operátory jako barvení grafu
Omezíme se na problém s jednotkovou dobou trvání
Úloha = uzel
Úlohy potřebují stejného operátora = hrana mezi uzly
Přiřazení barev (= času) uzlům
sousední uzly musí mít různé barvy
tj. úlohy se stejným operátorem musí být prováděny v různých časech
Problém existence řešení
tj. zadán časový horizont H a hledám rozvrh v rámci horizontu
může být graf obarven H barvami?
Optimalizační problém
tj. minimalizace makespan
jaký nejmenší počet barev je třeba?
chromatické číslo grafu
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 253 16. května 2022
Heuristiky pro barvení grafu
Stupeň uzlu
počet hran spojených s uzlem
Úroveň saturace
počet různých barev spojených s uzlem
Intuice
obarvi uzly s vyšším stupněm dříve
obarvi uzly s vyšší úrovní saturace dříve
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 254 16. května 2022
Heuristiky pro barvení grafu
Stupeň uzlu
počet hran spojených s uzlem
Úroveň saturace
počet různých barev spojených s uzlem
Intuice
obarvi uzly s vyšším stupněm dříve
obarvi uzly s vyšší úrovní saturace dříve
Algoritmus
1 uspořádej uzly v klesajícím pořadí podle jejich stupně
2 použij barvu 1 pro první uzel
3 vyber neobarvený uzel s maximální úrovní saturace
v případě volby z nich vyber uzel
s maximálním stupněm v neobarveném podgrafu
4 obarvi vybraný uzel s nejmenší možnou barvou
5 jestliže jsou všechny uzly obarveny STOP
jinak běž na krok 3
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 254 16. května 2022
Příklad: rozvrhování schůzek
Vytvoř rozvrh pro 5 schůzek se 4 lidmi
schůzka = úloha, člověk = operátor
všechny schůzky trvají jednu hodinu
1 2 3 4 5
Joe 1 1 0 1 1
Lisa 1 1 1 0 0
Jane 1 0 1 0 0
Larry 0 1 0 1 1
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 255 16. května 2022
Příklad: rozvrhování schůzek
Vytvoř rozvrh pro 5 schůzek se 4 lidmi
schůzka = úloha, člověk = operátor
všechny schůzky trvají jednu hodinu
1 2 3 4 5
Joe 1 1 0 1 1
Lisa 1 1 1 0 0
Jane 1 0 1 0 0
Larry 0 1 0 1 1
2
1
5
3
4
stupen=4
stupen=3
stupen=4 stupen=2
stupen=3
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 255 16. května 2022
Příklad: rozvrhování schůzek
Vytvoř rozvrh pro 5 schůzek se 4 lidmi
schůzka = úloha, člověk = operátor
všechny schůzky trvají jednu hodinu
1 2 3 4 5
Joe 1 1 0 1 1
Lisa 1 1 1 0 0
Jane 1 0 1 0 0
Larry 0 1 0 1 1
2
1
5
3
4
stupen=4
stupen=3
stupen=4 stupen=2
stupen=3 5
1 3
2
4
Můžeme vybrat buď
úlohu 1 nebo úlohu 2
Např. vybereme 1 a obarvíme
barvou 1
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 255 16. května 2022
Příklad: rozvrhování schůzek (dokončení)
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 1 pro všechny úlohy
Vyber 2 vzhledem k nejvyššímu stupni
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 256 16. května 2022
Příklad: rozvrhování schůzek (dokončení)
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 1 pro všechny úlohy
Vyber 2 vzhledem k nejvyššímu stupni
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 2 pro všechny uzly
Vyber 4 vzhledem k nejvyššímu stupni
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 256 16. května 2022
Příklad: rozvrhování schůzek (dokončení)
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 1 pro všechny úlohy
Vyber 2 vzhledem k nejvyššímu stupni
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 2 pro všechny uzly
Vyber 4 vzhledem k nejvyššímu stupni
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 2 pro uzel 3
Úroveň saturace = 3 pro uzel 5
Vyber 5 na obarvení
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 256 16. května 2022
Příklad: rozvrhování schůzek (dokončení)
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 1 pro všechny úlohy
Vyber 2 vzhledem k nejvyššímu stupni
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 2 pro všechny uzly
Vyber 4 vzhledem k nejvyššímu stupni
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 2 pro uzel 3
Úroveň saturace = 3 pro uzel 5
Vyber 5 na obarvení
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
5
1 3
2
4
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 256 16. května 2022
Příklad: rozvrhování schůzek (dokončení)
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 1 pro všechny úlohy
Vyber 2 vzhledem k nejvyššímu stupni
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 2 pro všechny uzly
Vyber 4 vzhledem k nejvyššímu stupni
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
5
1 3
2
4
Úroveň saturace = 2 pro uzel 3
Úroveň saturace = 3 pro uzel 5
Vyber 5 na obarvení
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
¥
5
1 3
2
4
V posledním kroku obarvi 3
stejnou barvou jako 4
⇒celkem 4 barvy, tj. makespan=4
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 256 16. května 2022
Příklad: rezervace vs. rozvrhování s operátory
Předpokládejme, že máme rezervační systém
Úloha 1 2 3
pj 2 3 1
rj 0 2 3
dj 2 5 4
Lze přeformulovat na rozvrhování s operátory
Úloha 1 2 3
Operátor 1 1 0 0
Operátor 2 1 0 0
Operátor 3 0 1 0
Operátor 4 0 1 1
Operátor 5 0 1 0
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 257 16. května 2022
Příklad: rezervace vs. rozvrhování s operátory
Předpokládejme, že máme rezervační systém
Úloha 1 2 3
pj 2 3 1
rj 0 2 3
dj 2 5 4
Lze přeformulovat na rozvrhování s operátory
Úloha 1 2 3
Operátor 1 1 0 0
Operátor 2 1 0 0
Operátor 3 0 1 0
Operátor 4 0 1 1
Operátor 5 0 1 0
úloha 1 běží v čase [0,2]
úloha 2 běží v čase [2,5]
úloha 3 běží v čase [3,4]
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 257 16. května 2022
Vztah k rezervačním systémům
Rozvrhování s operátory blízké rezervačnímu systému bez rezervy
Oba problémy reformulovány na problém barvení grafu
rezervace: hrana = dvě úlohy se překrývají v čase
rozvrhování: hrana = dvě úlohy požadují stejného operátora
Rozdíl ve složitosti
rezervace: překrývající se časové jednotky jdou po sobě
rozvrhování: úlohy často nevyžadují pouze sousední operátory
⇒ rozvrhování s operátory je obtížnější problém
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 258 16. května 2022
Rozvrhování s pracovní sílou: aplikace
Řízení projektu ve stavebním průmyslu
dodavatel má realizovat n aktivit
doba trvání aktivity j je pj
aktivita j požaduje pracovní skupinu velikosti Wj
precedenční omezení na aktivity
dodavatel má W pracovníků
cíl: dokončit všechny aktivity v minimálním čase
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 259 16. května 2022
Rozvrhování s pracovní sílou: aplikace
Řízení projektu ve stavebním průmyslu
dodavatel má realizovat n aktivit
doba trvání aktivity j je pj
aktivita j požaduje pracovní skupinu velikosti Wj
precedenční omezení na aktivity
dodavatel má W pracovníků
cíl: dokončit všechny aktivity v minimálním čase
Rozvrhování zkoušek
všechny zkoušky mají stejnou dobu trvání
všechny zkoušky jsou v místnosti s W sedadly
počet studentů předmětu j, kteří skládají zkoušku, je Wj
několik zkoušek může být narozvrhováno ve stejné místnosti, pokud je
postačující počet sedadel
cíl: zkonstruovat rozvrh tak, že jsou všechny zkoušky narozvrhovány
v minimálním čase
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 259 16. května 2022
Reformulace pomocí problému plnění košů (bin-packing)
Problém plnění košů
každý koš má kapacitu W
předměty velikosti Wj
cíl: naplnit minimální počet košů
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 260 16. května 2022
Reformulace pomocí problému plnění košů (bin-packing)
Problém plnění košů
každý koš má kapacitu W
předměty velikosti Wj
cíl: naplnit minimální počet košů
Uvažujme speciální problém rozvrhování s pracovní silou
předpokládejme jednotkovou dobu trvání
nelimitovaný počet strojů
minimalizace makespan
Rozvrhování s pracovní silou jako problém plnění košů
předmět = úloha (s počtem pracovníků Wj )
kapacita koše = celkový počet pracovníků W
1 koš = 1 časová jednotka
minimalizace počtu košů = minimalizace makespan
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 260 16. května 2022
Reformulace pomocí problému plnění košů (bin-packing)
Problém plnění košů
každý koš má kapacitu W
předměty velikosti Wj
cíl: naplnit minimální počet košů
Uvažujme speciální problém rozvrhování s pracovní silou
předpokládejme jednotkovou dobu trvání
nelimitovaný počet strojů
minimalizace makespan
Rozvrhování s pracovní silou jako problém plnění košů
předmět = úloha (s počtem pracovníků Wj )
kapacita koše = celkový počet pracovníků W
1 koš = 1 časová jednotka
minimalizace počtu košů = minimalizace makespan
Řešení problému plnění košů
NP-těžký problém
vyvinuta řada heuristik
heuristika prvního padnoucího (first fit FF) koše
víme, že: Cmax (FF) ≤
17
10
Cmax (OPT) + 2
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 260 16. května 2022
Příklad: heuristika prvního padnoucího koše (FF)
Předpokládejme 18 úloh a W =2100
úloha 1-6 požaduje 301 jednotek zdroje
úloha 7-12 požaduje 701 jednotek zdroje
úloha 13-18 požaduje 1051 jednotek zdroje
FF heuristika:
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 261 16. května 2022
Příklad: heuristika prvního padnoucího koše (FF)
Předpokládejme 18 úloh a W =2100
úloha 1-6 požaduje 301 jednotek zdroje
úloha 7-12 požaduje 701 jednotek zdroje
úloha 13-18 požaduje 1051 jednotek zdroje
FF heuristika:
přiřadíme prvních 6 úloh na jeden zdroj (301×6=1806)
pak přiřadíme vždy dvě úlohy na další tři zdroje (701×2=1402)
pak přiřadíme právě jednu úlohu na každý zdroj
Velmi nekvalitní řešení vzhledem k uspořádání úloh
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 261 16. května 2022
Heuristika prvního padnoucí koše se zmenšováním úloh
Zlepšení FF heuristiky
Uspořádání úloh od nejdelší k nejkratší
První padnoucí koš se zmenšováním úloh
(first fit decreasing FFD)
Řešení příkladu:
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 262 16. května 2022
Heuristika prvního padnoucí koše se zmenšováním úloh
Zlepšení FF heuristiky
Uspořádání úloh od nejdelší k nejkratší
První padnoucí koš se zmenšováním úloh
(first fit decreasing FFD)
Řešení příkladu:
seřadíme úlohy dle požadovaných jednotek zdroje, tj.
13,14,15,16,17,18,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6
úlohy bereme postupně a dáváme je na první zdroj, kam se vejdou
13 dáme na zdroj 1, 14 dáme na zdroj 2, ..., 18 dáme na zdroj 6
7 dáme na zdroj 1, 8 dáme na zdroj 2, ..., 12 dáme na zdroj 6
1 dáme na zdroj 1, 2 dáme na zdroj 2, ..., 6 dáme na zdroj 6
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 262 16. května 2022
Heuristika prvního padnoucí koše se zmenšováním úloh
Zlepšení FF heuristiky
Uspořádání úloh od nejdelší k nejkratší
První padnoucí koš se zmenšováním úloh
(first fit decreasing FFD)
Řešení příkladu:
seřadíme úlohy dle požadovaných jednotek zdroje, tj.
13,14,15,16,17,18,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6
úlohy bereme postupně a dáváme je na první zdroj, kam se vejdou
13 dáme na zdroj 1, 14 dáme na zdroj 2, ..., 18 dáme na zdroj 6
7 dáme na zdroj 1, 8 dáme na zdroj 2, ..., 12 dáme na zdroj 6
1 dáme na zdroj 1, 2 dáme na zdroj 2, ..., 6 dáme na zdroj 6
Víme, že
Cmax (FFD) ≤
11
9
Cmax (OPT) + 4
FF i FFD mohou být rozšířeny
o různé termíny dostupnosti
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 262 16. května 2022
Diskuse
Uvažovali jsme reprezentanty různých problémů
V praxi
obecnější problémy (kombinace všech uvažovaných rysů problémů
zároveň)
dynamické rezervační problémy
uvažování ceny (management zisku)
přerušení aktivit
. . .
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 263 16. května 2022
Shrnutí
Rezervace
Intervalové rozvrhování (rezervační systém bez rezervy)
celočíselné programování
jednotková doba trvání: formulace problému přiřazení
(řešení pro každou čas. jednotku zvlášť)
jednotková váha & identické stroje
(maximalizace počtu provedených aktivit)
jednotková váha & nelimitovaný počet identických strojů
Rezervační systém s rezervou
kompozitní řídící pravidlo
Timetabling
plánování projektu s omezenými zdroji (RCPSP)
rozvrhování s operátory a barvení grafu
heuristika pro barvení grafu
rozvrhování s pracovní silou a problém plnění košů
heuristika prvního padnoucího koše
heuristika prvního padnoucího koše se zmenšováním úloh
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování jako timetabling 264 16. května 2022
Rozvrhování předmětů na univerzitě
16. května 2022
39 Popis problému
40 Iniciální tvorba rozvrhu
41 Interaktivní rozvrhování
Rozvrhování předmětů na univerzitě
Typy problémů
rozvrhování se studijními obory (curriculum-based timetabling)
curriculum (studijní obor): množina předmětů
každý studen je zapsán do (jednoho nebo více) curricula
cíl: rozvrhování všech předmětů curricula bez překrývání
typické také pro rozvrhování na střední škole
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 266 16. května 2022
Rozvrhování předmětů na univerzitě
Typy problémů
rozvrhování se studijními obory (curriculum-based timetabling)
curriculum (studijní obor): množina předmětů
každý studen je zapsán do (jednoho nebo více) curricula
cíl: rozvrhování všech předmětů curricula bez překrývání
typické také pro rozvrhování na střední škole
rozvrhování se zápisy studentů (enrollment-based timetabling)
každý student je individuálně zapsán/zaregistrován do nějaké množiny
předmětů
studentský konflikt: student není schopen absolvovat
(dva) zaregistrované předměty vzhledem k jejich překryvu
cíl: nalezení rozvrhu, který minimalizuje počet studenských konfliktů
př. rozvrhování na FI
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 266 16. května 2022
Rozvrhování předmětů na univerzitě
Typy problémů
rozvrhování se studijními obory (curriculum-based timetabling)
curriculum (studijní obor): množina předmětů
každý studen je zapsán do (jednoho nebo více) curricula
cíl: rozvrhování všech předmětů curricula bez překrývání
typické také pro rozvrhování na střední škole
rozvrhování se zápisy studentů (enrollment-based timetabling)
každý student je individuálně zapsán/zaregistrován do nějaké množiny
předmětů
studentský konflikt: student není schopen absolvovat
(dva) zaregistrované předměty vzhledem k jejich překryvu
cíl: nalezení rozvrhu, který minimalizuje počet studenských konfliktů
př. rozvrhování na FI
dělení studentů na skupiny (student sectioning/student scheduling)
dělení studentů na skupiny pro velké předměty, kde je nutné několik
seminárních nebo přednáškových skupin
Iniciální tvorba rozvrhu (vytvoření rozvrhu ze začátku) vs.
Interaktivní rozvrhování: změny vytvořeného rozvrhu
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 266 16. května 2022
Rozvrhovací systém UniTime http://www.unitime.org
Vyvinutý na Purdue University (USA) ve spolupráci s FI MU a MFF UK
Komplexní systém pro univerzitní rozvrhování
rozvrhování předmětů se studijními obory i i se zápisy
dělení studentů na skupiny
iniciální tvorba rozvrhu, interaktivní rozvrhování
rozvrhování studentů, zkoušek, událostí
otevřený zdrojový kód
webové rozhraní, Java, SQL+hibernate, XML
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 267 16. května 2022
Rozvrhovací systém UniTime http://www.unitime.org
Vyvinutý na Purdue University (USA) ve spolupráci s FI MU a MFF UK
Komplexní systém pro univerzitní rozvrhování
rozvrhování předmětů se studijními obory i i se zápisy
dělení studentů na skupiny
iniciální tvorba rozvrhu, interaktivní rozvrhování
rozvrhování studentů, zkoušek, událostí
otevřený zdrojový kód
webové rozhraní, Java, SQL+hibernate, XML
Použití
používáno pro rozvrhování na Purdue University
70 různých problemů, celkem asi 40 000 studentů
Masarykova univerzita: používáno na téměř všech fakultách
např. MIT, USA, Lahore University of Management Sciences,
Pakistán, University of Zagreb, Chorvatsko, AGH University of Science
and Technology, Polsko, Antalya International University, Turecko,
Universidad de Ingeniería y Tecnología (UTEC), Peru, American
College of Middle East (ACM), Kuwait
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 267 16. května 2022
Literatura
Materiál k přednášce
přehledová práce – rozvrhování na Purdue University
H. Rudová, T. Müller, K. Murray, Complex university course timetabling.
Journal of Scheduling, 14(2): 187-207, Springer, 2011.
http://dx.doi.org/10.1007/s10479-010-0828-5
Další materiály
http://www.unitime.org/publications.php
rozvrhování na Filozofické fakultě MU
H. Rudová and T. Müller, Rapid Development of University Course
Timetables (extended abstract). Proceedings of the 5th Multidisciplinary
International Scheduling Conference (MISTA 2011), pages 649–652. 2011
http://www.fi.muni.cz/~hanka/publ/mista11.pdf
rozvrhování na Pedagogické fakultě MU a FSpS
T. Müller, H. Rudová, Real-life Curriculum-based Timetabling with Elective
Courses and Course Sections. Annals of Operations Research,
239(1):153-170, Springer, 2016.
http://dx.doi.org/10.1007/s10479-014-1643-1
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 268 16. května 2022
Struktura předmětu s jeho třídami (vyučovanými částmi)
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 269 16. května 2022
Typická omezení
Pevná Měkká
omezení omezení
Časy pro třídy∗ časové vzory (pro pravidelné časy) x
individuální časy x x
Místnosti pro třídy individuální budovy/místnosti x x
individuální vybavení místnosti x x
Omezení místnosti x
na zdroje vyučující x
Studenti konflikty mezi dvěma třídami x
časové závislosti mezi třídami x x
Distribuční časové precedence mezi třídami x x
omezení třídy rozvrhované v podobných časech x x
mezi třídami stejný nebo odlišný
den/čas/místnost výuky pro třídy x x
∗Třída je každá rozvrhovaná položka předmětu (přednáška, cvičení, ...)
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 270 16. května 2022
Omezení a účelové funkce
Pevné podmínky
musí být splněny
Měkké podmínky
nemusí být splněny, pokud je to nutné
Měkké podmínky v rozvrhování: přehled
studentské konflikty
měkká omezení na čas
měkká omezení na místností
měkké distribuční podmínky
Vážený problém splňování podmínek (weighted CSP, WCSP) P
zahrnuje pevné a měkké podmínky
cíl: minimalizace F jako součtu vah nesplněných měkkých podmínek
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 271 16. května 2022
Iterativní dopředné prohledávání
(Iterative Forward Search, IFS) pro WCSP
P: WCSP, F: účelová funkce, <: komparátor
1: function IFS(P, F, <)
2: i = 0
3: ω = ∅ (současné přiřazení/rozvrh)
4: σ = ∅ (nejlepší přiřazení/rozvrh)
5: while canContinue(ω, i) do
6: i = i + 1
7: v = selectVariable(P, ω) (v reprezentuje třídu)
8: d = selectValue(P, ω, F, <, v) (d reprezentuje umístění v rozvrhu)
9: γ = hardConflicts(P, ω, v/d) (předměty, které musím odpřiřadit)
10: ω = ω\γ ∪ {v/d}
11: if F(ω) < F(σ) then σ = ω
12: end while
13: return σ
14: end function
Poznámka: není používána žádná propagace omezení
proměnná má buď přiřazenu iniciální hodnotu nebo má plnou iniciální doménu
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 272 16. května 2022
Funkce v IFS
Nalezení konfliktních proměnných γ = hardConflicts (P, ω, v/d)
vypočítá množinu proměnných γ takovou, že ω\γ ∪ {v/d} neporuší
žádnou pevnou podmínku
lze aplikovat jednoduchý algoritmus – vyšší počet iterací je lepší než
sofistikovány algoritmus
Výběr proměnné selectVariable(P, ω)
nevýznamný – chyby mohou být odstraněny budoucími iteracemi
aplikováno náhodné uspořádání
Výběr hodnoty selectValue(P, ω, F, <, v)
velmi důležitý
pro minimalizaci porušení měkkých podmínek:
výběr hodnoty d proměnné v s minimálním zhoršením ∆F(ω, v/d)
hodnoty účelové funkce s ohledem na měkká omezení
∆F(ω, v/d) = F(ω ∪ {v/d}) − F(ω) (výpočet inkrementální)
pro minimalizaci porušení pevných podmínek: konfliktní statistika
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 273 16. května 2022
Konfliktní statistika pro třídu CS 101 Lab 2
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 274 16. května 2022
Konfliktní statistika
Předpoklad: při výběru hodnoty a proměnné A je nutné
zrušit přiřazení hodnoty b proměnné B, tj. [A = a → ¬ B = b]
V průběhu výpočtu si tedy lze pamatovat:
A = a ⇒ 3׬ B = b, 4׬ B = c, 1׬ C = a, 120׬ D = a
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 275 16. května 2022
Konfliktní statistika
Předpoklad: při výběru hodnoty a proměnné A je nutné
zrušit přiřazení hodnoty b proměnné B, tj. [A = a → ¬ B = b]
V průběhu výpočtu si tedy lze pamatovat:
A = a ⇒ 3׬ B = b, 4׬ B = c, 1׬ C = a, 120׬ D = a
Při výběru hodnoty
výběr hodnoty s nejnižším počtem konfliktů váženým jejich frekvencí
konflikt započítáme pouze, pokud to vede k odstranění přiřazení
př. A = a ⇒ 3 × ¬ B = b, 90 × ¬ B = c,
1 × ¬ C = a, 120 × ¬ D = a
A = b ⇒ 1 × ¬ B = a, 3 × ¬ B = b, 2 × ¬ C = a
za předpokladu, že máme přiřazení B = c, C = a, D = b
nechť A/a vede ke konfliktu s B/c: vyhodnoceno jako 90
není konflikt s C/a, tak se nezapočítává
nechť A/b vede ke konfliktu s C/a: vyhodnoceno jako 2
tj. vybereme hodnotu b pro proměnnou A
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 275 16. května 2022
Konfliktní statistika II.
CBS[x = dx → ¬ y = dy ] = cxy : při přiřazení x = dx bylo nutné
zrušit přiřazení y = dy v minulosti cxy-krát
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 276 16. května 2022
Konfliktní statistika II.
CBS[x = dx → ¬ y = dy ] = cxy : při přiřazení x = dx bylo nutné
zrušit přiřazení y = dy v minulosti cxy-krát
Jestliže je hodnota d vybrána pro proměnnou v v IFS,
potom hardConflicts(P, ω, v/d) vypočítá přiřazení
γ = {v1/d1, v2/d2, . . . vn/dn}, které musí být zrušeno, aby byla
vynucena konzistence nového částečného přiřazení
Jako důsledek jsou navýšeny čítače
CBS[v = d → ¬ v1 = d1], CBS[v = d → ¬ v2 = d2], ...,
CBS[v = d → ¬ vn = dn] .
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 276 16. května 2022
Konfliktní statistika II.
CBS[x = dx → ¬ y = dy ] = cxy : při přiřazení x = dx bylo nutné
zrušit přiřazení y = dy v minulosti cxy-krát
Jestliže je hodnota d vybrána pro proměnnou v v IFS,
potom hardConflicts(P, ω, v/d) vypočítá přiřazení
γ = {v1/d1, v2/d2, . . . vn/dn}, které musí být zrušeno, aby byla
vynucena konzistence nového částečného přiřazení
Jako důsledek jsou navýšeny čítače
CBS[v = d → ¬ v1 = d1], CBS[v = d → ¬ v2 = d2], ...,
CBS[v = d → ¬ vn = dn] .
Konfliktní statistika je používána jako heuristika pro výběr hodnoty
Evaluace hodnoty d proměnné v:
vi /di ∈ω ∧ vi /di ∈hardConflicts(P,ω,v/d)
CBS[v = d → ¬vi = di ]
tj. konflikt započítáme pouze tehdy, pokud to vede k odstranění přiřazení
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 276 16. května 2022
Interaktivní rozvrhování: návrhy
Uvažovány změny s třídou PSY 120 Lec 5
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 277 16. května 2022
Opravná verze metody větví a mezí (Repair-based BB)
Algoritmus
n nejlepších návrhů ω je vráceno uživateli
prohledávání s časovým limitem
hodnoty s nejlepší ∆F(ω, v/d) prozkoumávány nejdříve
konfliktní statistika není brána v úvahu vzhledem k výpočetní náročnosti
Meze
omezená hloubka prohledávání
abychom umožnili pouze malý počet změn proměnných
pro zahrnutí změny na jedné třídě
nemá smysl měnit příliš mnoho dalších tříd
M: maximální hloubka
hodnota účelové funkce F musí být lepší než n-tý nejlepší návrh
Ω[n]: n-tý nejlepší návrh
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 278 16. května 2022
Opravná verze metody větví a mezí (Repair-based BB)
Algoritmus
n nejlepších návrhů ω je vráceno uživateli
prohledávání s časovým limitem
hodnoty s nejlepší ∆F(ω, v/d) prozkoumávány nejdříve
konfliktní statistika není brána v úvahu vzhledem k výpočetní náročnosti
Meze
omezená hloubka prohledávání
abychom umožnili pouze malý počet změn proměnných
pro zahrnutí změny na jedné třídě
nemá smysl měnit příliš mnoho dalších tříd
M: maximální hloubka
hodnota účelové funkce F musí být lepší než n-tý nejlepší návrh
Ω[n]: n-tý nejlepší návrh
Opakování RepairBB: provádění nového RepairBB
se zvětšenou hloubkou prohledávání a/nebo
zvětšeným časovým limitem
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 278 16. května 2022
Opravná verze metody větví a mezí
P: WCSP
ω: současné přiřazení
vbb: proměnná (třída), která bude přiřazována
1: function RepairBB(P, ω, vbb)
2: if {vbb/d} ⊆ ω then ω = ω\{vbb/d}
3: else d = nil
4: γ = {vbb/d}
5: return backtrack(P, ω, ∅, γ, ∅, 0)
6: end function
backtrack(P, ω, µ, γ, Ω, m)
µ: nově vybrané přiřazení aktuálním prohledáváním do hloubky
γ: proměnné (s případným původním přiřazením),
pro které hledáme přiřazení
Ω: návrhy (několik dosud nejlepších nalezených přiřazení)
m: aktuální hloubka prohledávání
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 279 16. května 2022
Funkce backtrack
1: function backtrack(P, ω, µ, γ, Ω, m)
2: if γ + m > M then return ∅ (M je maximální hloubka)
3: if γ = ∅ then return ω (konflikty vyřešeny)
4: if timeout then return ∅
5: if LowerBound(F(ω ∪ γ)) ≥ F(Ω[n]) then return ∅
(odhad kvality nového přiřazení (po zahrnutí γ) je horší než n-tý návrh)
6: v = selectVariableBB(γ) (je vybrána některá nepřiřazená proměnná)
7: let v/do ∈ γ (d0 je původní hodnota proměnné v)
8: for d ∈ Dv ordered by ∆F(ω, v/d) do
9: if d = do then continue (je vybrána původní hodnota)
10: α = hardConflicts(P, ω, v/d)
11: if α ∩ µ = ∅ then continue (konflikt s už vybraným přiřazením)
12: Ω = Ω ∪ backtrack(P, ω ∪ {v/d}, µ ∪ {v/d},
γ\{v/do} ∪ α, Ω, m + 1)
13: end for
14: return Ω
15: end function
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 280 16. května 2022
UniTime.org: GUI s vygenerovaným rozvrhem
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 281 16. května 2022
Fakulta informatiky MU
Jaro 2014 Podzim 2014
Místnosti 14+5 14+6
Vyučující 197 231
Předměty 190 199
Třídy 500 604
Registrace 12 701+ 14 055+
Registrace + obory 17 599 20 670
Konflikty dop.průchody 4x
Konflikty 958 1 440
Preference na čas 75,89 % 78,2 %
+
odstraněny registrace cca 25 studentů s více než 20 předměty
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 282 16. května 2022
International Timetabling Competition 2019
Mezinárodní soutěž, kterou organizovala i FI MU
https://www.itc2019.org
rozvrhování univerzitních předmětů
Vychází z reálných problémů shromážděných v systému UniTime
řešení problémů z celého světa včetně rozvrhování FI MU
anonymizovaná data
málo významné charakteristiky problémů odstraněny
snaha soustředit se na důležité rysy problému
Průběh soutěže
3 × 10 datových sad publikováno během soutěžního období
dostupný validátor řešení – založený na řešiči UniTime
submitování validních řešení přes web soutěže
Výsledky
zahrnuty tři problémy z FI MU
vítězný řešič časově náročný
matheuristika: matematické programování kombinované s heuristikami
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 283 16. května 2022
International Timetabling Competition 2019
Mezinárodní soutěž, kterou organizovala i FI MU
https://www.itc2019.org
rozvrhování univerzitních předmětů
Vychází z reálných problémů shromážděných v systému UniTime
řešení problémů z celého světa včetně rozvrhování FI MU
anonymizovaná data
málo významné charakteristiky problémů odstraněny
snaha soustředit se na důležité rysy problému
Průběh soutěže
3 × 10 datových sad publikováno během soutěžního období
dostupný validátor řešení – založený na řešiči UniTime
submitování validních řešení přes web soutěže
Výsledky
zahrnuty tři problémy z FI MU
vítězný řešič časově náročný (výsledky po 24 hodinách i déle)
matheuristika: matematické programování kombinované s heuristikami
řešič založený na UniTime druhý nejlepší
schopný produkovat výsledky v krátkém čase (hodina až dvě)
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 283 16. května 2022
Rozvrhování předmětů na univerzitě: shrnutí
Typy řešených problémů
studijní obory, zápisy, dělení na skupiny
iniciální vs. interaktivní rozvrhování
UniTime
Model problému
struktura předmětu
omezení a účelové funkce
Prohledávání
iterativní dopředné prohledávání
konfliktní statistika
opravná verze metody větví a mezí
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 284 16. května 2022
Zdroje, ze kterých průsvitky čerpají
V průsvitkách jsou použity obrázky a texty z uvedených zdrojů
Michael Pinedo, Planning and Scheduling in Manufacturing and Services.
Springer, 2005.
Erwin Hans, Johann Hurink, Production Planning. Přednáška na University of Twente,
Nizozemí. http://www.stern.nyu.edu/om/faculty/pinedo/book2/dowload.html
Sanja Petrovič, Automated Scheduling. Přednáška na University of Nottingham, UK.
Sigurdur Olafsson, Production Scheduling. Přednáška na Iowa State University, USA,
http://www.stern.nyu.edu/om/faculty/pinedo/book2/dowload.html
Roman Barták, Plánování a rozvrhování. Přednáška na MFF UK,
http://kti.ms.mff.cuni.cz/~bartak/planovani/prednaska.html
Thom Frühwirth and Slim Abdennadher. Essentials of Constraint Programming, Springer
Verlag, 2003.
http://www.informatik.uni-ulm.de/pm/fileadmin/pm/home/fruehwirth/pisa/
Hana Rudová, Tomáš Müller and Keith Murray, Complex university course timetabling.
Journal of Scheduling, 14(2): 187-207, Springer, 2011.
http://dx.doi.org/10.1007/s10951-010-0171-3
IBM ILOG CP optimizer for scheduling, Philippe Laborie et al., Constraints,
23(2):210-250, 2018
Hana Rudová, FI MU: Rozvrhování předmětů na univerzitě 285 16. května 2022