\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  4. cvičení z MB141, jaro 2023}
\end{center}
\bigskip

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
V šifrovacím systému RSA s veřejným klíčem skládajícím se z modulu $n=2021$ a exponentu $e=11$ došlo k prozrazení faktorizace $n = p \cdot q=43\cdot 47$. S její pomocí dešifrujte zprávu $c = 21$. Při výpočtu mocniny $c^d \mod{2021}$ počítejte zvlášť modulo $43$ a modulo $47$ a tyto mezivýsledky pak dejte dohromady.
\end{zad}
\begin{res} $d=527$, $c^d\equiv 11 \mod 43$, $c^d\equiv 34 \mod 47$, zpráva je $269$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
Najděte všechny primitivní kořeny  modulo $26$.
 \end{zad}
\begin{res} $7, 11, 15, 19$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 3b
\begin{zad}{\bf 3a.\ } Alice a Bob komunikují šífrou ElGamal. Oba se dohodli na prvočísle  $p = 41$ a primitivním kořenu $g=11$. Alice si zvolila soukromý klíč $x = 10$. Jaký údaj poskytla Bobovi? Bobův tajný klíč je $y$.  Bob poslal Alici zprávu $(g^y=22, c=6)$. Pomozte Alici 
s dešifrováním?
\end{zad}
\begin{res} Při počítání $\mod 41$ je $g^x\equiv 11^{10}\equiv 9$,  $g^{xy}\equiv (g^y)^x\equiv 22^{10}\equiv 32$, inverze k němu je $9$, $m\equiv c\cdot 9\equiv 6\cdot 9\equiv 13$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 3b
\begin{zad}{\bf 3b.\ }
V ElGamalově šifrovacím systému si Alice zvolila veřejný klíč sestávající z~prvočísla $p = 997$, primitivního kořene $g=11$ a jeho mocniny $g^x$ (kde exponent $x = 23$ je soukromý). Bob si pro komunikaci s Alicí zvolil soukromý klíč $y = 25$ a poslal jí svůj veřejný klíč $g^y$. Pomocí společného soukromého klíče $g^{xy}$ pak zašifroval zprávu $m$ a výslednou zprávu $c=20$ poslal Alici. Jak ji bude Alice dešifrovat?
\end{zad}
\begin{res} Při počítání $\mod 997$ je $g^x\equiv 11^{23}\equiv 659$, $g^y\equiv 11^{25}\equiv 976$, $g^{xy}\equiv (g^y)^x\equiv 976^{23}\equiv 950$, inverze k němu je $-297$, $m\equiv c\cdot (-297)\equiv 42$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } Řešte soustavu rovnic s neznámými v $\mathbb R$
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
x_1&+&2x_2&+&x_3&+ &3x_4&+&2x_5&=&-8\\
2x_1&+&x_2&+&x_3&+ &x_4&+&3x_5&=&1\\
x_1& &&+&x_3&-&x_4&+&2x_5&=&0\\
x_1&+&2x_2&+&2x_3&+&2x_4&+&3x_5&=&0
\end{array}$$
Řešte stejnou soustavu v $\mathbb Z_{13}$, zbytkových třídách modulo 13.
\end{zad}

\begin{res} V $\mathbb R$  nemá řešení. V $\mathbb Z_{13}$ má více řešení. 
\end{res}


\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }  Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
x_1&+&2x_2&+&x_3&- &x_4&+&x_5&=&0\\
2x_1&+&x_2&+&2x_3&- &2x_4&+&2x_5&=&0\\
2x_1& &&+&x_3&-&x_4&+&2x_5&=&-1\\
x_1&+&x_2&+&2x_3&-&2x_4&+&x_5&=&1
\end{array}$$
\end{zad}
\begin{res} 
$[-1,0,1,0,0]+s(0,0,1,1,0)+t(-1,0,0,0,1)$

\parindent=0pt
http://www.math.muni.cz/~xfrancirekp/vyuka/seste$\_$cviceni/sedme$\_$cviceni.pdf
\end{res}

\medskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcr}
2x_1&-&x_2&+&x_3&- &x_4&=&1\\
2x_1&-&x_2& & &- &3x_4&=&2\\
3x_1& &&-&x_3&+&x_4&=&-3\\
2x_1&+&2x_2&-&2x_3&+&5x_4&=&-6
\end{array}$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
Zjistěte, zda jde matice násobit , a pokud ano, vynásobte je.
$$
\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2&8\\
-1&-5\\
9&11
\end{pmatrix},\quad 
\begin{pmatrix}
2&8\\
-1&-5\\
9&11
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
\end{pmatrix},
$$
$$
\begin{pmatrix}
2&8&3&21&5
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
9\\
-6\\
3
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
9\\
-6\\
3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2&8&3&21&5
\end{pmatrix}
$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ } 
V rovině jsou dány body $A=[-3+\sqrt 3, -1+2\sqrt 3]$, $B=[3,-4]$, vektor $\vec{v}=(6,3)$
a přímka $p:\ y-2x+7=0$. 
\begin{enumerate}
\item[a)] Určete parametrický a obecný popis přímky procházející  body $A$ a $B$.
\item[b)] Určete přímku $r$, která je rovnoběžná s pčímkou $p$ a prochází bodem $A$.
\item[c)] Určete přímku $q$ určenou bodem $B$ a vektorem $\vec v$.
\item[d)] Spočítejte průsečík přímek $q$ a $r$ (pokud existuje).
\item[e)] Spočítejte obsah trojúhelníka $ABC$. 
\item[f)] Rozhodněte, zda bod $O=[0,0]$ leží uvnitř trojúhelníka $ABC$.
\item[g)] Určete, které strany trojúhelníka $ABC$ jsou vidět z bodu $D=[-1,4]$. 
\item[h)] Spočtěte úhel při vrcholu $B$. 
\end{enumerate}
\end{zad}

\begin{res} 
http://www.math.muni.cz/~xfrancirekp/vyuka/seste$\_$cviceni/seste$\_$cviceni.pdf
\end{res}

\end{document}



