4. cvičení z MB141, jaro 2023
Příklad. 1. V šifrovacím systému RSA s veřejným klíčem skládajícím se z modulu n = 2021 a exponentu e = 11 došlo k prozrazení faktorizace n = p ■ q = 43 • 47. S její pomocí dešifrujte zprávu c = 21. Při výpočtu mocniny cd mod 2021 počítejte zvlášť modulo 43 a modulo 47 a tyto mezivýsledky pak dejte dohromady.
Řešení, d = 527, cd = 11 mod 43, cd = 34 mod 47, zpráva je 269. □ Příklad. 2. Najděte všechny primitivní kořeny modulo 26.
Řešení. 7,11,15,19. □
Příklad. 3a. Alice a Bob komunikují šifrou ElGamal. Oba se dohodli na prvočísle p = 41 a primitivním kořenu g = 11. Alice si zvolila soukromý klíč x = 10. Jaký údaj poskytla Bobovi? Bobův tajný klíč je y. Bob poslal Alici zprávu (gv = 22, c = 6). Pomozte Alici s dešifrováním?
Řešení. Při počítání mod 41 je gx = ll10 = 9, gxy = (gy)x = 2210 = 32, inverze k němu je 9, m = c • 9 = 6 • 9 = 13. □
Příklad. 3b. V ElGamalově šifrovacím systému si Alice zvolila veřejný klíč sestávající z prvočísla p = 997, primitivního kořene g = 11 a jeho mocniny gx (kde exponent x = 23 je soukromý). Bob si pro komunikaci s Alicí zvolil soukromý klíč y = 25 a poslal jí svůj veřejný klíč gy. Pomocí společného soukromého klíče gxy pak zašifroval zprávu m a výslednou zprávu c = 20 poslal Alici. Jak ji bude Alice dešifrovat?
Řešení. Připočítání mod 997 je gx = ll23 = 659, gy = ll25 = 976, gxy = (gy)x = 97623 = 950, inverze k němu je -297, m = c ■ (-297) = 42. □
Příklad. 4. Řešte soustavu rovnic s neznámými v IR
X\ + 2X2 + %3 + 3^4 + 2^5 = —8
2X\ + X2 + %3 + %4 + 3x5 = 1
X\ + rr3 — rr4 + 2rr5 = 0
X! + 2rr2 + 2x3 + 2rr4 + 3x5 = 0
Řešte stejnou soustavu v Zi3, zbytkových třídách modulo 13.
Řešení. V IR nemá řešení. V Z13 má více řešení. □ Příklad. 5. Řešte soustavu rovnic
X\ -	h  2x2 -	h     X3 -	x4 H	h     2:5 =	0
2xi -	h     X2 -	h  2x3 -	2x4 H	h   2x5 =	0
		\-    x3 -	x4 H	h   2x5 =	-1
XX -	1-    x2 -	h  2x3 -	2x4 H	^     x5 =	1
fesem'. [-1,0,1,0,0] + s(0,0,1,1, 0) + ŕ(-l, 0,0, 0,1)
http://www.math.muni.cz/ xfrancirekp/vyuka/seste_cviceni/sedme_cviceni.pdf □
1
2
Příklad. 6. Řešte soustavu rovnic
2X\    —      X2 +      3?3 — X4 = 1
2xi   —    X2 — 3x4 = 2
3xi —    x% + X4 = —3
2xi   +  2^2 —  2^3 + 5^4 = —6
Příklad. 7. Zjistěte, zda jde matice násobit, a pokud ano, vynásobte je
2     8 \       / 2
-1 -5 9 11
3 5 6 7 -2105
2  8  3  21 5)
/2\
-1 9
-6
v3 y
3 5 6 7 -2105
• 2
3  21 5)
Příklad. 8. V rovině jsou dány body A = [-3 + y/Š, -1 + 2y/Š], B = [3, -4], vektor v = (6, 3) a přímka p : y — 2x + 7 = 0.
a) Určete parametrický a obecný popis přímky procházející body A a B.
b) Určete přímku r, která je rovnoběžná s pčímkou p a prochází bodem A.
c) Určete přímku q určenou bodem B a vektorem v.
d) Spočítejte průsečík přímek q ar (pokud existuje).
e) Spočítejte obsah trojúhelníka ABC.
f) Rozhodněte, zda bod O = [0, 0] leží uvnitř trojúhelníka ABC.
g) Určete, které strany trojúhelníka ABC jsou vidět z bodu D = [—1,4].
h) Spočtěte úhel při vrcholu B.
Řešení, http://www.math.muni.cz/ xfrancirekp/vyuka/seste_cviceni/seste_cviceni.pdf □