\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  5. cvičení z MB141, jaro 2023}
\end{center}
\bigskip

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Řešte soustavu rovnic s neznámými v $\mathbb R$
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
x_1&+&2x_2&+&x_3&+ &3x_4&+&2x_5&=&-8\\
2x_1&+&x_2&+&x_3&+ &x_4&+&3x_5&=&1\\
x_1& &&+&x_3&-&x_4&+&2x_5&=&0\\
x_1&+&2x_2&+&2x_3&+&2x_4&+&3x_5&=&0
\end{array}$$
Řešte stejnou soustavu v $\mathbb Z_{13}$, zbytkových třídách modulo 13.
\end{zad}

\begin{res} V $\mathbb R$  nemá řešení. V $\mathbb Z_{13}$ má více řešení. 
\end{res}


\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }  Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
x_1&+&2x_2&+&x_3&- &x_4&+&x_5&=&0\\
2x_1&+&x_2&+&2x_3&- &2x_4&+&2x_5&=&0\\
2x_1& &&+&x_3&-&x_4&+&2x_5&=&-1\\
x_1&+&x_2&+&2x_3&-&2x_4&+&x_5&=&1
\end{array}$$
\end{zad}
\begin{res} 
$[-1,0,1,0,0]+s(0,0,1,1,0)+t(-1,0,0,0,1)$

\parindent=0pt
http://www.math.muni.cz/~xfrancirekp/vyuka/seste$\_$cviceni/sedme$\_$cviceni.pdf
\end{res}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcr}
2x_1&-&x_2&+&x_3&- &x_4&=&1\\
2x_1&-&x_2& & &- &3x_4&=&2\\
3x_1& &&-&x_3&+&x_4&=&-3\\
2x_1&+&2x_2&-&2x_3&+&5x_4&=&-6
\end{array}$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Zjistěte, zda jde matice násobit , a pokud ano, vynásobte je.
$$
\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2&8\\
-1&-5\\
9&11
\end{pmatrix},\quad 
\begin{pmatrix}
2&8\\
-1&-5\\
9&11
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
\end{pmatrix},
$$
$$
\begin{pmatrix}
2&8&3&21&5
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
9\\
-6\\
3
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
9\\
-6\\
3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2&8&3&21&5
\end{pmatrix}
$$
\end{zad}

 \bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } Uvažujme matici
$$
A=\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
1&3&-2&1
\end{pmatrix}$$
a označme písmenem $e$ postupně tyto elementární řádkové operace
\begin{enumerate}
\item[a)] vynásobení druhého řádku číslem $3$,
\item[b)] výměna prvého a třetího řádku,
\item[c)] k třetímu řádku přičteme dvojnásobek prvého řádku.
\end{enumerate} 
Nechť $E$ je jednotková matice $3\times 3$. Označme $e(A)$ a $e(E)$ matice, které vzniknou aplikací elementární řádkové operace 
$e$ na matici $A$ a $E$. Ukažte, že platí
$$e(E)\cdot A=e(A).$$
\end{zad}


 \bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } Matice $A$ a $B$ tvaru $n\times n$ jsou dány předpisem:
$$
A_{ij}=
\begin{cases}
1, &\text{if $i\ge j$,}\\
2, &\text{if $ i< j$,}
\end{cases}
\qquad
B_{ij}=
\begin{cases}
1, &\text{if $i\le j$,}\\
3, &\text{if $ i>j$.}
\end{cases}
$$
Napište je a vypočtěte, čemu se rovná jejich součin. 
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ } Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&1&2\\
1&-1&-3\\
2&1 &2
\end{pmatrix}.$$ 
Proveďte zkoušku.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ } 
 Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&4&-2&3\\
2&9&3&-2\\
-1&-6 &-11&4\\
0&-1&-6&0
\end{pmatrix}.$$ 
Zkoušku proveďte aspoň částečně.
\end{zad}

\begin{res} Inverzní matice je
$$\begin{pmatrix}
154&-179&-205&235\\
-36&42&48&-55\\
6&-7 &-8&9\\
1&-1&-1&1
\end{pmatrix}.$$ 
\end{res}

\end{document}



