\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}

\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  6. cvičení z MB141, jaro 2023}
\end{center}
\bigskip


\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&1&2\\
1&-1&-3\\
2&1 &2
\end{pmatrix}.$$ 
Proveďte zkoušku.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
 Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&4&-2&3\\
2&9&3&-2\\
-1&-6 &-11&4\\
0&-1&-6&0
\end{pmatrix}.$$ 
Zkoušku proveďte aspoň částečně.
\end{zad}

\begin{res} Inverzní matice je
$$\begin{pmatrix}
154&-179&-205&235\\
-36&42&48&-55\\
6&-7 &-8&9\\
1&-1&-1&1
\end{pmatrix}.$$ 
\end{res}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&a&0&0&0\\
0&1&a&0&0\\
0&0 &1&a&0\\
0&0&0&1&a\\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}.$$ 
Proveďte zkoušku.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } Spočtěte determinant nějaké matice $2\times 2$ a $3\times 3$.
\end{zad}


\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
 Spočtěte determinant matice
 $$\begin{pmatrix}
2&-1&0&3\\
1&0&-2&0\\
-1&1 &2&1\\
-3&-2&1&1
\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item[a)] pomocí řádkových úprav,
\item[b)] pomocí Laplaceova rozvoje vhodného řádku. 
\end{enumerate}
\end{zad}

\begin{res} 32
\end{res}


\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Zjistěte, pro které parametry $a$, $b$, $c\in\R$ je soustava rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcr}
ax_1&+&bx_2& & &=&c\\
cx_1&&&+ &ax_3 &=&b\\
& &cx_2&+&bx_3&=&a\\
\end{array}$$
jednoznačně řešitelná. Pro tyto parametry najděte řešení pomocí Cramerova pravidla.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
 Spočtěte determinant matice
 $$\begin{pmatrix}
a&1&1&1&1\\
1&a&1&1&1\\
1&1 &a&1&1\\
1&1&1&a&1\\
1&1&1&1&a
\end{pmatrix}$$
pomocí řádkových úprav.
\end{zad}

\begin{res} Začneme tím, že k prvému řádku přičteme všechny ostatní. Pak pokračujeme standardními úpravami. Výsledek je $(a+4)(a-1)^4$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ } Ukažte si, že následující množiny jsou jsou s vhodnými operacemi vektorové prostory. 
\begin{enumerate}
\item[(a)] množina všech polynomů s koeficienty v $\R$, označení $\R[x]$,
\item[(b)] množina všech matic $3\times 3$ s prvky v $\Z_5$, označení $\operatorname{Mat}_{3\times 3}(\Z_5)$,
\item[(c)] množina všech posloupností reálných čísel, kterou lze chápat jako množinu všech zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do $\R$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 9
\begin{zad}{\bf 9.\ } Zjistěte, zda následující podmnožiny jsou vektorové podprostory ve vyznačených vektorových prostorech:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $U=\{f\in\R[x]|\ f(3)=0, \ f(-1)=0\}\subset \R[x]$,
\item[(b)] $V=\{A\in \operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R)|\ a_{11}+a_{22}=1\}\subset \operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R)$,
\item[(c)] $W=\{A\in\operatorname{Mat}_{n\times n}(\R)|\  \operatorname{det} A=0\}\subset \operatorname{Mat}_{n\times n}(\R)$,
\item[(d)] $Z=\{f:\N\to\R|\ f(n+1)=f(n)+f(n-1)\}\subset \{f:\N\to\R\}$.
\end{enumerate}
\end{zad}


\end{document}



